19 Bộ đề thi Toán cao học

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
1
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G,ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G
bởi:
x y (g G, g
1
xg = y).
Với mỗi x G, đặt H
x
= {g G | g
1
xg = x} và O
x
= {g
1
xg | g
G}.
a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O
1
G
= {1
G
},H
x
là một nhóm con của G và |G| = |H
x
| .|O

x
| ,
với mọi x G.
c) Chứng tỏ nếu |G| = p
n
, với p là một số nguyên tố và n là số tự
nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg,x G.
Câu 2. Giả sử M
n
(R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.
a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M
n
(R)
khi và chỉ khi det(A)=0.
b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M
n
(R) mà mọi phần
tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành
con của M
n
(R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của
không trong N .
c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.
Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc
tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r
A
, đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của A.
a) Chứng minh rằng, r
A

bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính
A


x
1
.
.
.
x
n


=


b
1
.
.
.
b
n


,b
i
K ().

1
Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT
E
Xv.5
1
Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm
cột


b
1
.
.
.
b
n


vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và
chỉ khi r
A
= r
B
.
Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức
của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V
n+1
là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét
ánh xạ:
: V V

g fg

gf

trong đó f

,g

là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.
a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker
và chứng tỏ rằng
(V
r+1
)=(V
r
).
b) Tìm dim((V
r+1
)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
n

2
2
n
(x
n
+ x
n
)
trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là
1
2
|x|2.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm


n=1
(
n
n +1
)
n
2
x
n
.
Câu 2. Cho C
[a,b]
là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
a) Đặt
d(x, y) = max

atb
|x(t) y(t)| ,x,y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, d là một metric trên C
[a,b]
và với metric d, C
[a,b]
là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
(x, y)=

b
a
|x(t) y(t)| dt, x, y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, là một metric trên C
[a,b]
và với metric đó C
[a,b]
là
một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C
0
[0, 1] = {x C
[0,1]

: x(0) = 0},
trong đó C
[0,1]
là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với
chuẩn "max". Chứng minh rằng, C
0
[0, 1] là không gian con đóng của
C
[0,1]
và
A : C
0
[0, 1] C
0
[0, 1]
x Ax
3
cho bởi
(Ax)(t)=
1
2
[x(t
2
)+tx(1)],t [0, 1]
là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A .
b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán
tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y

Y

, ta có y

A X

. Chứng minh
rằng, A L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,


A
2


= A
2
, với A = A A.
b) Cho (A
n
)
nN
L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
nN
|A
n
x, y| < +
với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup
nN
A < +.

4
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với
n = p
r
1
1
...p
r
h
h
trong đó p
i
là các số nguyên tố và r
i
> 1. Cho G là một nhóm giao hoán
(với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc
thỏa mãn:
"Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x
d
= e} có nhiều nhất d
phần tử."
Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a
i
G thỏa mãn a
p
r
i

i
i
= e
và a
p
r
i
1
i
i
= e. Suy ra a
i
có bậc là p
r
i
i
.
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =

IR
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.
b) N = {x A |y A,z A, (1 xy)z =1}.
c) Giả sử A có tính chất: x A,n>1 thuộc N sao cho x
n
= x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.

Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào
tr-ờng K. Chứng tỏ:
rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}.
Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có
đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với
mỗi không gian con U của E, đặt U

= {x E | f(x, y)=0, y U};
U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không
5
gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa
trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác.
a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi
và chỉ khi U U

.
b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng
với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng.
c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc
chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra
các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều.
6
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Ký hiệu GL(n, R
n
) là nhóm nhân các ma trận thực không suy
biến cấp n. Chứng tỏ:
a) Tập hợp SL(n, R

n
) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R
n
).
b)
á
nh xạ
f : GL(n, R
n
) R

A det(A)
từ nhóm GL(n, R
n
) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R
n
)/SL(n, R
n
) đẳng cấu với nhóm R

.
Câu 2. Cho R = Z
p
[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong tr-ờng Z
p
các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f Rvới:

f =
1+[x
p1
+(x + 1)
p1
+ ããã+(x + p 1)
p1
].
a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z
p
là nghiệm của ph-ơng trình
f(x)=0. Do đó f =0.
b) Suy ra công thức sau:
1
k
+ããã+(p 2)
k
+(p 1)
k


0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1),
1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1).
Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng
K. Chứng tỏ:
|rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B).
Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một
đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x
0
, với W là một không gian

vector con của V và x
0
V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7