Boi duong hsg 7nam hoc 2016 2017

Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
Phần I: Đại số
CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ-SỐ THỰC
CỘNG ,TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
Dạng 1:Thực hiện phép tính:
Bài 1: Thực hiện phép tính :
1 1 1
3
3
3
− −
0,6 −
−
−
25 125 625
A = 9 7 11 +
4 4 4 4
4
4
− −
− 0,16 −
−
9 7 11 5
125 625
Bài 2 Thực hiện phép tính:
4
7   −5
 3
 − + +  .


 10 15 20   19  : 5
a)
 1 1  3   1  24
14 + 7 −  − 35  . − 1 3 

 


Bài 3 . Thực hiện phép tính:

b)

−

1
1
1
1
1
1
−
− −
−
−
10 40 88 154 238 340

1
1
1
1

1
1 1 1 1
− − − − − − − −
90 72 56 42 30 20 12 6 2

Bài 4 . Thực hiện phép tính:
3 3 

0,375 − 0,3 + +
 1,5 + 1 − 0,75
 1890
11
12

:
A
=
+
+ 115
a)
 2,5 + 5 − 1,25 − 0,625 + 0,5 − 5 − 5  2005


3
11 12 

3 1
1
1 + 0,6 −
+ 0,25 − + 0,125

7−3
5
b)
8 8 8
7 7
7
+ −
+ − 0,7 +
3 5 7
6 8
16
Bài 5 Thực hiện phép tính:
3
2 4
−1, 2 : (1 .1, 25) (1, 08 − ) :
5
25 7 + 0, 6.0,5 : 2
+
M=
1
5 9 36
5
0, 64 −
(5 − ).
25
9 4 17
Bài 6. Thực hiện phép tính:

1

Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
3 3
+
11
12 + 1,5 + 1 − 0, 75
a) A =
5 5
5
−0, 625 + 0,5 − −
2,5 + − 1, 25
11 12
3
8 1
1
1
1
1 1 1 1
b) − − − − − − − −
9 72 56 42 30 20 12 6 2
0,375 − 0,3 +

Bài 7: Tính

Bài 8 Tính

1
2
2 3
 1

 
18 6 − (0, 06 : 7 2 + 3 5 .0,38)  : 19 − 2 3 .4 4 ÷
1
1
1
+
−
2003 2004 2005
P=
5
5
5
+
−
2003 2004 2005

−

2
2
2
+
−
2002 2003 2004
3
3
3
+
−
2002 2003 2004

Bài 9: Tính :
1 1 1   1
 1

A =  − 1. − 1. − 1...
− 1.
− 1
 2   3   4   2004   2005 
1
1
2
2
− 0,25 +
0,16 − +
9
25
121 − 3
B=
1
7
49
1 − 0,875 + 0,49
1,4 −
+
6
11
81

 1

2 3 2
4
+
 −
÷. (− )
14 7
35  15
C=
Bài 10. Thực hiện phép tính:
1 3 2
2 5
−
 +
÷.
5  7
 10 25
3 3   11 11


A =  0,75 − 0,6 + +  :  + + 2,75 − 2,2 
7 13   7 13


 10 1,21 22 0,25   5
225 
:

+
+
B = 




7
3
9
49

 

1 1
1
−
+
Bài 11 : Tính : A = 6 39 51
1 1
1
−
+
8 52 68
Dạng 2: Tính nhanh:
Bài 1 Tính nhanh:
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6)
2 3 7 9
A=
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
Bài 2: Tính nhanh:

2

Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
1 1 1 1
(1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 6.68) : + + + ;
3 4 5 6
Bi 3: Tớnh nhanh:
1 1 1
a) (1 + 2 + 3 + ... + 90)(12.6 36.2) : + +
10 11 12
Dng 3: Tỡm x bit:
Bi 10: Tỡm x bit:
1
= 1 ;
4
15
3 6
1
c) x + = x
12
7 5
2
a) x +

5
3
x x 10 = 12
3
8
a

b
c
+
+
d) x =
b+c c+a a+b
b)

Dng 4: Dóy s vit theo quy lut:
1:Dãy số cách đều:
*TQ: Cho Tổng : S = a1 + a2 + a3 + .. . + an
Trong đó: số hạng đầu là: a1 ;số hạng cuốilà: an ; khoảng cách là: k
Sốsố hạng đợc tính bằng cách: số số hạng = ( sốhạng cuối số hạng đầu) :khoảng cách + 1
Sốsố hạng m = ( an a1 ) : k + 1
Tổng S đợc tính bằng cách:Tổng S = ( số hạng cuối+ số hạng đầu ).Sốsố hạng : 2
S = ( an + a1) . m : 2
Bài 1:Tính tổng sau:
a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100
S s hng ca dóy l: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050
b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100
s s hng l: (100-2):2+1 = 50
B=(100 +2).49 :2 = 551 .50 = 2550
c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301
d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.
Bài 2: (VN)Tính các tổng:
a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

d) D =8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.
3


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa

Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .
a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.
Gii:
lu ý: s cui = (s s hng-1) . khong cỏch + s u
a. vy s th 100 = (100-1) .3 + 5 = 297+ 5 = 302
b. S= (302 + 5) .100:2 = 15350
Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .
a)Tìm số hạng th 50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
HS t gii
Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và
12 < x < 91
A= {13;14;15;16;....;90}
S s hng l: 90 -13 +1 =78
A = (90+ 13)78 : 2 =4017
Bài 6:
a) Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Hớng dẫn
- áp dụng theo cách tích tổng của Gauss
- Nhận xét: Tổng trên có 1999 số hạng

Do đó
S = 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999 = (1 + 1999). 1999: 2 = 2000.1999: 2 = 1999000
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số.
b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
Hớng dẫn:
a/ S1 = 100 + 101 + .. . + 998 + 999

4


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa

Tổng trên có (999 100) + 1 = 900 số hạng. Do đó
S1= (100+999).900: 2 = 494550
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Tổng trên có (999 101): 2 + 1 = 450 số hạng. Do đó
S2 = (101 + 999). 450 : 2 = 247500
Bài 9:Tính tổng
a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296
b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. ., 283 ( ĐS:
a/ 14751
b/ 10150 )
Cách giải tơng tự nh trên. Cần xác định số các số hạng trong dãy sô trên, đó là những dãy số
cách đều.
Bi 10: Bit: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bi 11: Tớnh giỏ tr ca biu thc:
1 1
1

1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A =
.
1
1
1
1
1
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
+ + +L + +
99 100 .
b) B = 2 3 4
99 98 97
1
+ + +L +
1
2
3
99

Bi 12: Thc hin phộp tớnh :
(

1
1
1
1 1 3 5 7 ... 49
+
+
+ ... +
)
4.9 9.14 14.19
44.49
89

Bi 13: Thc hin phộp tớnh :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
a) A =
.
1.2 2.3 3.4
99.100
1
1
1

1
b) B= 1+ (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... + (1 + 2 + 3 + ... + 20)
2
3
4
20
Bi 14 Tớnh

B = 512

512 512 512
512
2 3 ... 10
2
2
2
2

Bi 15: Thc hin phộp tớnh :
b) Cho B =

B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100

1 1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + 4 + ... + 2004 + 2005
3 3 3 3
3
3

5


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
1
.
2
1 2 3 4
100
Bài 16: Chứng minh rằng: + 2 + 3 + 4 + ... + 100 < 1
3 3 3 3
3
Chứng minh rằng B <

Bài 17:
1
1
1
+
+ ............................... +
1.2.3.4 2.3.4.5
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
b) Chứng minh rằng
1 1 1
1
1
1
1
1

1 − + − + ......... +
−
=
+
+ ............ +
2 3 4
199 200 101 102
200
a) Tính

Bài 8: Thực hiện phép tính :
1
1
1
+
+ .... +
1) A =
.
3.5 5.7
97.99
Bài 9: Thực hiện phép tính :

1 1
1
1
1
2) B = − + 2 − 3 + ..... + 50 − 51
3 3
3
3

3

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
96.101

Bài 10: Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 320 ; B = 321 : 2
Tính B − A
Bài 11: Tính các tổng sau:
a ) A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 2007
b) B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 n
c) C = 1 + 22 + 24 + ... + 22008
d ) D = 1 + 22 + 24 + ... + 22 n
e) E = 2 + 23 + 25 + ... + 22007
f ) F = 2 + 23 + 25 + ... + 22 n +1
Bài 12: Tổng quát của bài 12
Tính : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )
c) S 2 = a + a 3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * )
Bài 13: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A <

B
.
3

Bài 14: Tính nhanh:
1 1 1 1
1 1
a) A = + 2 + 3 + 4 + L + 7 + 8 .
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B = + 2 + 3 + 4 + L + 2007 + 2008 .
3 3 3 3
3
3

6


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
1 1 1 1
1
1
∗
c) C = + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + n ; n ∈ N .
3 3 3 3
3
3
Bài 15: (Bài toán tổng quát của bài 15
1 1 1 1
1

1
∗
Tính nhanh: S = + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ; a ≠ 0) .
a a a a
a
a
Dạng 5: So sánh hai số hữu tỉ
1 1  1
  1

− 1 .
Bài 1: Cho A=  − 1. − 1. − 1......
 4   9   16   400 
So sánh A với

−1
.
2

Bài 6: So sánh : a, A = 3 2008 − 3 2007 + 3 2006 − 3 2005 + ......... + 3 2 − 3 + 1 với
b, B =

1
4

1 1
1
1
1
+

+
+ ............. +
với
2
3
2009
3 3
2
3
3

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
Dạng 1: Thực hiện phép tính:
Bài 1: Thực hiện phép tính :
a. (a - b) (a + b)
b. 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12
c. (202 + 182 + 162 + ... + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + ... + 32 + 12)
Bài 2: Tính
3
32
33
3 2000
A= ( - 81)(
- 81)(
- 81). . .(
- 81)
4
5
6
2003

Bài 3 Tính:

5.230.318 − 22.320.227
5.29.619 − 7.229.27 6

Bài 4.Tính:
1
a.  
2

15

Bài 5. Rút gọn: A =

1
. 
4 

20

25

1  1 
b.   :  
9 3 

30

4 5.9 4 − 2.6 9
210.38 + 6 8.20

Bài 6 Thực hiện phép tính
46.95 + 69.120
a)
−84.312 − 611

5.415.9 9 − 4.3 20.8 9
b)
5.2 9.619 − 7.2 29.27 6

c)

4 5.9 4 − 2.6 9
210.38 + 6 8.20

7


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
Bài 7: Thực hiện phép tính : : a. (-2)3 + 22 + (-1)20 + (-2)0
b. (32)2 - (-52)2 + [(-2)3]2
1
c. 24 + 8 [(-2)2 : ]0 - 2-2. 4 + (-2)23
2
Bài 8: Tính:
  −1  3
 −1    −1 
1, 6.  ÷ − 3.  ÷+ 1 −  − 1÷
 3    3


  3 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
Bài 9 Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

Dạng 2: So sánh :
Bài 1. So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 và B = 2101

Bài 2 So sánh
a) 5300 và 3500

( )

d) 175

2

b) 230 và 320

(

e) 984

và 1710

Bài 3 So sánh
a) 260 và 420
d) 85 và 3.47
g) 1010 và 48.505
Bài 4: So sánh
a) 334 và 520
d) 5300 và 3500

)

c) 260 và 340
3

và 9815

b) 545 và 2515
e) 333444 và 444333
h) 3484 và 4363
b) 715 và 17 20
e*) 230 + 330 + 430 và 3.410

c) 648 và 1612
f) 199010 + 19909 và 199110
i) 920 và 2713
c) 2300 và 3200

Bài 5: So sánh : 230 + 330 + 430 và 3.2410
Bài 6: So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 và B = 2101
Bài 7: So sánh hợp lý:
1
a)  
 16 

200

1000

1
và  
2

b) (-32)27 và (-18)39

Bài 8: So sánh: 5255 và 2579
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1:
n −1
a) Cho S n = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + (−1) . n víi n =1, 2, 3,...

Tính S35 + S60 = ?
8


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
b)

Tính giá trị của biểu thức : 6x2 + 5x - 2 tại x thoả mãn

x-2

=1

Bài 2 Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + .... − 2006 x 2 + 2006 x − 1
x 3 − 3 x 2 + 0, 25 xy 2 − 4
x2 + y
1
Tính giá trị của A biết x = ; y là số nguyên âm lớn nhất.
2
Dạng 4: Tìm x biết
Bài 3 Cho: A =

Bài 2: : Tìm x biết

2
a) ( 2 x − 3) = 16

b) ( 3 x − 2 ) = −243

c) ( 7 x + 2 )

5

d) ( 2 x − 1) = −8

f) ( x − 1)

3

x+2

= ( x − 1)

x+4

g*) ( 2 x − 5 )

−1
200

= 3−2
+ ( 3 y + 4)

200

≤0

e) 5 x+ 2 = 625
Bài 3 : Tìm x biết:
a. x2 + 2x = 0

b. (x - 3) + 2x2 - 6x = 0

Bài 4: Tìm n biết : a.

Bài 5: Tìm x biết:

1
. 27n = 3n
9
b.32. 3-5. 3n = 311
c. 2-1. 2n + 2. 2n = 5. 25

( x − 7)

x +1

Bài 6: Tìm x biết:
a. (x - 2)2 = 1
Bài 7: Tìm x, bieát:

c. (x2 + 1) (x + 2000) = 0

− ( x − 7)

x +11

=0

b. (2x - 1)3 = -8 ;

c. (x - 1)x + 1 = (x - 1)x + 4 .

37 − x 3
=
x + 13 7

Bài 8: Tìm x biết:
5

4

a) (2x-1) = 16

4

b) (2x+1) = (2x+1)

6

1 1

 1
c)  x −   −  =  − 

8 8

 8

7

Bài 9: Tìm x biết:
a.

x−

1 4
2
x +1
x +11
+ = ( −3, 2 ) +
; b. ( x − 7 )
− ( x − 7)
=0
3 5
5

Bài 10: T×m x,y ∈ Z, biÕt r»ng
a. 5.3x = 8.39 + 7.273

9


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa

b.

2
2
2
2
2009
+
+
+ ........ +
=
2.3 3.4 4.5
x(x + 1 )
2011

Dạng 5: Các bài tốn sử dụng dấu hiệu chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) 82004 + 82005 chia hết cho 9.
b) 87 − 218 chia hết cho 14.
Bài 2
a)Tìm chữ số tận cùng của số A = 3n + 2 − 2n + 2 + 3n − 2n (với n ∈ N)
b) Chứng minh rằng: 7 6 + 7 5 − 49 2 , chia hết cho 55
Bài 3: Chứng minh rằng:
a. 76 + 75 - 74 chia hếtt cho 11
b. 109 + 108 + 107 chia hết cho 222
c. 817 - 279 - 913 chia hết cho 45
d. 2454 . 5424. 210 chia hết cho 7263
Bài 4: Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 5: Chứng minh rằng

a)222333+333222 chia hết cho 13
b)7.52n+12.6nchia hết cho 19
c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với mọi n thuộc số nguyên dương
Bài 6: Chứng minh rằng :
a. 3n + 2 - 2n + 2 + 3n - 2n chia hết cho 10
b. 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 chia hết cho 6
Bài 7: Tìm số ngun dương n biết
a. 64 < 2n < 256
c. 9. 27 ≤ 3n ≤ 243
Bài 8: Tìm số ngun dương a sao cho :
a. 2a2 + 4a + 5 chia hết cho a +2
b. 4a3 + 14a2 + 6a +12 chia hết cho 2a + 1

b. 32 ≥ 2n > 1
d.9 < 3n < 27

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
D¹ng 1. T×m sè h¹ng cha biÕt
1.T×m mét sè h¹ng cha biÕt
a) Ph¬ng ph¸p: ¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n tØ lƯ thøc
a c
b.c
a.d
a.d
NÕu = ⇒ a.d = b.c ⇒ a =
;b =
;c =
b d
d
c

b
Mn t×m ngo¹i tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cđa 2 trung tØ chia cho ngo¹i tØ ®· biÕt, mn t×m trung
tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cđa hai ngo¹i tØ chia cho trung tØ ®· biÕt.
b) Bµi tËp:
10


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau
3 2
1 2
1 2
a) x ữ: = 1 :
b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
4 5
5 3
3 3
Bài tập 2: Tìm x biết
x
60
x 1 60
x 1
9
a)
b)
;
c)
=
=
=

15
x
15 x 1
7
x +1
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x3 5
=
5 x 7
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)
Cách giải:
x y z
- Cách 1: đặt a = b = c = k
thay vào (2)
x = k .a; y = k .b; z = k .c
Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
k ( a + b + c) = d k =
a+b+c
a.d
bd
cd
Từ đó tìm đợc x =
;y=

;z =
a+b+c
a+b+c
a+b+c
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=
a b c a+b+c a+b+c
a.d
b.d
c.d
x=
;y=
;z =
a+b+c
a+b+c
a+b+c
b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e
* k1 x 2 + k 2 y 2 + k3 z 2 = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
x
y y
z
- a = a ;a = a
1

2
3
4
- a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
- b1 x = b2 y = b3 z
b x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
- 1
=
=
a
b
c

11


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
x b1 y2 b2 z3 b3
=
=
a1
a2
a3
+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
x y z
Bài 1: tìm 3 số x, y, z biết = = và x +y + z = 27
2 3 4
x y z
Bài 2: Tìm 3 số x,y,z biết = = và 2x + 3y 5z = -21

2 3 4
x y z
Bài 3: Tìm 3 số x, y, z biết = = và 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405
2 3 4
x y z
Bài 4: Tìm 3 số x, y, z biết = = và x.y.z = 648
2 3 4
x y
z
Bài 5. Tìm x,y, z biết = ; x = và x +y +z = 27
6 9
2
Bài 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Bài 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
6 x 3z 4 y 6 x 3 z 4 y
Bài 8: Tìm x, y, z biết
và 2x +3y -5z = -21
=
=
5
7
9
Bài 9: Tìm x,y,z biết
x 4 y 6 z 8
và x +y +z =27
=
=
2
3
4

-

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1)Các phơng pháp :

a c
= Ta có các phơng pháp sau :
b d
Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
a c
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc một tỷ lệ
b d
thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ
thức phải chứng minh theo k.
Để Chứng minh tỷ lệ thức :

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế
trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã
cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
Mt s kin thc cn chỳ ý:
+)

a na
=
b nb

(n 0)
n

a c
a
c
+) = =
b d
b
d

n

Sau õy l mt s vớ d minh ha: ( gi thit cỏc t s u cú ngha)
Vớ d 1: Cho t l thc

a c
=
b d

.Chng minh rng:

a+b c+d
=
ab cd
12


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd

(1)

(a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd

(2)

Từ giả thiết:

a c
= ⇒ ad = bc
b d

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )
⇒

a+b c+d
=
a−b c−d

(đpcm)

Cách 2: (PP2)
Đặt

a c
= = k , suy ra a = bk , c = dk
b d

Ta có:

a + b kb + b b( k + 1) k + 1
=
=
=
a − b kb − b b(k − 1) k − 1

(1)

c + d kd + d d (k + 1) k + 1
=
=
=
c − d kd − d d (k − 1) k − 1

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

a+b c+d
=
a−b c−d

(đpcm)

Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết:

a c
a b
= ⇒ =
b d
c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a+b a−b
= =
=
c d c+d c−d
⇒

a+b c+d
=
a−b c−d

(đpcm)

13


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức

a c
=
b d

. Chứng minh rằng:

ab a 2 − b 2
=
cd c 2 − d 2

Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:

Ta có:

(

a c
= ⇒ ad = bc
b d

(1)

)

ab c 2 − d 2 = abc 2 − abd 2 = acbc − adbd

(

)

(2)

cd a 2 − b 2 = a 2 cd − b 2 cd = acad − bc.bd

(

⇒

Cách 2: Đặt

)

(

ab c 2 − d 2 = cd a 2 − b 2

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(3)

)

ab a 2 − b 2
=
cd c 2 − d 2

(đpcm)

a c
= = k , suy ra a = bk , c = dk
b d

ab bk .b kb 2 b 2

Ta có:
=
=
=
cd dk .d kd 2 d 2

(1)

(
(

)
)

a 2 − b 2 (bk ) 2 − b 2
b2k 2 − b2
b2 k 2 −1
b2
=
=
=
=
c 2 − d 2 (dk ) 2 − d 2 d 2 k 2 − d 2 d 2 k 2 − 1 d 2

Từ (1) và (2) suy ra:

Cách 3: Từ giả thiết:

ab a 2 − b 2
=

cd c 2 − d 2

(2)

(đpcm)

a c
a b
ab a 2 b 2 a 2 − b 2
= ⇒ = ⇒
=
=
=
b d
c d
cb c 2 d 2 c 2 − d 2
⇒

ab a 2 − b 2
=
cd c 2 − d 2

(đpcm)

2) Bµi tËp:

14


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa

Bài 1 cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
Giải:
Cách 1: Xét tích
Từ

a c
a b c d
.
= hãy suy ra tỷ lệ thức:
=
b d
a
c

( a b ) c = ac bc(1)
a ( c d ) = ac ad (2)

a c
= ad = bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:

a b c d
=
a
c

a c
= = k a = bk , c = dk
b d

a b bk b b ( k 1) k 1
=
=
=
(1), (b 0)
a
bk
bk
k
c d dk d d ( k 1) k 1
=
=
=
(2), (d 0)
c
dk
dk
k

a b c d
=
a
c
a c
b d
- Cách 3: từ = =

b d
a c
a b a b
b
d cd
Ta có: a = a a = 1 a = 1 c = c
Từ (1) và (2) suy ra:

a b c d
=
a
c
- Cách 4:
Từ
a c
a b a b
= = =
b d
c d cd
Do đó:

a a b
a b c d
=

=
c cd
a
c
- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
= = 1 = 1
b d
a c
a
c
ab cd

=
a
c


Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức

a c
= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
b d

ab cd a +b c+d
=
;
=
b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

15


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
Bài 2: chứng minh rằng nếu a 2 = bc thì
2
2
a) a + b = c + a ; b) a2 + c 2 = c , (b 0)
a b c a
b +a
b
(với a b, a c)
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
a c
- Cách 2: từ a 2 = bc =
b a
a c
Đặt = = k a = bk , c = ak
b a
Ta có:
a + b bk + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
, ( b 0 ) (1)
a b bk b b ( k 1) k 1
c + a ak + a a ( k + 1) k + 1
=

=
=
( a 0 ) , (2)
c a ak a a ( k 1) k 1
Từ (1) và (2) suy ra:

a+b c+a
=
a b c a

- Cách 3: Ta có
a + b a ( a + b ) a 2 + ab bc + ab
=
= 2
=
do, a 2 = bc )
(
a b a ( a b ) a ab bc ab
b ( c + a) c + a
=
=
( a, b 0 )
b ( c a) c a
a+b c+a
=
a b c b
a+b c+a
Ngợc lại từ
ta cũng suy ra đợc a2 = bc
=

a b c b
a+b c+a
Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c
=
a b c b
có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
a c
a b a +b a b
= = = =
=
b a
c a c+a ca
Do đó:



a+b c+a
=
ab ca

b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
a2 + c2 c
2
2
2
2

=
Do đó (a + c )b = ( b + a )c
b2 + a 2 b

16


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
- Cách 2: Từ a2 = bc

a c
=
b a

a c
= = k suy ra a = bk, c = ak = bk2
b a
Ta có
Đặt

2 2
2
a 2 + c 2 b2k 2 + b2k 4 b k ( 1 + k )
=
=
= k 2 , ( b 0)
2
2
2

2 2
2
2
b +a
b +b k
b (1+ k )

c k 2b
=
= k2
b
b
a2 + c2 c
=
Do đó: 2
b + a2 b
2
2
2
2
a c a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc =
b2 a 2 b2 + a2
b a

2

2
Từ a = c a2 = a ìc = c (2), (a 0)
b a

b
b a b
a2 + c2 c
=
Từ (1) và (2) suy ra: 2
b + a2 b

a 2 + c 2 bc + c 2 c ( b + c ) c
- Cách 4: Ta có b 2 + a 2 = b 2 + bc = b ( b + c ) = b , ( b + c 0 )
a2 + c2 c
=
Do đó: 2
b + a2 b
Bài 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4
Giải: Từ
a a
a2 2 = a1a3 1 = 2 (1)
a2 a3
a
a
3
a3 = a2 a4 2 = 3 (2)
a3 a4
a1 a2 a3
a13 a2 3 a33 a1 a2 a3 a1
=
=

=
=
= ì ì = (3)
Từ (1) và (2) suy ra a
a3 a4
a23 a33 a 3 4 a2 a3 a4 a4
2
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33
=
=
=
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
17


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
a 31 + a 32 + a 33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a 3 + a 3 + a 3 = a
2
3
4
4
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3
a a
a
a +a +a

a
Cho 1 = 2 = 4 chứng minh rằng 1 2 3 ữ = 1
a2 a3 a4
a2 + a3 + a4 a4
bz cy cx az ay bx
Bài 4: Biết
=
=
a
b
c
x y z
Chứng minh rằng = =
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
Giải: Ta có
=
=
=
=
=
a
b
c
a2
b2
c2
abz acy + bcx bay + cay cbx
=
=0

a 2 + b2 + c2
abz acy
y z

= 0 abz = acy bz = cy = (1)
2
a
b c
bcx baz
z x
= 0 bcx = baz cx = az = (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: = =
a b c
x
y
z
Bài 5:Cho
.Chứng minh rằng
=
=
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c
a
b
c
=
=

(với abc 0 và các mẫu đều khác 0)
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z
Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y
z
2y
x + 2y + z
x + 2y + z
=
=
=
=
=
(1)
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 2b 2c a + 2b + c + 4a 4b + c + 4a + 2b 2c
9a
x
y
z
2x
2x + y b
2x + y z
=
=
=
=
=
(2)

a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 2a + 4b + c 2a + 4b c + 2a + b c (4a 4b + c)
9b
x
y
z
4x
4y
=
=
=
=
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 8b + 4c 8a + 4b 4c
4x + 4 y + z
4x 4 y + z
=
=
(3)
4a + 8b + 4c (8a + 4b 4c) + 4a 4b + c
9c
x + 2 y + z 2x + y z 4x 4 y + b
Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
=
=
9a
9b
9c
a
b
c

=
=
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z
BI TP VN DNG:

18


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa

Bài 1: Cho tỉ lệ thức:

a c
=
. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều
b d
có nghĩa).
2

3a + 5b 3c + 5d
=
1)
3a − 5b 3c − 5d

a2 + b2
a+b
2) 
 = 2
c +d2
c+d 

ab ( a − b )
=
4)
cd ( c − d ) 2
2

a−b c−d
=
3)
a+b c+d

5)

2a + 5b 2c + 5d
=
3a − 4b 3c − 4d

6)

2005a − 2006b 2005c − 2006d
=
2006c + 2007 d 2006a + 2007b

7)

a
c
=
a+b c+d

8)

7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
=
7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd

Bài 2: Cho

a b c
= = . Chứng minh rằng:
b c d

Bài 3: Cho

a
b
c
=
=
2003 2004 2005

3

a
 a+b+c

 =
d
b+c+d 

Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a ) 2
Bài 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
CMR: Ta có đẳng thức:

Bài 5: Cho

a
a
a1
a
= 2 = 3 = ... = 2008
a2
a3
a4
a 2009
a1
a 2009

2008

 a + a 2 + a 3 +... + a 2008 
= 1
÷
 a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009 

a
a
a1 a 2
=
= ............... = 8 = 9

a 2 a3
a 9 a1

và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0

Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a 9

19


Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa

Bài 6: Chứng minh rằng nếu :

a b
a2 + b2 a
=
thì 2
=
b d
b +d2 d

Bài 7: CMR: Nếu a 2 = bc thì

a+b c+a
=
a−b c−a

Bài 8: Cho

a+b c+d
=
a −b c−d

Bài 9. Cho tỉ lệ thức :
Giải. Ta có :
⇒

a 2 +b 2
c 2 +d 2

.

CMR:

. Đảo lại có đúng không?

a c
=
b d

a
c
a 2 +b 2
ab
= .
=
. Chứng minh rằng:
2
2

b
d
c +d
cd
2
2
2
2ab a + 2ab + b
( a + b ) = ab ⇒ ( a + b )( a + b ) = a.b
ab
= 2
=
=
=
;
2
2cd c + 2cd + d
( c + d ) 2 cd ( c + d )( c + d ) c.d
cd

c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd
a c
=
=
=
=
= 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ =
a( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd
b d

Bài 10: Chứng minh rằng nếu:

u +2 v+3
=
u −2 v−3

thì

u v
=
2 3

Bài 11: CMR nếu a ( y + z ) = b( z + x) = c( x + y )

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

y−z
z−x
x− y
=
=
a (b − c) b(c − a ) c(a − b)

Bài 12. Chứng minh đẳng thức

a
b
c
b+c a+c a+b
=

=
+
+
Tính P =
b+c a +c a+b
a
b
c
x y z
bz − cy cx − az ay − bx
= = chứng minh
=
=
b) a,b,c,x,y,z thoả mãn
a b c
a
b
c
bz − cy cx − az ay − bx
x y z
=
=
c) a,b,c,x,y,z thoả mãn
chứng minh = =
a
b
c
a b c
a c
a a+c

= ( b; d ≠ 0 ) thi =
d) CMR từ
b d
b b+d
1 + 2a 7 − 3a
3b
=
=
e) Tìm a;b biết
15
20
23 + 7 a
a+b c+d
a c
=
⇒ =
f) Từ
a −b c −d
b d
a) a,b,c khác nhau thoả mãn :

Bài 13: Cho

a c
= . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0
b d

20

Giáo viên: Vũ văn Thích-------------------------------Trường THCS Hải Hòa
xa + yb xc + yd
=
za + tb
zc + td

Chứng minh rằng:

Bài 14: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac

; c 2 = bd

và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0
Chứng minh rằng:

Bài 15: Cho P =

a3 + b3 + c3 a
=
b3 + c3 + d 3 d

a
b
c
ax 2 + bx + c
= =
. Chứng minh rằng nếu
thì giá trị của P không phụ
2
a1 b1 c1

a1 x + b1 x + c1

thuộc vào x.
Bài 16: Cho biết :

a b'
b c'
+
=
1;
+ = 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
'
'
a b
b c

Bài 17: Cho tỉ lệ thức:

2a +13b 2c +13d
=
;
3a −7b
3c −7d

Bài 18: Cho dãy tỉ số :

x
y
z
bz −cy cx −az ay −bx

=
=
= = .
; CMR:
a
b
c
a
b
c

Bài 19 Chứng minh rằng nếu:

Chứng minh rằng:

a
c
= .
b
d

u +2 v+3
u v
=
=
thì
u −2 v−3
3 2

Bài 20 Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương ta có:

A= 5 n (5 n + 1) − 6 n (3 n + 2)  91
Bài 21:
a) Chứng minh rằng:
x
y
z
=
=
Nếu
a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c
a
b
c
=
=
Thì
x + 2 y + z 2x + y − z 4x − 4 y + z
b) Chứng minh rằng:
3
5
7
19
+ 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 < 1
2 2
1 .2
2 .3 3 .4
9 .10
Bài 22
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b2 = ac ; c2 = bd.

21


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
a3 + b3 + c3 a
Chng minh rng:
=
b3 + c 3 + d 3 d
ab
bc
ca
=
=
b) Cho a, b, c khỏc 0 tho món:
a+b b+c c+a
ab + bc + ca
Tớnh giỏ tr ca biu thc: M = 2
a + b2 + c 2
Bi 23
a) Tỡm x, y bit rng 10x = 6y v 2 x 2 y 2 = 28
a c
2004a 2005b 2004c 2005d
=
b) Cho bit = . Chng minh:
b d
2004a + 2005b 2004c + 2005d
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
a b c
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có = =
2 4 5
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11
Suy ra
a
=2
a =4
2
b
=2
b =4
4
c
=2
c =10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi
đó ta có đợc
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ lệ với các số
2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119
cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)

22


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b c 119
= = =
=
= =
=
=7
2 4 5 6 16 5
6 + 16 5
17

a

= 7 a = 21
3
b
= 7 b = 28
4
c
= 7 c = 35
5
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là

2
3

4
.Tìm ba số đó.
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
a 2 a 4
Theo bài ra ta có
= ; = và a 3 + b3 + c3 = 1009
b 3 c 9
Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi

1
1

số thóc ở kho I, số thóc ở kho
5
6

1
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu
11
tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
1
4
Số thóc của kho I sau khi chuyển là a a = a
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b b = b
6
6
1
10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c c = c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710
5

6
11
4
5
10
4
5
10
từ a = b = c
a=
b=
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a +b+c
710

=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 . Tính số học
sinh của mỗi khối .

II và

23


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
a b b c
Theo bài rat a có = ; =
1 3 4 5
Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tơng tự
x y x. y
x y z x. y.z
H/s áp dụng = =

hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c
x y
Bài 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng = và x.y=10
2 5
x y x. y 10
H/s sai lầm nh sau : = =
=
= 1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10
Bài làm đúng nh sau:
2
Từ x = y x.x = x. y x = 10 x 2 = 4 x = 2 từ đó suy ra y = 5
2 5
2
5
2
5
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
2
2
hoặc từ x = y x x . y x = 10 = 1 x 2 = 4 x 2 = 2
2 5
4 2 5
4 10
x y
hoặc đặt = = x x = 2 x, y = 5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10 x 2 = 1 x = 1
2 5
Bài 2: Tìm các số x,y,z biết rằng

x y z
= = và x.y.z= 648
2 3 4
H/s sai lầm nh sau
x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24
Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
Bài 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là

a
b
c
.
=
=
b+c c+a a +b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
a
b
c
Cách 1:Ta có
=
=
b+c c+a a +b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b
c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)
1
h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
ta phải làm nh sau
2

24


Giỏo viờn: V vn Thớch-------------------------------Trng THCS Hi Hũa
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
a
b
c
nên mỗi tỉ số
đều bằng -1
;
;
b+c c+a a+b
a

b
c
a +b+c
1
=
=
=
=
+ Nếu a+b+c 0 khi đó
b + c c + a a + b 2( a + b + c) 2
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
x+ y y + z z +t t + x
+
+
+
Bài tập 4: Cho biểu thức P =
z +t t + x x+ y z + y
x
y
z
t
=
=
=
(1)
Tính giá trị của P biết rằng
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x

y
z
t
x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x
y
z
t
+1 =
+1 =
+1 =
+1
Cách 2:Từ (1) suy ra
x+ z+t
z +t + x
t+x+ y
x+ y+z


x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y+ z+t
z+t + x

x+ y +t
x+ y+z

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
a +b c b+c a c + a b
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
=
=
c
a
b
b a c
.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ữ 1 + ữ1 + ữ
a c b
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a

Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =
+
+
+
c+d d +a a+b b+c
Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhng khác 0) thì các số
hạng dới bằng nhau và ngợc lại , nếu các số hạng dới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải bài toán Tìm
x.ybiết:
2x + 1 3 y 2 2x + 3 y 1
Nh sau:
=
=
5
7
6x
2x + 1 3 y 2 2x + 3 y 1
Ta có:
(1)
=
=
5
7
6x
2x + 1 3y 2 2x + 3 y 1
Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
=
=
5

7
12

25