Chuyên đề tìm GTLN, GTNN bang BDT COSI

CHUYÊN ĐỀ 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TÌM GTLN, GTNN
QUA BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI
I. NỘI DUNG ĐỊNH LÍ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI:
Cho a1 , a2 ,..., an ≥ 0, ta có : a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1.a2 ...an
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = an ≥ 0
Cho a, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab

(Bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương)

Cho a, b, c ≥ 0 thì a + b + c ≥ 3 3 abc

(Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương)

II. VÍ DỤ MẪU VÀ BÀI TẬP:
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

x y z
+ +
với x, y, z > 0.
y z x

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương x, y, z :
A=

x y z
x y z

+ + ≥ 33 . . = 3
y z x
y z x

Do đó M in A = 3 ⇔

x y z
= = ⇔x=y=z
y z x

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có :
A = 3x + 3y ≥ 2. 3x.3y = 2 3x + y = 2. 34 = 18 .

Vậy Min A = 18 với x = y = 2.
3. Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6 . Hãy tìm GTNN của P = 3 x + 2 y +
Giải
1

6 8
+
x y


P=

Ta có:

3

3x 6 y 8 3
3x 6
y 8
( x + y ) + + + + ≥ .6 + 2 . + 2 .
2
2 x 2 y 2
2 x
2 y

P ≥ 9 + 6 + 4 = 19
3x 6
=
=> x = 2
2 x
Vậy minP = 19 khi x = 2 ; y = 4.
Dấu “=” xảy ra khi

và

y 8
=
=> y = 4
2 y

4. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y.
x 2 + y2
Tìm GTNN của
x−y

Giải:

x 2 + y 2 x 2 + y 2 − 2xy + 2xy (x − y) 2 + 2.1
2
2
=
=
= (x − y) +
≥ 2 (x − y).
x−y
x−y
x−y
x−y
x−y
6+ 2
6− 2
− 6+ 2
− 6− 2
;y=
;y=
hoặc x =
2
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi x =
5. Tìm GTNN của A =

xy yz zx
+ +

với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y

Giải
Theo bất đẳng thức Côsi:
Tương tự :
Suy ra

xy yz
xy yz
+
≥2
. = 2y .
z
x
z x

yz zx
zx xy
+
≥ 2z ;
+
≥ 2x .
x
y
y
z

2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

Min A = 1 với x = y = z =

=> A ≥ 1

1
.
3

6. Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 9 − x 2 .
Giải
Điều kiện : x2 ≤ 9.
3

 x2 x2
2 
+
+
9
−
x
2
2

÷
x x
2
A 2 = x 4 (9 − x 2 ) = 4. . (9 − x 2 ) ≤ 4  2
÷ = 4.27 = 108

2 2
3

÷
÷



Max A = 6 3 với x = ± 6 .
2


7. Giải phương trình:

36
+
x−2

4
= 28 − 4 x − 2 − y − 1
y −1

Giải
36
+4 x−2 +
x−2

4
+ y − 1 = 28
y −1

Áp dụng BĐT Cơsi ta có:
36
+4 x−2 ≥2
x−2
4
+ y −1 ≥ 2
y −1

=>

36
+4 x−2 +
x−2

Dấu “=” xảy ra khi

36
.4 x − 2 = 2.6.2 = 24
x−2
4
. y − 1 = 2.2 = 4
y −1

4
+ y − 1 = 28
y −1

36
= 4 x − 2 ⇔ x – 2 = 9 ⇔ x = 11

x−2
4
= y −1
y −1

⇔ y -1 = 4

⇔ y=5

Vậy nghiệm của phương trình là x = 11 ; y = 5
8. Với 5 ≤ x ≤ 13 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x − 5 + 13 − x
KQ:

4

9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + 8 + x − 1
KQ:

3

KQ:

9
4

10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 − x

Dạng phân thức

A

B

Tìm giá trị nhỏ nhất
3


A. Lí thuyết
Cách giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích
của chúng là một hằng số (Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng
nhau) rồi áp dụng BĐT Cơsi.
B. Các ví dụ:
11. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức A =

Giải: Ta có A =

( x + 7)

2

x

x 2 + 14 x + 49
49
49
=x+
+ 14 ≥ 2 x. + 14 = 2.7 + 14 = 28
x
x
x

Dấu “=” xảy ra khi x =

49
 x=7
x

Vậy MinA = 28 khi x = 7
2x2 − 6x + 5
12. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức B =
2x
Giải:

Ta có B = x − 3 +

5
5
5
5
= x+
− 3 ≥ 2 x. − 3 = 2
− 3 = 10 − 3
2x
2x
2x
2

Dấu “=” xảy ra khi x =
Vậy MinB =

5

1
10
 x =
2x
2

10 − 3 khi x =

1
10
2

x 2 + 2 x + 17
13. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức C =
2 ( x + 1)
Giải: Ta có
x 2 + 2 x + 1 + 16 ( x + 1) + 16 x + 1
8
x +1 8
=
=
+
≥2
×
=2 4 =4
C=
2 ( x + 1)
2 ( x + 1)
2
x +1

2 x +1
2

Vậy MinC = 4 . Dấu “=” xảy ra khi (x + 1)2 = 16 ⇔ x = 3 (x = -5 loại)

4


x + 6 x + 34
x +3

14. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức D =

x + 9 + 25 (
=

Giải: Ta có D = x + 6 x + 34 = x + 6
x +3
x +3
D=

x +3+

25
≥2
x +3

(

)

x +3 ×

)

2

x + 3 + 25
x +3

25
= 10
x +3

Vậy MinD = 10. Dấu “=” xảy ra khi ( x + 1)2 = 25 ⇔ x = 16
x 3 + 2000
15. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức F =
x
x 3 + 2000
1000 1000
1000 1000
= x2 +
+
≥ 3 3 x2.
.
= 3.100 = 300
Giải: Ta có F =
x
x
x

x
x
2
Dấu “=” xảy ra khi x =

1000
 x3 = 1000  x = 10
x

Vậy MinF = 300 khi x = 10
x 2 + 1,2 xy + y 2
16. Cho x > y, tìm GTNN của biểu thức G =
x− y

biết x.y = 5

x 2 + 1,2 xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2 + 3,2 xy ( x − y ) + 3,2 xy
=
=
Giải: Ta có G =
x− y
x− y
x− y
2

= x− y+

3,2 xy
16
= x− y+

≥2
x− y
x− y

( x − y) .

16
=8
x− y

2
( x − y ) = 16
Vậy MinG = 8 tại 
tại x = 5 ; y = 1
 xy = 5

17.

x2 + y2
Cho x > y, tìm GTNN của biểu thức H =
x− y

Giải:

5

(x > y)

biết x.y = 2

x 2 + y 2 ( x − y ) + 2 xy
2 xy
4
Ta có H =
=
= x− y+
= x− y+
x− y
x− y
x− y
x− y
2

( x − y) .

≥2

4
=4
x− y

Vậy MinH = 4
1− x + x
x

18. Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức I =

Giải: Ta có I =

1− x + x
1
=
+ x −1 ≥ 2
x
x

Dấu “=” xảy ra khi

1
× x −1 = 1
x

1
= x  x=1
x

Vậy MinI = 1 khi x = 1
19.

x +8
x +1

Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức J =

Giải: Ta có J = x + 8 = x − 1 + 9 =
x +1
x +1
= x +1+

Vậy MinJ = 4 tại

(

9
−2≥2
x +1

(

)

)(

)

x −1

x +1 + 9

x +1

(

)

x +1 ×

= 4 x + 12 +

9
−2=4
x +1

2

x +1 = 9 ⇔ x = 4

20. Cho x > 9, tìm GTNN của biểu thức K =

Giải: Ta có K =

9
x +1

= x −1+

4x
x −3

4x
4 x − 36 + 36 4 ( x − 9 ) + 36
=
=
=4
x −3
x −3
x −3
36
= 4 x − 12 +

x −3

36
+ 24 = 4
x −3

6

(

(

)

x +3 +

)

x −3 +

36
x −3

36
+ 24
x −3


≥2 4

(

)

x −3 .

36
+ 24 = 48
x −3

Vậy MinK = 48 tại x = 36
21. Tìm GTLN của biểu thức L =

2 x
x +1

Giải: Do tử và mẫu đều dương, nên ta qui về tìm GTNN của biểu thức
1 x +1
x
1
=
=
+
≥2
L 2 x
2 2 x
Vậy Min

1
=1

L

x 1
1
×
=2
=1
2 2 x
4

=> MaxL = 1 tại x = 1

22. Cho x > 0, tìm GTLN của biểu thức M =

x
2
( x + 8)

1 ( x + 8)
Giải: Ta qui về tìm GTNN của biểu thức
=
M
x

2

1 x 2 + 64 + 16 x
64
64
=

= x+
+ 16 ≥ 2 x × + 16 = 32
M
x
x
x
Vậy Min

1
1
= 32 => MaxM =
32
M

23. Tìm giá trị nhỏ nhất của

y=x+

9
− 3 (với x>1)
x −1
KQ: 4

24. Với x > 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5 x +

180
x −1
KQ: 65

25. Cho biểu thức P =

1− x + x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x
KQ: 1
7


26. Cho biểu thức A =

x+ x +4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
x +1
KQ: 3

27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x
x +1
KQ:

28. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =

1
2 − 3 − x2

1
2

.

Giải
Dễ thấy A > 0 và | A | ≤ 3
Ta xét biểu thức : B =

1
= 2 − 3 − x 2 . Ta có :
A

0 ≤ 3 − x2 ≤ 3 ⇒ − 3 ≤ − 3 − x2 ≤ 0 ⇒ 2 − 3 ≤ 2 − 3 − x2 ≤ 2 .
M in B = 2 − 3 ⇔ 3 = 3 − x 2 ⇔ x = 0 .

Khi đó max A =

1
= 2 + 3 và max B = 2 ⇔ 3 − x 2 = 0 ⇔ x = ± 3 .
2− 3

Khi đó min A =

1
2

29. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

30. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

31. Tìm GTNN, GTLN của : A =

1

1 + 1 − x2

y=

1
2

KQ:

1
2

1
3 − 1 − x2

1
5 + 2 6 − x2

8

KQ:


KQ: min A = 5 - 2 6 với x = 0; max A =

1
với x = ±
5

6.

32. Tìm GTNN, GTLN của : B = − x 2 + 2x + 4
KQ: min B = 0 với x = 1 ± 5 ; max B = 5 với x = 1

Dạng

A+ B

( A + B = k (hằng số))

A. Lí thuyết:
Để tìm GTNN ta dùng bất đẳng thức

A + B ≥ A + B (A ≥ 0 ; B ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Để tìm GTLN ta dùng bất đẳng thức Cơsi:
Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 thì A + B ≥ 2 A.B

hay 2 A.B ≤ A + B

dấu “=” xảy ra khi A = B
A + B , ta bình phương biểu thức đó,

Phương pháp tìm GTLN của biểu thức dạng
sau đó áp dụng BĐT Cơsi 2 A.B ≤ A + B
Chú ý:

- Nếu A.B = k (không đổi) thì Min(A+B) = 2 k

 A=B

k2
- Nếu A + B = k (khơng đổi) thì Max(A.B) =
4

 A=B

33. Tìm GTNN của biểu thức A = x − 3 + 5 − x
Giải:

ĐKXĐ 3 ≤ x ≤ 5

Ta có A = x − 3 + 5 − x ≥

( x − 3) + ( 5 − x )

= 2

Dấu “=” xảy ra khi x = 3 hoặc x = 5
Vậy MinA =

2 khi x = 3 hoặc x = 5

34. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B =
9

3x − 5 + 7 − 3x

Giải:

5
7
≤x≤
3
3

ĐKXĐ:

Tìm GTNN:
Cách 1:

B=

3x − 5 + 7 − 3x ≥ 3x - 5 + 7 - 3x = 2

Cách 2: B2 = 3x − 5 + 7 − 3 x + 2
B2 ≥ 2 => B ≥
Vậy minB =

( 3x − 5) ( 7 − 3x )

=2+2

( 3x − 5 ) ( 7 − 3x )

2.

5

7
2 khi x = , y =
3
3

Tìm GTLN: Theo bđt Cơsi B2 ≤ 2 + (3x - 5) + (7 – 3x) = 4
=> D ≤ 2
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x  x = 2
Vậy MaxD = 2 khi x = 2
35. Tìm GTNN, GTLN của A = 1 − x + 1 + x .
Giải
Xét A2 = 2 + 2 1 − x 2 . Do 0 ≤ 1 − x 2 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ 2 + 2 1 − x 2 ≤ 4
⇒ 2 ≤ A2 ≤ 4. min A = 2 với x = ± 1 ; max A = 2 với x = 0.
36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 − x + 1 + x 2 + x + 1
Giải
Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi:
A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ 2

x 2 − x + 1. x 2 + x + 1

A ≥ 2 4 (x 2 − x + 1)(x 2 + x + 1) = 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2

Đẳng thức xảy ra khi : x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1 ⇔ x = 0
Vậy : min A = 2 ⇔ x = 0.

(

)

2

2
4
2
Cách 2 : A = 2 x + 1 + x + x + 1 ≥ 4 . min A = 2 với x = 0

37. Cho hàm số y = x 2 + x 2 − 4 x + 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
10


KQ: 2
x−2 + 4−x ≤ 2.

38. Chứng minh

39. Tìm giá trị lớn nhất của S = x − 1 + y − 2 , biết x + y = 4.
x −1 = y − 2

KQ: max S = 2 ⇔ 
x + y = 4
40. Tìm GTLN của biểu thức E =

3
5
⇔ x = ;y =
2
2

x − 5 + 21 − x

41. Cho x + y = 15. Tìm GTLN của biểu thức F = x − 4 + y − 3

Dạng phân thức

A
B

Cách giải: Nhân hoặc chia A với cùng một số (khác 0) sau đó áp dụng BĐT
Cơsi

A.B ≤

1
( A + B)
2

42. Tìm GTLN của biểu thức A =
Giải:

x −9
5x

ĐKXĐ x ≥ 9 (Ta cần xác định số cần nhân chia thêm đó là

Ta có A

=

x −9
=
5x

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy MaxA =

1 x−9

x−9
+ 3÷ x − 9 + 9
.3

1
2 3
3
=
3
≤ 
=
5x
5x
10 x
30

x −9
= 3  x = 18
3

1
khi x = 18
30

43. Tìm GTLN của biểu thức : B =

3x − 25
7x

44. Tìm GTLN của biểu thức C =

10 x 2 − 49
2014 x 2

11

9 = 3)


45. Tìm GTLN của biểu thức D =

2x − 5
3x

46. Với mọi số thực a, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
KQ:

a2 + 2
a2 + 1
2

Dạng A.B (bậc của A bằng bậc của B)
Cách giải:
Nếu tìm GTLN ta
- Biến đổi A + B = k (hằng số)

- Áp dụng BĐT Côsi

( A + B)
A.B ≤

2

4

- Dấu “=” xảy ra khi A = B

Nếu tìm GTNN ta biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức
sao cho tích của chúng là một hằng số. (Nghĩa là tách một hạng tử chứa biến thánh
tổng của một hằng số với một hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có
trong biểu thức đã cho)
47. Tìm GTLN của biểu thức A = x3(16 – x3)
 x 3 + ( 16 − x 3 )  162
3
3
Giải: Ta có A = x (16 – x ) ≤
=
= 64
4
4
2

Dấu “=” xảy ra khi x3 = 16 – x3  x3 = 8  x = 2
Vậy MaxA = 2 khi x = 2
48. Tìm GTLN của biểu thức B = (1 – x)(2x – 1) với

1
≤ x ≤1
2

1
1 ( 2 − 2 x + 2 x − 1)
1
Giải: Ta có B = (1 – x)(2x – 1) = ( 2 − 2 x ) ( 2 x − 1) ≤ ×
=
2
2
4
8
2

Dấu “=” xảy ra khi 2 – 2x = 2x – 1  x =

12

3
4


Vậy MaxB =

1
3
khi x =
8
4

49. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
C = (2x2 –1)(2 – x2)

;

50. Tìm GTNN của biểu thức E =

Giải: Ta có E =

D = (3x + 5)(2 – x)
9x
2
+
với 0 < x < 2
2− x x

9x
2
9x
2−x
9x 2 − x
+ =
+
+1≥ 2
×
+ 1 = 2.3 + 1 = 7
2− x x 2− x
x
2− x x

Vậy MinE = 7
51. Tìm GTNN của biểu thức F = x +
Giải: Ta có F = x +

1
với x > 1
x −1

1
1
= x −1+
+1≥ 2
x −1
x −1

1
+1= 3
x −1

( x − 1) ×

Vậy MinF = 3 tại (x – 1)2 = 1 ⇔ x = 2
52. Tìm GTNN của biểu thức G = 4 x +
Giải: Ta có G = 4 x +

25
với x > 1
x −1

25
25
25
= 4 ( x − 1) +
+ 4 ≥ 2 4 ( x − 1) ×
+ 4 = 24
x −1
x −1
x −1

Vậy MinG = 24 tại 4 ( x − 1) =

25
25
7
2
⇔ ( x − 1) =
⇔ x=
x −1
4
2

PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ
53. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =

3 − 4x
x2 + 1

Giải
* Tìm GTNN

x 2 − 4 x + 4 ) − ( x 2 + 1)
3 − 4x x2 − 4 x + 4 − x2 − 1
(
A = 2
=
=
x +1
x2 + 1
x2 + 1

13


( x − 2)

2

x2 + 1
=
= 2
−
x + 1 x2 + 1

( x − 2) 2
− 1 ≥ −1
x2 + 1

Vậy minA = - 1 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
* Tìm GTLN
A =

3 − 4x
(2 x + 1) 2
(4 x 2 + 4) − (4 x 2 + 4 x + 1)
4x2 + 4 − 4x2 − 4x − 1
≤ 4
=
=
=
4
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1

Vậy maxA = 4 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −

1
2

Cách giải theo phương pháp miền giá trị :
A =

3 − 4x
x2 + 1

⇔ Ax2 + A = 3 – 4x

- Nếu A = 0 thì (1) có nghiệm x =

⇔ Ax2 + 4x + A - 3 = 0

3
4

- Nếu A ≠ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ = 4 – A(A – 3) ≥ 0
A2 - 3A – 4 ≤ 0 ⇔
Vậy MinA = - 1 ⇔ x = 2
MaxA = 4 ⇔ x = −
54. Tìm GTLN, GTNN của A =

-1 ≤ A ≤ 4
(Thay A = -1 vào (1) để tìm x)

1
2

x2 + 4 2x + 3
x2 + 1
Giải

Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình sau đây có nghiệm
a=

x2 + 4 2x + 3
⇔ ax 2 + a = x 2 + 4 2 x + 3
2
x +1

⇔ ( a − 1) x 2 − 4 2 x + a − 3 = 0 ( 1)

Nếu a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm x = −

2
4

Nếu a ≠ 1 thì phương trình (1) có nghiệm khi ∆’ ≥ 0
⇔ 8 - (a – 1)(a – 3) = –a2 + 4a +5 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ a ≤ 5.

Vậy minA = -1 khi x = − 2
14

(1)


maxA = 5 khi x =

2
2

55. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=

3x + 1
là...
2
x +1

56. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =

-1

4x+1
x2 + 5

57. Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8 2 , hãy tìm hình chữ nhật
có diện tích lớn nhất.
Giải

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y.

Với mọi x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy. Nhưng x2 + y2 = (8 2 )2 = 128,
nên xy ≤ 64. Do đó : max xy = 64 ⇔ x = y = 8.

BÀI TẬP ÔN VÀ NÂNG CAO
Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi,
bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN.
1 Giới thiệu các bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
a) Bất đẳng thức Cơsi
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì

a+b
≥ ab (Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b )
2

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cơsi:
Dạng có căn thức:
a + b ≥ 2 ab Với a ≥ 0, b ≥ 0
1
ab

≥

2
Với a > 0, b > 0
a+b

Dạng khơng có dấu căn

( a + b)
2

2

≥ ab;

( a + b)

2

≥ 4ab; a 2 + b 2 ≥ 2ab

2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Cho hai bộ số ( a1 , a 2 ) ; ( b1 , b2 ) . Ta có ( a1 .b1 + a 2 .b2 ) 2 ≤ ( a12 + a 22 )( b12 + b22 )

15


a

a

1
2
Dấu “=” xảy ra khi b = b
1
2

II. Các ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A = 3x − 5 + 7 − 3x
Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức
lấy căn có tổng khơng đổi. Vì vậy nếu ta bình phương biểu thức A thì ta sẽ xuất
hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây vận dụng bất đẳng thức
Côsi: 2 ab ≤ a + b
Giải: ĐKXĐ:

5
7
≤x≤
3
3

A 2 = ( 3 x − 5) + ( 7 − 3 x ) + 2 ( 3 x − 5)( 7 − 3x )

Mà 2 ( 3x − 5)( 7 − 3x ) ≤ 3x − 5 + 7 − 3x = 2
Nên A 2 ≤ 2 + 2 = 4 , dấu “=” xảy ra ⇔ 3x − 5 = 7 − 3x ⇔ x = 2
Vậy maxA = 2 khi x = 2
*Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A =

3x 4 + 16

x3

16
có tích khơng phải là hằng số. Muốn khử được x 3 thì ở tử
x3

Nhận xét: 3x và

phải có x 3 = x.x.x do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất đẳng thức Côsi
cho 4 số dương.
3x 4 + 16
16
16
16
= 3 x + 3 = x + x + x + 3 ≥ 44 x.x.x. 3 = 4.2 = 8
3
x
x
x
x
16
Dấu “=” xảy ra khi x = 3 ⇔ x=2
x

Giải: A =

Vậy minA = 8 khi x=2
x + 2 y = 10 . Tìm GTNN của x + y

*Ví dụ 3: Cho

Nhận xét:

( x) + ( y)
2

2

= x+ y

Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y )
Ta được:

(1.

x +2 y

) ≤ (1
2

2

)

+ 22 ( x + y)

10 2 ≤ 5( x + y )

( x + y ) ≥ 20

Dấu “=” xảy ra khi

y
x
=
⇔ x = 4, y = 16
1
2

Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16
IV. Bài tập có hướng dẫn:
16


Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và x + y = 2a (a > 0).
1 1
+
x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
HD Giải:

x + y 2a
=
= a ⇒ xy ≤ a 2
2
a
x + y 2a a
≥ 2 =
A=
(dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = a)

xy
2
a
a
Vậy min A =
(khi và chỉ khi x = y = a)
2
xy ≤

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x − 5 + 23 − x
HD Giải:
ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 23
max A2 = 36 ⇔ max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)
Bài 3: Cho x + y = 15 , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = x−4 + y −3
HD Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 4 ; y ≥ 3
B ≥ 8 ⇒ min B = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)
max B2 = 16 ⇒ max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)
2x 2 − 6x + 5
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
trong đó x > 0.
2x

HD Giải:
A = x+

5
5
5

−3≥ 2 x⋅
− 3 = 10 − 3 (dấu “=” xảy ra ⇔ x =
2x
2x
2x
⇔ x=

(khi và chỉ khi x =

Vậy min A = 10 − 3

1
10 )
2

1
10 )
2

Bài 5: Cho a, b, x là những số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

( x + a )( x + b )
x

HD Giải:
P= x+

ab
ab

+ ( a + b) ≥ 2 x ⋅
+ ( a + b) =
x
x

Vậy min P =

(

a+ b

)

2

(

a+ b

)

2

(dấu “=” xảy ra ⇔ x = ab )

(khi và chỉ khi x = ab )

x 2 + 2 x + 17
Bài 6: Cho x ≥ 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
2( x + 1)

HD Giải:

17


( x + 1) 2 + 16 = x + 1 + 8 ≥ 2
Q=
2( x + 1)
2
x +1
x +1
8
=
2
x +1

(dấu “=” xảy ra ⇔
Vậy min Q = 4

x +1 8
⋅
=4
2 x +1
⇔ x = 3)

(khi và chỉ khi x = 3)

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
HD Giải:

ĐKXĐ: x ≥ 0

(
M=

)

2

x + 3 + 25
x +3

= x +3+

(dấu “=” xảy ra ⇔
Vậy min M = 10

x + 6 x + 34
x +3

25
x +3

x +3=

≥ 2 25 = 10
25
x +3

⇔ x = 4)

(khi và chỉ khi x = 4)

Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N =

x 3 + 2000
x

HD Giải:
2000
1000 1000
1000 1000
= x2 +
+
≥ 3 3 x2 ⋅
⋅
= 3 . 100 = 300
x
x
x
x
x
1000
2
⇔ x = 10)
(dấu “=” xảy ra ⇔ x =
x

2
N= x +

Vậy min N = 300

(khi và chỉ khi x = 10)

Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và x + y ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 5x + 3 y +

12 16
+
x
y

HD Giải:
12  
16 
12
16
 +  y +  ≥ 12 + 2 3 x ⋅ + 2 y ⋅
x 
y
x
y
16
12
⇔ 3x =
= 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra
và y =
)
y

x
⇔ x = 2 và y = 4 )
Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi x = 2 ; y = 4 )

P




= 2( x + y ) +  3 x +

Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
HD Giải:

x 2 + 1,2 xy + y 2
x− y

( x − y ) 2 + 3,2 xy = ( x − y ) +

16
≥ 2 16 = 8
x− y
x− y
16
⇔ x − y = 4 , kết hợp điều kiện xy = 5 ta được
(dấu “=” xảy ra ⇔ x − y =
x− y

Q=

x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5)
Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)

18


Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4 x +
HD Giải:

25
x −1

25
25
+ 4 ≥ 2 4( x − 1)
+ 4 = 2.10 + 4 = 24
x −1
x −1
25
7
⇔x= )
(dấu “=” xảy ra ⇔ 4( x − 1) =
x −1
2
7
Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi x = )
2

A = 4( x − 1) +

Bài 12: Cho 0 < x < 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
HD Giải:
B=

3
4
+
1− x x

3x
4(1 − x )
3x 4(1 − x )
+
+7≥2
⋅
+7 = 7+4 3 = 2+ 3
1− x
x
1− x
x
2
3x
4(1 − x )
=
⇔ x = 3 −1 )
(dấu “=” xảy ra ⇔
1− x
x

(

(

(

)

2

Vậy min B = 2 + 3
(khi và chỉ khi x =
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được:
3
+
1− x
3
+
1− x

Ta đặt

(

)

)

2

)

2

3 −1 )

4
3x
4(1 − x )
=
+
+7 ?
x 1− x
x
4 3ax 4b(1 − x )
=
+
+c
x 1− x
x

Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7
Bài 13: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 2 + y 2 + z 2
HD Giải:
a) xy ≤

x2 + y2
y2 + z2
z2 + x2

; yz ≤
; zx ≤
2
2
2
xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 ;

xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx )
2

3A ≤ a 2 ; A ≤

a2
3

(dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z =

a
a2
(khi và chỉ khi x = y = z = )
3
3
2
2
2
2
b) B = x + y + z = ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx )
B = a 2 − 2( xy + yz + zx )
a2
⇔

⇔
(
)
xy
+
yz
+
zx
xy
+
yz
+
zx
=
B min
max
(theo câu a)
3
a
2a 2 a 2
=
Lúc đó B = a 2 −
(khi và chỉ khi x = y = z = )
3
3
3

Vậy max A =

19

a
)
3


Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≥ 12
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

y

+

y
z

+

z
x

HD Giải:
x 2 y 2 z 2 2x y 2 y z 2z x
+
+
+
+
+

P =
y
z
x
z
x
y
2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:
x2 x y x y
x 2 .x 2 . y.z
+
+
+ z ≥ 44
= 4x
y
yz
z
z
y2 y z y z
y 2 . y 2 . z. x
4
+
+
+x≥4
= 4y
z
xz
x

x
z2 z x z x
z 2 .z 2 .x. y
+
+
+ y ≥ 44
= 4z
x
yx
y
y

P2 ≥ 4( x + y + z ) − ( x + y + z ) = 3( x + y + z )
P2 ≥ 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 4)
Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)
Do đó

Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
 a  a  a 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 1 + 1 + 1 + 


HD Giải:

x 

y 

z

1+

2
2
a x + x + y + z 2 x + 2 yz 44 x yz
;
=
≥
≥
x
x
x
x

1+

2
2
a y + y + x + z 2 y + 2 xz 44 y xz
;
=
≥
≥
y
y
y
y

2
2

a z + z + x + y 2 z + 2 yx 44 z yx
;
1+ =
≥
≥
z
z
z
z

Do đó Q ≥

644 ( xyz )
= 64
xyz
4

a
3

(dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = )

Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z =

a
)
3

Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

HD Giải:
Tương tự
Mặt khác

(1 + a )(1 + b )(1 + c )
(1 − a )(1 − b )(1 − c )

a + b + c = 1 ⇒ 1− a = b + c > 0
1− b > 0 ; 1− c > 0
1 + a = 1 + (1 − b − c ) = (1 − b ) + (1 − c ) ≥ 2 (1 − b )(1 − c )

Tương tự

1 + b ≥ 2 (1 − a )(1 − c ) ; 1 + c ≥ 2 (1 − a )(1 − b )

Suy ra

(1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 8 (1 − a ) 2 (1 − b ) 2 (1 − c ) 2
= 8(1 − a )(1 − b )(1 − c )
20


A =

(1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 8
(1 − a )(1 − b )(1 − c )
1
3

(dấu “=” xảy ra ⇔ 1 − a = 1 − b = 1 − c ⇔ a = b = c = )

1
3

Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi a = b = c = )
Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = x2 y3
HD Giải:
Nếu y ≤ 0 thì B ≤ 0
(1)
Nếu y > 0 thì:
1= x+ y =

x x y y y
x x y y y
x2 y3
+ + + + ≥ 55 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 55
2 2 3 3 3
2 2 3 3 3
108
2

x2 y3  1 
108
≤   ⇒ x2 y3 ≤
108  5 
3125

Suy ra
(2)
Vậy

B≤

108
3125

x y
2
3
= ⇔ x = ;y = )
2 3
5
5
2
3
(khi và chỉ khi x = ; y = )
5
5

(dấu “=” xảy ra ⇔

Từ (1) và (2) suy ra: max B =

108
3125

III. Bài tập tự luyện
1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 2a. (a > 0)
1

1

Tìm GTNN của biểu thức A = x + y
2) Tìm GTLN của biểu thức A = x − 5 + 23 − x
3) Cho x + y = 15. Tìm GTNN; GTLN của biểu thức B = x − 4 + y − 3
2x 2 − 6x + 5
,x > 0
4) Tìm GTNN của biểu thức A =
2x

5) Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức P =
6) Cho x ≥ 0 Tìm GTNN của Q =
7) Tìm GTNN của biểu thức M =

( x + a )( x + b )
x

x + 2 x + 17
2( x + 1)
2

x + 6 x + 34
x +3

x 3 + 2000
8) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức P =
x
12

16

9) Cho x > 0, y > 0, x + y ≥ 6 . Tìm GTNN của thức sau P = 5 x + 3 y + x + y
10) Cho x > y, x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức Q =
21

x 2 + 1,2 xy + y 2
x− y


25
x −1
3
4
+
12) Cho 01− x x
13) Cho x, y, z ≥ 0 . Thỏa điều kiện x+y+z =a

11) Cho x>1. Tìm GTLN của A = 4x +

a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+xz
b) Tìm GTNN của B= x 2 +y 2 +z 2

LỜI KẾT
Trên đây là một số dạng bài tốn tìm GTLN, GTNN được biến đổi bằng bất
đẳng thức Côsi ở mức độ cơ bản dùng để giúp các em buổi đầu thực hành làm quen
với dạng toán này. Tài liệu cũng thể hiện được cụ thể hóa các dạng bài tập và được
sắp xếp theo từng phần có cách giải gần như giống nhau.
Cái dầu, ngày 10/12/2016
GV soạn

Trương Hùng Phương

22