ChuyendeViEt

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc
Phòng giáo dục huyện Bình Xuyên
***************************
chuyên đề
một số phơng pháp
giải phơng trình
với nghiệm nguyên
Ngời thực hiện:Ngụ Quc Hng
Tổ : Toán - Lí
Trờng THCS Thanh Lãng.
Năm học 2007 - 2008.
Chuyên đề:
một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình với
nghiệm nguyên
A. Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học bổ trợ cho nhiều môn khoa học khác , trong nhà trờng,
các môn nh: Lí, Hoá, Sinh ,Địa,đều dùng đến kiến thức toán. Nh vậy môn Toán rất
quan trọng, có thể nói đó là điều kiện cần để học một số môn nh đã nêu.
Một trong các công việc cần làm của ngời học toán là đi tìm lời giải cho các bài toán.
Để giải các bài toán ngoài việc nắm vững các kiến thức học sinh còn cần phải có phơng
pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân trong quá trình học tập.
Trong môn toán ở trờng trung học cơ sở có rất nhiều bài toán cha có hoặc không có
thuật toán để giải.Loại toán phơng trình với nghiệm nguyên là một trong những loại
toán ấy.
Thực tế giảng dạy cho thấy khi gặp loại toán phơng trình với nghiệm nguyên rất
nhiều học sinh lúng túng , không có hớng suy nghĩ tìm lời giải. Một số đa ra đợc nghiệm
đúng nhng chỉ là đoán nhận mà không giải thích đợc tại sao.Nhất là khi gặp một bài
toán lạ.Các em cho biết mỗi bài có một cách giải hoàn toàn khác nhau, không thể tìm
đợc một nguyên lí chung để giải.
Xuất phát từ đó chúng tôi thấy rằng việc giúp các em nhanh chóng tìm ra cần phải sử
dụng phần kiến thức nào, đa ra phơng án hợp lí để giải loại toán này là điều cần

thiết.Đồng thời chuyên đề này có thể sử dụng bồi dỡng thêm cho đối tợng học sinh khá,
học sinh yêu thích môn toán, phát hiện ra học sinh có triển vọng .
Về nội dung: Phơng trình với nghiệm nguyên có rất nhiều dạng khác nhau, nhiều bài
toán rất khó.
Phần 1: Chúng tôi chỉ trình bày các dạng toán phơng trình với nghiệm nguyên thờng
gặp trong chơng trình toán THCS cùng với phơng pháp hay dùng để giải chúng. Ngoài ra
chuyên đề còn đề cập thêm một số phơng pháp khó, áp dụng cho một số bài tập nâng
cao nhng chỉ mang tính chất tham khảo.
Phần 2: Trình bày các dạng phơng trình với nghiệm nguyên cùng các ví dụ đi kèm.
Do giới hạn chơng trình toán THCS nên chúng tôi không dùng các kiến thứcvề đồng d,
phơng trình đồng d.
Dạng toán phơng trình với nghiệm nguyên mà chúng tôi trình bày không thể
đầy đủ mà chỉ là các phơng pháp thờng dùng, hay gặp. Chúng tôi không tránh khỏi
những thiếu sót , mong các thầy cô cùng bạn đọc tham gia góp ý kiến để chuyên đề đợc
hoàn thiện hơn.
Tập thể giáo viên tổ Toán Lí trờng THCS Thanh Lãng xin chân thành cảm ơn!
Thanh Lãng ,ngày 9 háng 5năm 2006
Tổ Toán Lí trờng THCS Thanh Lãng
Ngời thực hiện viết chuyên đề
2
5125
55

x
57 y
( )
15,7
=
5y
)(

5
Zt
ty

=
tx 725
=
ty
tx
5
725
=
=
ty
tx
5
725
=
=
)( Zt

x - 1 - 3 - 1 1 3
y - 1 - 1 - 3 3 1
x - 2 0 2 4
y 0 - 2 4 2
1
3
1

+=

y
x
Ngô Quc Hng
B. Nội dung
- Giải phơng trình chứa các ẩn x, y, z với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ
sốnguyên (x, y, z ) thoả mãn phơng trình đó.
- Số nghiệm của phơng trình với nghiệm nguyên có thể là: Hữu hạn nghiệm, vô
số nghiệm, hoặc vô nghiệm.
1. Một số phơng pháp thờng dùng để giải
phơng trình với nghiệm nguyên
1). Ph ơng pháp dùng tính chia hết :
a). Phát hiện tính chia hết của một ẩn.
Cho a + b = c Nếu a m và b m c m (Với a, b, m thuộc Z)
Ví dụ 1:
Cho 5x + 7y = 125 . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên.
mà Nên
Thay vào phơng trình đã cho đợc nghiệm đúng. Vậy
phơng trình đã cho có vô số nghiệm nguyên cho bởi công thức
b). Đ a về ph ơng trình ớc số
Cho a.b.c = d a, b, c thuộc tập hợp các ớc của d (Với a, b, c, d là các số nguyên).
Ví dụ 2:
Cho xy x y = 2 (*) . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên.
(*) x(y - 1) - (y - 1) = 3 (y - 1)(x - 1) = 3 (PT ớc số) x 1, y 1 là ớc của 3,
lập bảng tìm giá trị của x, y:
Nghiệm nguyên của phơng trình(*) : (- 2; 0), (0; - 2), (2; 4), (4; 2) .
c). Tách ra các giá trị nguyên
Ví dụ 3:
Cho xy x y = 2 (*) . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên.
(*) x(y - 1) - (y - 1) = 3 (y - 1)(x - 1) = 3
3

Zn

3)712(
+
x
9)712(3
+
x
Z
y


1
3
Do x nên y 1 thuộc tập hợp ớc của 3, từ đó có thể lập bảng tìm
đợc nghiệm của phơng trình đã cho nh ví dụ trên.
2). Ph ơng pháp dùng xét số d từng vế :
Phơng pháp này là biến đổi phơng trình để dễ dàng nhìn ra số d của 1 trong 2 vế
khi chia cho một số thích hợp, suy ra số d của vế còn lại.
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau :
a) x
2
- y
2
= 1998
b) 9x = y
2
+ y 2
c) x
2

+ y
2
= 1999
a). Dễ chứng minh đợc x
2
,y
2
khi chia cho 4 chỉ có số d là 0 hoặc 1 nên x
2
- y
2
khi
chia cho 4 chỉ có số d là 0, 1 hoặc 3. Nhng 1998 khi chia cho 4 có số d là 2.
Vậy phơngtrình đã cho không có nghiệm nguyên.
b). Phơng trình đã cho 9x + 2 = y(y + 1)
Ta thấy 9x + 2 khi chia cho 3 d 2 nên y(y + 1) khi chia cho 3 d 2.

( k nguyên). Nhìn bảng ta thấy chỉ có thể y = 3k + 1.
Khi đó 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)
9x + 2 = 9(k
2
+ k) + 2
x = k
2
+ k
Thử lại ( k nguyên) thoả mãn phơng trình đã cho.
Vậy đó là nghiệm của phơng trình đã cho.
c). Tơng tự nh phần a).
3). Ph ơng pháp dùng tính chất của số chính ph ơng :
a). Sử dụng tính chất về chia hết của số chính ph ơng.

Các tính chất thờng dùng:
- Số chính phơng không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
- Số chính phơng chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p
2
.
- Số chính phơng chia cho 3 có số d 0;1.
- Số chính phơng chia cho 4 có số d 0; 1.
- Số chính phơng chia cho 8 có số d 0; 1; 4.
Ví dụ 5: Tìm các số nguyên x để 9x +5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp.
Giả sử 9x +5 = n(n + 1) với
36x + 20 +1 = 4n
2
+ 4n + 1
3(12x + 7) = (2n +1)
2

Mặt khác
4
y 3k 3k + 1 3k + 2
y + 1 3k + 1 3k + 2 3k + 3
y(y +1) 3k(3k + 1) 9(k
2
+ k) + 2 3(k +1)(3k + 2)
x = k
2
+ k
y = 3k + 1
3)12(
2

+
n
9)12(
2

+
n
Zn

1,

xZk
2)7(3
2
y

27
2
y

2x
2
+ 2x + 1 +2y = 11
2x
2
+ 2x + 1 - 2y =- 1
2x
2
+ 2x + 1 = 5
2y = 6

x = 1 hoặc x = - 2
y = 3
Vậy không tồn tại số nguyên x nào thoả mãn điều kiện 9x +5 là tích của 2 số nguyên
liên tiếp.
b). Tạo ra bình ph ơng đúng .
Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình sau :
2x
2
+ 4x = 19 3y
2

2x
2
+ 4x + 2 = 21 3y
2

2(x + 1)
2
= 3(7 y
2
)
Dễ thấy y lẻ.
Mà 7 y
2
0 y = 1. Thay vào phơng trình đã cho ta có
2(x + 1)
2
= 18
x + 1 = 3
x

1
= 2; x
2
= - 4.
Các cặp số (2;1), (- 4;1), (2;-1), (- 4; -1) thoả mãn phơng trình đã cho nên là nghiệm của
phơng trình đã cho.
c). Xét các số chính ph ơng liên tiếp
Ví dụ 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trớc không tồn tại số nguyên dơng
x sao cho:
x(x + 1 ) = k(k + 2)
Giả sử x(x + 1 ) = k(k + 2) với .
Ta có :
x(x + 1 ) = k(k + 2)
x
2
+ x +1 =( k + 1)
2
Do x dơng nên:
x
2
< x
2
+ x +1 < ( k + 1)
2
(1)
Do x dơng nên:
( k + 1)
2
= x
2

+ x +1 < (x + 1)
2
(2)
Từ (1) và (2) x
2
< ( k + 1)
2
< (x + 1)
2

Điều này vô lí.
Vậy không tồn tại số nguyên dơng x để : x(x + 1 ) = k(k + 2)
Ví dụ 8: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phơng:
x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x + 3
Giải
Đặt y
2
= x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x + 3

4y
2
= 4x
4
+ 8x
3
+ 8x
2
+ 4x + 1 + 11
4y
2
= (2x
2
+ 2x + 1)
2
+ 11
(2x
2
+ 2x + 1 - 2y)( 2x
2
+ 2x + 1 +2y) = - 11
Dễ thấy (2x
2
+ 2x + 1 - 2y) < ( 2x
2
+ 2x + 1 +2y) nên xảy ra 2 trờng hợp:
TH1:

5