PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG
Ví dụ 1 Giải pt: 4 x 2  8 x  2 x  3  1
Bài giải
3
ĐK: x   .
2
Phương trình đã cho tương đương
Phương trình (1) tương đương

1  8 x  4 x 2  0
2 x  3  1  8x  4 x  
2 2
2 x  3  1  8 x  4 x 
2

1

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 2 Giải phương trình 2 3 3 x  2  3 6  5 x  8  0
Bài giải
6
ĐK: x 
5
Đặt t  3 3 x  2  x 

 t3  2 
t3  2
. Phương trình đã cho trở thành 2t  3 6  5 
 8  0

3
 3 

Ví dụ 3 Giải pt x 2  x  2  3 x  5 x 2  4 x  6
Bài giải
ĐK:
NHÂN LIÊN HỢP
Dạng 1
3x  2
Ví dụ 4 Giải pt 2 x  4  2 2  x 
2 x
Bài giải
ĐK:
Dạng 2
Ví dụ 5 Giải pt
Bài giải
ĐK:
Dạng 3

3 x  1  6  x  3 x 2  14 x  8  0

Ví dụ 6 Giải pt 3 x  1  5 x  4  3 x 2  x  3
Bài giải
ĐK:
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Dạng 1
Ví dụ 7 Giải pt 1  x  1  x  2 x 3  6 x
Bài giải
ĐK:
Dạng 2

Ví dụ 8 Giải pt  x  2 
Bài giải
ĐK:



 

x2  4x  7  1  x



x2  3  1  0 .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1. 2 x  2  2 x  1  x  1  4

46. 3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x

2.

2  x 2  16 

3.

5x  1  x  1  2x  4

48. x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1

5.

x  1  2 x  2  5x  1

50.

7.

8x 2  6 x  1  4 x  1  0

52. 3x 2  6  8 x3  1

9.

10 x  1  3x  5  9 x  4  2 x  2

4.
6.
8.

x3

 x 3 

7x
x3

47. x  4  x  4  2 x  12  2 x 2  16

49.  x  1 x  3  x 2  2 x  3  2   x  1

2 x  1  x 2  3x  1  0

x  12  x  3  2 x  1

2 x  7  5  x  3x  2

24  5 x  x 2  12  4 x  x 2  2

12.

x 2  x  1  x2  9 x  9  2x

14.

4 x2  1  x  2 x2  x  2x  1
1
1

2
2 x  3x  5 2 x  1

13.
15.
16.
17.
18.
19.

x2  4x  3  4 x  x2

51. x 2  5 x  8  3 2 x3  5 x 2  7 x  6

10. x 2 x  2  5 x  9
11.

2

2  x  2  x  4  x2  2
2
 1  3  2 x  x2
x 1  3  x

53.
54.

55. 4  2 x 2  1  3  x 2  2 x  2 x  1  2  x3  5 x 



x2  x  x  2  3 x 2  2 x  2

57.

x 1  4x  1  4

x2  3x  3  2 x  3
x  x2 9 x

x 1  x  2  2x  3

59. 3 x  4  x  4  2 3 4 x 2  16





60. x 2  1  x 2 x  3 x  3



2x  1 

 2 x  1
3  2x 

2x  3  2



2

65.

2



x  6  x 1  5

64. x 2  7 x  2  2 3x  1  0

20.  x  1 2 x  1  3  x  1



3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0

61.

63.

3x  1  x
1
2x 1

x2  1  2 x2  2x  3  3 x2  4x  5

58.

62.

2



56. 3 2 x 2  x x 2  3  2 1  x 4 

4

1
5
 x   x  2x 
x
x
x

21.  x  3 x 2  4  x 2  9

66.

3x 2  7 x  3  x 2  2  3x 2  5 x  1  x 2  3x  4

22.

67.

2 x 2  3x  2  3 x  6  4  2 x 2  11x  6  3 x  2

1  1  4x2
3
x

23. 2 x 2  x  1  x  1  2  2 2 x  1

68. 8 x 2  10 x  11  14 x  18  11


24. 2 x  5   x 2  4 x  3
1

3
25. 2 x  3 
9  2x 
2
2

71.  x  1 x  2   x  6  x  7  x 2  7 x  12

27. 4  3 10  3 x  x  2

72.

28. 2 x 2  6 x  1  4 x  5

73.

29. 3  x 2  1 2 x  1  2  x3  x 2 
9

3x  1  5 x  4  3 x 2  x  3

70.

26.  x  3 10  x 2  x 2  x  12

30.

3  x  x  2  x3  x 2  4 x  1

69.

74.

9
9
 x x
x
x



76.

7  2x
4
32. x x 
 4 x 2
x
x

77.

x4 2



x7
3



4  x  2  2 x

x  2  4  x  2 x2  5x  1

4 x  1  6x  4  2 x2  2 x  3

75.

31. 2 3 3x  2  3 6  5 x  8  0

5 x  1  3 x  13 



5 x  1  3 9  x  2 x 2  3x  1
6x2



2x  1  1

2

 2x  x 1  1

3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2
78. 4 x 2  3x  1  x  1
1
3x

34.
79. 2  x  2  x  1  1  5 x  x 2
1 
2
2
1 x
1 x
33.





x  2  x 2  x  2  3x  2

35. x  3  1  x 2  3 x  1  1  x

80.

37. 3x 2  15  x 2  x  3  3x

82. 4 x  1  2 2 x  3   x  1  x 2  2 

39. x  4  x 2  2  3x 4  x 2

84.

36. x 2  2 x x 

1

 8x 1
x

38. 3x  5  7  3x  9 x 2  36 x  38
40. 1  2 x  1  2 x  2  x 2
41.
42.

 x  1
1 x 1
x 
 2x 1 
2
4
8
x  1  x 2  2  3x  4 x 2



43. x 2  5 x  4 1  x3  2 x 2  4 x
44.



45. x  1  x  4 x  1  3 x

83. 4 x3  x   x  1 2 x  1  0
x7
 8  2x2  2x 1
x 1

4x  1  4x2  1  1

85.

2

86.
87.

x  2  3  x  4 6  x  x2  5  0
2

x  2  3  x  x2  x  1

81.

3

3  x 3  2 x3  x  3

x 3  x 2  3 x  1  x3  6 x  2  5

88. 2 x 2  11x  21  3 3 4 x  4

89.  x  4  x  4  1  2 x  2 x  1  x  5

x2  2 x  8
90. (THPTQG 2015) 2
  x  1

x  2x  3



x2 2




RÚT THẾ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1
 1
x  x  y  y
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 
2 y  x 3  1


 xy  x  y  x 2  2 y 2
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 
 x 2 y  y x  1  2 x  2 y

 x 12  y  y 12  x 2   12

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 
 x 3  8 x  1  2 y  2

1  y  x  y  x  2   x  y  1 y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 
2
 2 y  3 x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3

 x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình  2
1
2
x  y  x  y  2


 2 x 2  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1
Ví dụ 6 Giải hệ phương trình 
2
2
 x  2 y  2 x  y  2  0

ĐẶT ẨN PHỤ

5
 2
3
2
x

y

x
y


xy

xy



4
Ví dụ 7 Giải hệ phương trình 
 x 4  y 2  xy 1  2 x    5

4

 xy  x  1  7 y
Ví dụ 8 Giải hệ phương trình  2 2
2
 x y  xy  1  13 y
1
 1
x  x  y  y
1. (A-2003) 
2 y  x 3  1


BÀI TẬP RÈN LUYỆN

2
2
 xy  x  y  x  2 y
2. (D-2008) 

 x 2 y  y x  1  2 x  2 y

 x 2   y 2  y  1 x 2  2  y 3  y  2  0

61. 
 3 y 2  3  xy 2  2 x  2  x  0

 x 2  xy  2 y 2  3 y  1  y  1  x
62. 
3 6  y  3 2 x  3 y  7  2 x  7

5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0
 y 4  19  20  x  y 
3. (A-2011) 
63. 
2
2
2
xy
x

y

2

x

y




 x  x  2 y  2
 

 x 3  xy  2  0
 xy  x  2  0
4. (D-2012)  3
64.
 3
2
2
2
 y  3 xy  3  0
2 x  x y  x  y  2 xy  y  0


 2 x 2  y 2  3 xy  3 x  2 y  1  0
5. (B-2013)  2
2
 4 x  y  x  4  2 x  y  x  4 y

 x 4  y 2  4 x 2  2 y
65.  2
 x y  y  6

 x 12  y  y 12  x 2   12

6. (A-2014) 
 x 3  8 x  1  2 y  2

 x  3 x  y   4
66.  2
2
2
2
2
2
 x  y  xy  x  y   5 x  2 y  1

 2 2 x  y  3  2 x  y
8. (CĐ-2010) 
2
2
 x  2 xy  y  2

 xy  x  y   3 x  y
68.  2
2
 x  y  2

 x 2  xy  y 2  7
10. (CĐ-2014)  2
2
 x  xy  2 y   x  2 y

 x 2  x  y 2  19
70. 
 xy  x  1 2  y   20

4

3
2 2
 x  2 x y  x y  2 x  9
12. (B-2008)  2
 x  2 xy  6 x  6

4
2
2
2
 y  2 xy  7 y   x  7 x  8
72. 
2
 3 y  13  15  2 x  x  1

1  y  x  y  x  2   x  y  1 y
7. (B-2014) 
2
 2 y  3 x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3

 xy  3 y  1  0
9. (CĐ-2013) 
2
 4 x  10 y  xy  0

2
2
2 x  xy  y  3 y  2
67.  2
2

 x  y  3

2
2
4 xy  2 x y  x  2 y
69.  3
2 x  x  8 y  3  0

x  y 2  x  2 y2  2
 x 3  y 3  xy 2  1

11. 
71.  4
4
 4 x  y  4 x  y
2 x  2  4 y  8 y xy  2 y  34  15 x





 x  1  y  8  x 3
13. 
4
 x  1  y

 xy  x  1  x 3  y 2  x  y

73. 
2

3 y 2  9 x  3   4 y  2 







 2
y2  2
 2x  2
y  x
74. 
x
 2
3
 y  1  2x 1  1

 x 3  8 x  y 3  2 y
14.  2
2
 x  3  3  y  1



1  x  x2  1  0

 x 2  xy  y 2  3  x  y 
15. 
2

2
2
 x  xy  y  7  x  y 

 x  3 xy  x  y 2  y  5 y  4
75. 
2
2
2 x  5  2 2 y  x

 x  y   x  4 y 2  y   3 y 4  0
17. 
2
2
 x  2 y  1  y  y  1  0

x 1 y

2
 x  y  x  y  y
77. 
2
 y 1 2  y  y2  2 x  2

x

 2  xy  y x 2  2
76. 
2
2

2
 y  2  x  1 x  2 x  3  2 x  4 x

 x 4  x 3 y  x 2 y 2  1
16.  3
2
 x y  x  xy  1





 x 2  xy  x  3  0
1  x 1  2 x 1  3 x   1  3 y  1  3 y  2 x 2 

18. 
78 
2
2
 x  1  3  y  1  2 xy  x y  2 y  0  1  9 x 2  1  9 y 2  2  x  y 






 xy 2  4 y 2  8  x  x  2 
19. 
 x  y  3  3 2 y  1

 7 x 3  y 3  3 xy  x  y   12 x 2  6 x  1
79. 
2
2
 2 x  3  9  y  y  1

 x2  y2  2

21.  2 x5
2
 x  y   xy  1  5


 x  y  4  3 3 x  y
81. 
 x  y  3 x  y  1  2  x  y

 3 x  y  x  y  3  x  y   0
23. 
2
2
 x  y  x  1  0

 x 3  2 x 2   y  1 x  y  2
83. 
2
 3 x  1  x  y  x  y  2

 y  1 2   3 x  2 3  1  y 3 x  2  3xy


20. 
80.
 x 3  3 x 2  12 x   3 x  1 y  6  0

 y 2  4 x x  1  17

82. 
2
 2 x  y  x  1  2 x  2  2  2 x  y 

 x 3  4  x 2  y
22. 
4
2
3 x  y  x y  x  3 

 2 x 3  3  2 y 2  3 y  2 x y  y
24. 
2
 x  y  3  y  0

 x  y  x  y  4x  y

25. 
 x 2  9  3 y  3 x  3  2

 4 x 2  1 x   y  3  5  2 y  0
26. 
2
2

 4 x  y  2 3  4 x  7

 x 3  x 2 y  y  2 x 2  x  2
 2
2
 y  4 x  2  16  3 y  2 x  4 x  12

 y 3  2 x 2 y  2 x 4  x 6
84. 
2
 x  2  y  1   x  1

 x 3  2 y   x 2  x   2 y  1
85. 
x
log 5  5  4   1  2 y

 23  3 x  7  x   3 y  20  6  y  0
86. 
2
 2 x  y  2  3 x  2 y  8  3 x  14 x  8  0

 x 3  3x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

27.  2
1
2
x  y  x  y 

2

8 x 3  12 x 2  10 x  y 3  2 y  3
87.  2
 x  2 xy  3

 x 3  4 y 2  1  2  x 2  1 x  6

29. 
2
2
2
 x y 2  2 4 y  1  x  x  1

3x 2  2 x  5  2 x x 2  1  2  y  1 y 2  2 y  2
89. 
2
2
 x  2 y  2 x  4 y  3

 x  1  4 x  1  y 4  2  y
28. 
2
2
 x  2 x  y  1  y  6 y  1  0





 x 4 y  y 5  x10  x 6

30. 
 4 1  x  2 1  x  3 x  1  1  y

 x 3  y 3   3 y  1 y  1  1  x
88. 
3
 y  x  y  3 x  3 y  19  105  xy

 2 x 2  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1
31. 
2
2
 x  2 y  2 x  y  2  0

4 x3  3x   y  1 2 y  1  0
90. 
2
2 x  x   y  2 y  1  0







 x2  1  x
y2  4  y  2

91. 
3

 x2  y  x  1
4



 2 y 3  12 y 2  25 y  18   2 x  9  x  4
32. 
2
2
 3 x  1  3 x  14 x  8  6  4 y  y

 2 y 3  y  2 x 1  x  3 1  x
92. 
2
 2 y  1  y  4  x  4

 2 y 3  y  2 x 1  x  3 1  x
34. 
2
2
2
 9  4 y  2 x  6 y  7

 x2 y 1  y2  1  2x  2 x2  4

94. 
2 y 2  3  4  3x 2  4 x


 x 3  y 3  3 y 2  3 x  2  0

33. 
2
2
2
 x  1  x  3 2 y  y  2  0



 x 3  3x 2  2  y 3  3 y 2
35. 
2
3 x  2  y  8 y

3 y x  2  8 x  2  10 y  3 xy  12
36. 
3
2
3
5 y 2  x  8  6 y  xy 2  x



8 x3  2 x  y 3  y
93. 
 2 x  y  x  2  1



 x2 y 2  2 4 y2  1  x  x2  1


37. 
 x 2  4 y 2  1  2  x 2  1 x  6









 2  x  x 2  4 x  5
y2 1  y  1

95. 
 3 x  2  x 2 y  2 x  2  0

 3  x 2  2 x  3  y
96. 
 3  y 2  2 y  3  x

3
2

2
 y  1  y 1  y  x  2
97. 
 x  x2  2x  5  1  2 2x  4 y  2


3
 x  x  x 2  3x  3  3 y  2  y  3  1
 8 x  3 2 x  1  y  4 y  0

38. 
98. 
2
3
2
 4 x  8 x  2 y  y  2 y  3  0
3 x  1  x 2  6 x  6  3 y  2  1

 27 x3  3x   9 y  7  6  9 y  0

39.  x 2
109
2
  y  2  3x 
81
3
3
2
2
 x  x  y  4  3x
40.  3
2
2
 y  3 x  3 y  4  3 y

12 x  7  3 x  2  y  4 y 2  1  0

41. 
2
 x  1  3  x   x  1  y  2 

 2 x  x  y  log 2 y
42. 
log 2 x  y  5

 x 2  21  y  1  y 2
43. 
2
2
 y  21  x  1  x

 x2 y  2  x2  y 2   5 y  2  0

99. 
 y 2  1  x  y  2 xy  x 2  y 

3
3
2
 y  3 xy  17 x  27  x  3 x  13 y
100.  2
2
 x  y  xy  6 y  5 x  10  0

 x  y

2

1

 2 x 2 y  y 3  x 6  2 x 4
101. 
2
 x  2  y  1   x  1
 x 3  2  3 y   8
102. 
3
 x  y  2   6

 x3  y 3  17 x  32 y  6 x 2  9 y 2  24
103. 
2
 y  2  x  4   x  9  2 y  x  9  x  9 y  1

 x 3  6 x 2  13 x  y 3  y  10
44. 
104.
3
2
 2 x  y  5  3  x  y  x  3 x  10 y  6

 x 3  y 3  6 y 2  12 x  16  0
45. 
2
2
2
 x 4  x  3 4 y  y  3 y  10  x  0

 x3  y 3  3x 2  6 x  3 y  4
 2
2
 x  y  6 x  y  10  y  5  4 x  y

 x  3 x  y y  1  0
105. 
3
4
3
2
 x  x  x  1  x  y  1  1






 xy 2 x 2  1  1  3 y 2  9  3 y

46. 
 3 x  1 x 2 y  xy  5  4 x3  3x 3 y  7 x
 2 x  y  6  1  y
47. 
2
9 1  x  xy 9  y  0







 x  x2  1 y  y2  1  1
48. 
 x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1

 x 3  y 3  3 y 2  x  4 y  2  0
49.  3
 x  x  3  2 x  2  y

x 1
 3
3
2
 x  3x  y  6 y  9 y  2  ln y  1  0
106. 
 y log  x  3  log y   x  1
3 
  2
2 x3  4 x 2  3x  1  2 x3  2  y  3  2 y

107. 
 x  2  3 14  x 3  2 y  1

1 3x  4

2
x  3y 1  y  y  x 1

108. 
 9 y  2  3 7x  2 y  2  2 y  3


 y  1 x  1  1   y 2  y  1 x 2  x  1

109. 
3
3
3
 x  3 x   x  y  4  x  y  1  0

 x 2  6 y  4  2 1  y   x 3  1

50. 
 3  x  2  x  2 y 2 y  1  0

1  x
x y
1  y  2016
110. 
log  2 y  1  3log x  4
2
 3

 xy  x  1  7 y
52. (B-2009)  2 2
2
 x y  xy  1  13 y

 7 x  y  2 x  y  4
112. 
 2 2 x  y  5 x  8  2

5
 2
3
2
x

y

x
y

xy

xy



4
51. (A-2008) 
 x 4  y 2  xy 1  2 x    5

4

 x  x  y  1  3  0

53. (D-2009) 

5
2
 x  y   2  1  0
x

 x  y  xy  3
54. (A-2006) 
 x  1  y  1  4


y2  2
3
y


x2

55. (B-2003) 
2
3 x  x  2

y2

 x 2  1  y  y  x   4 y
56. 
2
 x  1  y  x  2   y

 x 2  y 2  x  y  4
57. 

 x  x  y  1  y  y  1  2

 x 2  y  x  y   1  0
111.  2
 x  1  x  y  2   y  0

 x 2  4 y 2  8 xy  2
113. 
 x  2 y  4 xy

 2 x  y  1  x  y  1
114. 
3 x  2 y  4

2 x 2  3x  5 y  0
115.  2
2 y  3 y  5 x  0

 x 2  y 2   x  y   13
116. 
2
2
 x  y   x  y   25

 x3  xy 2  156 y  0
117.  3
2
 y  x y  39 x  0

 x 2  4 x  y  0
58. 
4
 x  2   5 y  16

 x  y  2 y  1  x  y  5
59. 
2
 y  2  xy  y
2
 y  x  y   2
60.  3
2
2
 x  4 xy  5 x y  6

3
 x y  2 y  3
118.  3
 y  3x  2   1

119.
120.


Câu 8. HHGT trong mặt phẳng tọa độ Oxy

I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

1. Phương trình đường thẳng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;5 và đường thẳng d : 3 x  4 y  1  0 . Viết
phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho
AM  5 .
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B  4; 3 . Tìm tọa độ điểm C thuộc
đường thẳng x  2 y  1  0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng 1 : x  2 y  3  0 và  2 : x  y  1  0 .
Tìm tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  2 bằng

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng d1 : x  y  3  0 , d 2 : x  y  4  0 ,

1
.
2

d 3 : x  2 y  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ M đến đường

thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2 .

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
AB : x  3 y  7  0 , BC : 4 x  5 y  7  0 , CA : 3 x  2 y  7  0 . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh
A của tam giác ABC .
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  2 y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A thuộc
trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua d .
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  3  0 . Viết phương trình đường
thẳng đi qua A  2; 4  và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450 .

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x  y  0 và d 2 : 2 x  y  1  0 . Tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh
B, D thuộc trục hoành.

Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2; 2  và các đường thẳng d1 : x  y  2  0 ,

d 2 : x  y  8  0 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc các đường thẳng d1 và d 2 sao cho

tam giác ABC vuông cân tại A .

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C  1; 2  , đường trung tuyến kẻ từ

A và đường cao kẻ từ B có phương trình lần lượt là 5 x  y  9  0 và x  3 y  5  0 . Tìm tọa độ A

và B .

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B  4;1 , trọng tâm G 1;1 và

đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh
A và C .

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  2;0  là trung điểm của cạnh AB .
Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7 x  2 y  3  0 và
6 x  y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng AC .


Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C  4;1 , phân giác
trong góc A có phương trình x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam
giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng

hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H  1; 1 , đường phân giác trong của
góc A có phương trình x  y  2  0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x  3 y  1  0 .

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết M 1; 1 là trung
điểm cạnh BC và G  ; 0  là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C .
2
3



Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A  3; 2  và có trọng tâm

1 1
G  ;  . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P  2;0  . Tìm tọa độ B và C .
3 3

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' lần lượt
có phương trình là y  2  0, x  y  2  0, x  3 y  2  0 ; với B ', C ' tương ứng là các chân đường cao
kẻ từ B, C của tam giác ABC . Viết phương trình đường thẳng AB, AC .

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  0; 2  và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H
đến trục hoành bằng AH .

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6; 2  là giao điểm của

hai đường chéo AC và BD . Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB .

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh A  1; 4  và các đỉnh B, C

thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác
ABC bằng 18.

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh A  6; 6  , đường thẳng đi qua
trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x  y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C ,
biết điểm E 1; 3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

1
Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ; 0  , phương trình
2



đường thẳng AB : x  2 y  2  0 và AB  2 AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D biết A có hoành độ

âm.

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng  : x  y  4  0 và d : 2 x  y  2  0 .
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm
M thỏa mãn OM .ON  8 .
Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H  3; 2  , trung điểm của
1 
AB là M  ; 0  và phương trình BC : x  3 y  2  0 . Tìm tọa độ A, B, C .
2 


Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H 1; 0  , tâm đường tròn
3 3
ngoại tiếp I  ;  và chân đường cao kẻ từ đỉnh A là K  0; 2  . Tìm tọa độ A, B, C .
2 2





Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là

 17 1 
H  ;   , chân đường phân giác trong của góc A là D  5;3 và trung điểm của cạnh AB là
5
 5

M  0;1 . Tìm tọa độ đỉnh C .

Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung điểm của
 2 2
9 3

cạnh AB , điểm H  2; 4  và điểm I  1;1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .

Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  4 và đường thẳng
2

2

 : y  3  0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của  C  , các đỉnh N và P thuộc  , đỉnh

M và trung điểm của cạnh MN thuộc  C  . Tìm tọa độ điểm P .

Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD lần

lượt có phương trình là x  3 y  0 và x  y  4  0 ; đường thẳng BD đi qua điểm M   ;1  . Tìm
 3 
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD .
1

Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp
2 
1

tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB tương ứng tại các điểm D, E , F . Cho D  3;1 và
đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương.
2. Phương trình đường tròn

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 0  và B  6; 4  . Viết phương trình đường

tròn  C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến điểm B bằng 5.

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  0; 2  , B  2; 2  và C  4; 2  . Gọi H
là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết
phương trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N .

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  :  x  1   y  2   9 và đường thẳng
2

2

d : 3 x  4 y  m  0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp

tuyến PA, PB tới  C  ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  6  0 và điểm

M  3;1 . Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  . Viết phương trình

đường thẳng T1T2 .


Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và đường thẳng

d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán

kính đường tròn  C  , tiếp xúc ngoài với đường tròn  C  .

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các đường thẳng d : x  y  3  0 ,  : x  y  2  0 và điểm
M  1;3 . Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d và cắt  tại hai điểm A, B

sao cho AB  3 2 .

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 và đường thẳng

AIB  1200 , với I
d : 4 x  3 y  m  0 . Tìm m để d cắt  C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 

là tâm của  C  .

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x  y  3  0 . Viết phương trình đường
tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox tại A và B , cắt trục Oy tại C và D sao cho AB  CD  2 .
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 và đường tròn

 C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của  C  , M là điểm thuộc  . Qua M kẻ các tiếp tuyến

MA và MB đến  C  ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện

tích bằng 10.

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  4  0 và các đường tròn

 C1  : x 2  y 2  4 ,  C2  : x2  y 2  12 x  18  0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp
xúc với d và cắt  C1  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d .
Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 1;0  và đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  5  0
. Viết phương trình đường thẳng  cắt  C  tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông
cân tại A .

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  :  x  2   y 2 
2

4
và hai đường thẳng
5

1 : x  y  0 ,  2 : x  7 y  0 . Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của đường tròn  C1  ; biết

đường tròn  C1  tiếp xúc với các đường thẳng 1 ,  2 và tâm K thuộc đường tròn  C  .

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  :  x  1  y 2  1 . Gọi I là tâm của  C  .
  300 .
Xác định tọa độ điểm M thuộc  C  sao cho IMO

2

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  4 y  6  0 và đường thẳng

 : x  my  2m  3  0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn  C  . Tìm m để  cắt

 C  tại hai điểm phân biệt

A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  0 . Đường tròn  C  có bán kính

R  10 cắt  tại hai điểm A và B sao cho AB  4 2 . Tiếp tuyến của  C  tại A và B cắt nhau

tại một điểm thuộc tia Oy . Viết phương trình đường tròn  C  .
3. Phương trình elip


Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm C  2; 0  và elip  E  :

x2 y2

 1 . Tìm tọa độ các
4
1

điểm A, B thuộc  E  , biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác
ABC đều.





Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 2; 3 và elip  E  :

x2 y2

 1 . Gọi F1 và F2 là
3
2

các tiêu điểm của  E  ( F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng
AF1 với  E  ; N là điểm đối xứng của F2 qua M . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ANF2 .

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 . Viết phương trình chính tắc
của elip  E  , biết rằng  E  có độ dài trục lớn bẳng 8 và  E  cắt  C  tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh
của một hình vuông.

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC  2 BD và đường tròn tiếp xúc

với các cạnh của hình thoi có phương trình x 2  y 2  4 . Viết phương trình chính tắc của elip  E 
đi qua các đỉnh A, B, C , D của hình thoi. Biết A thuộc Ox .
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip  E  :

 E  , có hoành độ dương sao cho tam giác

x2 y2

 1 . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc
4
1

OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN OXY

1. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc)

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn
AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN  3 NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết
rằng M 1; 2  và N  2; 1 .

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC ,
 11 1 
N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương
 2 2
trình 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm A .

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  0 và d 2 : 3x  y  0 . Gọi

T  là đường tròn tiếp xúc với

d1 tại A , cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC

vuông tại B . Viết phương trình của T  , biết tam giác ABC có diện tích bằng
hoành độ dương.

3
và điểm A có
2

Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD 2 , tâm I 1; 2  . Gọi M là trung điểm của cạnh CD

, H  2; 1 là giao điểm của hai đường thẳng AC và BM . Tìm tọa độ các điểm A, B .

Bài 5 Cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh AD là 3 x  4 y  7  0 . Gọi E là điểm nằm


trong hình vuông sao cho tam giác EBC cân và góc BEC
 1500 . Viết phương trình cạnh AB ,
biết E  2; 4 .


Bài 6 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A 1;0  , đường chéo BD có phương trình x  y  1  0 . Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C , D của hình thoi biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng BC bằng
8
.
5

Bài 7 Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 x  6 y  21  0 và đường thẳng d : x  y  1  0 . Xác định tọa
độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C  biết đỉnh A thuộc d .

Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, đỉnh D  3; 2  . Đường phân giác của góc

BAD
có phương trình x  y  7  0 . Tìm tọa độ đỉnh B , biết đỉnh A có hoành độ dương.

Bài 9 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , CD  2 AB , đỉnh B  8; 4  . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của D lên AC , điểm M 

82 6 
;  là trung điểm của CH , phương trình đường thẳng
 13 13 

chứa cạnh AD là x  y  2  0 . Tìm tọa độ A, C , D .

Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có AB , AD tiếp xúc với đường tròn  C  :  x  2    y  3  4 ,
2

2



đường chéo AC cắt đường tròn  C  tại các điểm M   ;  và N thuộc trục Oy . Xác định tọa
5
5


độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết A có hoành độ âm, D có hoành độ dương và diện tích
tam giác AND bằng 10.
16 23

Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  4 2 , điểm A có hoành độ âm. Đường thẳng AB có
phương trình x  y  2  0 , đường chéo BD có phương trình 3 x  y  0 . Viết phương trình các
cạnh BC , CD , DA .
Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD nội tiếp đường tròn  C  , tâm I  2; 2  . Lập
phương trình đường tròn  C  và tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết rằng cạnh
AD nằm trên đường thẳng x  3 y  2  0 và A có hoành độ âm.

Bài 13 Cho hình vuông ABCD có A 1;1 , AB  4 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , điểm
9 3
K  ;   là hình chiếu vuông góc của D trên AM . Tìm tọa độ các đỉnh B , C , D , biết đỉnh B có
5 5

hoành độ bé hơn 2.

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có BD  2 AC , phương trình đường
thẳng BD : x  y  0 . Gọi M là trung điểm của CD , hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường
thẳng BM là điểm H  2; 1 . Viết phương trình đường thẳng AH .

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A  3; 2  , đường thẳng BC có phương trình

2 x  y  1  0 . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A , biết AD  3 2 và D có hoành

độ lớn hơn 1 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C .

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông tại B , AB  2 BC . Gọi D là trung điểm của AB và E là điểm

thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn AC  3EC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết E  ;1  và đường
 3 
thẳng CD có phương trình x  3 y  1  0 .
16


Bài 17 Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn
AB  3 AM . Đường tròn tâm I 1; 1 đường kính CM cắt BM tại điểm D  M . Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua điểm N  ; 0  , phương trình cạnh
3 
CD : x  3 y  6  0 và điểm C có hoành độ dương.
4

Bài 18 Cho hình vuông ABCD có đỉnh C  3; 3 và điểm A thuộc đường thẳng d : 3x  y  2  0 .
Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng DM có phương trình x  y  2  0 . Xác định tọa độ

các đỉnh A, B, D

Bài 19 Cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD : x  y  0 , đường thẳng AB đi qua









điểm P 1; 3 , đường thẳng CD đi qua điểm Q 2; 2 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi,
biết AB  AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1.

Bài 20 Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Biết
 1 
M   ; 2  và đường thẳng BN có phương trình 2 x  9 y  34  0 . Tìm tọa độ các điểm A và B ,
 2 
biết điểm B có hoành độ âm.

Bài 21 Cho hình thoi ABCD có AC  2 BD . Đường thẳng AC có phương trình 2 x  y  1  0 ,

đỉnh A  3;5 và đỉnh B thuộc đường thẳng d : x  y  1  0 . Xác định tọa độ các đỉnh B , C , D của
hình thoi ABCD .

Bài 22 Cho đường tròn  C  đường kính BC , điểm A thuộc đường tròn  C  sao cho khoảng cách
từ A đến đường thẳng BC là lớn nhất. Biết đường thẳng AB có phương trình x  y  1  0 , trọng
tâm của tam giác ABC là G  3; 2  và A có tung độ lớn hơn 3 . Lập phương trình đường tròn  C  .
Bài 23 Cho hình vuông ABCD . Gọi E là trung điểm của cạnh AD , H  ;   là hình chiếu

 5 5
11

2

3 6
vuông góc của B trên CE và M  ;   là trung điểm của đoạn BH . Xác định tọa độ các đỉnh
5

5

của hình vuông, biết A có hoành độ âm.

Bài 24 Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D  7; 3 và BC  2 AB . Gọi M , N lần lượt là trung

điểm của AB và BC . Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình đường thẳng MN là x  3 y  16  0 .

Bài 25 Cho hình vuông ABCD , đỉnh A  1; 2  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và DC ,
E là giao điểm của BN với CM . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết
phương trình đường thẳng BN : 2 x  y  8  0 và B có hoành độ lớn hơn 2 .

Bài 26 Cho hình bình hành ABCD có A  1;3 , điểm C thuộc đường thẳng  : x  y  6  0 ,
1
2


phương trình đường thẳng BD : x  2 y  2  0 và tan BAC
 . Xác định tọa độ các đỉnh B , C , D .

Bài 27 Cho hình thoi ABCD có đường chéo BD đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc dương.

Phương trình các cạnh AB , AD lần lượt là 2 x  y  3  0 và x  2 y  1  0 . Viết phương trình
đường chéo AC và tính diện tích tam giác ABC .


Bài 28 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thằng AD : 2 x  y  1  0 , điểm I  3; 2 

thuộc đường thẳng BD sao cho IB  2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết điểm D
có hoành độ dương và AD  2 AB .




Bài 29 Cho tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp là  C  :  x  4    y  2   5 , đường thẳng
2

3 
BC đi qua điểm M  ; 2  . Tìm tọa độ điểm A .
2 



 

2



Bài 30 Cho tam giác ABC có A 6; 5 , B 5;  5 . Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao

cho MC  2MB . Tìm tọa độ điểm C , biết MA  AC  9 và đường thẳng BC có hệ số góc là một

số nguyên.
2. Sử dụng tính chất hình học (Chứng minh vuông góc, hai đoạn thẳng bằng nhau, Định
lý Ta – let, Tứ giác nội tiếp)

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C
trên đường thẳng AD . Giả sử H  5; 5 , K  9; 3 và trung điểm của cạnh AC thuộc đường
thẳng x  y  10  0 . Tìm tọa độ điểm A .

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A
là điểm D 1; 1 . Đường thẳng AB có phương trình 3 x  2 y  9  0 , tiếp tuyến tại A của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x  2 y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng

d : 2 x  y  5  0 và A  4;8  . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc

của B trên đường thẳng MD . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết rằng N  5; 4  .

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD . Điểm M  3;0  là trung điểm của
4 
AB , điểm H  0; 1 là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G  ;3  là trọng tâm của
3 
tam giác BCD . Tìm tọa độ các điểm B và D .

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với
nhau và AD  3BC . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y  6  0 và tam giác ABD có trực
tâm là H  3; 2  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D .

Bài 6 Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AD, AB lấy hai điểm E và F sao cho AE  AF .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BE . Tìm tọa độ điểm C biết C thuộc đường thẳng
x  2 y  1  0 , F  2;0  , H 1; 1 .

Bài 7 Cho tam giác ABC có A  2;3 ; I  6;6  và K  4;5 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp tam giác. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC .

Bài 8 Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M , N lần lượt là chân
đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết A có tung độ âm,
M  1; 3 , N  2; 3 .


Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD . Đường thẳng AC có phương trình y  2 x . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của B lên AC , E là trung điểm của AH , I  5; 5 là trực tâm của tam
giác BCE . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết C có hoành độ bé hơn -3.

Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2BC , B  7;3 . Gọi M là trung điểm của AB , E là
điểm đối xứng của D qua A . Biết trung điểm của DM là N  2; 2  và điểm E thuộc đường
thẳng 2 x  y  9  0 . Tìm tọa độ D .

Bài 11 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I  2;1 và thỏa mãn điều kiện

AIB  900 . Chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến BC là D  1; 1 . Đường thẳng AC qua M  1; 4  .

Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết A có hoành độ dương.

Bài 12 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm I 1; 2  , đỉnh A  2;5  , đỉnh B thuộc
đường thẳng 3 x  y  5  0 . Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu của B trên AI .
Tìm tọa độ B, C biết phương trình HK : x  2 y  0 .
Bài 13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G  ; 0  và có đường tròn ngoại tiếp là  C  tâm I . Biết
3 

8

rằng các điểm M  0;1 và N  4;1 lần lượt là điểm đối xứng của I qua các đường thẳng AB và
AC , đường thẳng BC đi qua điểm K  2; 1 . Viết phương trình đường tròn  C  .

1
AD . Qua điểm E thuộc cạnh BC
2
kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AB tại F . Tìm tọa độ B , C , D biết

Bài 14 Cho hình thang ABCD vuông tại C và D , BC  CD 
A  6; 2  , E 1; 2  và F  5; 1 .

Bài 15 Cho hình chữ nhật ABCD . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H . Gọi E , F , G
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH , BH và AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D biết
 17 29 
 17 9 
E  ;  , F  ;  và G 1;5 .
 5 5 
 5 5

Bài 16 Cho hình vuông ABCD . Gọi E là điểm trên cạnh BC , qua A kẻ đường thẳng vuông góc
với AE cắt CD tại F . Đường trung tuyến của AM của tam giác AEF cắt CD tại K . Biết
A  6;6  , M  4; 2  và K  3;0  .

Bài 17 Cho tam giác ABC có H là trực tâm, C  3;  . Đường thẳng AH có phương trình
 2
2 x  y  1  0 . Đường thẳng d đi qua H cắt các đường thẳng AB , AC lần lượt tại P và Q (khác
điểm A ) thỏa mãn HP  HQ có phương trình 2 x  3 y  7  0 . Tìm tọa độ A và B .
3

Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A  0; 4  , I  3;0  là trung điểm của cạnh BC và D  6;0  là

điểm thuộc đoạn IC . Tìm tọa độ các điểm E , F tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam
giác ABD và ACD .


Bài 19 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D  2; 2  , CD  2 AB . Gọi H là hình chiếu vuông
22 14
góc của D lên đường chéo AC . Điểm M  ;  là trung điểm của HC . Xác định tọa độ
 5 5
A, B, C biết B thuộc đường thẳng x  2 y  4  0 .

Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I  2; 2  , điểm D là chân đường phân giác


trong của góc BAC
. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai
M (khác A ). Tính tọa độ các điểm A, B, C biết J  2; 2  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ACD và phương trình đường thẳng CM là x  y  2  0 .