Tải bản đầy đủ (.pdf) (19 trang)

19 Bộ đề thi Toán cao học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.65 KB, 19 trang )

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
1
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G,ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G
bởi:
x y (g G, g
1
xg = y).
Với mỗi x G, đặt H
x
= {g G | g
1
xg = x} và O
x
= {g
1
xg | g
G}.
a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O
1
G
= {1
G
},H
x
là một nhóm con của G và |G| = |H
x
| .|O


x
| ,
với mọi x G.
c) Chứng tỏ nếu |G| = p
n
, với p là một số nguyên tố và n là số tự
nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg,x G.
Câu 2. Giả sử M
n
(R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.
a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M
n
(R)
khi và chỉ khi det(A)=0.
b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M
n
(R) mà mọi phần
tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành
con của M
n
(R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của
không trong N .
c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.
Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc
tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r
A
, đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của A.
a) Chứng minh rằng, r
A

bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính
A


x
1
.
.
.
x
n


=


b
1
.
.
.
b
n


,b
i
K ().

1
Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT
E
Xv.5
1
Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm
cột


b
1
.
.
.
b
n


vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và
chỉ khi r
A
= r
B
.
Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức
của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V
n+1
là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét
ánh xạ:
: V V

g fg

gf

trong đó f

,g

là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.
a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker
và chứng tỏ rằng
(V
r+1
)=(V
r
).
b) Tìm dim((V
r+1
)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
n

2
2
n
(x
n
+ x
n
)
trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là
1
2
|x|2.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm


n=1
(
n
n +1
)
n
2
x
n
.
Câu 2. Cho C
[a,b]
là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
a) Đặt
d(x, y) = max

atb
|x(t) y(t)| ,x,y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, d là một metric trên C
[a,b]
và với metric d, C
[a,b]
là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
(x, y)=

b
a
|x(t) y(t)| dt, x, y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, là một metric trên C
[a,b]
và với metric đó C
[a,b]

một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C
0
[0, 1] = {x C
[0,1]

: x(0) = 0},
trong đó C
[0,1]
là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với
chuẩn "max". Chứng minh rằng, C
0
[0, 1] là không gian con đóng của
C
[0,1]

A : C
0
[0, 1] C
0
[0, 1]
x Ax
3
cho bởi
(Ax)(t)=
1
2
[x(t
2
)+tx(1)],t [0, 1]
là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A .
b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán
tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y

Y


, ta có y

A X

. Chứng minh
rằng, A L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,


A
2


= A
2
, với A = A A.
b) Cho (A
n
)
nN
L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
nN
|A
n
x, y| < +
với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup
nN
A < +.

4
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với
n = p
r
1
1
...p
r
h
h
trong đó p
i
là các số nguyên tố và r
i
> 1. Cho G là một nhóm giao hoán
(với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc
thỏa mãn:
"Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x
d
= e} có nhiều nhất d
phần tử."
Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a
i
G thỏa mãn a
p
r
i

i
i
= e
và a
p
r
i
1
i
i
= e. Suy ra a
i
có bậc là p
r
i
i
.
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =

IR
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.
b) N = {x A |y A,z A, (1 xy)z =1}.
c) Giả sử A có tính chất: x A,n>1 thuộc N sao cho x
n
= x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.

Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào
tr-ờng K. Chứng tỏ:
rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}.
Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có
đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với
mỗi không gian con U của E, đặt U

= {x E | f(x, y)=0, y U};
U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không
5
gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa
trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác.
a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi
và chỉ khi U U

.
b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng
với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng.
c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc
chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra
các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều.
6
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Ký hiệu GL(n, R
n
) là nhóm nhân các ma trận thực không suy
biến cấp n. Chứng tỏ:
a) Tập hợp SL(n, R

n
) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R
n
).
b)
á
nh xạ
f : GL(n, R
n
) R

A det(A)
từ nhóm GL(n, R
n
) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R
n
)/SL(n, R
n
) đẳng cấu với nhóm R

.
Câu 2. Cho R = Z
p
[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong tr-ờng Z
p
các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f Rvới:

f =
1+[x
p1
+(x + 1)
p1
+ ããã+(x + p 1)
p1
].
a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z
p
là nghiệm của ph-ơng trình
f(x)=0. Do đó f =0.
b) Suy ra công thức sau:
1
k
+ããã+(p 2)
k
+(p 1)
k


0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1),
1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1).
Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng
K. Chứng tỏ:
|rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B).
Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một
đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x
0
, với W là một không gian

vector con của V và x
0
V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7

×