CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC nguyễn phúc tăng

Nguyễn Phúc Tăng - AIT

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Nguyễn Phúc Tăng
Sưu tầm và giới thiệu

* Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng :
 Bất đẳng thức AM - GM

Nếu a1 , a2 ,..., an là các số thực không âm thì

a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
 Bất đẳng thức AM - GM suy rộng

Cho các số dương w1 , w2 ,..., wn thoả mãn w1  w2  ...  wn  1 .
Nếu a1 , a2 ,..., an là các số thực không âm thì

w1a1  w2 a2  ...  wn an  a1w1 a2w2 ...anwn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Ta có:

 a1b1  a2b2  ...  anbn 

2

  a12  a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a
a1 a2

 ...  n
b1 b2
bn

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Ta có:


an 2  a1  a2  ...  an 
a12 a2 2

 ... 

b1 b2
bn
b1  b2  ...  bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Bất đẳng thức Holder

2

a

a1 a2

 ...  n
b1 b2
bn


Nguyễn Phúc Tăng - AIT





 



Với m dãy số dương a1,1 , a1,2 ,...a1,n , a2,1 , a2,2 ,..., a2,n ... am,1 , am,2 ,..., am,n ta có:
m
 n
  n
  ai , j     m  ai , j

i 1  j 1
  j 1 i 1
m





m

Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ.
+Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2.
Bất đẳng thức Minkowski
Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Ta có:


a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2 

 a1  a2  ...  an 

2

  b1  b2  ...  bn 

2

Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng
Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Ta có:



n

a1a2 ...an  n b1b2 ...bn 

n

 a1  b1  a2  b2  ...  an  bn 

Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz.
 Bất đẳng thức Vonicur Schur

Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r  0, thì

a r  a  b  a  c   b r  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị.
 Bất đẳng thức Bernolli

Với mọi số nguyên r  0 và x > - 1

1  x 

r

 1  rx

* Các kí hiệu viết tắt thường dùng :


n

a
k 1



 a1  a2  ...  an .

k

 a b  a b  b c  c a (Sigma cyclic: Tổng hoá vị).
2

2

2

2

cyc



 a b  a b  b c  c a  ab
2

2

k

 a1a2 ...an .

2

2

2

 bc 2  ca 2 (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng).

sym



n

a
k 1

 R -Tập số thực.
R  -Tập số thực dương.
 N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử 0.


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
 Q - Tập số hữu tỉ.
 [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) của hai đầu mút a, b.
 (a, b) - Đoạn mở của hai đầu mút a, b.
 MO - National Mathematical Olympiad.
 IMO - International Mathematical Olympiad.
 TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad.
 VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad.
 VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad.
 S.O.S - Sum of Square.
 MV - Mixing Variables hay dồn biến.
 SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh.

 THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Toán Học
 APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad.
 R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine.
 Kvant - Russia Magazine

và Tuổi Trẻ.

* Các bài toán ứng dụng:
Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng:

x3
3
 (1  y)(1  z)  4
(IMO shortlist 1998)
Bài 2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a4
 b2 (c  2)  1
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

1
abc


2
cyc a ( a  b)

Bài 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:



a3

b  c

2



abc
4

Bài 5 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a3
abc
 bc  a  2
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thoả mãn :

1 1 1
   1 . Chứng minh rằng:
a b c

a2
abc
 a  bc  4


Nguyễn Phúc Tăng - AIT

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
   4 . Chứng minh rằng:
x y z

1

 2x  y  z  1
1
1
1


 12 .
x y yz zx

Bài 8: : Cho x, y, z > 0 thoả mãn
Chứng minh rằng:

1

 2 x  3 y  3z  3
(Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017)
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng
:

1

3

 a  2b  3c  16

Bài 10: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1
3


4
cyc ab  a  2
Bài 11: Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy + yz + xz = 3xyz. Chứng minh rằng:

x
cyc

x
3

4
 2 xy  1 4

2
Bài 12: Cho x, y, z > 0 và x  y  z  3 . Chứng minh rằng:
2

2

1

3

 1  xy  2
cyc

(ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 )
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có:

1 1 1
1
   3.
a b c
a  2b

(ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008)
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1.Chứng minh rằng:

 (a  1)

1
1

2
 b 1 2

2

Bài 15: : Cho a, b, c >0 .Chứng minh rằng:

a

3

1
1

3
 b  abc abc

(Đề thi USA MO 1998)
Bài 16: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:


Nguyễn Phúc Tăng - AIT

a

ab
1
5
 b5  ab

(ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017)
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có :

1 1 1
1 abcd
 3 3 3
3
a b c d

abcd

(Đề thi Austrian MO 2005)
Bài 18: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

a 5  b5  c 5  d 5
abcd 
abcd

Bài 19: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

1
3
 a  b  c  d   abc  bcd  cda  dab
16

Bài 20: Cho a, b, c > 0 và a + b +c =3. Chứng minh rằng ;

a

1 b
cyc

2



3
2

(Bulgarian TST 2003)
Bài 21: : Cho a, b, c không âm thoả mãn a + b + c = 3.Chứng minh:

a2
1

2
a

2
b
cyc
2
2
2
Bài 22: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:
2a 2
 abc

2
a

b
cyc
(Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017)
Bài 23: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

b

3

cyc

a
3

 ab 2

Bài 24: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3.Chứng minh rằng:

b
cyc

a
1

3
 16 6

(Trần Quốc Anh)
Bài 25: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a3
abc


2
2
2
cyc a  b

Bài 26: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a 1
3
2
1

b
cyc


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
Bài 27: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng:

x4 y
3
 x2  1  2

(Trần Quốc Anh)
Bài 28: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

1 a
cyc 1  b

abc  

(Phạm Kim Hùng)
Bài 29: : Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

a



bc(1  a 2 )



3
2

Bài 30: Cho a, ,b c > 0; a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

1

 ab  2c  2c

2



1
ab  bc  ca

(Đề thi Turkish TST 2007)
Bài 31: Cho x, y, z > 0; xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

 4x
cyc

1

1
2
 xy  2

Bài 32: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng:

a  bc b  ca c  ab


6
b
c
a

(Nguyễn Phúc Tăng)
Bài 33: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng :



x2 

1
 82
x2

Bài 34: Cho a, b, c >0 và a + b + c  6. Chứng minh rằng:



a2 

1 3 17

b2
2

Bài 35: : Tìm GTLN:

x  2016
x  2017

x 1
x 1

(ĐTTS vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định2016-2017)
Bài 36: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

19b3  a 3
 ba  5b2  3
Bài 37: Cho các số dương a, b, c thoả mãn

a  b  c  1.Tìm GTNN:


Nguyễn Phúc Tăng - AIT



2a 2  ab  2b 2

cyc

(ĐTTS vào 10, Hưng Yên 2016-2017)
Bài 38: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:



a 2  ab  2b2  2

cyc

Bài 39: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 8. Chứng minh rằng:

1



1
1  a3
2
2
2
Bài 40: Cho a, b, c > 0 và a  b  c  1 . Chứng minh rằng:
a
3 3
 b2  c 2  2
a ,b ,c

(Đề thi vào 10 chuyên toán THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp 2016 2017 / Tạp chí CruxMath)
Bài 41: Cho a, b, c > 0 và a +b +c =3. Chứng minh rằng:

a  b  c  ab  bc  ca
(Russia 2002)
Bài 42: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
3

a  3 b  3 c  ab  bc  ca

Bài 43: : Cho a, b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

1

9

 a(a  c)  2(ab  bc  ca)
cyc

(Komal Magazine)
Bài 44: : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a (a  c  2b)
 ab  1  0

Bài 45: Cho x, y, z >0. Chứng minh rằng:

 x

x
1
( x  y )( x  z )

(Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math)
Bài 46: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:



a3
a  b  c
3

3

1

Bài 47: Cho x, y, z là các số hực dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

1 3 x  3 y  3 z 4

xy  yz  zx
3


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
(Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012)
Bài 48: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :

xyz ( x  y  z  x 2  y 2  z 2 ) 3  3

( x 2  y 2  z 2 )( xy  yz  zx)
9

(Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015)
Bài 49: Cho a, b, c là các số thực không âm và ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng:



1  a2
3
bc

Bài 50: Chứng minh rằng với nọi số thực dương a, b, c ta luôn có:

a 2  2b 2
3
a 2  ab  bc



Bài 51: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:



ab
3
c  ab

Bài 52: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:



3

a 2  bc 9 3 abc

b2  c2 a  b  c

(Phạm Hữu Đức)
Bài 53: Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:



a b  c
2
a 2  bc

(Phạm Kim Hùng, Vasile)
Bài 54: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a 2  bc
 b  ca  3

(Trần Quốc Anh)
Bài 55: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1
1
1
1
 

 a 2  b2  c2  d 2

ab bc cd da
(Vasile Cirtoaje)
Bài 56: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn (a+b)(b+c)(c+a) > 0. Chứng
minh rằng:



a 2  ab  b 2 2  ab  bc  ca 

4
c 2  ab
a 2  b2  c2

(Bùi Ngọc Anh)
Bài 57: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


Nguyễn Phúc Tăng - AIT



a  a 2  bc 
bc

 a 2  b2  c 2

Bài 58: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

3(a 4  b 4  c 4 ) ab  bc  ca


2
(a 2  b 2  c 2 )2 a 2  b 2  c 2
Bài 59: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:


1  9
( xy  yz  xz )  

2 
x

y
  4
 
(Iranian Mathematical Olumpiad 1996)
Bài 60: Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

x
cyc

1
9

2
 xy  y 2 ( x  y  z )2

Bài 61: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

1 1 1
bc

   2
a b c
a  bc

Bài 62: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:

a 2  bc
 bc  abc

Bài 63: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a b  c
 2a  b  c  3abc  a  b  c 
2

(Nguyễn Văn Quý)
Bài 64: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:



a 2  bc
 3 a  b  c 
bc

Bài 65: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:



a3  abc
 abc

bc

Bài 66: Chứng minh rằng với mọi a, b, c  0 ta có:



a3  abc

b  c

3



3
2

Bài 67: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN:

14  a 2  b 2  c 2  

ab  bc  ca
a b  b2c  c 2 a
2

(Đề thi 10 chuyên toán,Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017)


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
3

Bài 68: Cho (a  b)  4ab  12 .Chứng minh rằng:

1
1

 2015ab  2016
a 1 b 1

(Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2015-2016)
Bài 69: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a2
1

2
a ,b ,c ( a  1)
Bài 70: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

5bc

a ba c 
2

2

15
2

Bài 71: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:



1
1
a ,b ,c
2a
3
2

Bài 72: Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn x + y + z 

x( yz  1)2 y ( zx  1)2 z ( xy  1)2 15



z 2 ( zx  1) x 2 ( xy  1) y 2 ( yz  1) 2
(ĐTTS lớp 10 THPT Lam Sơn 2016-2017)
Bài 73: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a

 (b  c)

2



9
4( a  b  c)

(Darij Grinberg)
Bài 74: Cho các số thực a, b, c, x, y, z . Chứng minh bất đẳng thức sau:

x

3

 ay  bz  a  b
cyc

(Rumanian TST)
Bài 75: Cho trước 2 số thực a, b. Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z là các số
thực dương tuỳ ý:

x2

  ay  bz  az  by  

3

 a  b

2

(Olympiad 30-4)
Bài 76: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng:

a 2 b2 c2
   3(a 2  b 2  c 2 )
b

c a
Bài 77: Cho a, b, c > 0 và a  b  c 

1 1 1
  , Chứng minh rằng:
a b c


Nguyễn Phúc Tăng - AIT



a 2  2b  3 3

cyc

Bài 78: Giả sử a, b, c, d là các số thực không âm thoả mãn ab +bc +cd +da=1
Chứng minh rằng:

a3
1

bcd 3

(Đề thi IMO Shortlist 1998)
Bài 79: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a5
a 3  b3  c 3
 a2  ab  b2 

3

Bài 80: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

a6
1
 b3  c3  18

Bài 81: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:


cyc

a

 ab  a  1

2



1
abc

(ĐTTS vào 10 chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2007-2008)
Bài 82: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :


cyc

1
a3  2b3  6

1

Bài 83: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : (x+y)(y+z)(z+x) = 1
Chứng minh rằng :


cyc

x 2  xy  y 2
xy  1

 3

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ bài T6, số 463)
Bài 84: Cho các số thực dương a, b,c thoả mãn abc + a + b = 3ab. Chứng minh rằng:

ab
b
a


 3
a  b 1
bc  c  1
ca  c  1
(Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012)
1

 1.
Bài 85: Cho a, b, c > 0 thoả mãn bất đẳng thức sau:  2
2
a

b

1
cyc
Chứng minh rằng:
ab + bc + ca  3.
(Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán vùng Balkan dành cho lứa tuổi thiếu niên,
Rumanian 2007)
Bài 86: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :


Nguyễn Phúc Tăng - AIT

x
 1 y  z


 3 2

2


(Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 42, Tháng 7/2012)
Bài 87: Cho a, b, c > 0 và thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a3
1
 (2a 2  b2 )(2a 2  c2 )  3
Bài 88: Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = xy + yz + xz. Tìm GTNN:

x

2

1
1
 y 1

Bài 89: Cho a, b, c > 0 và abc  1. Chứng minh rằng:

a5  a 2
0

5
2
2
cyc a  b  c
(Đề thi IMO 2005)
Bài 90: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1

3

 a(a  c)  2

cyc

(Đề thi Zhaukovty 2008)
Bài 91: Cho x, y > 0 thoả mãn xy = 4. Tìm GTNN:

x2  y 2
x  y 1
(Đề thi vào 10 chuyên toán, Nguyễn Trãi, Hải Dương 2014-2015)
Bài 92: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = ab + bc + ca. Chứng minh rằng:

a2
 a,b,c a 2  a  1  3

Bài 93: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

 4b
cyc

a
2

1



  a ,b ,c a a



2

(Đề thi Greece MO 2002)
Bài 94: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a3
a2


2
b
cyc
cyc b
(Đề thi Junior Banlkan 2000)
Bài 95: Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng :

1
1

2
cyc 1  a  b
(Vasile Cirtoaje)


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
Bài 96: Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc +ca > 0. Chứng minh rằng:

a
abc

 b2  bc  c 2 ab  bc  ca

Bài 97: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a

3

a
1
 b2  c

Bài 98: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

a b

2 2

cyc

1
1

2
b 4 2

Bài 99: a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1
3



2
4
cyc 4  a  b
Bài 100: Chứng minh rằng nếu x  y  z  0 thì:

 x2 y 
  z   x2  y 2  z 2


(Đề thi Việt Nam MO 1991)
Bài 101: Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta có:

a (b  c)
2
2
 c2

b

Bài 102: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

b

a
4

2
 c2 a  b  c

(Phạm Kim Hùng)
Bài 103: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn ab + bc +ca > 0. Chứng minh
rằng:

a 2  16bc
 b2  c2  10

Bài 104: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 2  b2  c2
ab
 2
ab  bc  ca
a  ab  bc

(Trần Quốc Anh)
Bài 105: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 2  b2  c2
ab
 2
ab  bc  ca
a  bc  b 2

(Trần Quốc Anh)
Bài 106: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 2  b2  c2
ab
 2

ab  bc  ca
b  bc  c 2


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
(Trần Quốc Anh)
Bài 107; Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a 2  b2  c2
a2
 2
ab  bc  ca
a  ab  bc

(Trần Quốc Anh)
Bài 108: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y
minh rằng:

1

 ( x  y)

2

 z. Chứng

4

cyc

(ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017)
Bài 109: Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn (x + z)(y + z)=1.
Chứng minh rằng:

1

 ( x  y)

2

4

cyc

(ĐTTS lớp 10 ĐHSP Hà Nội 2008)
Bài 110: Cho x, y, z  0; (x-y)(y-z)(z-x)  0. Chứng minh rằng:



 xy  yz  xz  



4
2 
 x  y  
1

(Trần Nam Dũng, VMO 2008)
Bài 111: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

ab  bc  ca a  b  c
 3
4
a 2  b2  c 2
abc
Bài 112: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau :

a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)
 2
 12
abc
a  b2  c2

Bài 113: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta luôn có bất đẳng thức sau :

a 2  b2  c2
8abc

2
ab  bc  ca (a  b)(b  c)(c  a )
Bài 114: Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào đồng thời
bằng 0. Chứng minh rằng :

a (b  c)
 b2  bc  c 2  2

(Darij Grinberg)
Bài 115: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a2
 2a 2  (b  c  a)2  1
Bài 116: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng :


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
(b  c  a) 2
3(a 2  b 2  c 2 )
 2a 2  (b  c)2  (a  b  c)2
(Võ Quốc Bá Cẩn)
Bài 117: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a (b  c)
6

2
2
a
5

 (b  c)

(Đề thi Olympic 30/4, khối 11, lần XII - 2006)
Bài 118: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

(b  c  3a) 2 1
 2a 2  (b  c)2  2
(Phạm Văn Thuận, Mathlinks forum)
Bài 119: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

(b  c  2a) 2
 2a 2  (b  c)2  8
(USAMO 2003)
Bài 120: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

(2a  b  c)2
12
 4a3  (b  c)3  a  b  c
Bài 121: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

(b  c  a)2 3
 (b  c)2  a 2  5
(Đề thi HSG Đắc Lắc 2014-2015/ HOMC 2007)
Bài 122: Cho a, b, c, d > 0 thoả mãn a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng :

1

16
2
7
a ,b ,c ,d 3a  1





(Vaslie Cirtoaje – Algebraic Inequalities – Old and New Method )
Bài 123: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a2

3
 a 2  (b  c)2  5
2
2
2
Bài 124: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng :
1
1

5
2
a ,b ,c a  3  a
Bài 125: Cho a, b, c > 0 thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

1
1 1

 2  a 2  b2  c2
2
2
a
b
c

(Đề thi Romania TST 2006)
Bài 126: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


Nguyễn Phúc Tăng - AIT

a



1

a 2  8bc

(IMO 2001)
Bài 127: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1
1
1


1
3a 2  (a  1) 2 3b 2  (b  1) 2 3c 2  (c  1) 2
(Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế)
Bài 128: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

a
abc

bc
2

a

Bài 129: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có:

a
 abc
a  2b


cyc

Bài 130: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c không âm ta luôn có:

a



b 2  3c 2



3
2

Bài 131: Cho a, b, c  0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng:



a
 3
1  b  bc

Bài 132: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:

1



2a 2  ab  bc



9
2a  b  c

Bài 133: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:



a
3

6a 3  b3  c 3



3
2

Bài 134: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:



a
7  b3  c 3

1

Bài 135: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:



1
4a 2  bc



4
abc

Bài 136: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:



a
 a b c
bca

Bài 137: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:


Nguyễn Phúc Tăng - AIT

a
3

2
bc



(Romania 2005)
Bài 138: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

a
b
c
9



a 2  1 b 2  1 c 2  1 10
(Poland 1996)
Bài 139: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng:

a b c
9
  
b c a abc

Bài 140: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a 2  b2

ab
3 a  b  c   

c
cyc a  b
2

2

2

(Nguyễn Đình Thi, Cezar Lupu)
Bài 141: Cho các số thực dương a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:



a3  a  2 a  b  c

(Iran 2008)
Bài 142: Cho các số thực bất kì a, b, c. Chứng minh rằng:

a

2

 2  b 2  2  c 2  2   3  a  b  c 

(APMO 2004)
Bài 143: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

  a  b   4  a  b  c  1
cyc

(MOSP 2001)
Bài 144: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a
 b2  a 2  b2  c2

(Lê Việt Hưng, Hải Lăng, Quảng Trị )
Bài 145: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

1

1

1 a  b   a  2
cyc

a ,b ,c

(Bulgaria 1997)
Bài 146: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca =3. Chứng minh rằng:

1

1

 1  a  b  c   abc
2

(Romania 2008)

2


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
Bài 147: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng
0. Chứng minh rằng:


cyc

1

 a  2b 

2



1
ab  bc  ca

(Phạm Kim Hùng)
Bài 148: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

1
1
 2

a ,b ,c a  a  1
(Võ Quốc Bá Cẩn, Vasile Cirtoaje)
Bài 149: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

1

3

 1  a  b  c   2  abc
2

(Mathlinks Contest)
Bài 150: Cho a, b, c > 0; a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng:

a2  1
 b2  ac  6

(Nguyễn Phúc Tăng)
Bài 151: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x 2  y 2  z 2  1


1  3
2 

  x y   2
cyc
x
,
y
,

z
x

1


 2
(Đề thi chọn đội tuyển VMO Bà Rịa - Vũng Tàu 2016-2017)
Bài 152: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:



a ,b ,c

1

1  a 

3



3
21
 ab  bc  ca  
32
32

(Đề chọn đội tuyển VMO Thái Nguyên 2016-2017)
Bài 153: Cho b  a > 0; c > 0. Chứng minh rằng:

a2
c2
ab
 2

2
2
2
2
a c c b
2a

(Nguyễn Phúc Tăng)
Bài 154: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng:



a2  1  6  a  b  c 

a ,b ,c

(Tạp chí Cruxmath)
Bài 155: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:

x3  y 3  z 3
x y  z

2



3
4

(Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN)


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
Bài 156: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

a b c
9
  
4
b c a abc
(Lê Việt Hưng)
Bài 157: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

1

ab  2
cyc

1
3
abc

a  b  c 


3

abc

 a  b



2

cyc

(MOSP 2000)
Bài 158: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a

1
1

3
 8abc 3abc

(Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN)
Bài 159: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

a 2b 2
3
 c3  a2  ab  b2   ab  bc  ca

(Turkey National Olympiad )
Bài 160: Cho a, b, c > 0; a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng;

a 3 b3 c 3
   abc  4
b c a
(Nguyễn Phúc Tăng)
Bài 161: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

2
2
2
a 3 b3 c 3  a  b  c   a  b  c 
  
b2 c 2 a 2
ab  bc  ca

(Nguyễn Phúc Tăng)
Bài 162: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :

2x 2  y  z 
  x  y  x  z   x  y  z

(Cruxmath)

1
. Chứng minh rằng:
3
1
 1  a 2  bc  3

Bài 163: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca =

(China TST 2005)
Bài 164: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:



a
2
b  c2
2


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
Bài 165: Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:



a ,b ,c

a3

 a  1

2

3

(UK TST 2005)

Bài 166: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2

a b c
 1 1 1



a

b

c




   
b c a
a b c
(UK MO 2005)
Bài 167: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x 2  y 2  z 2  3 . Chứng minh
rằng:



x
x  yz
2

 3

(Ukraine Olympiad 2008)
Bài 168: Cho x, y, z > 0; x + y + z = 1. Chứng minh rằng:



1
yz  x 

1
x



27
31

(Serbia 2008)
Bài 169: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c =3. Chứng minh rằng:

1
3


2
2
4
cyc a  b  2
(Iran 2009)

Bài 170: Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c > 0. Chứng minh rằng:

1
a2
1
 2

2
3
2
3a   b  c 
(Võ Quốc Bá Cẩn, Viet Nam (IMO training camp) 2009)

* Các tài liệu tham khảo:
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]

Solving the inequality ***** Group/ Facebook
Mathematical Inequality Group/ Facebook
Imad Zak Group/ Facebook
Diendantoanhoc.net
/>mathlinks.ro
/>Crux Mathematicorum

Mathematical and Youth Magazine


Nguyễn Phúc Tăng - AIT
[10] Romanian Magazine
[11] Kalva.demon.co.uk
[12] Mathnfriend.net.
[13] k2pi.com.
[14] Mathlinks Inequality Forum
[15] Vasile Cirtoaje.
[16] Daniel Sitaru.
[17] Leonard Giugiuc
[18] Mathematical Reflections.
[19] Hojoo Lee - Topics in Inequalities.
[20] Kavant Magazine.
[21] IMO .
[22] Ha Noi Mathematical Open Compertion.
[23] Olympiad / Olympiad 30/4
[24] IMO Shortlist
[25] JBMO, TST.
[26] Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học - Trần Phương và sách của 1
số tác giả khác: Vasile Cirtoaje, Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Kim Hùng,
Phan Huy Khải, Bùi Việt Anh, Phan Thành Nam,….

----------------------------------------Hết----------------------------------------