Giáo án dạy thêm kì II toán 7

D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
Trường THCS ...........

N¨m häc:2011-2012
Kế hoạch dạy thêm
Môn toán lớp 7
Học kỳ II năm học 2011 – 2012

Số
Ngày dạy
Tên bài dạy
tiết
3
Ôn về các trường hợp bằng nhau
củaTam giác
3
Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ
nghịch, tỉ lệ thuận.

STT

Buổi

1

1

2

2

3

3

3

4

4

3

5

5

3

6

6

3

7

7

3

Quan hệ góc và cạnh đối diện trong một
tam giác.
Ôn về biểu thức đại số

8
9

8
9

3
3

Ôn về các đường đồng quy của tam giác
Ôn về cộng trừ đa thức một biến

10

10

3

11

11

3

Ôn về các đường đồng quy của tam giác (
tiếp )

Ôn về đa thức, nhiệm của một đa thức

12

12

3

13

13

3

14

14

3

15

15

3

Điều
chỉnh

Ôn về các trường hợp bằng nhau

củaTam giác ( tiếp )
Ôn định lý Pitago - trường hợp bằng
nhau của hai tam giác vuông
Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác.
Các đường đồng quy trong tam giác

Ôn về các đường đồng quy của tam giác (
tiếp )
Ôn tập chương : Biểu thức đại số
Ôn tập chương 3 hình học “Quan hệ giữa
các yếu tố của tam giác. Các đường đồng
quy của tam giác ”
Ôn tập học kỳ II
Vân Đồn, ngày 15 tháng 12 năm 2011
Giáo viên dạy

1


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Ngày soạn: 20/01/2012
Ngày dạy:
Buổi 1. ÔN VỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU:
- Ôn luyện trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác. Trường hợp cạnh cạnh - cạnh và cạnh- góc – cạnh
- Vẽ và chứng minh 2 tam giác bằng nhau , suy ra cạnh hoặc góc bằng nhau
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận, trình bày

II. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :
7B :
2. Bài mới ( 114’ )
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY VÀ TRÒ

GHI BẢNG

? Nêu các bước vẽ một tam giác khi
biết ba cạnh?
? Phát biểu trường hợp bằng nhau
cạnh - cạnh - cạnh của hai tam giác?

I. Kiến thức cơ bản:
1. Vẽ một tam giác biết ba cạnh:
2. Trường hợp bằng nhau c - c - c:
3. Vẽ một tam giác biết hai cạnh và góc
xen giữa:
4. Trường hợp bằng nhau c - g - c:
5. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của
tam giác vuông:

GV đưa ra hình vẽ bài tập 1.

II. Bài tập:
1.Bài tập 1: Cho hình vẽ sau. Chứng minh:
B
? Để chứng minh ∆ ABD = ∆ CDB ta a, ∆ ABD = ∆ CDB A
·

·
làm như thế nào?
b, ADB
= DBC
HS lên bảng trình bày.
Giải
C
D
a, Xét ∆ ABD và ∆ CDB có:
AB = CD (gt)
AD = BC (gt)
DB chung
⇒ ∆ ABD = ∆ CDB (c.c.c)
b, Ta có: ∆ ABD = ∆ CDB (chứng minh
trên)
·
·
⇒ ADB
= DBC
(hai góc tương ứng)
HS nghiên cứu bài tập 22/ sgk.

2.Bài tập 22/ SGK - 115:

HS: Lên bảng thực hiện các bước làm
2


Dạy thêm toán 7 học kỳ II

Năm học:2011-2012

theo hng dn, di lp thc hnh
B

v vo v.

x

E

? Ta thc hin cỏc bc no?
H:- V gúc xOy v tia Am.
O

C y

A

D

- V cung trũn (O; r) ct Ox ti B,
ct Oy ti C.
- V cung trũn (A; r) ct Am ti D. Xột OBC v AED cú
OB = AE = r
- V cung trũn (D; BC) ct (A; r) ti E.
OC = AD = r
? Qua cỏch v gii thớch ti sao OB = AE?
BC = ED
OC = AD? BC = ED?

OBC = AED
ã
ã
ã
ã
ã
ã
= EAD
hay EAD
= xOy
? Mun chng minh DAE
= xOy ta BOC

m

lm nh th no?
HS lờn bng chng minh OBC =
AED.
3.Bi tp 3
GV a ra bi tp 3
Cho hỡnh v sau, hóy chng minh:
a, ABD = CDB
ã
ã
b, ADB
= DBC
c, AD = BC
? Bi toỏn cho bit gỡ? yờu cu gỡ?
HS lờn bng ghi GT KL.
? ABD v CDB cú nhng yu t

no bng nhau?
? Vy chỳng bng nhau theo trng
hp no?
HS lờn bng trỡnh by.
HS t lm cỏc phn cũn li.
GV a ra bi tp 4
à <900. Trờn na mt
Cho ABC cú A
phng cha nh C cú b AB, ta k tia
AE sao cho: AE AB; AE = AB. Trờn
na mt phng khụng cha im B b
AC, k tia AD sao cho: AD AC; AD
= AC. Chng minh rng: ABC =
AED.
HS c bi toỏn, len bng ghi GT

B

A

D

C

Gii
a, Xột ABD v CDB cú:
ã
ã
AB = CD (gt); ABD
(gt); BD chung.

= CDB
ABD = CDB (c.g.c)
b, Ta cú: ABD = CDB (cm trờn)
ã
ã
ADB
(Hai gúc tng ng)
= DBC
c, Ta cú: ABD = CDB (cm trờn)
AD = BC (Hai cnh tng ng)
4.Bi tp 4

D

A

B

C

E

Gii
Ta cú: hai tia AE v AC cựng thuc mt na
mt phng b l ng thng AB v
3


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II
KL.

? Có nhận xét gì về hai tam giác này?
⇒ HS lên bảng chứng minh.
Dưới lớp làm vào vở, sau đó kiểm tra
chéo các bài của nhau.

N¨m häc:2011-2012
·
·
nên tia AC nằm giữa AB và AE.
BAC
< BAE
·
·
·
Do đó: BAC
+ CAE
= BAE
·
·
= 900 − CAE(1)
⇒ BAE
·
·
Tương tự ta có: EAD
= 900 − CAE(2)
·
·
Từ (1) và (2) ta có: BAC
= EAD
.

Xét ∆ABC và ∆AED có:
AB = AE (gt)
·
·
= EAD
(chứng minh trên)
BAC
AC = AD (gt)
⇒ ∆ABC = ∆AED (c.g.c)

5.Bài tập 35/SGK - 123:
? Vẽ hình, ghi GT và KL của bài toán.
? Để chứng minh OA = OB ta chứng
minh hai tam giác nào bằng nhau?
? Hai ∆OAH và ∆OBH có những yếu tố
nào bằng nhau? Chọn yếu tố nào? Vì
sao?

y

A

O

C
t

H
B

Chứng minh:
Một HS lên bảng chứng minh, ở dưới Xét ∆OAH và ∆OBH là hai tam giác vuông
làm bài vào vở và nhận xét.
có:
OH là cạnh chung.
·AOH = BOH
·
(Ot là tia p/g của xOy)
⇒ ∆OAH = ∆OBH (g.c.g)
⇒ OA = OB.
H: Hoạt động nhóm chứng minh CA b, Xét ∆OAC và ∆OBC có
·
·
= CB và OAC
= OBC
trong 8’, sau đó
OA = OB (c/m trên)
GV thu bài các nhóm và nhận xét.
OC chung;
·
·
= BOC
(gt).
AOC
⇒ ∆OAC = ∆OBC (c.g.c)
·
·
⇒ AC = BC và OAC
= OBC
6. Bài tập 54/SBT:

HS đọc yêu cầu của bài.
HS lên bảng thực hiện phần a.

a) Xét ∆ABE và ACD có:
AB = AC (gt)
ˆ chung
A

Phần b hoạt động nhóm.

AE = AD (gt)

⇒ ∆ABE = ∆ACD
(g.c.g)
nên BE = CD

4


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

A
D

E
O

B

C

b) ∆ABE = ∆ACD
ˆ ; Eˆ = D
ˆ1 =C
ˆ1
⇒B
1
1
Eˆ 2 + Eˆ1 = 1800

Lại có:

ˆ2 +D
ˆ 1 = 1800
D
ˆ2
nên Eˆ 2 = D
Mặt khác:

AB = AC
AD = AE

AD + BD = AB

⇒ BD = CE

AE + EC = AC
ˆ

ˆ1 =C
Trong ∆BOD và COE có B
1
ˆ 2 = Eˆ 2
BD = CE, D
⇒ ∆BOD = ∆COE (g.c.g)
3. Củng cố ( 3’ )
GV nhắc lại các kiến thức cơ bản.
4. Hướng dẫn về nhà ( 2’ )
- Xem lại các dạng bài tập đã chữa.
- Ôn lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.

5


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Ngày soạn: 25/ 01/ 2012
Ngày dạy:
Buổi 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH,
TỈ LỆ THUẬN.
A. Mục tiêu:
- Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
- Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai đại
lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Rèn kỹ năng vận dụng, suy luận, trình bày
B. Tiến trình bài dạy:

I. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :
7B :
II. Bài mới ( 118’ )
1.Bài 1:
a. Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k, x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m (k ≠ 0; m
≠ 0). Hỏi z có tỉ lệ thuận với y không? Hệ số tỉ lệ?
b. Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 và chu vi của nó là 45cm. Tính các
cạnh của tam giác đó.
Giải:
a. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
nên x =

1
k

1
y (1)
k

x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ m thì x tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
1
1
nên z = x (2)
m
m

Từ (1) và (2) suy ra: z =

1 1

1
1
y nên z tỉ lệ thuận với y, hệ số tỉ lệ là
. .y =
m k
mk
mk

b. Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c
Theo đề bài ra ta có:

a b c
= = và a + b + c = 45cm
2 3 4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
6


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

a b c a + b + c 45
= = =
=
=5
2 3 4 2+3+ 4 9
a
b

c
= 5 ⇒ a = 2.5 = 10; = 5 ⇒ b = 3.5 = 15;
⇒ c = 4.5 = 20
2
3
4=5

Vậy chiều dài của các cạnh lần lượt là 10cm, 15cm, 20cm
2. Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng nửa chiều dài. Viết công thức biểu thị
sự phụ thuộc giữa chu vi C của hình chữ nhật và chiều rộng x của nó.
Giải: Chiều dài hình chữ nhật là 2x
Chu vi hình chữ nhật là: C = (x + 2x) . 2 = 6x
Do đó trong trường hợp này chu vi hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng của
nó.
3. Bài 3: Học sinh của 3 lớp 6 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây bàng. Lớp 6A có 32
học sinh; Lớp 6B có 28 học sinh; Lớp 6C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp cần phải trồng và
chăm sóc bao nhiêu cây bàng, biết rằng số cây bàng tỉ lệ với số học sinh.
Giải:
Gọi số cây bàng phải trồng và chăm sóc của lớp 6A; 6B; 6C lần lượt là x, y, z.
Vậy x, y, z tỉ lệ thuận với 32, 28, 36 nên ta có:
x
y
z
x+ y+z
24 1
=
=
=
=
=

32 28 36 32 + 28 + 36 96 4

Do đó số cây bàng mỗi lớp phải trồng và chăm sóc là:
1
4

Lớp 6A: x = .32 = 8 (cây)
1
4

Lớp 6B: y = .28 = 7 (cây)
1
4

Lớp 6C: z = .36 = 9 (cây)
4. Bài 4: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng được 80 cây. Hỏi sau 2 giờ lớp 7A trồng được bao
nhiêu cây.
Giải:
Biết 1giờ 20 phút = 80 phút trồng được 80 cây
2 giờ = 120 phút do đó 120 phút trồng được x cây
⇒ x=

80.120
= 120
80

(cây)

Vậy sau 2 giờ lớp 7A trồng được 120 cây.
5. Bài 5: Tìm số coá ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ

theo 1 : 2 : 3.
7


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Giải:
Gọi a, b, c là các chữ số của số có 3 chữ số phải tìm. Vì mỗi chữ số a, b, c không
vượt quá 9 và 3 chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0
Nên 1 ≤ a + b + c ≤ 27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên
A + b + c = 9 hoặc 18 hoặc 27
Theo giả thiết ta có:

a b c a+b+c
= = =
1 2 3
6

Như vậy a + b + c  6
Do đó: a + b + c = 18
Suy ra: a = 3; b = 6; c = 9
Lại vì số chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn
Vậy các số phải tìm là: 396; 936
6. Bài 6:
a. Biết y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15, Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
b. Biết y tỉ lệ nghich với x, hệ số tỉ lệ là a, x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 6. Hỏi y tỉ lệ

thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
Giải:
a. y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3 nên: y = 3x (1)
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15 nên x . z = 15 ⇒ x =
Từ (1) và (2) suy ra: y =

(2)

45
. Vậy y tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 45.
z

b. y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ là a nên y =

a
x

(1)

x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là b nên x =

b
z

(2)

Từ (1) và (2) suy ra y =

15
z

a
.x
b

Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ

a
.
b

7. Bài 7:
a. Biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 5 và x . y = 1500. Tìm các số x và y.
b. Tìm hai số x và y biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2 và tổng bình phương của hai số
đó là 325.
8


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Giải:
a. Ta có: 3x = 5y

⇔

x y
1
1

1
= = k ⇒ x = k ; y = k ⇒ x. y = k 2
1 1
3
5
15
3 5

mà x. y = 1500 suy ra

1 2
k = 1500 ⇔ k 2 = 22500 ⇔ k = ±150
15
1
3

1
5

Với k = 150 thì x = .150 = 50 và y = .150 = 30
1
3

1
3

Với k = - 150 thì x = .(−150) = −50 và y = .(−150) = −30
b. 3x = 2y

⇔

x y
1
1
= = k ⇒ x = k; y = k
1 1
3
2
3 2

k 2 k 2 13k 2
+
=
x +y =
9
4
36
2

suy ra

2

mà x2 + y2 = 325

13k 2
325.36
= 325 ⇔ k 2 =
= 900 ⇔ k = ±30
36

13

Với k = 30 thì x =

1
1
1
1
k = .30 = 10; y = k = .30 = 15
3
3
2
2

Với k = - 30 thì x =

1
1
1
1
k = .(−30) = −10; y = k = .(−30) = −15
3
3
2
2

8. Bài 8: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường. Nếu mỗi chuyến xe bò chở 4,5 tạ
thì phải đi 20 chuyến, nếu mỗi chuyến chở 6 ta thì phải đi bao nhiêu chuyến? Số vật liệu
cần chở là bao nhiêu?
Giải:

Khối lượng mỗi chuyến xe bò phải chở và số chuyến là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
(nếu khối lượng vật liệu cần chuyên chở là không đổi)
Mỗi chuyến chở được
Số chuyến
4,5tạ
20
6tạ
x?
Theo tỉ số của hai đại lượng tỉ lệ nghịch có thể viết
6
20
20.4,5
=
⇒x=
= 15 (chuyến)
4,5
x
6

Vậy nếu mỗi chuyến xe chở 6 tạ thì cần phải chở 15 chuyến.
III. Hướng dẫn về nhà ( 1’ )
Ôn về ba trường hợp bằng nhau của tam giác
9


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Ngày soạn:

Ngày dạy:
BUỔI 3. ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM GIÁC
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g).
- Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Rèn kĩ năng sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ các trường hợp trên.
- Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng
nhau.
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận
B. Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức lớp ( 1’ )
7A :
7B :
II. Bài mới ( 118’ )
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500. Tia phân giác của góc K cắt EH tại D.
Tính EDK; HDK.
K
Giải:
GT: ∆EKH ; E = 600; H = 500
Tia phân giác của góc K
Cắt EH tại D
KL: EDK; HDK
E
D
H
Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700
Do KD là tia phân giác của góc K nên K1 =

1
70
= 35 0
K=
2
2

Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH
Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
10


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800
Hay EDK = 850; HDK = 950
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 50 0, gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh
A. Chứng minh Am // BC.
GT: Có tam giác ABC;
B = C = 500
A
Am là tia phân giác
của góc ngoài đỉnh A
KL: Am // BC
B
C
Chứng minh:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC

Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000
Am là tia phân giác của góc CAD nên A1 = A2 =

1
CAD = 100 : 2 = 500
2

hai đường thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A1 = C = 500
nên Am // BC
Bài 3:
3.1. Cho ∆ABC = ∆DEF ; AB = DE; C = 460. Tìm F.
3.2. Cho ∆ABC = ∆DEF ; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF
3.3. Cho ∆ABC = ∆CBD có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
a. Tìm góc ABD
b. Chứng minh rằng: BC ⊥ DC
GT: ∆ABC = ∆DEF ; AB = DE; C = 460.
A = D; BC = 15cm
∆ABC = ∆CBD ; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ?
3.3: a. ABD = ? b. BC ⊥ DC

Chứng minh:
3.1: ∆ABC = ∆DEF thì các cạnh bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau nên
11


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

C = F = 460
3.2. Tương tự BC = EF = 15cm
3.3:
a. ∆ABC = ∆CBD nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC
nên ABC = 2ABD = 800 ⇒ ABD = 400
b. ∆ABC = ∆CBD nên BAD = BCD = 900 vậy BC ⊥ DC
Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD
Chứng minh: AOB = COD.
b.
A
D

B

C

Có: AB = CD và BC = AD
Chứng minh: AB // CD và BC // AD
Giải:
a. Xét hai tam giác OAB và OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đường tròn tâm (O)
và AB = CD (gt)
Vậy ∆OAB = ∆OCD (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b. Nối AC với nhau ta có: ∆ABC và ∆CAD
hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên ∆ABC = ∆CAD (c.c.c) ⇒ BAC = ACD ở vị trí só le trong
Vậy BC // AD
Tuần:
Ngày soạn:

Ngày dạy:

Tiết :
12


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm C
bán kính bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC)
Chứng minh: AD // BC
Giải: ∆ABC = ∆CDA (c.c.c)
A
D
⇒ ACB = CAD (cặp góc tương ứng)
(Hai đường thẳng AD, BC tạo với AC hai
góc so le trong bằng nhau).
B
C
ACB = CAD nên AD // BC.
Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh ∆AOC = ∆BOC theo trường hợp
(c.g.c)
B
y
Giải:
Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
O

C
m
Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy.
Chứng minh: ∆AOC = ∆BOC
A x
Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên
đường thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB.
Giải:
K
∆AKM = ∆BKM
⇒ AKM = BKM (cặp góc tương ứng)

Do đó: KM là tia phân giác của góc AKB

A
M
B
Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh
rằng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt)
cạnh DC chung nên ∆ACD = ∆BCD (c.c.c)
từ đó suy ra: ACD = BCD
Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt)
13


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

cạnh OC chung nên ∆OAC = ∆OBC ⇒ OA = OB và AOC = BOC
Mà AOB + BOC = 1800 (c.g.c)
⇒ AOC = BOC = 900 ⇒ DC ⊥ AB
Do đó: CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ngày soạn:
Ngày dạy:
BUỔI 1. ÔN VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦATAM GIÁC

A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g).
- Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Rèn kĩ năng sử dụng thước kẻ, compa, thước đo độ để vẽ các trường hợp trên.
- Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng
nhau.
B. Chuẩn bị:
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500. Tia phân giác của góc K cắt EH tại D.
Tính EDK; HDK.
K
Giải:
GT: ∆EKH ; E = 600; H = 500
Tia phân giác của góc K
Cắt EH tại D
KL: EDK; HDK
E
D
H

Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700
Do KD là tia phân giác của góc K nên K1 =

1
70
= 35 0
K=
2
2

Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH
Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
14


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800
Hay EDK = 850; HDK = 950
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 50 0, gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh
A. Chứng minh Am // BC.
GT: Có tam giác ABC;
B = C = 500
A
Am là tia phân giác
của góc ngoài đỉnh A

KL: Am // BC
B
C
Chứng minh:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC
Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000
Am là tia phân giác của góc CAD nên A1 = A2 =

1
CAD = 100 : 2 = 500
2

hai đường thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A1 = C = 500
nên Am // BC
Bài 3:
3.1. Cho ∆ABC = ∆DEF ; AB = DE; C = 460. Tìm F.
3.2. Cho ∆ABC = ∆DEF ; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF
3.3. Cho ∆ABC = ∆CBD có AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
a. Tìm góc ABD
b. Chứng minh rằng: BC ⊥ DC
GT: ∆ABC = ∆DEF ; AB = DE; C = 460.
A = D; BC = 15cm
∆ABC = ∆CBD ; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ?
3.3: a. ABD = ? b. BC ⊥ DC

Chứng minh:
3.1: ∆ABC = ∆DEF thì các cạnh bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau nên
15

D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

C = F = 460
3.2. Tương tự BC = EF = 15cm
3.3:
a. ∆ABC = ∆CBD nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC
nên ABC = 2ABD = 800 ⇒ ABD = 400
b. ∆ABC = ∆CBD nên BAD = BCD = 900 vậy BC ⊥ DC
Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD
Chứng minh: AOB = COD.
b.
A
D

B

C

Có: AB = CD và BC = AD
Chứng minh: AB // CD và BC // AD
Giải:
a. Xét hai tam giác OAB và OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đường tròn tâm (O)
và AB = CD (gt)
Vậy ∆OAB = ∆OCD (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b. Nối AC với nhau ta có: ∆ABC và ∆CAD

hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên ∆ABC = ∆CAD (c.c.c) ⇒ BAC = ACD ở vị trí só le trong
Vậy BC // AD
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm C
bán kính bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC)
Chứng minh: AD // BC
Giải: ∆ABC = ∆CDA (c.c.c)
A
D
⇒ ACB = CAD (cặp góc tương ứng)
(Hai đường thẳng AD, BC tạo với AC hai
góc so le trong bằng nhau).
B
C
16


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

ACB = CAD nên AD // BC.
Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh ∆AOC = ∆BOC theo trường hợp
(c.g.c)
B
y
Giải:
Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
O

C
m
Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy.
Chứng minh: ∆AOC = ∆BOC
A x
Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Trên
đường thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB.
Giải:
K
∆AKM = ∆BKM
⇒ AKM = BKM (cặp góc tương ứng)

Do đó: KM là tia phân giác của góc AKB

A
M
B
Bài 8: Cho đường thẳng CD cắt đường thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh
rằng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt)
cạnh DC chung nên ∆ACD = ∆BCD (c.c.c)
từ đó suy ra: ACD = BCD
Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt)
cạnh OC chung nên ∆OAC = ∆OBC ⇒ OA = OB và AOC = BOC
Mà AOB + BOC = 1800 (c.g.c)
⇒ AOC = BOC = 900 ⇒ DC ⊥ AB
Do đó: CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Tuần:

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
17


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

BUỔI 4. ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA
HAI TAM GIÁC VUÔNG.
A. Mục tiêu:
- Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định lý Pitago
đảo.
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông khi biết độ
dài của hai cạnh kia.
- Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác vuông.
- Nắm được các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago
để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
- Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
- Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng minh hình
học.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C. Bài tập
Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết
AD ⊥ DC; DC ⊥ BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm

A

13
Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Giải:
Vì AH ⊥ BC (H ∈ BC)
B
H
AH ⊥ BC; DC ⊥ BC (gt) ⇒ AH // DC
mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA
Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC
Xét tam giác AHC và tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC
Do đó: ∆AHC = ∆CDA (g.c.g) ⇒ AH = DC
Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH2 +BH2 = AB2 ⇒ BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25
⇒ BH = 5 (cm) (2)
18

B

15

12

C


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH2 + HC2 = AC2 ⇒ HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92
⇒ HC = 9 (cm)
Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC = 135 0.
Tính độ dài đoạn thẳng MC.
A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D.
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A.
M
Ta có: AD = MA = 2 cm
AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900
B
C
Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM
D
DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với
A
góc CAM); AC = AB (gt)
Do đó: ∆ADC = ∆AMB (c.g.c) ⇒ DC = MB
Tam giác vuông AMD vuông ở A
D
nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago)
Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8
B
C

Tam giác MDC vuông ở M nên
DC2 = MD2 + MC2 (Pitago)
Do đó: 32 = 8 + MC2 ⇒ MC2 = 9 - 8 = 1
⇒ MC = 1
Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ
lệ với
a. 9; 12 và 15
b. 3; 2,4 và 1,8
c. 4; 6 và 7

d. 4 ; 4 2 và 4

Giải:
a.

 AB = 9k ⇒ AB 2 = 81k 2

AB AC BC
=
=
= k ⇒  AC = 12k ⇒ AC 2 = 144k 2
9
12
15
 BC = 15k ⇒ BC 2 = 225k 2


AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2
Vậy tam giác ABC vuông ở A.

19


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

b.

N¨m häc:2011-2012

 AB = 4k ⇒ AB 2 = 16k 2

AB AC BC
=
=
= k ⇒  AC = 6k ⇒ AC 2 = 36k 2
4
6
7
 BC = 7 k ⇒ BC 2 = 49k 2

⇒ AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 ≠ 49k2 = BC2

Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông.
c. Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900)
d. Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900)
Tiết 17:
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH ⊥ BC
Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Giải:
A

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
Tam giác ABH có H = 900
⇒ AB2 = AH2 + HB2 ⇒ AB2 - HB2 = AH2
∆AHC có H = 900 ⇒ AC2 = AH2 + HC2
⇒ AC2 - HC2 = AH2
⇒ AB2 - HB2 = AC2 - HC2
B
H
⇔ AB2 + CH2 = AC2 + BH2

C

Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh
nào là cạnh lớn nhất?
A
Giải:
* Kẻ AD ⊥ AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC
⇒ BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông ở A
BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 < BD2
⇒ AB < BD (2)
B
E
D
C
Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE ⊥ AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
⇒ EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông ở A
EC2 = AE2 + AC2 ⇒ AC2 < EC2 hay AC < EC (4)

20


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất là BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ
đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng
a. ∆AMB = ∆AMC
b. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải:
A
a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau
vì cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
b. Do ∆AMB = ∆AMC ⇒ A1 = A2
B
C
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét hai tam giác AIB và AIC
M
A1 = A2 (c/m trên); AB = AC
(Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên ∆AIB = ∆AIC (c.c.c)
Suy ra IB - IC; AIB = AIC
mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau)
Suy ra AIB = AIC = 900
Vậy AM ⊥ BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC

nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7:
a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia
phân giác của góc A.
b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB.
Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Giải:
A
a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC
có canh AD là cạnh chung; AB = AC
⇒ ∆ADB = ∆ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ BAD = CAD (cặp góc tương ứng)

Do đó: AD là tia phân giác của góc A
b. Hướng dẫn
Chứng minh ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AD = AE (cặp cạnh tương ứng)
21

B

D
A

C


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

∆ADK = ∆AEK (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

E

D

⇒ A1 = A2

Do đó Ak là tia phan giác của góc K.

B

C

Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực
của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng
AC. Chứng minh rằng BH = CK
A
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
K
∆AMI = ∆CMI (c.g.c)
B
M
Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2

C
⇒ IB = IC (cặp góc tương ứng)
H
∆AHI = ∆AKI (cạnh huyền - góc nhọn)
I
⇒ IH - IK
∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ BH = CK.
AB 3
= và BC = 15cm. Tìm các độ dài
AC 4

Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có
AB; AC
Giải:
Theo đề ra ta có:

B

AB AC
AB 2 AC 2
=
⇒
=
3
4
9
16

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau
và định lý Pitago ta có:

A

AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 15 2
=
=
=
=
=9
9
16
9 + 16
25
25

Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 ⇒ AB = 9 cm
AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 ⇒ AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
22

C


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam giác
vuông cân.
Giải:

B
Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1
Theo định lý Pitago ta có:
AB2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
C
2
2
2
BC = 1 + 2 = 1 + 4 = 5
A
AC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10
Do AB2 = BC2 nên AC = AB
Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 900). Chứng minh rằng
a. Nếu AB =

1
BC thì C = 300
2

b. Nếu C = 300 thì AB =

C

1
BC
2

Giải:

Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB
Nối CD thì ta có:
∆BAC = ∆DAC (c.g.c) ⇒ CB = CD (1)
a. Nếu AB =

B

A

D

1
1
BC và AB = AD = BD
2
2

Thì BC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB = BD
Vậy tam giác BCD đều ⇒ BCA = ACD =

1
1
BCD = .60 0 = 30 0
2
2

b. CB = CD ⇒ Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 300; BCD = 60=0
suy ra tam giác BCD đều ⇒ BD = BC

⇒ 2AB = BC ⇒ AB =

1
BC
2

Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE ⊥ AC và CF ⊥ AB. Biết BE = CF = 8cm. độ dài các
đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân
b. Tính độ dài cạnh đáy BC
23


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

c. BE và CF cắt nhao tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng AO là trung trực
của đoạn thẳng EF.
A
Giải:
a. ∆BFC = ∆CEB vì E = F = 900
BE = CF, Bc cạnh chung
E
F
⇒ FBC = ECB ⇒ tam giác ABC cân
O
b. Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC
B
C

tỉ lệ với 3 và 5
Ta có:

BF BC
BF 2 BC 2 BC 2 − BF 2 FC 2 8 2
=
⇒
=
=
=
=
=4
3
5
9
25
25 − 9
16
16
⇒

BC 2
= 4 ⇔ BC 2 = 25.4 = 100 ⇒ BC = 10 cm
25

c. Tam giác ABC cân ⇒ AB = AC mà BF = EC ( ∆BFC = ∆CEB )
⇒ AF = AE
∆AFO = ∆AEO (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ FAO = EAO ⇒ ∆FAI = ∆EAI (Vì AF = AE ; FAI = EAI)
⇒ IF = IE (1)

và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800
nên FIA = EIA = 900 ⇒ AI ⊥ EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF.

24


D¹y thªm to¸n 7 häc kú II

N¨m häc:2011-2012

Tuần:
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết :
Buổi 5. Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong
tam giác
Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB.
Trên tia BN lấy điểm B/ sao cho N là trung điểm của BB/. Trên tia CM lấy điểm C/ sao
cho M là trung điểm của CC/. Chứng minh:
a. B/C/ // BC
b. A là trung điểm của B/C/
Giải:
a. Xét hai tam giác AB/N và CBN
ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt);
ANB/ = BNC (đối đỉnh)
Vậy ∆AB / N = ∆CBN suy ra AB/ = BC
và B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC
Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC và AC/ // BC
Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB / và

AC/ trùng nhau nên B/C/ // BC.
b. Theo chứng minh trên AB/ = BC, AC/ = BC
Suy ra AB/ = AC/
Hai điểm C/ và B/ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC
Vậy A nằm giữa B/ và C/ nên A là trung điểm của B/C/
Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia
phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM
Hướng dẫn:
Chứng minh: ∆DEN = ∆EDM (g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng)
Bài 11: Cho hình vẽ bên
A
B
25