BỘ đề THI TUYỂN CAO học sưu tầm

Fanpage: www.facebook.com/VnbookWoRm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
--------------------------------------------------------------ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2015
MÔN CƠ BẢN: Giải tích và Đại số
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:


n

n
 n2 


  x  3
n 1  2n  5 

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số:
 2
 1 
2
 x  y  sin  2
2 
f  x, y   
x y 
 0


khi x 2  y 2  0
khi x  y  0

Chứng tỏ rằng hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng f x, f y không liên tục tại O(0;0) nhưng hàm số
f(x,y) lại khả vi tại O(0;0).
Bài 3: Trong tập N các số nguyên dương ta đặt:
khi m  n

0

d  m, n   
1
1  m  n

khi m  n

a) Chứng minh rằng d là một metric trên N.
b) Chứng minh rằng (N,d) là một không gian metric đủ.
c) Trong (N,d) hãy xác định các hình cầu đóng

1 

Bn  B  n,1   , n  N . Chứng minh rằng:
2n 




B

n



n 1

Bài 4:
Cho L là không gian vecto con của  4 sinh bởi 2 vecto 1  1, 0,1, 1 ,  2  1,1, 2, 0  và cho
u  1,0, 4, 2  là một vecto trong  4 . Trong không gian con V   x, y, z , t    4 / x  y  z  t  0 ,

hãy tìm tất cả các vecto mà hình chiếu trực giao của chúng xuống L trùng với hình chiếu của u
xuống L.
Bài 5: Cho dạng toàn phương q trên không gian vecto  3 :
u   x, y, z   3
q  u   x 2  6 y 2  16 z 2  4 xy  6 xz  16 yz .
a. Đưa q về dạng chính tắc, chỉ rõ cơ sở tương ứng.
b. Viết biểu thức của dạng cực của q đối với một cơ sở tự chọn.
Chứng minh dạng cực này là một tích vô hướng trên  3 .

Ghi chú:

-------------------------------------HẾT-----------------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
-Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.


Fanpage: www.facebook.com/VnbookWoRm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

--------------------------------------------------------------ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2015
MÔN CƠ SỞ: ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
CÂU 1. (2 điểm) a) Chứng minh mọi nhóm cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con;
b) Chứng minh rằng nếu nhóm X có đúng hai nhóm con thì X là nhóm xyclic hữu hạn, cấp
nguyên tố.
CÂU 2. (2 điểm) Cho X là một nhóm với phép toán nhân. Với cặp phần tử x, y  X phần tử x 1 y 1 xy
được gọi là hoán tử của x và y . Xét nhóm con  X , X  sinh bởi tập tất cả các hoán tử của các cặp
phần tử x, y  X . Chứng minh:
a)  X , X  là nhóm con chuẩn tắc của X và nhóm thương X /  X , X  giao hoán;
b) Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X sao cho nhóm thương X / A giao hoán thì A
chứa tất cả các phần tử của  X , X  .
CÂU 3. (2 điểm) Cho vành X , phần tử e  X được gọi là phần tử đơn vị trái (đơn vị phải) của X
nếu ex  x  xe  x  với x  X . Chứng minh rằng:
a) Nếu vành X có duy nhất một phần tử đơn vị trái e thì e là phần tử đơn vị của X .
b) Cho ví dụ về một vành X trong đó có phần tử đơn vị trái e  X , nhưng e không phải là
phần tử đơn vị phải.

CÂU 4. (2 điểm) Ký hiệu M 2  R  là vành các ma trận vuông cấp hai trên trường số thực R với phép
cộng và phép nhân ma trận thông thường. Xét tập hợp
a b 

A  
 M 2  R | a  c  b  d 

 c d 


a) Chứng minh A là vành con của vành M 2  R  .
b) Chứng minh vành A đẳng cấu với vành B các ma trận tam giác dưới cấp 2 trên trường số
thực R.
CÂU 5. (2 điểm) Xét tính bất khả quy của đa thức f  x   x 4  x3  x  1 trong
a)   x 
b) 11  x 

Ghi chú:

-------------------------------------HẾT-----------------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
-Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.