Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (210.09 KB, 14 trang )
TÍCH PHÂN
-------------------------------------------------------------------------------TT
Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp
∫ dx= ∫1.dx=x+C
∫ k.dx=kx + C
1
1a.
2
2a.
3
3a.
4
4a.
∫ x dx= ln x +C.
4b.
5
5a.
∫ e dx= e
5b.
6
6a.
∫ sinxdx = − cosx + C.
6b.
7
7 a.
∫ cosxdx=
7b.
8
8a.
∫ cos x dx= tanx + C.
8b.
9
9a.
1
∫ sin 2 x dx= − cotx + C.
9b.
xα +1
+ C.
α +1
1
1
∫ x 2 dx= − x +C.
α
∫ x dx=
1b.
1 ( ax+b )
2b. ∫ ( ax+b ) dx=
+ C.
a α +1
1
1 1
3b. ∫
dx= − .
+ C.
2
a ax+b
( ax+b )
α ≠ −1
x
+ C.
sinx + C.
1
2
ax
10 10a. ∫ a dx=
+ C.
ln a
1. Đạo hàm của hàm lũy thừa.
x
(x )
α /
= α .xα −1
2. Đạo hàm của hàm lượng giác.
α /
1
( sin x )
2
/
= sin 2 x
3. Đạo hàm của hàm mũ.
(e )
x /
2
∫a
mx+n
(a )
x /
= a x .ln a
+ C.
1 a mx+n
dx= .
+ C.
m ln a
= α .u α −1.u '
/
u'
cos 2u
u'
/
( cotu ) = − 2
sin u
/
( cos x )
2
(e )
u /
= ex
1
∫ sin ( ax+b ) dx= − a cot ( ax+b )
( t anu )
=
+ C.
ax+b
1
cos 2 x
1
/
( cotx ) = − 2
sin x
/
α ≠ −1
1
dx= e ax+b + C.
a
1
∫ sin ( ax+b ) dx= − a cos ( ax+b ) + C.
1
∫ cos ( ax+b ) dx= a sin ( ax+b ) + C.
1
1
∫ cos2 ( ax+b ) dx= a tan ( ax+b ) + C.
∫e
10b.
(u )
1
( sinu ) = u '.cosu
/
( cosu ) = −u '.sinu
( t anx )
Tổng quát:
1
∫ ax+b dx= a ln ax+b
( sinx ) = cosx
/
( cosx ) = − sinx
/
α +1
α
1
x
với k là số thực.
(a )
u /
=
/
= − sin 2 x
= u '.eu
= au .ln a.u '
4. Đạo hàm của hàm lôgarít.
( lnx )
Tổng quát:
/
=
( loga x )
/
1
x
=
( lnu )
1
x.ln a
/
=
( loga u )
/
u'
u
=
u'
u.ln a
1
Tích phân
b
1. Định nghĩa. I = ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) .
b
a
2. Tính chất của tích phân.
b
b
a
a
a. I = ∫ k . f ( x ) dx = k .∫ f ( x ) dx .
b
b
b
b. I = ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .
a
a
a
b
a
a
b
c. I = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
∫ f ( x ) dx = 0 .
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx,
d. I=
e.
a
a
b
x0
b
a
a
x0
a
f. Tính phân không phụ thuộc vào biến.
Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức:
Vấn đề 1: Tích phân hàm đa thức: Bậc nhất, bậc 2, bậc 3, bậc 4,…
1. Công thức áp dụng:
•
α
∫ x dx =
xα +1
+ C.
α +1
1
x −α +1
−α
dx
=
x
dx
=
+ C.
∫ xα ∫
−α + 1
α
∫ k.x dx = k.
2. Phương pháp:
Biến đổi đưa về các đa thức sau đó áp dụng bảng nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫0 ( x + 2 ) dx
3
2. I = ∫0 x −
1 4 x2
− 2 ÷dx
3. I = ∫0 x −
5
4
1
1
(
3 2 3
x + ÷dx
2
4
1
1 2
4. I = ∫0 3 x − x + 2 ÷dx
3
1
1
5. I = ∫0
xα +1
+C .
α +1
)
x + x x + x 2 3 x dx
1
(
)
(
x3
dx
3
2
4
6. I = ∫0 2t + 3 − 4t dt
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2
1. I = ∫0 ( x − 1) x dx
1
1
4
3. I = ∫0 x +
1
(
1
2. I = ∫ x 3 − 2 x 2
0
1
÷xdx
2
)
(
1
)
2
4. I = ∫0 2 x 3 x − 2 x + 1 dx
)
(
1
3
2
5. I = ∫0 x − 4 x 3 x dx
)
4
4
6. I = ∫0 3 x 3 − 4 x dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫0 ( x − 1)
1
(
1
2
x
dx
2
1
)
) ( 1 − 2 x ) dx
2
3
3. I = ∫0 2 x x + 1 dx
1
(
3
2
5. I = ∫0 x − 2 x
2
(
3
2
2. I = ∫0 x − 2 x
3
4. I = ∫0 ( x − 1)
1
1
(
2
)
2
2 x 3dx
( x + 1) dx
)
3
3
6. I = ∫0 2 x x + 1 dx
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2
2
1. I = ∫1
4
3. I = ∫1
8
5. I = ∫1
1
dx
x2
2.
−
1
I = ∫2
3
2 dx
x3
2 3
4. I = ∫1 4 dx
x
2 4
dx
6. I = ∫1
3x5
1
dx
x
1
dx
3
x
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
− 1÷dx
2
x
2 4
2
3. I = ∫1 5 − 3 ÷dx
x
x
2 1 2
3
5. I = ∫1 x + 3 ÷dx
2x
3
2 x
− ÷dx
3
x 2
2 3
5
4. I = ∫1 4 − 5 ÷dx
x 4x
2 4
2
6. I = ∫1 5 − 3 x ÷dx
3x
2
2
1. I = ∫1
2. I = ∫1
Chú ý: Các bài toán sau ta thực hiện phép chia đa thức để đưa về đa thức:
Bài 6: Tính các tích phân sau:
2x2 + 4x
1. I = ∫
dx
1
x
0 2x − 4
dx
3. I = ∫−1
x−2
2
Vấn 2: Tích phân hàm phân thức:
4 x3 − 8 x 2
2. I = ∫
dx
1
2 x2
2
1 x − 3x + 2
4. I = ∫
dx
0
x−2
baäc hai
baäc ba
,
, ...
baäc nhaát
baäc nhaát
2
baäc nhaát
,
baäc nhaát
Công thức áp dụng:
•
•
•
1
k
dx
=
ln
x
+
C
,
∫x
∫ x dx = k.ln x + C .
1
1
k
k
∫ ax + b dx = a ln ax+b + C , ∫ ax + b dx = a ln ax+b + C .
1
x −α +1
−α
∫ xα dx = ∫ x dx = −α + 1 + C.
Bài 1: Tính các tích phân sau: Tính nguyên hàm trực tiếp bằng bảng nguyên hàm.
1
dx
2x
2
1
3. I = ∫1 2 +
÷dx
7x
2
1. I = ∫1
−2
dx
3x
2
1
4. I = ∫1 −3 +
÷dx
−x
1
2. I = ∫2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2
1
1
5
1
−
− ÷dx
2. I = ∫1
÷dx
2x x + 1
3x + 5 4 x
2
2 2
2
1
1
−
−
3. I = ∫1
4. I = ∫1
÷dx
÷dx
7x + 1 2x + 3
−2 x 1 − x
baäc nhaát
Dạng 1: Hàm
→ Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
baäc nhaát
2
1. I = ∫1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
3
2x + 4
dx
x
2 2x − 5
dx
3. I = ∫1
7x
−6 + 3 x
dx
3x
2 2 − 4x
dx
4. I = ∫1
3x
2
2
1. I = ∫1
2. I = ∫1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
−3 x + 2
dx
x+2
0 −3 x + 9
dx
3. I = ∫−2
3x + 1
1
1. I = ∫0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
5x + 3
dx
x+3
0 −x + 2
dx
4. I = ∫−2
1− x
0
2. I = ∫−2
0 5x
−3 x
dx
dx
2. I = ∫−1
x+2
3− x
1 −3 x
1 −x
dx
dx
3. I = ∫0
4. I = ∫0
2x + 1
1− x
baäc hai
Dạng 2:
→ Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
baäc nhaát
1
1. I = ∫0
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2x2 + 4
1. I = ∫
dx
1
x
2 ( x − 1) ( 2 − 3 x )
3. I = ∫
dx
1
2x
2
−9 x + 3 x 2
2. I = ∫
dx
1
3x
2
2 ( x − 1)
4. I = ∫
dx
1
2x
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
3x 2 − 3x + 2
1. I = ∫
dx
0
x+2
0
x2
3. I = ∫
dx
−1
x+2
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2. I = ∫
0
( x + 5) 3x dx
1− x
0 x +2
4. I = ∫
dx
−1
x +1
−2
2
2
0 5x
3 x.x
dx
1. I = ∫0
2. I = ∫
dx
−3
3x − 2
2− x
2
2
0 −3 x
0 −3 x + x
3. I = ∫
4. I = ∫
dx
dx
−2
−2
3x + 2
1− x
baäc ba
Dạng 3:
→ Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
baäc nhaát
1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫
2
1
2x 3 + x 2
dx
x
2. I = ∫
2
1
−9 x 3 + 3
dx
3x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫
1
0
( x − 2)
2
x
2x + 1
dx
x 2 + 5 x3 + x
dx
−2
1− x
2. I = ∫
0
2. I = ∫
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫
1
0
(1− x)
2
2− x
x
dx
−2
( 2 x − 1) ( 3 − 4 x ) dx
1 − 5x
4
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác:
1
•
→ ∫ sin ( ax+b ) dx = − cos ( ax+b ) + C .
∫ sinxdx = −cosx + C
a
•
→ ∫ k .sin ( ax+b ) dx = − cos ( ax+b ) + C .
∫ k.sinxdx = −k.cosx + C
a
•
→ ∫ cos ( ax+b ) dx = sin ( ax+b ) + C .
∫ cosxdx = sin x + C
a
•
→ ∫ k .cos ( ax+b ) dx = sin ( ax+b ) + C .
∫ k.cosxdx = k.sin x + C
a
k
1
k
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I = ∫0 ( sinx+cosx ) dx
π
2. I = ∫0 ( sin2x-3cos2x ) dx 3. I = ∫0 ( 2sin3x+cos3x ) dx
π
π
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2π
1. I = ∫0 sin
x
x
+cos ÷dx
2
2
3π
2. I = ∫0 3sin
π
x
x
x
x
-cos ÷dx 3. I = ∫0 sin -6cos ÷dx .
3
3
2
6
Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
3
0
1. I = ∫
π
sin x- ÷dx
3
π
2
0
2. I = ∫
π
sin 4x- ÷dx
2
π
2
π
2
0
π
2
0
π
− x ÷dx
2
3. I = ∫ cos 2x- ÷dx
Bài 4: Tính các tích phân sau:
π
2
0
π
2
0
1. I = ∫ sin ( -x ) dx
1
•
∫ cos x dx = t anx+C ,
•
∫ sin x dx = − cot x+C ,
3. I = ∫ cos
2. I = ∫ sin ( π − x ) dx
1
,
cos2 x
1
1 + cot 2 x =
,
sin 2 x
1 + tan 2 x =
2
1
2
tan x.cot x =
tan 2 x =
s inx cosx
.
= 1.
cosx sinx
1
,
cot 2 x
tan x.cot x = 1
cot 2 x =
1
.
tan 2 x
Bài 5: Tính các tích phân sau:
π
1. I = ∫π2
4
1
dx
sin 2 x
π
4
0
π
3
π
4
1
1
−
÷dx .
2
2
cos x sin x
1
dx
c os 2 x
3. I = ∫
−4
dx
2
4 3c os x
3. I = ∫π3
2. I = ∫
Bài 6: Tính các tích phân sau:
π
1. I = ∫π2
4
2
dx
sin 2 x
π
3
2
−
÷dx .
2
2sin 2 x
4 3cos x
0
2. I = ∫π
Bài 7: Tính các tích phân sau:
π
2
π
4
1. I = ∫
3
dx
2sin 2 x
π
4
0
π
3
π
4
3
−2
−
÷dx .
2
2
−2cos x 3sin x
5
dx
−3c os 2 x
3. I = ∫
1 ax+b
ax+b
∫ e dx= a e + C.
x
∫ a dx=
2. I = ∫
Vấn 4: Tích phân hàm mũ.
•
x
x
∫ e dx= e + C.
•
e 2 x = e x .e x = ( e x ) ,
•
1
= e− x ,
x
e
2
1
= e −2 x ,
2x
e
e3x = e 2 x .e x = ( e x ) .e x ,
2
1
1
ex = ( e x ) 2 = e 2 ,
x
ax
+ C.
ln a
e 4x = e 2 x .e 2 x = ( e 2 x ) .
2
1
3
1
ex = ( ex ) 3 = e3 .
x
Bài 1: Tính các tích phân sau:
5
1
(
)
1
x
1. I = ∫0 e + 1 dx
(
)
ln2
x
2x
2. I = ∫0 e + e dx
3. I = ∫0
(e
−x
+ e 2 x + e3 x ) dx .
Bài 2: Tính các tích phân sau:
ln2
1. I = ∫0
( 2e
x
+ 3e
−x
) dx
ln3
2. I = ∫0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1
(
)
1
x
x
1. I = ∫0 e + 1 e dx
x
1 x
3 3x
2
3. I = ∫0 e + e + e ÷dx .
2
2
2x
−2 x
3e − 3e ÷dx
(
1
)
ln2
x
2x
x
2. I = ∫0 e + e 2e dx
3. I = ∫0
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1
dx
ex
1
1. I = ∫0
1
1
3
+ 3 x ÷dx
x
e e
ln2
2. I = ∫0
3. I = ∫0
Bài 5: Tính các tích phân sau:
ee + e 2 x
1. I = ∫
dx
0
ex
4e − x + 3e 2 x
2. I = ∫
dx
0
2e x
1
1
Bài 6: Tính các tích phân sau:
1
(
)
1
x
1. I = ∫0 2 − 4 dx
(
3. I =
∫
1
(e
(
(e
+ 1) e x dx .
2
x
)
e x + e 2 x dx .
− ex )
−x
)
1
dx .
ex
0
x
x
2. I = ∫0 2.3 + 4.5 dx
2
(
)
x
x
3. I = ∫0 3.4 − 2.7 dx .
Phần 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
Công thức: I = ∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx .
a
Bước 1: Ta đặt: t=u(x) ⇒ dt=u’(x).dx.
x = a ⇒ t1 = u ( a )
Bước 2: Đổi cận:
x = b ⇒ t2 = u ( b )
b
t2
a
t1
Bước 3: Khi đó: I = ∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) .dt = F ( t )
t2
t1
= F ( t2 ) − F ( t1 ) .
Vấn đề 1: Tích của hàm đa thức. Thông thường nếu:
• Trong tích phân có lũy thừa, ta đặt t=biểu thức bên trong lũy thừa.
• Trong tích phân có phân số, ta đặt t=mẫu số.
• Trong tích phân có căn thức, ta đặt t=căn thức.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
(
)
0
2
2
1. I = ∫0 x + 1 .2 xdx
(
)
1
3
3
2
2. I = ∫−1 x + 4 .3 x dx
(
2
3. I = ∫0 2 + 3 x
)
4
.xdx .
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
1. I = ∫0
2x
dx
2
x +1
2. I = ∫
2
0
6x2
dx
x3 + 1
1
2 x3
dx .
0
3x 4 + 1
3. I = ∫
4. I = ∫0
1
(x
2x
2
+ 1)
2
dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2x
1
1. I = ∫0
x +1
2
dx
3
2. I = ∫0
6x2
7
3
x +1
3
3
3. I = ∫0
dx
2
4x + 1
3
2x
1
2 x2
dx 4. I = ∫0
(x
2
+ 1)
2
3
dx
Bài 4: Tính các tích phân sau:
3
1. I = ∫
x 2 + 1.2 xdx
0
2. I = ∫
1
2x + 3
dx
x + 3x − 1
2
15
4
0
Bài 5: Tính tích phân:
1. I = ∫0
4
1
2. I = ∫0
x 4 + 1.4 x 3dx
2x + 7
x + 7x +1
2
dx
3. I = ∫
3
0
1
(
2
4 x 3 + 1.x 2 dx .
)
3. I = ∫ x 2 + 1
0
x3 + 3 xdx
6
Bài 6: Tính tích phân:
2. I = ∫ x ( 1 − x ) dx
0
1
1
1. I = ∫ 1 − xxdx
0
9
x
dx
x −1
10
3. I = ∫ x 5 x + 4dx 4. I = ∫5
0
1
Vấn đề 2: Tích phân hàm lượng giác: sinx. cosx, sinax, cosax.
• Nếu trong tích phân có: sinx.dx thì ta đặt t=cosx, hoặc biểu thức chứa cosx.
• Nếu trong tích phân có: cosx.dx thì ta đặt t=sinx, hoặc biểu thức chứa sinx.
• ( sinx ) = cosx, ( cosx ) = − sinx,
Bài 1: Tính các tích phân sau:
/
( sinu )
/
π
/
= u '.cosu,
π
1. I = ∫0 ( sinx + 1) .cosxdx
2
2. I = ∫ 2 cos3 x.sinxdx
0
( cosu )
/
= −u '.s inu.
π
(
)
2
3. I = ∫ 4 2sin 2 x + 1 .4cos xdx .
0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
π
(
π
)
2. I = ∫02
1. I = ∫ 2 1 − 2sin 3 2 x cos2xdx
0
π
s inx
3cos2x
dx 3. I = ∫04
dx .
2cosx+4
2sin2x+1
Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
π
cosx
dx
5sinx+4
1. I = ∫02
2. I = ∫06
π
sin3x
dx
3
7cos3x+1
3. I = ∫04
6cosx
dx .
3sinx+1
Bài 4: Tính các tích phân sau:
π
2
0
1. I = ∫
π
2
π
6
π
3
0
π
5sin x + 4.2cos xdx 2. I = ∫ tanxdx 3. I = ∫ cotxdx 4. I = ∫02 3 7sinx+1.cosxdx .
Bài 5: Tính các tích phân sau:
π
2
1. I = ∫0
sinx
( 2cosx+1)
π
2
0
dx
3
2. I = ∫
( 3cosx+1) s inx dx
π
2
0
3. I = ∫
1 + cosx
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: sin x, cos x .
2
2s inx.cosx-3cosx
dx .
2sin x + 1
2
1
( 1 + cos2x )
2
.
1
2
sin x = ( 1 − cos2x )
2
cos 2 x =
•
Dạng 1: Hạ bậc ta ADCT:
o Trong tích phân chỉ có sin2x ta áp dụng công thức ha bậc.
o Trong tích phân chỉ có cos2x ta áp dụng công thức ha bậc.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
π
π
2. I = ∫ 2 2sin 2 2 xdx 3. I = ∫02
1. I = ∫ 2 sin 2 xdx
0
0
π
1 2x
sin dx .
2
2
x
3
2
4. I = ∫03 sin dx
Bài 2: Tính các tích phân sau:
π
π
2. I = ∫03
1. I = ∫ 2 2cos 2 xdx
0
3
cos 2 2 xdx
2
π
x
2
2
3. I = ∫02 cos dx .
π
x
4
2
4. I = ∫0 cos dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
(
)
1. I = ∫ 2 cos 2 x − x dx
0
•
π
2. I = ∫ 2 ( 1 − sin x ) sinxdx
0
π
3. I = ∫ 2 ( 2 − 3cosx ) cosxdx .
0
Dạng 2: Đổi biến ta ADCT:
( sin 2 x ) / = sin2x
o sin2x=2sinx.cosx
→
/
2
( cos x ) = -sin2x
7
o
sin 3 x = sin 2 x.sinx= ( 1-cos 2 x ) .sinx, cos 3 x = cos 2 x.cosx= ( 1-sin 2 x ) cosx .
o Trong tích phân có sin2x và sin2x, ta đặt t= sin2x, hoặc biểu thức chứa sin2x.
o Trong tích phân có sin2x và cos2x, ta đặt t= cos2x, hoặc biểu thức chứa cos2x.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
1. I = 2 sin 2 x.sin 2 xdx
∫0
π
(
π
2
0
(
π
)
3. I = ∫02
2. I = 2 sin 2 x. 2 − 3sin 2 x dx
∫0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
π
2
0
1. I = sin 2 x.cos xdx
∫
2
)
π
2
0
3. I = ∫
2
2. I = sin 2 x. 2 − cos x dx
∫
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
sin 2 x
π
1. I = ∫02
5sin 2 x + 4
sin 4 x
dx .
1 + 2sin 2 2 x
sin 2 x
dx .
3 − 9cos 2 x
2.sin 2 x
π
π
dx
2. I = 2 sin 2 x. 8sin 2 x + 1dx 3. I = ∫02
∫0
dx
2. I = 2 sin x.cosx. 1+cos 2 x dx 3. I = ∫02
∫0
9 + 16cos 2 x
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2sin x.cosx
π
1. I = ∫02
•
4 + 5sin 2 x
π
(
)
π
3
dx .
cosx.sin x
1 + 3cos 2 x
dx .
Dạng 3: Đổi biến ta ADCT:
o sin 3 x = sin 2 x.sinx= 1-cos 2 x .sinx, cos 3 x = cos 2 x.cosx= 1-sin 2 x cosx .
(
)
(
)
3
o Trong tích phân chỉ có sin x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=cosx.
o Trong tích phân chỉ có cos3x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=sinx.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
π
1. I = 2 sin 3 xdx
∫0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
π
)
1. I = 2 sin 3 x + 2 dx
∫0
Bài 4: Tính các tích phân sau:
π
•
(
π
2. I = 2 3cos 3 2 xdx
∫0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(
3. I = 6 sin 3 x.cos 2 xdx .
∫0
π
1. I = 2 cos3 xdx
∫0
π
π
2. I = 2 2sin 3 2 xdx
∫0
)
1. I = 2 2 x − cos 3 x dx
∫0
π
(
π
(
3. I = 6 cos3 x.sin 2 xdx .
∫0
)
2. I = 2 sin 3 x + 4 x 3 dx
∫0
)
2. I = 2 cos3 x + cos 2 x dx
∫0
π
(
π
(
)
3. I = 2 sin 2 x + 2 sin xdx
∫0
)
3. I = 2 1 − cos 2 x cosxdx
∫0
Dạng 4: Biến đổi tích thành tổng.
1
( cos ( a+b ) + cos ( a-b ) )
2
1
sina.sinb= ( cos ( a-b ) − cos ( a+b ) )
2
1
sina.cosb= ( sin ( a+b ) + sin ( a-b ) )
2
cosa.cosb=
o Ta áp dụng công thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
π
1. I = 2 sin 2 x.cosxdx
∫0
π
3. I = 3 sin 3 x.sin xdx .
∫0
π
2. I = 8 cos2x.sin3xdx
∫0
π
4. I = 8 cos2x.cos4xdx
∫0
8
π
6. I = 4 ( sin 2 x − sin 2x.cos3x ) dx .
∫0
π
π
8. I = 6 ( sin3x.sinx-cos3x ) dx
∫0
5. I = 6 ( sinx.sin3x-8 ) dx
∫0
π
7. I = 4 ( x − sin 2x.cosx ) dx
∫0
Vấn đề 4: Tích phân chứa hàm mũ: e x , e 2x , e3x ,...
• Nếu trong tích phân có chứa e x .dx thì ta đặt t=ex, hoặc biểu thức chứa ex.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
ln 2
1. I = ∫
0
ln 2
4. I = ∫
0
(1+ e )
x
3
ln 2
2. I = ∫
0
e x dx
3e x
dx
2e x + 1
ln2
5. I = ∫
0
( 1 − 3e ) e dx
2x
ln 2
3. I = ∫
0
x
−4e x
dx
3e x + 3
ln 5
6. I = ∫0
Bài 3: Tính các tích phân sau
e2 x
1. I = ∫
dx
0
3e 2 x + 1
ln2
1
2. I = ∫0
Bài 2: Tính các tích phân sau
ln 3.3x
2. I = ∫ x
dx
0
3 +3
2x
1. I = ∫ x
dx
0
2 +1
1
1
e2 x
e2 x + 1
(1− e )
1
3. I = ∫
0
dx
2x
2
e x dx
3e x
2e x − 1
dx
2e 2 x + e x
dx
1 + ex
1
e x (1 + x )
dx .
1 + xe x
0
3. I= ∫
Vấn đề 5: Tích chứa lnx hoặc ln(ax+b).
1
dx thì ta đặt t=lnx hoặc biểu thức chứa lnx.
x
1
dx thì ta đặt t=ln(ax+b) hoặc biểu thức chứa ln(ax+b).
• Nếu trong tích phân có chứa
ax + b
•
Nếu trong tích phân có chứa
Bài 1: Tính các tích phân sau:
ln x
dx
x
e
5ln x + 4
4. I = ∫
dx
1
5x
2
1. I = ∫1
e
3
ln 2 x
dx
2. I = ∫
3. I = ∫e
dx
1
2 x.ln x
2x
3
e
2
e ln x + 3
dx
5. I = ∫
6. I = ∫1
dx
1
3x ( ln x + 1)
x
2
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2
1. I = ∫
1
ln ( 2 x + 3)
dx
3 + 2x
Vấn đề 5: Tích phân chứa
3
2. I = ∫4
3
dx
( 2 − x ) ln 2 ( x − 2 )
e
3. I = ∫1
ln x + 2
dx
2 x.( 1 + ln x )
1
1
1
1
/
/
,
. Chú ý: ( t anx ) =
, ( cotx ) = −
.
2
2
2
sin x cos x
cos x
sin 2 x
1
dx, thì ta đặt t=cotx hoặc biểu thức chứa cotx.
sin 2 x
1
• Nếu trong tích phân có chứa
dx, thì ta đặt t=tanx hoặc biểu thức chứa tanx.
cos 2 x
•
Nếu trong tích phân có chứa
Bài 1: Tính tích phân:
π
π
1
1
2
2 tan 2 x − 1
4
4
dx 2. I = ∫0 ( 1 + tan x ) .
dx 3. I = ∫0
1. I = ∫ ( 1 + t anx ) .
dx
cos 2 x
2cos 2 x
3cos 2 x
π
π
π
2
2
3
5tan x + 4
3
4
4
I = ∫04
dx
dx 5. I = ∫
4. I = ∫0 ( 2 − tan x )
6.
dx
2
2
0
cos x 3tan x + 1
cos x
2cos 2 x
π
4
0
9
4
0
7. I =
1
( 1 + cot x ) . 2 dx
cos x
4
0
8. I =
1
( 1 + cot x ) . 2 dx
3cos x
4
0
2
9. I =
2cot 2 x 1
dx
cos 2 x
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
1
1
2
2cot 2 x 1
2
2
dx
dx 3. I =
dx
1. I = ( 1 + cot x ) .
2. I = ( 1 + cot x ) .
sin 2 x
3sin 2 x
3sin 2 x
4
4
2
2
2
5cot x + 4
3
2
2
2
I
=
dx
dx
3. I = ( 2 cot x )
4.
5.
I
=
dx
2
4 2sin 2 x
sin 2 x
4 sin x 3cot x + 1
4
1
1
2
2 tan 2 x 1
2
2
2
I
=
1
+
tan
x
.
dx
I
=
1
+
tan
x
.
dx
dx
6.
7.
8. I =
) 2
)
4 (
4 (
sin x
sin 2 x
sin 2 x
4
2
4
Vn 6: Tớnh tớch phõn bng cỏch chia ra nhiu tớch phõn:
Bi 1: Tớnh tớch phõn:
(
1. I = 0 x 1 ( x 1)
1
2
) dx
(
2. I = 0 x x x ( x 1)
1
3
2
) dx
1
(
)
3. I = 0 x 1 x xdx
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
1
1. I = 0 x + 2 +
2
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
2
6
1. I =
2
2
2
xdx
2.
3.
I
=
3
c
osx-sinx
c
osx
dx
I
=
ữ
)
0 (
02 ( sin x-2cosx ) sinxdx
x2 + 2
1
1 3 ữsinxdx
sin x
4
0
2. I =
Bi 3: Tớnh tớch phõn:
6
1. I = 4 1
2
2
1
-3 ữcosxdx 3. I = 4 3 sinxdx
3
3 ữ
6 sin x cos x
cos x
1
2
ữsin xdx
sinxcosx
2
3
- 2 ữsin 3 xdx
4
2
6 sin xcos x sin x
2. I = 4
Phn 3: Tớch phõn tng phn.
Cụng thc tớch phõn tng phn: I = u.dv = [ u.v ] a v.du
b
b
b
a
a
u = ax+b
1.. Dng 1: I= (ax+b)e dx . t
,
x
a
dv=e
dx
b
x
laỏy ủaùo haứm
u = ax+b
du = a.dx
Cn nh:
x
x
laỏy 1 nguyeõn haứm
dv=e dx v = e
Bi 1: Tớnh tớch phõn:
1
1
1. I = xe dx
0
1. I = x.(1 + e ) dx
0
x
Bi 3: Tớnh tớch phõn:
1
e x )dx
1
1
x
1 1
)dx
x ex
u = ax+b
2.. Dng 2: I= (ax+b)cosxdx . t
. Cn nh:
a
dv=cosxdx
b
1
2. I = 2 x.( x + e )dx
0
2. I = 0 3 x.(
x
6. I = ( 2 3 x ) e3 x dx
0
1
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
1. I = x.( x +
0
1
x
5. I = ( 1 x ) e 2 x dx
0
1
4. I = xe 2 x dx
0
1
3. I = ( 1 2 x ) e dx
0
2. I = 2 xe dx
0
x
1
3. I = x.(4 x e )dx
0
1
3. I = 0 x.(1
2
x
1
)dx
e2 x
laỏy ủaùo haứm
u = ax+b du = a.dx
laỏy 1 nguyeõn haứm
dv=cosxdx v = sinx
Bi 1: Tớnh tớch phõn:
10
1. I = xcosdx
0
3. I = 2 ( 2 3 x ) cosxdx
0
6. I = 3 ( 1 2 x ) cos3xdx
0
2. I = 2 3 xcosxdx
0
5. I = 6 ( 1 x ) cos2xdx
0
4. I = 4 xcos2xdx
0
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
1. I = x.(1 + cosx)dx
0
2. I = 2 2 x.( x + cosx) dx
0
u = ax+b
3..Dng 3: I= (ax+b) sin xdx . t
. Cn nh:
a
dv=sinxdx
b
3. I = x.(4 x 2 3cosx)dx
0
laỏy ủaùo haứm
u = ax+b du = a.dx
laỏy 1 nguyeõn haứm
dv=sinxdx v = -cosx
Bi 1: Tớnh tớch phõn:
1. I = x sinxdx
0
3. I = 2 ( 2 x ) sinxdx
0
2. I = 2 4 x sin xdx
0
4. I = 4 x sin 2xdx
0
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
1. I = x.(1 + sin x)dx
0
b
4..Dng 4: I= (ax+b) ln xdx . t
a
Bi 1: Tớnh tớch phõn:
5. I = 6 ( 1 x ) sin 2xdx
0
2. I = 2 2 x.( x + sin x)dx
0
6. I = 3 ( 1 2 x ) sin3xdx
0
3. I = x.(4 x 2 3sin x) dx
0
1
laỏy ủaùo haứm
u
=
ln
x
du
=
.dx
u = ln x
x
. Cn nh:
x2
dv= ( ax+b ) dx
laỏy 1 nguyeõn haứm
dv= ( ax+b ) dx
v = a + bx
2
e
2. I = x ln xdx
e
e2
3. I = 2 x ln xdx
1
2
5. I = x 2 ln xdx
1
e
6. I = 1 2 x ln xdx
1. I = ln xdx
1
4. I = 4 x ln xdx
1
2
e
3
e
Bi 2: Tớnh tớch phõn:
e
1. I = 1
1
ln xdx
x2
e2
2. I = e
Bi 3: Tớnh tớch phõn:
(
ln x
dx
x3
)
2
3. I = 1
1. I = ( x + 1) ln xdx
1
2. I = 1 x 2 ln xdx
1
1. I = ( 1 + ln x ) xdx
1
2. I = ( x + 3ln 3 x ) xdx 3. I = 1 2 x
1
e
Bi 4: Tớnh tớch phõn:
e
2
2
2
(
ln x
dx
4 x5
)
3. I = 2 + x 2 ln 2 xdx
1
e
3
ữln xdx
x
Phn 4: Tớch phõn cha tr tuyt i. I = a f ( x ) dx .
b
Bc 1: Gii phng trỡnh f(x)=0, tỡm cỏc nghim x0 [a;b] .
Bc 2: B tr tuyt i bng cỏch xột du biu thc f(x), chia ra nhiu tớch phõn.
Chỳ ý: Ta cú th gii bng cỏch khụng xột du f(x).
11
•
Nếu giải phương trình f(x)=0, không có nghiệm x0 ∈ [a;b] thì
•
b
∫ f ( x ) dx .
b
a
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 1 nghiệm x0 ∈ [a;b] thì
•
I = ∫a f ( x ) dx =
I = ∫a f ( x ) dx =
b
∫
x0
a
f ( x ) dx +
∫
b
x0
f ( x ) dx .
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 2 nghiệm x1 , x2 ∈ [a;b] thì
I = ∫a f ( x ) dx =
b
∫
x1
a
f ( x ) dx +
∫
x2
x1
f ( x ) dx +
∫
b
x2
f ( x ) dx .
Bài 1: Tính các tích sau.
1
2
3. I = ∫ x − 1 dx .
0
2
3. I = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx .
0
1. I = ∫ x − 1 dx
0
2. I = ∫ 2 x − 2 dx
0
2
2. I = ∫ 1 − x 2 dx
−2
Bài 2: Tính các tích sau.
1. I = ∫ x 4 − 2 x 2 + 1 dx
0
Phần 5: Diện tích hình phẳng.
2
2
2
y = f ( x )
y = 0
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x = a
x = b
1. S = ∫a f ( x ) dx =
b
2. S = ∫a f ( x ) dx =
b
∫ f ( x ) dx .
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ,
b
a
c
b
a
c
với c là nghiệm thuộc [a;b].
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 2 x , trục Ox và hai đường thẳng x=-1,
x=1.
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 , trục hoành, trục tung và đường
thẳng x=2.
3
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 và trục hoành.
3
2
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 3 x − 4 và trục hoành.
3
2
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 2 x + 1 và trục hoành.
4
2
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x , trục hoành và đường thẳng x=e.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e − 1 , trục hoành và đường
thẳng x=1.
x
y = f ( x )
y = g ( x )
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x = a
x = b
1. S = ∫a f ( x ) − g ( x ) dx =
b
∫
b
a
2. S = ∫a f ( x ) − g ( x ) dx =
b
f ( x ) − g ( x ) dx .
f ( x ) − g ( x ) dx +
a
∫
c
∫
b
c
f ( x ) − g ( x ) dx
12
với c là nghiệm thuộc [a;b].
3
2
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 2, y=x + 2 và hai đường thẳng x=-1,
x=1.
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x + x − 2, y=4x-4 , trục tung và đường thẳng
x=2.
3
2
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3, y=1-3x .
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x , y=x − 1
4
2
2
Phần 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y=f(x),
trục hoành, đt x=a, đt x=b quay quanh trục hoành.
V = π∫a ( f ( x ) ) dx
2
b
Chú ý: Đối với thể tích ta không cần chia làm nhiều tích phân:
Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
hoành, đt x=0, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hoành, đt x=-1, đt x=0 quay quanh trục hoành.
Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hoành, trục tung, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hoành quay quanh trục hoành.
Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
hoành, đt x=, đt x=
y = x3 − 3x , trục
y = x4 − 2x2 ,
y = x3 − 2 x 2 ,
y = x4 − 2x2 + 1,
y = sinx , trục
π
quay quanh trục hoành.
2
Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y = cosx , trục
hoành, trục tung, đt x=
π
quay quanh trục hoành.
2
k
dx
ax + bx + c
• Trường hợp 1: ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm x0 hay có nghiệm kép x0.
x
x
x
k
k
−2
dx = ∫x
dx = k .a ∫x ( x-x 0 ) dx = ...
o Khi đó: ADCT: I = ∫x
2
2
ax + bx + c
a ( x-x 0 )
x2
Phần 7: Tính tích phân dạng: I = ∫x
1
2
2
2
1
•
2
1
1
Trường hợp 2: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm xL , x N .
x2
o Khi đó: ADCT: I = ∫x
1
k
k
dx
=
ax 2 + bx + c
a ( xL − x N )
Bài 1: Tính tích phân:
3
1. I = ∫2
3
dx
2x2 − 4x + 2
Bài 2: Tính tích phân:
−1
2. I = ∫0
−3
dx
2 x 2 − 12 x + 18
∫
x2
x1
1
1
−
x-x L x − xN
1
3. I = ∫0
÷dx
5
dx
1 + 2x + x2
13
0
1. I = ∫−1
1
dx
2x2 − 5x + 3
2
dx
x2 + 5x + 6
1
2. I = ∫0
Bài 3: Tính tích phân:
2
1. I = ∫1
1
dx
x ( x + 1)
2
1
2. I = ∫0
( x + 2 ) ( 2 x + 1)
1
3. I = ∫0
0
3. I = ∫−1
dx
1
dx
4 − x2
1
dx
( 1 − x ) ( 2 − 3x )
Bài 4: Tính tích phân:
ex
1. I = ∫
dx
ln 2
1 − e2 x
ln3
π
2
0
2. I = ∫
cosx
dx
sin 2 x − 4
π
2
0
3. I = ∫
sinx
dx
9 − cos 2 x
Phần 8: Bài tập nâng cao, các đề thi đại học.
Bài 1: Tính tích phân:
1.
1
I= ∫0
e x dx
ln 3
2. I= ∫0
x3 dx
.
x2 + 1
3. I= ∫−1 x ( e 2 x + 3 x + 1 ) dx .
0
4. I=
(e
π
2 6
0
∫
x
+ 1)
3
.
1 − cos3 x sin x cos 5 xdx .
Bài 2: Tính tích phân:
π
sin 2 x + sin x
1. I= ∫02
3. I= ∫1
1 + 3cos x
3 − 2 ln x
e
x 1 + 2 ln x
π
dx.
dx .
2. I= ∫02
4
4. I= ∫0
sin 2 x cos x
dx.
1 + cos x
4x −1
2x + 1 + 2
dx
Bài 2: Tính tích phân:
1. I=
π
2
0
5 − 3e 2
x
−
2
e
dx
,
.
(
)
∫0
4
2. I= ∫
dx
3
, ln .
x
−x
e + 2e − 3 2
4. I= ∫2
1
ln 5
3. I= ∫ln 3
2x
sin 2 xdx
2
, .
cos x + 4sin x 3
2
2
dx
6
2x + 1 + 4x + 1
π
5. I= ∫ 2 ( esin x + cos x ) cos xdx.
.
0
Bài 3: Tính tích phân:
x
3
1. I= ∫1
2
1
3
2x + 2
2x
3. I= ∫0 xe −
x +1
2
2. I= ∫0
dx
÷dx.
5x + 1
4x + 1
dx.
π
x
4. I= ∫02 ( cos3 x − 1) cos 2 xdx,
8 π
− .
15 4
Bài 4: Tính tích phân:
3
1. I= ∫1
dx
,ln ( e 2 + e + 1) − 2.
x
e −1
e2
2. I= ∫1 2 x − ÷ln xdx, − 1.
x
2
e
3
1
3. I= ∫0
x2 + e x + 2 x2e x
1 1 1 + 2e
dx, + ln
.
x
1 + 2e
3 2
3
14
