Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Rèn Kỹ Năng Giải Các Dạng Toán “ Ứng Dụng Hệ Thức Vi-Et”

PHỤ LỤC
PHỤ LỤC................................................................................................................................................1
PHẦN I: MỞ ĐẦU.................................................................................................................................1
1.Lý do chọn đề tài..............................................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu:.....................................................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:.....................................................................................................................3
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:..................................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu:...............................................................................................................3
PHẦN II: NỘI DUNG............................................................................................................................4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...........................................................................4
1.Cơ sở lí luận..............................................................................................................................................4
2.Cơ sở thực tiễn.........................................................................................................................................5

CHƯƠNG II........................................................................................................................................6
CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT....................................................................6
A.NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI........................................................................................................6
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT.....................................................................................6
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN:..............................................................................................................................6
1.Định lý Vi-ét:........................................................................................................................................6
2.Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:....................................6
3.Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai..........................................................8
4.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:.........................................................................................................8
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP...............................................................................................................................9
1.Dạng 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách tính nhẩm nghiệm........................................................9
2.Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho..........................10
3.Dạng 3: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó của giả thiết....11
4.Dạng 4: Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.............................12
5.Dạng 5: Xác định dấu của các nghiệm, xác định các hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu
của nghiệm...........................................................................................................................................14
6.Dạng 6: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước. 17
7. Dạng 7:.............................................................................................................................................22

(1) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số m........22
8.Dạng 8: Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương................25
9.Dạng 9: Tìm giá trị của tham số để biểu thức của đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất....................28
10.Dạng 10: Chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm...........................................................32
11.Dạng 11: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập............................................................................33


12.Dạng 12: Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ 0 quan hệ với Parabol y = mx2 với m
≠ 0........................................................................................................................................................36

Chương III. Thực nghiệm sư phạm...................................................................................................41
1.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM......................................................................................................................41
2.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM......................................................................................................................41
1. Thực nghiệm qua bài dạy trên lớp:....................................................................................................41

Hoạt động Học sinh..............................................................................................................................42
2.Thực nghiệm qua các tiết tự chọn......................................................................................................55

II. Chuẩn bị:.........................................................................................................................................56
II. ChuÈn bÞ:........................................................................................................................................59
3. Kết quả thực nghiệm và một sô chú ý................................................................................................64
a) Chưa áp dụng giải pháp....................................................................................................................64
b) Áp dụng giải pháp............................................................................................................................64

PHẦN III : KẾT LUẬN....................................................................................................................67
DANH SÁCH CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................68
...............................................................................................................................................................69


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn học quan trọng, nó được
vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hàng ngày của chúng ta. Bởi trước
hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học,
logic và tư duy cao,…do đó nếu chất lượng dạy và học ở trường THCS được
nâng cao thì có nghĩa là các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện
đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công
nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở
trường THCS đã và đang làm tích cực hoạt động tư duy học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận
dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Chúng ta đã biết rằng dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh có
những khái niệm, những định lí, những kiến thức…., mà điều quan trọng hơn cả
là người thầy phải dạy cho học sinh có được năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ
được hình thành và phát triển trong hoạt động học tập. Trong xu thế hiện nay,
việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình
thành cho học sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em khả năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháp
truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân loại và chọn lựa các
dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của người học, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh.Trong
chương trình toán 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phương
pháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh .

Trong đó “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của
1


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

chương “ Hàm số y = ax2 ( a khác 0 ) – Phương trình bậc hai một ẩn”. Nhiều
lúc, nhờ hệ thức Viét mà ta có thể giải quyết được một số yêu cầu khác liên quan
của bài toán. Để chứng minh một bài toán nói chung, đòi hỏi học sinh cần có khả
năng phân tích, phán đoán, tư duy tích cực, lí luận và trình bày tốt mới giải quyết
được vấn đề.
Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Là một
phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết
vắn tắt nên học sinh lúng túng khi học phần này. Qua 2 năm dạy lớp 9, bằng
kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của
Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt
khi gặp dạng toán này. Hệ thức Vi-ét còn được tiếp tục vận dụng trong chương
trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dung
chương trình Toán THCS. Hệ thức Vi-ét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế
để học sinh dễ nhớ, dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều
dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp.
Với mong muốn hệ thống những kiến thức trọng tâm về việc ứng dụng Hệ
thức viét để giải các bài toán ôn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 đạt
điểm số cao nhất, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng
mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân tôi
đã chọn đề tài:
Rèn kỹ năng giải các dạng toán “ Ứng dụng hệ thức Vi-et” làm đề tài sáng
kiến kinh nghiệm trong năm học 2014 – 2015 này.

2. Mục đích nghiên cứu:
Phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng bài tập để học sinh dễ
nhận dạng và vận dụng linh hoạt để giải bài tập nhanh và đạt chất lượng cao
nhất.

2


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tìm hiểu nội dung dạy học về Hệ thức Viét ở trường THCS.
- Tìm hiểu mạch kiến thức về Hệ thức Viét mà các em học sinh đã được học.
- Phân chia ứng dụng hệ thức Viét thành nhiều dạng bài tập để giảng dạy.
- Điều tra về thực trạng học toán ở trường THCS.

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường THCS đang công
tác, năm học 2014 - 2015.
- Đề tài nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức Viét theo đúng nội dung
ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơ bản và nâng cao đáp ứng
nhu cầu học tập của học sinh muốn đạt điểm cao khi thi vào các trường
THPT công lập và THPT chuyên trên toàn quốc.

5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu có liên quan.
- Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.

- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu đó là phương pháp thực
nghiệm.

3


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.Cơ sở lí luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, nền giáo dục đào tạo nước ta đang đứng trước những thời cơ và
thách thức mới. Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn
đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí,
bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và nhà nước đề ra.
Là giáo viên ai cũng muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,
phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học. Một vấn đề được đặt ra cho người giáo
viên là phải dạy học như thế nào để học sinh không những nắm vững nội dung kiến
thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng tư duy lôgic, rèn
luyện kỹ năng làm bài tập của bộ môn toán cũng như các môn khoa học khác. Có
thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để tạo được sự hứng thú, say
mê trong học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đưa các kiến thức đó ra áp dụng vào
cuộc sống đời thường. Do đó trong quá trình giảng dạy, mỗi giáo viên phải biết chắt
lọc ra những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội
dung , phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và rút ra những nội dung kiến
thức chính trong bài học. Đồng thời có thể gợi mở , đặt vấn đề để học sinh phát

triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặt
chẽ, rõ ràng và có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã
học một cách nhanh nhất.
Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì
việc tìm ra kết quả của một bài toán phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho một
công việc, tiếp theo là khai thác, phân tích bài toán đó. Trong quá trình dạy học toán
nói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen
là “sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải bài toán đó đơn giản hay phức
tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm
4


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

ra phương án giải tối ưu nhất có thể được”. Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bài
toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài
toán mới trên cơ sở bài toán đã có. Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỹ năng
giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ năng giải toán
bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau và sau đó tự mình
suy nghĩ rồi rút ra bài học kinh nghiệm. Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu
xem bài toán thuộc loại nào? dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho
thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn.
2.Cơ sở thực tiễn
* Về học sinh: Đối với học sinh trường THCS rất nhiều các em học sinh còn yếu về
môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính
tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham
học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày. Trong
khi đó ứng dụng hệ thức vào các dạng bài tập lại là một phần rất quan trọng trong

bài thi vào lớp 10 THPT.
*Về giáo viên: Chưa định hướng, xây dựng cho học sinh thói quen học tập và lòng
yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán
cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương
tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin.
*Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo
dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà trường
chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em
mình chưa kịp thời và chưa hiệu quả.

5


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

CHƯƠNG II
CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT
A. NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau:
- Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Viét theo mức độ từ dễ đến khó.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài.
- Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Viét.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
* Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
* Đối với học sinh khá:
- Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Viét có lồng
ghép bài tập nâng cao.
- Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT.
I.

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Định lý Vi-ét:
-

-

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):
S = x1 +x2 =

−b
a

P = x1.x2 =

c
a

Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các
nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (*) (Định lý Viét đảo)

Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S 2 ≥ 4 P
2. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho
trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0
6

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

(1) Có nghiệm:
TH1: a = 0: phương trình bx + c = 0 có 1 nghiệm.
TH2: a ≠ 0; ∆ (∆’) ≥ 0 phương trình ax2+bx+c = 0 có 2 nghiệm.
(2) Vô nghiệm ⇔ ∆ (∆’) < 0
(3) Có nghiệm kép ( hai nghiệm bằng nhau) ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) = 0
(4) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) > 0.
(5) Hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0.
(6) Hai nghiệm cùng dấu ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) ≥ 0 và P > 0.
(7) Hai nghiệm cùng dấu dương(lớn hơn 0) ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) ≥ 0; S > 0 và P
> 0.
(8) Hai nghiệm cùng dấu âm(nhỏ hơn 0) ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) ≥ 0; S < 0 và P > 0.
(9) Hai nghiệm đối nhau ⇔ a ≠ 0; ∆ (∆’) > 0 và S = 0.
(10) Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ a ≠ 0 ; ∆ (∆’) > 0 và P = 1
(11) Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S < 0.
(12)

Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0.

a ≠ 0
∆( ∆ ') > 0

(13) Một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương ( x2 > x1 = 0) ⇔ 
P = 0

 S > 0
a ≠ 0
∆(∆ ') > 0

(14) Một nghiệm bằng 0và một nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔ 
P = 0
 S < 0
(15) Phương trình có nghiệm không âm (ít nhất một nghiệm không âm)
-

Nếu a = 0 xét phương trình bx + c = 0 có nghiệm x =

-

Nếu a ≠ 0
7

−c
≥ 0
b


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

TH1: Phương trình có một nghiệm bằng 0 ⇔ P = 0
TH2: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ( có 1 nghiệm dương) ⇔ ac < 0
 ∆(∆ ') ≥ 0


TH3: Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔  P > 0
S > 0


3. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.
x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 



x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x22
2

2

1 1 x1 + x2
+ =
;
x1 x2
x1 x2
x12 − x22

x1 − x2 = ±

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….)

(

)

2
x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) x12 + x1 x2 + x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =……. )



x14 − x24

2
2
2
2
( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… )

x16 + x26

2 3
2 3
2
2
4
2 2
4
( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ……..)

4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
(1) Giá trị lớn nhất:
Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Giả sử x1 + x2 = S không đổi, còn P = x1.x2 thay đổi.
Do điều kiện S2 – 4P ≥ 0 ⇒ P ≤

S2
.
4

S
S2
Vậy P đạt GTLN là
khi và chỉ khi x1 = x2 = .
2
4

(2) Giá trị nhỏ nhất
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số
bằng nhau.
Giả sử x1 , x2 > 0 và x1.x2 = P không đổi, còn x1 + x2 = S thay đổi.
8


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Do điều kiện S2 – 4P ≥ 0 ⇒ ( S - 2 P ) (S + 2 P ) ≥ 0 ⇒ S - 2 P ≥ 0 ⇒ S

≥2 P

Vậy S đạt GTNN là 2 P khi và chỉ khi x1 = x2 = P
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:
1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai bằng cách tính nhẩm nghiệm
• Phương pháp
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương
trình có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 =

c
a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương
trình có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = -

c
a

Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a.

3x2 - 5x + 2 = 0

b.

-7x2 - x + 6 = 0
Giải:

a. Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm

x1 = 1, x2 =

c
2
=
a
3

b. Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1= -1, x2 = -

c
6
=
a
7

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể
nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
a. x2 - 7x + 10 = 0
b. x2 + 6x +8 = 0
Giải:
9


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
a.

Năm học 2014 - 2015

Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5
b. Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên
x1 = -2, x2 = -4
• Bài tập áp dụng:
Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a. 2x 2 + 199x − 201 = 0

b. x 2 + ( 3 − 5) x − 15 = 0

c. x 2 + (3m − 5) x − 3m + 4 = 0

d. (m − 2) x 2 + (m − 3) x − 2m + 5 = 0

2. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã
cho
• Phương pháp:
-

Thay giá trị x = k vào phương trình tìm tham số.

-

Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào x1 + x2 hoặc x1.x2 để tìm nghiệm còn
lại (nếu cần).

Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại

Giải:
Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p =
x1x2 =

13
. Theo hệ thức Viét ta có
2

5
5
mà x1= 2 nên x2 =
2
4

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có
x1 x2 =

5
5
mà x1 = 2 nên x2 = .
2
4

Mặt khác x1+ x2 =

p
⇒
2

p

5
13
=2+
⇒ p=
2
4
2

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại
Giải:
10


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1
• Bài tập áp dụng:
Bài 1: Xác định giá trị của tham số m để phương trình:
a. 3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 có một nghiệm bằng 3
b. (m2 + 1)x2 + (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhận -2 làm nghiệm.
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
a. 2x2 - 3x + m = 0

b. 3x2 + 7x + m = 0

3. Dạng 3: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm thỏa mãn một điều kiện
nào đó của giả thiết.

• Phương pháp:
-

Tính tổng S, tích P của hai nghiệm.

-

Áp dụng định lý đảo của định lý Viét lập phương trình X2 – SX + P=0

• Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phương trình x 2 + px + q = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và x 2 ≠ 0 . Lập phương trình
x1

x2

bậc hai có hai nghiệm là x và x .
2
1
Hướng dẫn: * S =

p 2 − 2q
;P=1
q

Phương trình: qx 2 − ( p − 2q ) x + q = 0

Bài 2: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0, c ≠ 0) có hai nghiệm là α và β . Hãy
α

lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là β và

β
α

(α ≠ 0, β ≠ 0)

α β α 2 + β 2 ( α + β ) 2 − 2αβ b 2 − 2ac α . β = 1
=
=
Hướng dẫn: * + =
; β α
β α
αβ
αβ
ac

Phương trình là x 2 −

b 2 − 2ac
x + 1 = 0 ⇔ acx 2 − b 2 − 2ac x + ac = 0
ac

(

)

Bài 3: Lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó bằng tổng và tích của
các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
11

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Hướng dẫn: * y1 = x1 + x 2 = −
* y1 + y 2 =

Năm học 2014 - 2015

b
c
; y 2 = x1 x 2 =
a
a

c−b
bc
; y1 y 2 = − 2
a
a

* Phương trình : y 2 −

c −b
bc
y − 2 = 0 ⇔ a 2 y 2 + a ( b − c ) y − bc = 0
a
a

Bài 4: Cho phương trình x 2 − 5mx + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y1 , y 2 thỏa mãn:
a. Là các số đối của nghiệm phương trình (1).

b. Là nghịch đảo của nghiệm của phương trình (1)
Hướng dẫn: a. y1 + y 2 = −( x1 + x 2 ) = −5m ; Phương trình: y 2 + 5my + 1 = 0
1

1

x +x

1 1

1

1
2
b. y1 + y 2 = x + x = x x = 5m ; y1 . y 2 = x . x = x x = 1
1
2
1 2
1
2
1 2

Phương trình: y 2 − 5my + 1 = 0

4. Dạng 4: Tính giá trị của một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc
hai.
Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)
Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a.

x12 + x22

b. x13 + x23

c.

x1 − x2

Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = -m

và x1.x2 = 1

a. x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2
b. x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
c. (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nên x1 − x2 =

m2 − 4

Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 − 3x − 7 = 0 . Tính:
a. A = x12 + x2 2

b. B= x1 − x2

Giải:
12


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Phương trình bậc hai x 2 − 3x − 7 = 0 có a.c = -7 < 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2
 S = x1 + x2 = 3

Áp dụng định lý Viét có :  P = x x = −7
1. 2

a. Ta có

A = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2x1 x2 = 9 − 2.(−7) = 23
Ta có ( x1 − x2 ) 2 = S 2 − 4 P ⇒ B = x1 − x2 = S 2 − 4 P = 37
Ví dụ 3: Cho phương trình
x2 - 4x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
A = 2 x14 + 8 x1 + 9 − 5 x1

( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho)
Giải:
Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa
A về dạng

A= 5 x1 + a − 5 x1

Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x 1+ a > 0 từ đó tính
được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể:
Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên :
x12 = 4x1-1 ⇒ x14 = 16x12 - 8x1+ 1
A = 32 x12 − 8 x1 + 11 − 5 x1 = 25 x12 + 7 x12 − 8 x1 + 11 − 5 x1

= 25 x12 + 7(4 x1 − 1) − 8 x1 + 11 − 5 x1
=

( 5 x1 + 2 )

2

− 5 x1 = 5 x1 + 2 − 5 x1
 x1 + x2 = 4 > 0

Phương trình đã cho có ∆' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có:  x x = 1 > 0
 1 2
⇒ x1 > 0 ⇒ 5x1+ 2 > 0 ⇒ A =2
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0

và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Tính giá trị của biểuthức
B = x18 + 10 x1 + 13 + x1

Giải:
13


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Từ giả thiết ta có: x12 = 1 - x1⇒ x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + 2
⇒ x18 = 9x12 - 12x1+ 4
2
⇒ B = x18 + 10 x1 + 13 + x1 = 9 x12 − 2 x1 + 17 + x1 = ( x1 − 5 ) + x1

Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0
Vậy B = x1 − 5 + x1 = 5 - x1+ x1 = 5
• Bài tập áp dụng:
Bài 1: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình 5 x 2 − 3x − 1 = 0 . Tính:
3x12 + 5x1 x2 + 3x 2 2
b. B =
4x1 x2 2 + 4x13 x2

a. A = 2x13 − 3x12 x2 + 2x 23 − 3x1 x2 2

Bài 2: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 + ax +1 = 0 và x3 , x4 là nghiệm của
phương

trình

x 2 + bx +1 = 0 .

Tính

giá

trị

của

biểu

thức

M

=

( x1 − x3 )( x2 − x3 )( x1 + x4 )( x2 + x4 ) theo a và b.

Bài 3: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 - ax +1 = 0 . Tính S = x17 + x27 theo a.

5. Dạng 5: Xác định dấu của các nghiệm, xác định các hệ số của phương trình
theo điều kiện về dấu của nghiệm.
Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
x2 - 2 3 x + 4 = 0

b.

x2 + 5x - 1 = 0

c. x2 - 2 3 x + 1 =0

d.

x2 + 9x + 6 = 0

a.

Giải:
a. Ta có ∆ '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
b. Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c. Ta có ∆' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm
dương phân biệt

d. Ta có ∆ =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm
phân biệt
14


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a. Có hai nghiệm khác dấu

b. Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c. Có hai nghiệm phân biệt đều dương
d. Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải:
a. Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0 ⇔ m < 1
b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
 ∆ > 0 ( 2 m − 3 ) 2 > 0
 m >1



S
<
0
⇔
1

−
2
m
<
0
⇔



3
P > 0  m −1 > 0
 m ≠ 2



c.Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
( 2m − 3) 2 > 0
∆ > 0


 S > 0 ⇔  1 − 2m > 0 ⇔ không có giá trị nào của m thoả mãn
P > 0
 m −1 > 0



d.Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi
∆ > 0


S = 0

⇔ 1 - 2m = 0 ⇔

m=

1
2

Chú ý:
- Khi ∆ < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình
vô nghiệm.
-

Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu.

-

Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là ∆ và S.

• Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phương trình (m + 1) x 2 + 2(m + 4) x + m + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có
a. Một nghiệm

b. Hai nghiệm phân biệt cùng dấu

c. Hai nghiệm phân biệt cùng âm.
15

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Bài 2: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x+ m – 1 = 0 Tìm m để phương trình
có:
a. Hai nghiệm cùng dấu

b.Có một nghiệm dương.

c.Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm khi m thay đổi .
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1< x1 < x2 < 6
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1) x2 – 2(m – 3)x + m - 4 = 0. Tìm m để phương
trình có hai nghiệm
a. Trái dấu

b. Hai nghiệm dương

c. Hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 5: Cho phương trình: x2 + mx + 2m - 4 = 0. Tìm m để phương trình có ít nhất
một nghiệm không âm.


x 

x +3

x +2

x +2

+
+
)
÷: (
Bài 6: Cho biểu thức A = 1 −
x +1÷
x − 2 3− x x −5 x + 6



Tìm m để có giá trị x thỏa mãn A( x + 1) = m( x + 1) − 2
Bài 7: Cho phương trình bậc hai mx 2 − ( 5m − 2) x + 6m − 5 = 0
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

2
5

(m= )

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau ( m = 1)
Bài 8: Tìm giá trị của m để phương trình:
a. 2x2 + mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
hơn nghiệm dương. ( 0 < m < 3)
b. x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị
tuyệt đối. (m = 1)

Bài 9: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0. Xác định điều kiện của m để hai
 1

 − < m ≤ 0 
nghiệm là độ dài hai cạnh một hình chữ nhật   3

 m ≥1




16


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Bài 10: Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
 ∆ > 0

m < 3 − 8 ; m > 3 + 8



 S > 0

 m > −1
⇔

⇔ m = 6
 P > 0
m > 0


 x 2 + x 2 = 52

m = 6; m = −4
2

 1


6. Dạng 6: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn
điều kiện cho trước.
• Phương pháp:
a ≠ 0

-

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 

-

Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x 1 và x 2 .

-

Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình

-

Giải tìm tham số.

-

Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận.

( )

'
∆ ∆ ≥ 0

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm
x1, x2 thoả mãn:
a. 3x1 + 2x2 = 1

b. x12 -x22 = 6

c. x12 + x22 = 8

Giải:
Để phương trình có nghiệm thì ∆' ≥ 0 ⇔ m ≤ 1
a. Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:
 x1 + x2 = −2 (1)

3 x1 + 2 x2 = 1 (2)
 xx =m
(3)
 1 2

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b. Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

17


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
 x12 − x22 = 6 (1)

 x1 + x2 = −2 (2)
 x x = m (3)
 1 2

Năm học 2014 - 2015

Giải hệ (1), (2) ta được x1= −

Thay vào (3) ta được m = -

5
1
; x2 =
2
2

5
(thoả mãn điều kiện)

4

c. x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 ⇒ 4 - 2m = 8 ⇒ m = -2 (thoả mãn)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x 2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm
thoả mãn 3x1+ x2 = 6
Giải:
Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay m2 - 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 3 hoặc m ≤ -2
3

Kết hợp với hệ thức Viét ta có
 x1 + x2 = m (1)

3 x1 + x2 = 6 (2)
 x x = 3 (3)
 1 2

giải hệ (1), (2) ta được x1=

6−m
3m − 6
; x2 =
2
2

Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn)
Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m
để x14 + x24 ≤ 32
Giải:
Để phương trình có nghiệm thì ∆' ≥ 0 hay m2 - 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2
2

2
Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2( x1 x2 ) 2

 x1 + x2 = −2m
nên x14 + x24 ≤ 32
x
x
=
4

1 2

Theo hệ thức Viét ta có: 
⇔ (4m2 - 8)2 - 32 ≤ 32

2
2
⇔ m − 2 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ m − 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ 2

Kết hợp với điều kiện ∆' ≥ 0 ta được m = 2 hoặc m = -2
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có
hai nghiệm thỏa mãn x12 + x 22 = 1
18


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m 1
∆ = ( 2m − 1) − 4.1. ( m − 1) = 4m 2 − 4m + 1 − 4m + 4
2

= 4m 2 − 8m + 4 + 1 = ( 2m − 2 ) + 1
2

Ta có: ( 2m − 1) ≥ 0 víi mäi m ⇒ ∆ = ( 2m − 1) + 1 ≥ 1 > 0 víi mäi m
2

2

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

{ x + x = 2m − 1

Theo định lý Viét có x 1.x =2 m − 1
1 2

(1)
(2)

Theo đề bài : x12 + x 22 = 1 ⇔ x12 + x 22 + 2x1x 2 − 2x1x 2 = 1 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 1 (3)
2

Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1
• Bài tập bổ sung:
Bài 1: Cho phương trình 3x2 - 4x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương
trình có nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 = 3x 2
Bài 2: Xác định giá trị của k sao cho hai nghiệm của phương trình x2 - 6x + k

= 0 thỏa mãn điều kiện 3 x1 + 2 x 2 = 20
Bài 3: Cho phương trình x2 + 2x + 3k = 0. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương
trình, tìm giá trị của k để x1 − x 2 = 14
Bài 4: Cho phương trình (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - 3 = 0. Xác định k để có hai
nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn hệ thức (4 x1 + 1).(4 x2 + 1) = 18
Bài 5: Cho phương trình x2 - 2x + m = 0. Tìm m sao cho phương trình có hai
x

x

10

1
2
nghiệm x1 , x 2 thoả mãn : x + x = − 3
2
1

Hướng dẫn: * ∆ = 1 − m > 0 ⇔ m < 1

*

4 − 2m
10
=−
(m ≠ 0 ) ⇔ m = −3 (t/m)
m
3

Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m- 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương

1

1

trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x + x =
1
2
19

x1 + x 2
5


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Hướng dẫn: * ∆' = 7 − 6m > 0 ⇔ m <

Năm học 2014 - 2015
m = 2
⇔ m = -4
 m = −4

7
6

*

Bài 7: Cho phương trình: (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0. Tìm m để phương
trình có hai nghiệm sao cho x 21 + x 2 2 = 4
1


m≠

2
m
−
1
≠
0

2

⇔
Hướng dẫn : * 
2
 ∆ ' = − 5m + m + 1 ≥ 0
1 − 21 ≤ m ≤ 1 + 21
 10
10
m = 0
* 
7
m=

12

⇔m= 0

Bài 8: Cho phương trình x2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0. Xác định m để phương trình
có hai nghiệm thỏa mãn: x 21 + x 2 2 + 6 x1 x 2 = 0
m = 1

m = 13

* m2 - 14m + 13 = 0 ⇔ 

Hướng dẫn: * ∆ = (m + 1) 2 + 4 > 0

(t/m)

Bài 9: Tìm giá trị của m để phương trình x2 - 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
x 31 + x 3 2 = 2

m ≥ 1
m ≤ −1

2
* ∆' = m − 1 ≥ 0 ⇔ 

Hướng dẫn :

m = 1
* 8m − 6m = 2 ⇔ ( m − 1).( 2m + 1) = 0 ⇔ 
1
m=−

2
2

3

⇔ m=1

Bài 10: Cho phương trình x2 + mx + n - 3 = 0
 x1 − x 2 = 1

Tìm m và n để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn hệ thức 

2

2

 x1 − x 2 = 7

* ∆ = m2 – 4n + 12 ≥ 0

Hướng dẫn :

 x1 − x 2 = 1

* 

2

 x1 − x 2

2

x = 4
4m + n = −13
 m = −7
⇔ 1

⇔
thay vào (1) : 
(
=7
3m + n = −6
n = 15
x2 = 3

t/m)
Bài 11: Cho phương trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm thỏa mãn - 2< x1 < x2 <4
20


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Hướng dẫn :

Năm học 2014 - 2015

* x1= m , x2= m + 1 ⇒ x1 <

* ∆ = 1>0

x2
 x1 > −2
 m > −2
⇔
⇔ −2 < m < 3
m < 3

 x2 < 4

Do đó : 

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình x2 + 2ax + 4 = 0
2

2

x  x 
(1) có các nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện  1  +  2  ≥ 3
 x2   x1 

a ≤ −2

Hướng dẫn * ∆' = a2 - 4 ≥ 0 ⇔ 
a ≥ 2

 ( x + x ) 2 − 2 x1 x2 
x  x  x
x 
*  1  +  2  =  1 + 2  − 2 ≥ 3 ⇔  1 2
 ≥5
x
x
 x2   x1   x2 x1 
1
2



2

⇔

2

2

2

4a 2 − 8
≥ 5
4
a ≤ −2

(vì 
nên 4a2 - 8 > 0 ) ⇔ a 2 ≥ 2 + 5 ⇔ a ≥ 2 + 5 (t / m)
a
≥
2

Bài 13: Cho hai phương trình a2x2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a2 = 0 (2)
(Với a > c > 0)
a. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2; phương trình (2) có hai nghiệm
hai nghiệm x1 ' , x 2 ' . Chứng minh x1x2 + x1' .x 2 ' ≥ 2 .
b. Cho các phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (1) và cx2 + dx + a = 0 (c
≠ 0)

Biết rằng phương trình có các nghiệm là m và n, phương trình (2) có các
nghiệm là p và q. Chứng minh rằng m2 + n2 + p2 + q2 ≥ 4 .

Hướng dẫn: Điều kiện để phương trình có nghiệm b2- 4a2c ≥ 0
a. Ta có x1x2 + x1' .x 2 ' ≥ 2
2
2
b. m + n ≥ 2 mn = 2

c a2
.
=2
a2 c

c
a
2
2
; p + q ≥ 2 pq = 2
a
c

21


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

c a
⇒ m 2 + n 2 + p 2 + q 2 ≥ 2 +  ≥ 2.2 = 4
a c

7. Dạng 7:
(1) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số m.
• Phương pháp:
a ≠ 0

-

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 

-

Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x 1 và x 2 .

-

Tính m theo S và P.

-

Khử m tìm hệ thức chỉ còn S và P. Thay S = x 1 + x 2 , P = x 1 . x 2

( )

'
∆ ∆ ≥ 0

Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Giải:
a. Ta có

∆' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0 ⇔ m ≥ -

1
2

 x1 + x2 = 2(m + 1) (1)

b. Theo hệ thức Viét ta có 

2
 x1 x2 = m

(2)
2

x +x
x +x

Từ (1) ta có m = 1 2 − 1 thay vào (2) ta được x1 x2 =  1 2 − 1÷
2
 2


hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc
vào m. Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức

liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m
theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm.
Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta
xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0
22


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán

Năm học 2014 - 2015

(m là tham số )
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không
phụ thuộc vào m.
Giải :
Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:
2( m − 3)
6
= 2−
(1)
m
m
m +1
1
x1 x2 =
= 1+
(2)
m
m

x1 + x2 =

Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = 6 +

6
m

(3). Cộng vế theo vế của (1) và (3)

ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8
• Bài tập bổ sung:
Bài 1: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:
x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: ∆ = (m -1)2+ 28 ≥ 0
m = S - 3 và m =

P+5
ta có hệ thức : 2(x 1 + x 2 ) − x1 x 2 = 11
2

Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. Hãy tìm một biểu thức liên hệ
giữa hai nghiệm không phục thuộc vào m.
1
2

Hướng dẫn: ∆ = (m - ) 2 +

m=

19
>0
4

S −2
và m = P + 4 ta có hệ thức : x 1 + x2 − 2 x1 x 2 − 10 = 0
2

Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0. Khi phương trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc vào m.
m ≤ − 2

'
2
Hướng dẫn: . ∆ = m − 2 ≥ 0 ⇔ 

m ≥ 2

23