51 (XEM THỬ) THPT chuyên KHTN, HN năm 2017 lần 1 có lời giải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mã đề : 321

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2016 – 2017
Mơn : Tốn học; Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm mơ đun của số phức w = 2 z + (1 + i) z
A. ω = 4

B. ω = 2 2

D. ω = 2

C. ω = 10

Câu 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây khơng có tiệm cận ngang?
x2 + 1
x −1

A. y =

B. y =

x −1
x2 + 1

x −1
x+2

C. y =

D. y =

1
x +1

Câu 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 2 z + 2 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
A. I ( 1; −2;1) và R = 2

B. I ( −1; 2; −1) và R = 4

C. I ( 1; −2;1) và R = 4

D. I ( −1; 2; −1) và R = 2

Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x + 1)
'
A. y =

1
( x + 1) ln 2 .

'
B. y =

1
.

x +1

'
C. y =

ln 2
.
x +1

x
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình 2

A. { −1; 2} .

B. { 0;1} .

2

+ x −1

=

'
D. y =

1
.
log 2 ( x + 1)

1

.
2

C. { −1;0} .

Câu 6: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .
Câu 7: Tìm nguyên hàm I = ∫ 2 x + 1dx
A. I =

2
3

( 2 x + 1)

3

+C

B. I =

1
+C
2 2x +1

C. I =

1
3

( 2 x + 1)

3

+C

D. I =

1
+C
4 2x +1

D. { −2;1} .


Câu 8: Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
x
y'
y

−∞

-1
+

1
0

2

+
3

+∞
−

−∞

1

-1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1

D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1.

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y = x 3 x
A. y ' =

33 x
2

B. y ' =

3
3

2 x

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số y = 3

2 x ln 3

B. y ' =

x2 + 1

.3

23 x
3

D. y ' =

2
3

3 x

x 2 +1

x 2 +1 +1

A. y ' = 3
C. y ' =

C. y ' =

x 2 +1

D. y ' =

x ln 3
x

2 +1

.3

x 2 +1

x
ln 3. x 2 + 1

.3

x 2 +1

Câu 19: Cho số phức z = a +bi, với a, b ∈ R, thỏa mãn (1 + 3i)z – 3 +2i = 2 + 7i.
Tính tổng a+b
A. a + b =

11
5

B. a + b =

Câu 20: Tìm nguyên hàm I = ∫

19
5

C. a + b = 1

D. a + b = −1

1 + ln x
dx
x

1 2
A. I = ln x + ln x + C
2

B. I = ln 2 x + ln x + C

C. I = x + ln 2 x + C

1 2
D. I = x + ln x + C
2

Câu 21: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 2 = 0. Tính giá trị của
2016
2016
biểu thức P = z1 + z2

A. P = 21009

B. P= 0

C. P = 22017

D. P = 22018


π
4

Câu 22: Tính tích phân I = cos 2 xdx
∫
0

A. I =

π +2
8

B. I =

π +2
4

C. I =

1
3

D. I =

2
3

Câu 23: Tìm nguyên hàm I = ∫ tan 2 xdx
1
A. I = ln sin 2 x + C
2

1
B. I = − ln cos2 x + C
2

C. I = 2 ln sin 2 x + C

D. I = − ln cos2 x + C

Câu 24: Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập
phương đó
A. S = 4π a 2

B. S = π a 2

1 2
C. S = π a
3

D. S =

4π a 2
3

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I ( 1;1; −2 )
và đi qua điểm M ( 2; −1;0 )
A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9

B. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 3

C. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 9

D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 3

Câu 26: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 mặt có diện tích bằng 12, 15 và 20. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đó
A. V = 960

B. V = 20

C. V = 60

D. V = 2880

Câu 27: Cho khối chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân, AB = AC = a, SA vng

góc với mặt đáy và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC
A. V =

2 3
a
2

B. V =

1 3
a
2

C. V =

4 3
a
3

D. V = a 3

Câu 28: Trong khơng gian cho tam giác ABC vng tại A có AB = a, A = 2a. Quay tam giác
ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó
A. V = 2π a 3

B. V =

4π a 3
3

C. V = 4π a 3

D. V =

2π a 3
3

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −1; 2;1) và mặt phẳng
( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)
A. (Q): 2x – y + z + 3 = 0

B. (Q): 2x – y + z - 3 = 0

C. (Q): -x + 2y + z + 3 = 0

D. (Q): -x + 2y + z + 3 = 0


Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A ( 0;1; −1) và B ( 1; 2;3) . Viết
phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B
A. d :

x y +1 z −1
=
=
1
1
4

B. d :

x y +1 z −1
=
=
1
3
2

C. d :

x y +1 z +1
=
=
1
1
4

D. d :

x y −1 z +1
=
=
1
3
2

3
2
Câu 31: Tìm tập hợp tất cả các tham số m để hàm số y = x – mx + ( m – 1) x + 1 đồng

biến trên khoảng (1;2)
A. m ≤

11
3

B. m <

11
3

C. m ≤ 2

D. m < 2

Câu 32: Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số
A. ( −∞;0]

B. ( −∞;0 ) \ { −5}

C. ( −∞;0 )

D. ( −∞; −1) \ { −5}

Câu 33: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
log 2 x − log 2 ( x − 2 ) = m có nghiệm
A. 1 ≤ m < +∞

B. 1 < m < +∞

C. 0 ≤ m < +∞

D. 0 < m < +∞

x −1
x +1
2
Câu 34: Phương trình x ( 2 + 4 ) = 2 + x có tổng các nghiệm bằng

A. 7

B. 3

Câu 35: Tìm nguyên hàm I = ∫

C. 5
x ln ( x 2 + 1)
x2 + 1

D. 6

dx
1 2 2
ln ( x + 1) + C
4

2
A. I = ln ( x + 1) + C

B. I =

1
2
C. I = ln ( x + 1) + C
2

2
2
D. I = ln ( x + 1) + C

x
Câu 36: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ( x − 1) e , trục hoành x = 0 và

x =1
A. S = 2 + e

B. S = 2 − e

C. S = e − 2

D. S = e − 1

Câu 37: Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng 90 o và bán kính đáy bằng 4. Khối trụ (H) có
một đáy thuộc đáy của hình nón và đường trịn đáy của mặt đáy cịn lại thuộc mặt xung quanh
của hình chóp. Biết chiều cao của (H) bằng 1. Tính thể tích của (H)
A. VH = 9π

B. VH = 6π

C. VH = 18π

D. VH = 3π

Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vng góc với
mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích V của hình chóp S. ABC


3a 3
2

A. V =

B. V =

3a 3
4

C. V =

3a 3
6

3a 3
12

D. V =

Câu 39: Cho các số phức z thỏa mãn z + 1 − i = z − 1 + 2i . Tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó
A. 4 x + 6 y − 3 = 0

B. 4 x − 6 y − 3 = 0

C. 4 x + 6 y + 3 = 0

D. 4 x − 6 y + 3 = 0
x −1 y − 2 z +1
=
=
−1
1
2

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

điểm A ( 2; −1;1) . Gọi I là hình chiếu vng góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C)
có tâm I và đi qua A
A. x 2 + ( y − 3) + ( z − 1) = 20

B. x 2 + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 5

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 20

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 14

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 41: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log 9 a = log12 b = log16 ( a + b ) . Tính tỉ số
T=

a
b

A. T =

4
3

B. T =

1+ 3
2

C. T =

1+ 5
2

D. T =

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :

d2 :

8
5

x y −1 z − 3
=
=
và
1
1
3

x −1 y −1 z − 4
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2.
1
2
5

A. x − y − 2 z − 7 = 0

B. x + 2 y − z − 1 = 0

C. x − y − 2 z + 7 = 0

D. x + 2 y − z + 1 = 0

Câu 43: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km. Trên bờ biển
có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người gác ngọn hải đăng chèo thuyền từ
ngọn hải đăng đến vị trí M trên bờ biển rồi đi bộ đến C. Biết rằng vận tốc chèo thuyền là
3km/h và vận tốc đi bộ là 5km/h. Xác định vị trí điểm M để người đó đến C nhanh nhất.
A

B

M

C


A. MN = 3km

B. MN = 4km

C. M trùng B

D. M trùng C

Câu 44: Với các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của z
A. max z = 4

B. max z = 3

C. max z = 7

D. max z = 6

Câu 45: Tìm tham số m đề phương trình ln x = mx 4 có đúng một nghiệm.
A. m =

1
4e

B. m =

1
4e 4

C. m =

e4
4

D. m =

4
e

4

Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, AB = a. Hình chiếu vng góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và
mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
A. V =

3 3a 3
4

3a 3
8

B. V =

C. V =

3a 3
4

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

D. V =

3a 3
12

x +1 y z + 2
= =
và mặt

2
2
3

phẳng ( P ) : − x + y + 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình hình chiếu vng góc của d trên mặt phẳng
(P).
A.

x − 2 y −1 z + 1
=
=
1
1
−3

B.

x − 2 y −1 z +1
=
=
3
1
1

C.

x + 2 y +1 z −1
=
=
3

1
1

D.

x + 2 y +1 z −1
=
=
1
1
−3

Câu 48: Cho đồ thị hàm số y = ax 4 + bx3 + c đạt cực đại tại A ( 0;3) và cực tiểu B ( −1;5 ) .
Tính giá trị của P = a + 2b + 3c
A. P = −5

B. P = −9

C. P = −15
a

Câu 49: Cho a là một số thực khác 0, ký hiệu b =

D. P = 3
a

ex
dx
∫− a x + 2a dx . Tính I = −∫a ( 3a − x ) e x theo a

và b
A. I =

b
a

B. I =

b
ea

C. I = ab

D. I = be a


Câu 50: Cho một hình nón (N) có góc ở đỉnh bẳng 60 0 và bán kính đường trịn đáy bằng r1.
Mặt cầu (C) có bán kính r2 tiếp xúc với mặt đáy và mặt xung quanh của (N). Tính tỉ số
T=

r2
r1

A. T =

1
2+ 3

B. T =

1
1+ 3

C. T =

3
3

D. T =

1
2

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
MÃ ĐỀ 321.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

C
A
D

A
C
D
C
B
D
B

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

A
D
D
D
B
A
D
B
C
A

21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

A
A
B
B
C
C
B
B
A
C

31
32
33
34
35
36
37
38

39
40

C
D
D
A
B
C
A
D
B
D

41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

C
D
A
D
A

C
C
C
B
C


Câu 1:
- Phương pháp : Tìm số phức w, sau đó tính w
- Cách giải:
Ta có w = 2 z + ( 1 + i ) z = 2 ( 2 − 3i ) + ( 1 + i ) ( 2 + 3i )
= 4 − 68 + 2 + 3i + 2i + 3i 2 = 4 − 6i + 2 + 3i + 2i − 3 = 3 − i
⇒ w = 9 + 1 = 10
Chọn đáp án C.
Câu 2:
y; lim y
- Phương pháp xlim
→+∞
x →−∞
x2 + 1
x2 + 1
= +∞; lim
= −∞
x →+∞ x − 1
x →−∞ x − 1

- Cách giải: lim

Vậy hàm số này khơng có tiệm cận ngang.
Chọn đáp án A.

Câu 3:
- Phương pháp :
Để tìm tâm và bán kính mặt cầu ta đưa phương trình về dạng tổng quát

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c ) = R2
2

2

Khi đó tâm I(a;b;c)
- Cách giải: Ta có x 2 + y 2 + z 2 + 2 z − 4 y + 2 z + 2 = 0
⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4
2

2

2

Vậy mặt cầu có tâm I ( −1; 2; −1) ; R = 2
Chọn đáp án D.
Câu 4:
- Phương pháp: Ta sử dụng công thức ( log a u ) ' =
- Cách giải: Ta có ( log 2 ( x + 1) ) ' =

u'
u.ln a

( x + 1) ' =
1
( x + 1) ln 2 ( x + 1) ln 2

Chọn đáp án A.
Câu 5:
- Phương pháp: Để giải phương trình mũ này ta đưa về cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng
nhau rồi tìm x.


x
- Cách giải: 2

2

+ x −1

=

2
x = 0
1
⇔ 2 x + x −1 = 2−1 ⇔ x 2 + x − 1 = −1 ⇔ x 2 + x = 0 ⇔ 
2
 x = −1

Chọn đáp án C.
Câu 6:
- Phương pháp: Ta tính y'

Giải phương trình y'=0 tìm ra nghiệm x.
Lập bảng biến thiên
- Cách giải: y ' = −4 x 3 + 4 x
x = 0
y ' = 0 ⇔ −4 x + 4 x = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
3

Bảng biến thiên:
x
v'
v

−∞
+

0
2

−∞

-

0
0

+

1
0

2

+∞
-

1

−∞

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đáp án D đúng.
Chọn đáp án D.

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
Câu 15.
Phương pháp:
Điều kiện để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên ℝ
+ f(x) liên tục trên ¡
+ f(x) có đạo hàm f ' ( x ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) ∀x ∈ ¡ và số giá trị x để f ' ( x ) = 0 là hữu hạn
Do y' là một tam thức bậc 2 nên ta sử dụng kiến thức:
a > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
, ∀x ∈ ¡
∆ ≤ 0
Cách giải:
1 3
2
Ta có: y = x + mx + x + 1
3
⇒ y ' = x 2 + 2mx + 1
Ta có: Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi

1 > 0 ( tm )
y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x 2 + 2mx + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
⇒ −1 ≤ m ≤ 1
2
∆ ' = m − 1 ≤ 0
Chọn đáp án B
Câu 16.
Phương pháp: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định, tính đạo hàm.
Bước 2: giải phương trình y ' = 0 , tìm các nghiệm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn tập xác định và
những xi làm cho y' vô nghĩa.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại đâu
Cách giải:
y = ( x − 5) 3 x 2
y ' = 3 x 2 + ( x − 5) .

2
33 x

=

5 ( x − 2)
33 x

y'= 0 ⇔ x = 2
y ' > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )
y ' < 0 ⇔ x ∈ ( 0; 2 )
Lập bảng biến thiên ta được: hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Chọn đáp án A
Câu 17.
Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm căn thức

Cách giải: y ' =

(

 4 12 
 3  ÷  23 
2

3
x x ' =  x ÷ ' =  x ÷' = 3

÷
  ÷   3 x



)

Chọn đáp án D
Câu 18.
u
u
Phương pháp: cơng thức tính đạo hàm của hàm ( a ) ' = u '.a .ln a

(

Cách giải: 3

x 2 +1

)=

x ln 3
x2 + 1

.3

x2 +1

Chọn đáp án B
Câu 19:
- Phương pháp: Tìm số số phức z

( u ) ' = 2u 'u


- Cách giải: Ta có

( 1 + 3i ) z − 3 + 2i = 2 + 7i ⇒ ( 1 + 3i ) ( a + bi ) − 3 + 2i = 2 + 7i ⇔ a + bi + 3ai − 3b − 3 + 2i − 2 − 7i
a = 2
 a − 3b − 5 = 0
⇒ a − 3b − 5 + ( 3a + b − 5 ) i = 0 ⇔ 
⇔
b = −1
( 3a + b − 5 ) = 0
Chọn đáp án C

Câu 20.
Phương pháp: Ta thấy trong nguyên hàm có chứa hàm lnx và hàm

dx
1
nên ta đưa hàm
x
x

vào trong dx.
Cách giải:

∫

1 + ln x
1
dx = ∫ ( 1 + ln x ) d ( ln x ) = ln x + ln 2 x + C
x
2

Chọn đáp án A.
Câu 21
"
"
– Phương pháp: Tính giá trị biểu thức dạng x1 + x2 với x1 , x2 là hai nghiệm phức của phương

trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0
+ Giải phương trình bậc hai ra nghiệm x1 = a + bi; x2 = a − bi
+ Đưa về dạng x1 = k1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ; x2 = k2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
+ Dùng công thức Moivre:  k ( cos ϕ + i sin ϕ )  = k n ( cos nϕ + i sin nϕ )

n

– Cách giải
Phương trình bậc 2 đã cho có ∆ ' = 1 − 2 = −1 = i 2 ⇒ Có 2 nghiệm
3π
3π 

z1 = −1 + i = 2  cos
+ i sin
÷
4
4 


π
π

z2 = −1 − i = − 2  cos + i sin ÷
4
4

⇒ z12016 =

( 2)

(

z22016 = − 2

)

2016

2016

⇒ P = 21009
Chọn đáp án A
Câu 22.

  2016.3π
cos 
4
 

  2016π
 cos  4
 


 2016.3π
÷+ i sin 
4



  1008
1008
÷ = 2 . ( cos1512π + i sin1512π ) = 2



 2016π   1008
1008
÷+ i sin 
÷ = 2 . ( cos 504π + i sin 504π ) = 2

 4 


Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng
công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân.
Cách giải.
π
4

π
4

π

1
1
1
 4 π +2
I = ∫ cos xdx = ∫ ( 1 + cos 2 x ) dx =  x + sin 2 x ÷ =
20
2
2
8
0

0
2

Chọn đáp án A.
Câu 23
– Phương pháp : Đưa tan 2x về dạng

sin 2 x
cos 2 x

– Cách giải:
sin 2 x

1

1

1

1

1

∫ tan 2 xdx = ∫ cos 2 x dx = − 2 ∫ cos 2 x . ( −2sin 2 xdx ) = − 2 ∫ cos 2 x .d ( cos 2 x ) = − 2 .ln cos 2 x + C
Chọn đáp án B
Câu 24
– Tính chất
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng

a

2

a
2
2
Diện tích mặt cầu đó là S = 4π R = 4π  ÷ = π a
2
Chọn B
Câu 25
Tâm I ( 1;1; −2 ) , bán kính mặt cầu là R = IM = 3 nên phương trình mặt cầu là

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9
2

2

Chọn C
Câu 26
– Tính chất: Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo cơng thức V = S1S 2 S3 với
S1 , S 2 , S3 là diện tích các mặt (đơi một chung cạnh) của hình hộp đó.
Áp dụng tính chất, ta có V = 60
Chọn C
Câu 27
1
1
1 3

Có VS . ABC = SA.S ABC = SA. AB. AC = a . Chọn B
3
6
3


Câu 28
Hình nón thu được có bán kính đáy r = AC = 2a , chiều cao h = AB = a nên có thể tích
1
4π a 3
. Chọn B
V = π r 2h =
3
3
Câu 29
Vì (P) // (Q) nên 2 mặt phẳng có cùng VTPT ( 2; −1;1)
(Q) đi qua A ( −1; 2;1) nên có phương trình 2x − y + z + 3 = 0
Chọn A
Câu 30
uuur
Đường thẳng AB nhận AB = ( 1;1; 4 ) làm VTCP và đi qua A ( 0;1; −1) nên có phương trình
d:

x y −1 z +1
=
=
. Chọn C
1
1
4

Câu 31
– Phương pháp: Tìm m để hàm số bậc 3 biến x, tham số m đồng biến trên khoảng ( a; b )
+ Tính y‟ . Thiết lập bất phương trình y ' > 0 ( *)
+ Cô lập m, đưa phương trình (*) về dạng m < f ( x ) hoặc m > f ( x )
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc lập bảng biến thiên trên đoạn [a;b], từ đó kết luận ra m
thỏa mãn
– Cách giải
Có y ' = 3x 2 − 2mx + m − 1
Với x ∈ ( 1; 2 ) thì y ' > 0 ⇔ 3x 2 − 2mx + m − 1 > 0 ⇔ m ( 1 − 2m ) > 1 − 3x 2 ⇔ m <

1 − 3x 2
( *)
1 − 2x

Hàm số đã cho đồng biến trên ( 1; 2 ) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng
∀x ∈ ( 1; 2 )
1 − 3x 2
Xét hàm số f ( x ) =
trên [ 1; 2] có
1− 2x
f '( x) =

−6 x ( 1 − 2 x ) + 2 ( 1 − 3 x 2 )

( 1− 2x)

2

=

6x2 − 6 x + 2

⇒ f ( x ) > f ( 1) = 2, ∀x ∈ ( 1; 2 )
Vậy giá trị của m thỏa mãn là m ≤ 2

( 1 − 2x )

2

> 0, ∀x ∈ ( 1; 2 )


Chọn C
Câu 32
– Phương pháp:
Tìm m để đồ thị hàm số bậc 3 có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bở là trục
hoành (tức là hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu)
Tìm nhanh:
Điều kiện đề bài tương đương với phương trình bậc ba f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Ta thử từng giá trị m rồi giải bằng máy tính, nếu phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực phân
biệt thì giá trị m đó thỏa mãn.
– Cách giải: Thử giá trị m = −0,5 , giải phương trình bậc ba x 3 + x 2 − 0,5 x − 1,5 = 0 bằng máy
tính thấyphương trình chỉ có một nghiệm x = 1 (2 nghiệm kia là nghiệm phức) nên giá trị
m = −0,5 không thỏa mãn ⇒ Loại A, B, C
Chọn D
Câu 33

 x 
log 2 

÷= m
Phương trình đã cho tương đương với 
 x −1 
x > 2

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = log 2 f ( x )
với f ( x ) =

x
trên khoảng ( 2; +∞ )
x−2

Có f ' ( x ) = −

2

( x − 2)

2

< 0, ∀x > 2 và lim+ f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = 1 nên ta có các tập giá trị
x →+∞
x →2

của các hàm số f ( x ) ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ log 2 f ( x ) = ( 0; +∞ )
Vậy 0 < m < +∞
Chọn D
Câu 34
x ( 2 x −1 + 4 ) = 2 x +1 + x 2 ⇔ x.2 x −1 − 4.2 x−1 + 4 x − x 2 = 0 ⇔ ( x − 4 ) ( 2 x −1 − x ) = 0
x = 4

⇔  x −1
 2 − x = 0 ( *)
x −1
Xét hàm số f ( x ) = 2 − x trên ¡ , ta có:


 1 
f ' ( x ) = 2 x −1 ln 2 − 1 = 0 ⇔ x = x0 = 1 + log 2 
÷; f ' ( x ) < 0 ⇔ x < x0 ; f ' ( x ) > 0 ⇔ x > x0
 ln 2 
nên phương trình f ( x ) = 0 có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng ( −∞; x0 ) và ( x0 ; +∞ )
Mà f ( 1) = f ( 2 ) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7
Chọn A

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
Câu 37
Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ có dạng
như hình bên, với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy
nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của đường trịn đáy
hình trụ với BC
Có góc BAC = 900 , OB = OC = OA = 4
Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng định lý Ta lét ta
có OC = 4CD ⇒ CD = 1
⇒ Bán kính đáy hình trụ là r = OD = 3
Thể tích hình trụ là V = π r 2 h = 9π
Chọn A
Câu 38
Góc giữa SB và (ABC) là góc SBA = 450
Hình chóp S. ABC có diện tích đáy là diện tích tam giác

đều cạnh a và bằng S =

a2 3
4

SA = AB.tan 450 = a
1
3a 3
⇒ VS . ABC = SA.S ABC =
3
12
Chọn D
Câu 39
– Phương pháp: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước:
+ Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)


+ Chuyển hệ thức với z về hệ thức với a, b, rút gọn để tìm hệ thức liên hệ giữa a và b ⇒
Phương trình (đường thẳng, đường trịn) cần tìm.
– Cách giải
Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Ta có
z + 1 − i = z − 1 + 2i ⇔ ( a + 1) + ( b − 1) i = ( a − 1) + ( b + 2 ) i
⇔ ( a + 1) + ( b − 1) = ( a − 1) + ( b + 2 ) ⇔ 4a − 6b − 3 = 0
2

2

2

2

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x − 6 y − 3 = 0
Chọn B
Câu 40
– Phương pháp
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vng góc (d): nhận VTCP của d (ud) làm VTPT
+ Tìm giao của (d) và (P), là I
+ Tính R = IA. Viết phương trình mặt cầu
– Cách giải
Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vng góc (d) là − x + y + 2z + 1 = 0
Giao (P) và (d) là I ( 1; 2; −1) . Có IA2 = 14 . Phương trình mặt cầu là

( x − 1)

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 14

2

2

2

Chọn D
Câu 41
– Phương pháp: Đặt cả 3 logarit bằng nhau và bằng k
– Cách giải
Đặt k = log 9 a = log12 b = log16 ( a + b )
a = 9k


9k 3k
⇒ b = 12k
⇒ 9k + 12 k = 16k ⇒ k + k = 1
16 4
a + b = 16k

Đặt t =

t 2 + t − 1 = 0
3k
−1 + 5
⇒
⇒t =

k
4
2
t > 0

⇒T =

b 4k 1
5 +1
= k = =
a 3
t
2

Chọn C

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
Câu 44
– Phương pháp:
+ Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

+ Biến đổi điều kiện đề bài, sử dụng các bất đẳng thức cần thiết để đánh giá |z|
– Cách giải
Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Điều kiện đề bài tương đương với

( 1 + i ) ( a + bi ) + 1 − 7i

= 2 ⇔ ( a − b + 1) + ( a + b − 7 ) i = 2

⇔ ( a − b + 1) + ( a + b − 7 ) = 2
2

2

⇔ ( a 2 + b 2 ) − 2 ( 3a + 4b ) + 24 = 0 ( *)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

( 3a + 4b )

2

≤ ( 32 + 42 ) ( a 2 + b 2 ) ⇒ 3a + 4b ≤ 5 a 2 + b 2

( *) ⇒ 0 ≥ ( a 2 + b 2 ) − 10

a 2 + b 2 + 24 ⇒ 4 ≤ a 2 + b 2 ≤ 6

⇒ z ≤6
Dấu “=” xảy ra ⇔ z =

18 24
+ i
5 5

Chọn D
Câu 45
Điều kiện x > 0
+ với m = 0 , phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1
4
+ Với m > 0 , xét hàm số f ( x ) = mx − ln x = 0 trên ( 0; +∞ ) , ta có với x > 0 thì

f ' ( x ) = 4mx 3 −

1
1
1
=0⇔ x= 4
; f '( x) < 0 ⇔ 0 < x < 4
; f '( x) > 0 ⇔ x >
x
4m
4m

1
4
4m

f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi
Mặt khác xlim
x →+∞
→0+
và chỉ khi nghiệm đó chính là x =

4

1
. Ta có
4m

1
1
1
1
1
 1 
f4
= 0 ⇔ ln ( 4m ) = − ⇔ ln ( 4m ) = −1 ⇔ m =
÷ = 0 ⇔ m. 4m − ln 4
4
4
4e
4m

 4m 
( + Với m < 0, phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất)


Chọn A
Câu 46
Gọi H là trung điểm OA ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
Vẽ HE ⊥ CD tại E ⇒ HE / / AD
Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và
CD ⊥ ( SHE ) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc
SEH = 600
HE =

3
3a
AD =
4
4

SH = HE.tan 600 =
VS . ABCD

3a 3
4

1
a3 3
= SH .S ABCD =
3
4

Chọn C
Câu 47
– Phương pháp: Tìm hình chiếu vng góc của đường thẳng d (biết phương trình) trên mặt
phẳng
(P) (biết phương trình):
+ Tìm giao điểm M của (d) và (P)
r uur uur
+ Tính n = ud ; n p 
r r uur
+ Viết phương trình đường thẳng qua M và nhận u =  n; n p  làm VTCP
– Cách giải
Giao (d) và (P) là M ( −1;0; −2 )
r uur uur
n = ud ; n p  = ( 1; −7; 4 )
r r uur
u =  n; n p  = ( −18; −6; −6 ) = −6 ( 3;1;1)
Phương trình đường thẳng cần viết là
Chọn C
Câu 48
Phương pháp

x +1 y z + 2
x − 2 y −1 z +1
= =
⇔
=
=
3
1

1
3
1
1


Hàm số đạt cực đại tại A ( 0; −3) ta có y ' ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = −3
Hàm số đạt cực tiểu tại B ( −1; −5 ) ta có: y ' ( −1) = 0; y ( −1) = −5
Cách giải.
Hàm số đạt cực đại tại A ( 0; −3) ta có: y ' ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = −3
⇒ c = −3
Hàm số đạt cực tiểu tại B ( −1; −5 ) ta có y ' ( −1) = 0; y ( −1) = −5
 2a + b = 0
a = 2
⇔

 a + b = −2
b = −4
Thay vào P ta có: P = 2 − 8 − 9 = −15
Chọn đáp án C
Câu 49
– Phương pháp:
Cho a = 1, tính tính phân bằng máy tính và so sánh với các đáp án
– Cách giải
Cho a = 1, sử dụng máy tính CASIO ta tính được:
1

ex
∫ x + 2 dx = 1, 087... = b
−1

2

dx

∫ ( 3 − x) e

x

= 0, 400... = I ⇒ I =

0

b
e

Kết hợp với các đáp án, ta được I =

b
ea

Chọn B
Câu 50
Giả sử thiết diện qua trục của nón là tam giác ABC
đều, với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón,
gọi H là tâm đáy
Khi đó thiết diện của mặt cầu (C) là đường tròn (O)
nội tiếp tam giác ABC. Ta có OH = r2 , HC = r1
∆HOC vng tại H có góc OCH = 300 nên T =

Chọn C

r2
3
= tan 300 =
r1
3