Lý thuyết module trên vành giao hoán

NGUYỄN ĐÌNH YÊN

LÝ THUYẾT MODULE
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

TÂY BẮC - 2011


2
.


Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

7

1.1

Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Module con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Module thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Module xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Đồng cấu module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1

Định nghĩa đồng cấu module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2

Hợp thành của hai đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3

Ảnh và hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP, MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP 27
2.1

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2

Module tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3

Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ

51

3.1

Module các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2

Hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3

Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4

Hàm tử tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT

75

4.1

Module phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2

Module xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3


4

MỤC LỤC
4.3 Module nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Module chia được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Module Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 Module Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Vành và module các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Hướng dẫn giải bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


Lời nói đầu
Học phần Lý thuyết module được đưa vào giảng dạy ở Khoa Toán - Lý - Tin,
Trường Đại học Tây bắc từ năm 2003 với thời lượng 5 đơn vị học trình, và đến năm
2010 nhà trường chuyển đổi cơ chế đào tạo từ kết hợp niên chế với học phần sang
đào tạo theo hệ thống tín chỉ, thì thời lượng của học phần là 3 tín chỉ, với yêu cầu
tăng cường tính tự học, tự kiểm tra của sinh viên trong quá trình tích lũy kiến thức.
Tài liệu này được biên soạn trên cơ sở các bài giảng về Lý thuyết module trên
vành giao hoán ở Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc, với mục đích bổ
sung thêm tài liệu học tập cho sinh viên Đại học Sư phạm ngành Toán. Nội dung
của sách bao gồm bốn chương.
Chương 1. Đại cương về module và đồng cấu module, chương này trình
bày các khái niệm và tính chất cơ bản về module, module con, module thương, tổng
và giao các module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu và các định lý đẳng cấu
module.
Chương 2. Tích và tổng trực tiếp, module tự do và dãy khớp, chương
này gồm các vấn đề: xây dựng tích trực tiếp, tổng trực tiếp, dãy khớp, dãy khớp chẻ
ra và chứng minh các tính chất của chúng. Ngoài ra chương này cũng trình bày các
vấn đề cơ bản của lớp các module tự do theo trình tự giống như khi khảo sát các
không gian véc tơ.
Chương 3. Hàm tử Hom và hàm tử tenxơ, Trong chương này chúng ta đi
xây dựng các khái niệm module các đồng cấu, tích tenxơ của hai module, hàm tử
Hom, hàm tử tenxơ và chứng minh các tính chất cơ bản của chúng, với một lưu
ý rằng mặc dù "hàm tử" là một khái niệm trong lý thuyết phạm trù mà chúng ta
không trực tiếp định nghĩa, nhưng để cho gọn gàng trong cách nói ta lấy tên chương
là hàm tử hom và hàm tử tenxơ, chắc là điều đó không ảnh hưởng gì đến thứ tự
trình bày và nội dung các kiến thức của chương.

Chương 4. Một số module đặc biệt, Chương này trình bày các vấn đề cơ
bản mở đầu về các lớp module đặc biệt: module phẳng, module xạ ảnh, nội xạ,
module chia được, module Noether, Artin và module các thương.
Hệ thống bài tập cuối mỗi chương được biên soạn khá phong phú bao gồm các
bài tập để sinh viên luyện tập, tự kiểm tra việc lĩnh hội kiến thức và những bài tập
cho sinh viên tham gia vào việc phát triển những hiểu biết về lý thuyết.
Để giảm bớt các khó khăn ban đầu trong việc tự học và tự kiểm tra của sinh
5


6

MỤC LỤC

viên, vành cơ sở của module được nhắc đến luôn giả thiết là giao hoán có đơn vị
1 = 0. Hệ thống kiến thức cơ bản được chọn lựa một cách tối thiểu, các mệnh đề,
định lý được chứng minh tỉ mỉ, chi tiết. Ngoài ra cuối sách có hướng dẫn giải hầu
hết các bài tập của các chương, để sinh viên tiện đối chiếu trong quá trình tự học.
Hy vọng rằng với cách trình bày như vậy tài liệu này sẽ góp phần nâng cao hiệu
quả học tập của sinh viên.
Tác giả chân thành cám ơn các đồng nghiệp trong bộ môn Đại số khoa Toán Lý - Tin Trường Đại học Tây bắc đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình
biên soạn tài liệu này. Đặc biệt chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu,
Phòng Đào tạo và Quản lý khoa học, Khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện thuận
lợi để chúng tôi hoàn thành giáo trình này.
Cuối cùng, do kinh nghiệm khoa học cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, chắc
rằng tài liệu vẫn còn chứa một số lỗi khác. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận được
các ý kiến đóng góp phê bình của các đồng nghiệp và các bạn sinh viên.
Sơn la, ngày 15 tháng 7 năm 2012
Tác giả

Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ
ĐỒNG CẤU MODULE
Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về module, module con,
module thương, tổng và giao các module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu và
các định lý đẳng cấu module.

1.1

Định nghĩa và các ví dụ

Khái niệm module trên một vành là một sự mở rộng của khái niệm không gian
vectơ trên một trường. Nói rõ hơn là nếu trong định nghĩa khái niệm K−không gian
véc tơ ta thay trường K bởi vành K thì ta được định nghĩa của K− module. Từ
chính sự mở rộng này mà lớp các module chứa lớp các nhóm aben (vì mỗi nhóm
aben có thể coi như module trên vành số nguyên Z). Ngoài ra mỗi một vành lại
cũng có thể coi là một module trên chính nó. Qua đó ta thấy cấu trúc module có
khả năng thống nhất các cấu trúc nhóm aben, vành và không gian véc tơ. Vì vậy có
thể nói khái niệm module là một trong các khái niệm cơ bản và quan trọng của đại
số hiện đại.
Để tạo điều kiện thuận lợi cho người mới bắt đầu làm quen với lý thuyết module,
ta luôn giả thiết rằng vành cơ sở R luôn là một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0.

Định nghĩa 1.1. Một nhóm cộng abel M cùng với một ánh xạ gọi là phép nhân với
vô hướng

R × M −→ M
(a, x) −→ ax
7

ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

8
thỏa mãn các điều kiện sau:

(M1 )

a(x + y) = ax + ay

(M2 )

(a + b)x = ax + bx

(M3 )

(ab)x = a(bx)

(M4 )

1x = x

Với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M gọi là một module trên R hay còn gọi là
R−module. Nếu vành R đã rõ ràng và không sợ nhầm lẫn thì ta gọi tắt là module.
Vành R gọi là vành cơ sở, các phần tử của R gọi là các vô hướng.
Ví dụ 1.1.

1. Mỗi K−không gian vectơ V là một K−module.

2. Mỗi nhóm cộng abel M là một Z−module với phép nhân với vô hướng xác
định bởi


x + x + · · · + x với n ≥ 1
n ∈ Z, x ∈ M : nx = 0
với n = 0


(−n)(−x)
với n < 0

3. Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì và
được gọi là module không; ký hiệu là 0.

4. Giả sử R là một vành và n là số tự nhiên khác 0. Khi đó tập tích Decaster
Rn = {(a1 , a2 , . . . , an )| ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}
cùng với phép cộng và nhân với vô hướng xác định như sau:
(a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn )
k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan )
là một R−module.
Đặc biệt, khi n = 1 ta có R là một R−module.
5. Tập hợp Matm×n (R) các ma trận cấp m × n với các phần tử thuộc vành R là
một R−module với phép cộng các ma trận cùng cấp và phép nhân vô hướng
chính là phép nhân một phần tử của R với ma trận.
6. Giả sử K là một vành con của vành R thì R là K−module với phép cộng,
phép nhân với vô hướng chính là phép cộng, nhân của chính vành R.
7. Nói riêng, vành đa thức R[x] là một R−module.

9

1.1 Định nghĩa và các ví dụ

8. Giả sử M là một R−module, S là một tập bất kì. Ta gọi E là tập tất cả các
ánh xạ từ S vào M. Khi đó E là một R−module với hai phép toán cộng và
phép nhân với vô hướng được xác định như sau: với mọi f, g ∈ E, mọi s ∈ S,
mọi k ∈ R.
(f + g)(s) = f (s) + g(s)
(kf )(s) = kf (s)
9. Giả sử f : R −→ S là một đồng cấu vành bảo toàn đơn vị. Khi đó với mỗi
S−module M sẽ có một cách tự nhiên cấu trúc R−module với phép nhân với
vô hướng được định nghĩa như sau: với mọi a ∈ R, x ∈ M đặt ax = f (a)x.
Sau đây là một số tính chất đơn giản của module
Giả sử M là R−module. Khi đó ta có:
Tính chất 1.1.
0x = 0,

∀x ∈ M

a0 = 0,

∀a ∈ R

Chứng minh. Ta có 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, thực hiện luật giản ước trong nhóm
M thì ta được 0x = 0. Tương tự a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, thực hiện luật giản ước
trong nhóm M thì ta được 0a = 0.
Lưu ý rằng trong một R−module, từ đẳng thức ax = 0 không suy ra được a = 0
hoặc x = 0 như trong không gian véc tơ.
Tính chất 1.2. a(−x) = (−a)x = −ax Với ∀a ∈ R, ∀x ∈ M

Chứng minh. Ta có 0 = a.0 = a(x+(−x)) = ax+a(−x). Từ đó ta có a(−x) = −ax.
Tương tự, 0 = 0x = (a + (−a))x = ax + (−a)x. Từ đó ta có (−a)x = −ax.
Từ tính chất 1.2 và định nghĩa của module ta dễ dàng suy ra tính chất sau:
Tính chất 1.3. Với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M ta có
a(x − y) = ax − ay;

(a − b)x = ax − bx

Tương tự như không gian vectơ, khi cho một module thì ta cũng có các khái
niệm module con, module thương, đồng cấu module, khái niệm độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính, hệ sinh và cơ sở. Nhưng thay vì trường K là vành R, nên
không phải bất cứ module nào cũng có cơ sở và tính chất của các khái niệm cũng
có sự thay đổi. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét các vấn đề đó.


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

10

1.2

Module con

Định nghĩa 1.2. Một tập con khác rỗng N của một R−module M được gọi là
module con của M nếu và chỉ nếu nó là một R−module đối với phép toán của M
thu hẹp vào N.
Mệnh đề 1.1. (Điều kiện tương đương)
Giả sử M là một R−module, N là một tập con khác rỗng của M. Khi đó N là
module con của M khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn
1. x + y ∈ N với mọi x, y ∈ N.

2. ax ∈ N với mọi x ∈ N; a ∈ R.
Chứng minh. Điều kiện cần: Hiển nhiên.
Điều kiện đủ: Giả sử N là tập con của R−module M thỏa mãn các điều kiện
(1) và (2). Khi đó với mọi x, y ∈ N có x và −y thuộc N suy ra x − y ∈ N và do đó
N là một nhóm con của nhóm cộng Abel M, nói riêng N là một nhóm cộng Aben.
Điều kiện (2) xác định một ánh xạ
R × N −→ N
(a, x) −→ ax
Do các điều kiện trong định nghĩa của một module được thỏa mãn trong M, nên
cũng thỏa mãn trong N. Vậy N là một R−module và do đó là module con của M.
Hệ quả 1.1. Một bộ phận N = ∅ của R−module M là một module con của M nếu
và chỉ nếu với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ N đều có ax + by ∈ N.
Chứng minh. Điều kiện cần: Hiển nhiên.
Điều kiện đủ: Giả sử N ⊂ M thỏa mãn ax + by ∈ N với mọi a, b ∈ R và với mọi
x, y ∈ N. Ta chọn b = 0 thì ta được ax ∈ N, ∀x ∈ N, ∀a ∈ R. Ta lại chọn a = b = 1
thì được x + y ∈ N, ∀x, y ∈ N. Như vậy các điều kiện của mệnh đề 1.1 được thỏa
mãn, nên N là một module con của M.
Ví dụ 1.2.
1. Giả sử M là một R−module. Khi đó M và {0} là các module con
của M. Chúng được gọi là các module con tầm thường.
2. Vành R được xem như một R−module thì các module con của R chính là các
ideal của R.
3. Nếu M là một nhóm cộng abel, ta xem nó như là một Z−module, thì các
module con của M chính là các nhóm con của M.
Mệnh đề 1.2. Giả sử M là một R−module và {Ni }i∈I là một họ các module con
của M. Khi đó N =
Ni là một module con của M.
i∈I

11

1.2 Module con
Chứng minh. Ta có 0 ∈ Ni với ∀i ∈ I nên 0 ∈

Ni = N, vậy N = ∅. Mặt khác
i∈I

với mọi x, y ∈ N có x, y ∈ Ni ; ∀i ∈ I, do Ni là module con của M nên với mọi
a, b ∈ R ta có ax + by ∈ Ni , ∀i ∈ I suy ra ax + by ∈
Ni = N. Vậy N là module
i∈I

con của M.

Chú ý 1.1. Nói chung hợp của các module con của R−module M không là một
module con của M, chẳng hạn trong Z−module Z, hợp của hai module con 2Z và
3Z là tập 2Z ∪ 3Z không là một module con của Z vì với 2 ∈ 2Z, 3 ∈ 3Z nhưng
5 = 2 + 3 ∈ 2Z ∪ 3Z.
Tuy nhiên, nếu với ∀i, j ∈ I, i = j tồn tại k ∈ I sao cho Ni ∪ Nj ⊂ Nk thì

Ni
i∈I

là một module con của M. Thật vậy, ta đặt N =

Ni , khi đó hiển nhiên N = ∅.
i∈I

Giả sử x, y ∈ N, khi đó tồn tại các chỉ số i, j ∈ I sao cho x ∈ Ni , y ∈ Nj . Theo giả

thiết vì Ni ∪ Nj ⊂ Nk nên x, y ∈ Nk và do Nk là một module con của M nên với
mọi a, b ∈ R thì ax + by ∈ Nk hay là ax + by ∈ N. Vậy N là module con của M.
Nhận xét 1.1. Giả sử M là R−module, S là một bộ phận của M. Khi đó có ít
nhất một module con của M chứa S. chẳng hạn là M. Theo mệnh đề 2.2 thì giao
của tất cả các module con của M chứa S là module con bé nhất của M chứa S.
Định nghĩa 1.3. Giao của tất cả các module con của M chứa tập con S của M
được gọi là module con của M sinh bởi S và được kí hiệu là < S > .
Nếu < S >= M thì S được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M.
Nếu hệ sinh S của M chỉ gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là module hữu
hạn sinh hay là module có kiểu hữu hạn.
Đặc biệt nếu hệ sinh S chỉ gồm một phần tử là s thì M gọi là module xiclic và
s gọi là phần tử sinh. Ta viết M =< s > hay M = Rs.
Để mô tả module con sinh bởi một bộ phận S, ta cần một số khái niệm sau:
Giả sử I là một tập chỉ số tùy ý khác tập rỗng và (xi )i∈I là một họ phần tử của
vành cơ sở hoặc của module. Tập con I0 = {i ∈ I| xi = 0} gọi là giá của họ phần tử
(xi )i∈I . Nếu I0 là tập hữu hạn thì ta nói họ phần tử (xi )i∈I có giá hữu hạn. Khi đó
ta định nghĩa tổng của họ phần tử (xi )i∈I như sau:
xi

xi =
i∈I

(1.1)

i∈I0

Vì I0 là tập hữu hạn nên tổng ở vế phải của (1.1) là có nghĩa.
Giả sử (xi )i∈I là một họ phần tử của R−module M. Phần tử x ∈ M gọi là một
tổ hợp tuyến tính của họ (xi )i∈I nếu tồn tại họ phần tử (ai )i∈I của R với giá hữu
hạn sao cho

x=

ai xi
i∈I

(1.2)


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

12

Khi đó ta nói x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của họ (xi )i∈I và ai gọi là
các hệ tử trong R của x.
Chú ý về mặt thuật ngữ, ta nói họ phần tử (xi )i∈I "có giá hữu hạn" cùng nghĩa
với cách nói "xi = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn i ∈ I."
Bây giờ ta có thể mô tả module con sinh bởi một tập nhờ định lí sau:
Định lý 1.1. Giả sử M là một R−module và S = ∅ là một bộ phận của M. Module
con của M sinh bởi S là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của
S với hệ tử trong R. Tức là
as s | as ∈ R và (as )s∈S có giá hữu hạn

< S >=

(1.3)

s∈S

Chứng minh. Gọi T là tập ở vế phải của đẳng thức cần chứng minh (1.3). Ta cần
chứng minh T =< S >, nghĩa là T là module con bé nhất của M chứa S. Ta có với

mọi s ∈ S thì s ∈ T nên T = ∅ và ta cũng có S ⊂ T. Tiếp theo là với mọi a, b ∈ R
và với mọi x, y ∈ T, x =
as s, y =
bs s, thì do giá của họ (as )s∈S , (bs )s∈S là hữu
s∈S

s∈S

hạn nên giá của họ (aas + bbs )s∈S cũng hữu hạn suy ra ax + by =

(aas + bbs )s ∈ T.
s∈S

Vậy T là module con của M chứa S. Mặt khác mọi module con của M chứa S đều
chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính các phần tử của S, nên chứa T. Vậy T là module
con bé nhất của M chứa S.
Định nghĩa 1.4. Cho (Mi )i∈I là một họ các module con của M. Khi đó module con
của M sinh bởi tập S =
Mi được gọi là tổng của các module con Mi và được kí
i∈I

hiệu bởi

Mi .
i∈I

Nếu I = {1, 2, · · · , n}, thay vì

n

Mi ta viết

Mi
i=1

i∈I

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa ta có

Mi là module con bé nhất của M chứa tất
i∈I

cả các module con Mi . Từ đó suy ra Mi + M = M, Mi + 0 = Mi và
Nếu M1 ⊂ M2 thì M1 + M2 = M2 .
Định lý 1.2.

Mi là tập tất cả các tổng dạng
i∈I

xi với xi ∈ Mi và (xi )i∈I có giá
i∈I

hữu hạn.
Chứng minh. Ta cần chứng minh
xi | xi ∈ Mi ; (xi )i∈I có giá hữu hạn}

Mi = {
i∈I

Mỗi phần tử x ∈

i∈I

Mi là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S =
i∈I

nghĩa là x có dạng x =

as xs , trong mỗi tổ hợp tuyến tính
s∈S

Mi ,
i∈I

as xs , ta nhóm tất
s∈S


13

1.3 Module thương
cả các phần tử cùng thuộc Mi với nhau và đặt là xi . Khi đó tổng

as xs được viết
s∈S

thành

xi , xi ∈ Mi , ∀i ∈ I.
i∈I

Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được tập hợp tất cả các tổng dạng

xi , xi ∈ Mi
i∈I

là một module con của M chứa

Mi .
i∈I

Nếu I = {1, 2, · · · , n} thì ta có

n

Mi = {x1 + x2 + · · · + xn | xi ∈ Mi }
i=1

Chú ý 1.2. Cách viết mỗi phần tử của
tức là có thể có đẳng thức

xi là không duy nhất,
i∈I

yi mà không nhất thiết có xi = yi với i ∈ I.

xi =
i∈I

1.3

Mi dưới dạng
i∈I

i∈I

Module thương

Giả sử N là một module con của R−module M. Khi đó N là nhóm con của
nhóm cộng abel M. Do đó nhóm thương M/N là nhóm cộng abel, các phần tử của
nó là các lớp ghép x + N của N trong M và phép cộng xác định bởi
(x + N) + (y + N) = (x + y) + N.
Ta xác định một phép nhân với vô hướng như sau: với mỗi a ∈ R; x + N ∈ M/N thì
a(x + N) = ax + N. Chú ý rằng phép nhân với vô hướng xác định như vậy không
phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp ghép. Thật vậy, nếu x + N = x′ + N thì
x − x′ ∈ N, do đó a(x − x′ ) = ax − ax′ ∈ N điều này kéo theo ax + N = ax′ + N.
Dễ dàng kiểm tra được nhóm cộng abel M/N cùng với phép nhân với vô hướng
như trên là một R−module. Module M/N được gọi là module thương của M trên
N. Phần tử x + N ∈ M/N thường được ký hiệu bởi x

1.4

Module xoắn

Định nghĩa 1.5. Cho R là một miền nguyên, M là R−module. Phần tử x ∈ M
được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại λ ∈ R − {0} sao cho λx = 0. Module M gọi là
module xoắn nếu mọi phần tử của M đều là phần tử xoắn. M gọi là module không
xoắn nếu M không có phần tử xoắn khác 0.
Nếu ta ký hiệu τ (M) là tập tất cả các phần tử xoắn của M, thì M là module
xoắn khi và chỉ khi τ (M) = M và M là module không xoắn khi và chỉ khi τ (M) = 0.

Ví dụ 1.3.

1. Z−module Z là module không xoắn

2. Z−module Zn là module xoắn.
3. Mọi module con của module xoắn (không xoắn) đều là module xoắn (không
xoắn).


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

14

Chú ý rằng, khái niệm "module xoắn" và "module không xoắn" không phải là
hai khái niệm phủ định nhau.
Mệnh đề 1.3. Giả sử R là một miền nguyên và M là R−module. Khi đó ta có:
1. τ (M) là một module con của M.
2. M/τ (M) là module không xoắn.
Chứng minh. 1. Ta có τ (M) = ∅ vì 0 ∈ τ (M). Mặt khác, với mọi x, y ∈ τ (M) và
với mọi a, b ∈ R thì tồn tại các phần tử khác không λ, µ ∈ R sao cho λx = µy = 0.
Vì R là một miền nguyên nên λµ = 0 và ta có
λµ(ax + by) = λµax + λµby = µa(λx) + λb(µy) = 0
suy ra ax + by ∈ τ (M). Vậy τ (M) là một module con của M.
2. Với mọi x ∈ τ M/τ (M) thì tồn tại 0 = λ ∈ R sao cho
λx = 0 hay λx ∈ τ (M)
Điều này chứng tỏ λx là phần tử xoắn của M, từ đó tồn tại 0 = µ ∈ R để µ(λx) = 0
hay là (µλ)x = 0. Bởi R là miền nguyên và λ, µ đều khác 0, nên µλ = 0. Suy ra
x ∈ τ (M) hay x = 0 do đó τ M/τ (M) = 0. Vậy M/τ (M) là module không xoắn.

1.5

1.5.1

Đồng cấu module
Định nghĩa đồng cấu module

Định nghĩa 1.6. Cho M và N là các R−module. Khi đó ánh xạ f : M −→ N được
gọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu R−module nếu f thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện sau:
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M
f (ax) = af (x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ M
Một đồng cấu R−module còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần thiết
phải chỉ rõ vành cơ sở.
Đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu của M nếu N = M.
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng là toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn
ánh (tương ứng là toàn ánh, song ánh). Khi f là đẳng cấu thì ta nói M đẳng cấu
với N và ta viết M ∼
= N.


15

1.5 Đồng cấu module

Nhận xét 1.3.
1. Hai điều kiện nêu trong định nghĩa 1.6 tương đương với một
điều kiện sau:
f (ax + by) = af (x) + bf (y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M
Thậy vậy, nếu f là một đồng cấu thì với mọi a, b ∈ R; x, y ∈ M ta có
f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af (x) + bf (y)
Ngược lại, nếu có f (ax + by) = af (x) + bf (y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M thì

f (x + y) = f (1x) + f (1y) = 1f (x) + 1f (y) = f (x) + f (y)
và
f (ax) = f (ax + 0y) = af (x) + 0f (y) = af (x).
Vậy f là một đồng cấu.
2. Nếu f : M −→ N là một đồng cấu R−module thì trước hết f là một đồng
cấu nhóm cộng, vì vậy f có đầy đủ các tính chất của đồng cấu nhóm cộng.
Mà một số trong các tính chất đó là:
f (0) = 0, f (−x) = −f (x), f (x − y) = f (x) − f (y)
3. Bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra được
f (a1 x1 + · · · + an xn ) = a1 f (x1 ) + · · · + an f (xn ); ai ∈ R, xi ∈ M, i = 1, . . . , n
Viết một cách tổng quát
f

ai xi
i∈I

Ví dụ 1.4.

=

ai f (xi )
i∈I

1. Ánh xạ đồng nhất:
idM : M −→ M
x −→ x

là một tự đồng cấu của M. Hơn nữa idM còn là một đẳng cấu.
2. Ánh xạ không:
0 : M −→ N

x −→ 0
là một đồng cấu.


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

16

3. Giả sử x ∈ M là một phần tử cố định thì ánh xạ
fx : R −→ M
a −→ ax
là một đồng cấu.
4. Giả sử a ∈ R là phần tử cố định thì ánh xạ
ga : M −→ M
x −→ ax
là một đồng cấu và được gọi là phép vị tự tỉ số a.
5. Giả sử N là module con của R−module M. Khi đó ánh xạ:
p : M −→ M/N
x −→ x + N
là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc hay phép chiếu chính tắc.
6. Ánh xạ
j : N −→ M
x −→ x
là một đơn cấu và được gọi đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc.

1.5.2

Hợp thành của hai đồng cấu

Mệnh đề 1.4. Nếu f : M −→ N, g : N −→ U là những đồng cấu R−module thì

hợp thành của chúng là gf cũng là một đồng cấu R−module. Hơn nữa nếu f, g là
những đẳng cấu thì gf cũng là đẳng cấu; Ánh xạ ngược f −1 của đẳng cấu f cũng
là một đẳng cấu.
Chứng minh. Với ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M ta có
gf (ax + by) = g f (ax + by) = g af (x) + bf (y)
= ag f (x) + bg f (y) = agf (x) + bgf (y)
Điều này chứng tỏ gf là một đồng cấu R−module.
Nếu f, g là các song ánh thì gf cũng là song ánh. Tức là nếu f, g là các đẳng
cấu thì gf là đẳng cấu.
Nếu f là đẳng cấu thì trước hết f −1 là song ánh. Hơn nữa ta có: với ∀a, b ∈
R; ∀x, y ∈ N thì tồn tại duy nhất x′ , y ′ ∈ M sao cho f (x′ ) = x, f (y ′) = y suy ra
x′ = f −1 (x), y ′ = f −1 (y). Do đó ta có f (ax′ + by ′ ) = af (x′ ) + bf (y ′ ) = ax + by hay
là f −1 (ax + by) = ax′ + by ′ = af −1 (x) + bf −1 (y). Vậy f −1 là một đẳng cấu.


17

1.5 Đồng cấu module

1.5.3

Ảnh và hạt nhân

Định nghĩa 1.7. Cho f : M −→ N là một đồng cấu R−module. Khi đó các tập
hợp:
Imf = {f (x)| x ∈ M} = f (M)

và

ker f = {x ∈ M| f (x) = 0} = f −1 (0)

tương ứng gọi là ảnh và hạt nhân của f.
Mệnh đề 1.5. Giả sử f : M −→ N là đồng cấu R−module. U, V tương ứng là
module con của M, N. Khi đó ta có:
1. f (U) là module con của N.
2. f −1 (V ) = {x ∈ M| f (x) ∈ V } là module con của M.
Chứng minh. 1. Ta có f (U) = ∅ vì 0 ∈ U nên f (0) ∈ f (U).
Với mọi x, y ∈ f (U) luôn tồn tại u, v ∈ U sao cho x = f (u), y = f (v). Vì f là
đồng cấu, do đó với mọi a, b ∈ R ta có ax + by = af (u) + bf (v) = f (au + bv)
Vì U là module con của M nên au + bv ∈ U, suy ra ax + by = f (au + bv) ∈ f (U).
Vậy f (U) là module con của N.
2. Ta có f −1 (V ) = ∅ vì f (0) = 0 ∈ V nên 0 ∈ f −1 (V ).
Với mọi x, y ∈ f −1 (V ) thì f (x), f (y) ∈ V suy ra af (x) + bf (y) = f (ax + by) ∈ V
với mọi a, b ∈ R. Do đó ax + by ∈ f −1 (V ). Vậy f −1 (V ) là module con của M.
Hệ quả 1.2. Giả sử f : M −→ N là R−đồng cấu module. Khi đó ta có Imf và
Kerf tương ứng là module con của N và M.
Nhận xét 1.4. Vì mỗi đồng cấu f : M −→ N là một đồng cấu nhóm cộng nên ta
có f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = 0 và f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N.
Định lý 1.3. Giả sử f : M −→ N là R−đồng cấu module. Khi đó hai tính chất
sau là tương đương
1. f là đơn cấu
2. f giản ước được bên trái, nghĩa là với mọi đồng cấu g1 , g2 : L −→ M thỏa
mãn đẳng thức f g1 = f g2 đều kéo theo g1 = g2 .
Chứng minh. (1 ⇒ 2) Giả sử f là đơn cấu và f g1 = f g2 với g1 , g2 : L −→ M
là các đồng cấu. Khi đó ta có ∀x ∈ L, f g1 (x) = f g2 (x) do f là đơn cấu nên suy ra
g1 (x) = g2 (x). Điều này chứng tỏ g1 = g2 .
(2 ⇒ 1) Giả sử f giản ước được bên trái và f (x) = f (x′ ) suy ra f (x − x′ ) = 0.
Đặt L = R(x − x′ ) và g1 : L −→ M là phép nhúng chính tắc còn g2 : L −→ M
là đồng cấu không. Khi đó dễ thấy f g1 = f g2 , Do f giản ước được bên trái nên
g1 = g2 . Từ đó suy ra x − x′ = g1 (x − x′ ) = g2 (x − x′ ) = 0 hay x = x′ . Vậy f là đơn

cấu.
.


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

18

Định lý 1.4. Giả sử f : M −→ N là đồng cấu module. Khi đó hai tính chất sau là
tương đương.
1. f là toàn cấu.
2. f giản ước được bên phải, nghĩa là mọi đồng cấu g1 , g2 : N −→ L thỏa mãn
đẳng thức g1 f = g2 f đều kéo theo g1 = g2 .
Chứng minh. 1. ⇒ 2. Vì f là toàn cấu nên với mọi y ∈ N luôn tồn tại x ∈ M
để f (x) = y. Do đó g1 (y) = g1 f (x) = g2 f (x) = g2 (y), suy ra g1 = g2 .
2. ⇒ 1. Đặt L = N/Imf và g1 : N −→ L là phép chiếu chính tắc còn
g2 : N −→ L là đồng cấu không. Khi đó dễ thấy g1 f = g2 f = 0. Thực hiện giản ước
f ở bên phải ta được g1 = g2 và suy ra L = 0, hay N = Imf. Vậy f là toàn cấu.
Định lý 1.5. (Định lý đồng cấu tổng quát)
Giả sử M, N, L là các R−module và f : L −→ M, g : L −→ N là các R−đồng
cấu module, trong đó f là toàn cấu. Khi đó
1. Tồn tại duy nhất đồng cấu h : M −→ N sao cho biểu đồ sau là giao hoán.
f

L
g

M
h

N
(Nghĩa là g = hf ) nếu và chỉ nếu Kerf ⊆ Kerg. Khi biểu đồ trên giao hoán ta
còn có hai điều tương đương sau
2. h là đơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf = Kerg.
3. h là toàn cấu nếu và chỉ nếu g là toàn cấu.
Chứng minh. 1. (=⇒) Giả sử có đồng cấu h : M −→ N sao cho g = hf. Khi đó
với mọi x ∈ Kerf có f (x) = 0 nên suy ra g(x) = hf (x) = h f (x) = h(0) = 0. Do
đó x ∈ Kerg. Vậy Kerf ⊆ Kerg.
(⇐=) Giả sử Kerf ⊆ Kerg. Khi đó với mọi y ∈ M thì tồn tại x ∈ L sao cho
y = f (x) (do f là toàn cấu). Ta đặt h : M −→ N xác định bởi mỗi y ∈ M cho
tương ứng với g(x) hay h(y) = g(x). Khi đó:
• h là một ánh xạ, thật vậy
Với mọi y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) ∈ M, nếu y1 = y2 thì f (x1 ) = f (x2 ) suy
ra f (x1 − x2 ) = f (x1 ) − f (x2 ) = 0 từ đó x1 − x2 ∈ Kerf ⊆ Kerg suy ra
g(x1 ) − g(x2 ) = g(x1 − x2 ) = 0 hay g(x1 ) = g(x2 ) và do đó h(y1 ) = h(y2 ).


19

1.5 Đồng cấu module
• h là một đồng cấu, thật vậy

Với mọi a, b ∈ R và với mọi y1 , y2 ∈ M thì tồn tại x1 , x2 ∈ L sao cho y1 =
f (x1 ), y2 = f (x2 ). Do f là một đồng cấu nên ay1 + by2 = f (ax1 + bx2 ). Từ
đó, theo cách xác định của ánh xạ h ta có h(ay1 + by2 ) = g(ax1 + bx2 ) =
ag(x1 ) + bg(x2 ) = ah(y1 ) + bh(y2 ).
• g = hf vì với x ∈ L đặt y = f (x) ∈ M thì g(x) = h(y) = h f (x) = hf (x).
• h là duy nhất vì nếu còn có đồng cấu h′ : M −→ N sao cho g = h′ f = hf thì
từ giả thiết f là toàn cấu nên giản ước được bên phải suy ra h′ = h.
2. Ta có x ∈ Kerg khi và chỉ khi g(x) = hf (x) = h f (x) = 0 hay f (x) ∈ Kerh.

Từ đó ta có Kerh = 0 tương đương f (x) = 0 hay là x ∈ Kerf. Do đó Kerg ⊆ Kerf.
Kết hợp với giả thiết Kerf ⊆ Kerg thì ta có Kerf = Kerg.
3. Do f là toàn cấu nên ta có h là toàn cấu khi và chỉ khi h(M) = N hay
hf (L) = N tương đương g(L) = N. Điều này chứng tỏ h là toàn cấu khi và chỉ khi
g là toàn cấu.
Định lý 1.6. (Định lí đồng cấu module) Giả sử f : M −→ N là một đồng cấu
R−module và p : M −→ M/Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất
một đơn cấu h : M/Kerf −→ N sao cho biểu đồ sau giao hoán.
f

M
p

N
h

M/Kerf
Nghĩa là f = hp. Từ đó suy ra h là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu.
Chứng minh. Ta có Kerp = Kerf, áp dụng phần 1. và 2. Định lí 1.5 suy ra tồn tại
duy nhất đơn cấu h : M/Kerf −→ N sao cho f = hp.
Tiếp tục áp dụng phần 3. của Định lí 1.5 thì h là đẳng cấu khi và chỉ khi f là
toàn cấu.
Hệ quả 1.3. Giả sử f : M −→ N là một đồng cấu module. Khi đó ta luôn có
M/Kerf ∼
= Imf.
Định lý 1.7. (Tính chất phổ dụng của module thương)
Giả sử N là module con của module M và p : M −→ M/N là toàn cấu chính
tắc. Khi đó với mỗi đồng cấu f : M −→ P sao cho N ⊆ Kerf, thì tồn tại duy nhất
một đồng cấu h : M/N −→ P sao cho f = hp. Nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán
f

M
p

P
h

M/N


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

20

Chứng minh. Định lí được suy ra trực tiếp từ định lí đồng cấu tổng quát.
Định lý 1.8. (Định lí đẳng cấu thứ nhất)
Nếu N, P là các module con của R−module M thì ta có đẳng cấu sau
(N + P )/N ∼
= P/(N ∩ P )
Chứng minh. Ta xét đồng cấu
f : P −→ (N + P )/N
p −→ p + N
Khi đó với mọi x + N ∈ (N + P )/N thì tồn tại n ∈ N, p ∈ P sao cho
x + N = (n + p) + N = p + N.
Từ đó f (p) = p + N = x + N, suy ra f là toàn cấu hay Imf = (N + P )/N. Mặt
khác
Kerf = {p ∈ P | f (p) = 0} = {p ∈ P | p + N = N} = {p ∈ P | p ∈ N} = P ∩ N.
Áp dụng Hệ quả 1.3, ta được (N + P )/N ∼
= P/(N ∩ P ).
Định lý 1.9. (Định lí đẳng cấu thứ hai)

Giả sử N, P là các module con của R−module M sao cho N ⊂ P. Khi đó ta có
đẳng cấu
M/P ∼
= (M/N)/(P/N)
Chứng minh. Xét tương ứng
f : M/N −→ M/P
x + N −→ x + P
Ta có
• f là ánh xạ vì nếu có x1 + N = x2 + N thì x1 − x2 ∈ N ⊂ P suy ra
x1 + P = x2 + P.
• f là đồng cấu vì với mọi a, b ∈ R và mọi x1 , x2 ∈ M có
f a(x1 + N) + b(x2 + N) = f (ax1 + N) + (bx2 + N)
= f (ax1 + bx2 ) + N = (ax1 + bx2 ) + P
= a(x1 + P ) + b(x2 + P ) = af (x1 + N) + bf (x2 + N)
• f là toàn cấu vì với mọi x + P ∈ M/P thì ta luôn có x + N ∈ M/N sao cho
f (x + N) = x + P.


21

1.5 Đồng cấu module
• Ta có
Kerf = {x + N ∈ M/N | f (x + N) = 0 + P }
= {x + N ∈ M/N | x + P = P }
= {x + N ∈ M/N | x ∈ P } = P/N
Theo hệ quả 1.3 thì ta có (M/N)/(P/N) ∼
= M/P.

Định nghĩa 1.8. Cho f : M −→ N là một đồng cấu R−module. Khi đó ta gọi các
module thương M/ ker f ; N/Imf tương ứng là đối ảnh và đối hạt nhân của f , kí hiệu

Cokerf = N/Imf ; Coimf = M/ ker f.
Định lý 1.10. (Tính chất phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân)
1. Trong biểu đồ các đồng cấu module sau:
i

Kerf

f

M

N

g
L
nếu gf = 0 và i là phép nhúng chính tắc thì tồn tại duy nhất một đồng cấu
h : L −→ Kerf sao cho ih = g. Nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán
i

Kerf

f

M

N

g

h

L
2. Trong biểu đồ các đồng cấu module sau
M

f

N

p

Cokerf

g
P
nếu gf = 0 và p là toàn cấu chính tắc thì tồn tại duy nhất một đồng cấu
module h : Cokerf −→ P sao cho g = hp. Nghĩa là biểu đồ sau giao hoán.
M

f

N
g

p

Cokerf
h

P

22

ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

Chứng minh. 1. Vì f g = 0 nên Img ⊂ Kerf. Do đó ta đặt tương ứng h : L −→ Kerf
xác định bởi h(x) = g(x). Rõ ràng ta có h(x) = g(x) = ih(x). Suy ra g = ih
2. Vì gf = 0 nên Imf ⊂ Kerg. Theo định lí 1.7 về tính chất phổ dụng của module
thương M/Imf = Cokerf, thì tồn tại duy nhất đồng cấu h : Cokerf −→ P sao cho
g = hp.


Bài tập
Cũng như quy ước ban đầu, các bài tập đưa ra dưới đây được xét với vành cơ
sở luôn giao hoán và có đơn vị 1 = 0.
⊲ 1.1. Cho R là một vành, M là một Z−module và HomZ (M, M) là vành các tự
đồng cấu của nhóm cộng aben M. Chứng minh rằng M là R−module khi và chỉ khi
tồn tại một đồng cấu vành ϕ : R −→ HomZ (M, M) sao cho ϕ(1) = 1M .
⊲ 1.2. Chứng minh rằng trong 8 tiên đề của định nghĩa module, gồm 4 tiên đề về
nhóm cộng giao hoán và 4 tiên đề (M1 ) − (M4 ), ta có thể bỏ đi tiên đề giao hoán
của phép cộng. Nói cách khác, tiên đề này được suy ra từ 7 tiên đề còn lại.
⊲ 1.3. Cho M là R−module, A là một ideal của R. Chứng minh rằng với x ∈ M
thì Ax = {ax| a ∈ A} là module con của M.
⊲ 1.4. Giả sử M là một R−module, N là module con của M và I là một ideal của
R. Ta ký hiệu
N : I = x ∈ M | ax ∈ N với mọi a ∈ I .
Ann(M/N) = a ∈ R | a(x + N) = N với mọi x ∈ M .
Chứng minh rằng
1. N : I là một module con của M chứa N.
2. Ann(M/N) là một ideal của R.

3. N : I = M khi và chỉ khi I ⊆ Ann(M/N).
⊲ 1.5. Cho M là R−module và x ∈ M. Ký hiệu Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0} gọi là
linh hóa tử của phần tử x hay cái triệt của x.
1. Chứng minh rằng Ann(x) là một ideal của R.
2. Đặt Ann(M) =

Ann(x). Chứng minh rằng M là một R/Ann(M)−module
x∈M

với phép nhân ngoài xác định bởi a + Ann(M) x = ax; a ∈ R và x ∈ M.
3. Với mọi 0 = a ∈ R, tập M(a) = {x ∈ M | ax = 0} là module con của M.
23


ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE

24

⊲ 1.6. Giả sử M là R−module, phần tử x ∈ M được gọi là tuần hoàn nếu và chỉ
nếu Ann(x) = 0. Chứng minh rằng nếu R là miền nguyên thì M là module xoắn
khi và chỉ khi mọi phần tử của M đều tuần hoàn.
⊲ 1.7. Cho I là một tập con khác rỗng của R và S là tập con khác rỗng của
R−module M. Ta ký hiệu:
n

ai si | ai ∈ I; si ∈ S; n ≥ 1 .

IS =
i=1

Chứng minh rằng IS là module con của M nếu I là một ideal của R hoặc S là một
module con của M. Đặc biệt RS là module con của M sinh bởi S.
⊲ 1.8. Cho R là một miền nguyên và M là một R−module sinh bởi tập S. Chứng
minh rằng M là một module xoắn nếu và chỉ nếu các phần tử của S là các phần tử
xoắn.
⊲ 1.9. Cho f, g : M −→ N là các đồng cấu R−module. Chứng minh rằng tập
A = {x ∈ M| f (x) = g(x)} là một module con của M.
⊲ 1.10. Một R−module M khác 0 được gọi là module đơn nếu nó chỉ có hai module
con là 0 và chính nó. Chứng minh rằng nếu M là một module đơn và f : M −→ N
là một đồng cấu thì:
1. Imf là module con đơn của N.
2. Nếu Imf = 0 thì f là đơn cấu.
3. Nếu N cũng là module đơn thì hoặc f là đồng cấu không, hoặc f là đẳng cấu.
⊲ 1.11. Giả sử M là một R−module khác 0. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là
tương đương:
1. M là module đơn.
2. Mọi đồng cấu khác không f : M −→ N luôn là đơn cấu.
3. Mọi đồng cấu khác không g : N −→ M luôn là toàn cấu.
⊲ 1.12. Giả sử N là module con của R−module M. Chứng minh rằng:
1. Nếu M hữu hạn sinh thì M/N cũng hữu hạn sinh.
2. Nếu M/N và N đều hữu hạn sinh thì M là hữu hạn sinh.
⊲ 1.13. Giả sử M1 , M2 là các module con của R−module M. Chứng minh rằng nếu
M1 + M2 và M1 ∩ M2 là hữu hạn sinh thì M1 và M2 cũng hữu hạn sinh.
⊲ 1.14. Giả sử M1 , M2 là các module con của R−module M. Chứng minh rằng
M1 ∪ M2 là module con của M khi và chỉ khi M1 ⊂ M2 hoặc M2 ⊂ M1 .


25

1.5 Đồng cấu module

⊲ 1.15. Chứng minh rằng mỗi đồng cấu module là duy nhất xác định bởi ảnh của
một tập sinh. Nghĩa là nếu S là tập sinh của R−module M và f, g : M −→ N là
các đồng cấu module sao cho f (s) = g(s) với mọi s ∈ S thì f = g.
Tuy nhiên, không phải mọi ánh xạ ϕ : S −→ N đều có thể mở rộng thành đồng
cấu từ M vào N. Tìm điều kiện để ϕ mở rộng được thành đồng cấu từ M vào N.
⊲ 1.16. Giả sử M, M ′ là các R−module và N, N ′ tương ứng là module con của
M, M ′ . Giả sử M ∼
= M ′ và N ∼
= N ′ thì có kết luận M/N ∼
= M ′ /N ′ được hay không?
⊲ 1.17. Chứng minh luật modular: nếu A, B, C là các module con của R−module
M với B ⊂ C, thì
(A + B) ∩ C = (A ∩ C) + B
Cho ví dụ chứng tỏ rằng đẳng thức
(A + B) ∩ C = (A ∩ C) + (B ∩ C)
nói chung không đúng khi bỏ đi giả thiết B ⊂ C.
⊲ 1.18. Ta gọi một module con của R−module M là tối đại nếu N = M và nó không
chứa trong một module con thực sự nào của M. Chứng minh rằng mỗi R−module
M = 0 hữu hạn sinh đều chứa ít nhất một module con tối đại.
⊲ 1.19. Giả sử M là một R− module và N là module con thực sự của M. Chứng
minh rằng với mỗi a ∈ M \ N luôn tồn tại module con tối đại P của M chứa N mà
không chứa a.
⊲ 1.20. Chứng minh rằng trong Z−module Q các số hữu tỷ không có module con
tối đại.
⊲ 1.21. Giả sử f : M −→ N là một toàn cấu R−module và P là một module con
của M. Chứng minh rằng:
1. Nếu P ∩ kerf = 0 thì f |P : P −→ N là một đơn cấu.
2. Nếu P + kerf = M thì f |P : P −→ N là một toàn cấu.
⊲ 1.22. Giả sử ϕ : M −→ N là một đồng cấu R−module và U, V tương ứng là các

module con của M, N. Chứng minh rằng:
1. ϕ−1 (ϕ(U)) = U + kerϕ.
2. ϕ(ϕ−1 (V )) = V ∩ Imϕ.
⊲ 1.23. Giả sử M1 , M2 , N là các module con của một R−module M với M1 ⊆ M2 .
Chứng minh rằng:
M2
M2 + N ∼
=
M1 + N
M1 ∩ (M2 + N)
.