on thi dai hoc chuyen de tich phan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (894.18 KB, 33 trang )
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÍCH PHÂN
Chuyên đề 4:
Vấn đề 1:
BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các
tích phân cơ bản
1/
b
b
a
a
k.f(x)dx k f(x)dx
b
c
b
a
a
c
2/
b
b
b
a
a
a
f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx
3/ f(x)dx f(x)dx f(x)dx
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
1. dx x c;
2. x dx
3.
kdx kx c
x1
c, ( 1)
1
dx
ln x c
x
4. ex dx ex c
5. ax dx
ax
c (0 a 1)
ln a
1. u u'dx
2.
u1
c ; ( 1)
1
u'
u dx ln u c
3. eu u'dx eu c
4. au u'dx
au
c (0 a 1)
ln a
5. u'cos udx sin u c
6. cosxdx sin x c
6. u'sin udx cos u c
7. sin xdx cosx c
7.
cos2 udx tan u c
8.
sin2 u dx cot u c
8.
9.
dx
cos2 x tan x c
dx
sin2 x cot x c
10. tan xdx ln cosx c
11. cot xdx ln sin x c
124
u'
u'
9. u'tan udx ln cos u c
10. u'cot udx ln sin u c
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Đặc biệt: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c
1. (ax b) dx
2.
dx
1 (ax b)1
c
a
1
7.
1
ax b a ln ax b c
dx
1
cos2 (ax b) a tan(ax b) c
8.
1
3. eax b dx eax b
a
1
4. axdx ln x c
1
5. cos(ax b)dx sin(ax b) c
a
1
6. sin(ax b)dx cos(ax b) c
a
1
f(ax b)dx a F(ax b) c
dx
1
cot(ax b) c
a
sin (ax b)
2
1
ln cos(ax b) c
a
1
10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c
a
dx
1
xa
11. 2
ln
c
2
2a
x
a
x a
9. tan(ax b)dx
B – ĐỀ THI
Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Tính tích phân I
2
1
2x 1
dx
x(x 1)
Giải
I=
2
(x 1) x
x(x 1) dx =
1
2
1
1
2
6
x 1 x dx = ln x(x 1)1 ln 2 ln3 .
1
Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
1
2x 1
dx
x 1
0
Tính tích phân: I
Giải
1
1
1
2x 1
3
dx = 2
dx = 2x 3ln x 1 0 = 2 – 3ln2.
x 1
x 1
0
0
I
Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007
2
Tính các tích phân sau: I
1
x4 x3 3x2 2x 2
x2 x
dx
Giải
Chia tử cho mẫu, ta được:
125
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x4 x3 3x2 2x 2
x2 3
2
x x
2
1
2
I x2 3
dx
x 1 x
1
x2
2
x x
= x2 3
1
2
x 1 x
2
x3
3x ln x 1 2 ln x
3
1
16
3
ln
3
8
I=
Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007
Tính tích phân: I(x)
x
1
dt
, với x > 1. Từ đó tìm lim I(x)
x
t(t 1)
Giải
I(x) =
x
x
x
dt
1
t
1
t t 1 t t 1 dt = ln t ln t 1 1 ln t 1 1
1
1
= ln
x
x
1
ln
x 1
2
x
1
lim I x lim ln
ln ln 2
x
x x 1
2
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
4
tan x e
Tính tích phân:
sin x
cos x dx
0
Giải
4
4
4
0
0
4
0
ln 2 e
I tan x esin x .cos x dx tan xdx sin x 'esin x dx
0
= ln cosx 4 +
0
e sin x
2
2
1.
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2
Tính tích phân: I
3
1
dx
x x3
Giải
I
1
126
3
dx
x x3
1
3 1 x
2
x
2
x(1 x2 )
dx
1
3 1
3 1 1 2x
x
x 2
dx 1 x 2 2
dx
x 1
x 1
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
3
3
ln x ln(x2 1)
ln x ln x2 1
2
1
1
x
ln
3
1 x 1
2
3
1
6
ln
ln
2
2
2
ln
Bài 7:
Tính tích phân : I =
2
x
2
x dx .
0
Giải
2
1
0
0
2
Tính I x2 x dx x2 x dx x2 x dx
Do :
x
0
1
1
2
x x
2
0
+
21 3
22
3
I x x x x 1.
2 0 3
2 1
3
Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 3
a
Cho hàm số: f(x) =
3
x 1
bxex .
Tìm a và b biết rằng f’(0) = 22 và
1
f(x)dx 5
0
Giải
Ta có: f(x)
f (x)
1
a
(x 1)3
3a
4
(x 1)
1
bx.ex
bex (x 1) f (0) 3a b 22 (1)
1
1
a
3a
x
x
f(x)dx a(x 1) dx b xe 2(x 1)2 b(xe e ) 8 b 5 (2)
0
0
0
0
3
x
3a b 22
a 8
(1) và (2) ta có hệ: 3a
.
b5
b 2
8
127
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Vấn đề 2:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I
1. Sử dụng công thức:
b
a
f[u(x)].u(x)dx f(u)du
b
2. Phương pháp: Xét tích phân I f(x)du
a
-
Đặt t = u(x) dt = u'(x)dx
Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2
Suy ra: I
t2
t2
g(t)dt g(t) t
1
t1
(g(t) f[u(x)].u(x))
Thường đặt ẩn phụ t là
căn thức, hoặc mũ của e, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trong ngoặc.
dx
có sinxdx đặt t = cosx, có cosxdx đặt t = sinx, có
đặt t = lnx.
x
ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II
b
a
/
f((t)) (t)dt f(x)dx ; x (t); () a, () b
Công thức:
b
Tính: I f(x)dx
a
Đặt x (t) dx (t)dt
Đổi cận:
x (t); () a, () b
b
Khi đó: I f((t)).(t)dt f(x)dx
a
Các dạng thường gặp: 1.
b
a2 x2 dx đặ t x asin t
a
2.
b
a
dx
a2 x2
đặ t x asin t
3.
b
dx
a2 x2
a
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
128
đặ t x a tan t
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
4
Tính tích phân : I
xsin x x 1 cos x
xsin x cos x
0
dx.
Giải
4
4
xsin x cos x x cos x
x cos x
dx 1
dx
xsin
x
cos
x
x
sin
x
cos
x
0
0
Ta có: I
x 04
4
4
x cos x
x cos x
dx
dx
xsin
x
cos
x
4
xsin
x
cos
x
0
0
Đặt t = xsinx + cosx dt = xcosxdx.
Khi x = 0 thì t = 1, x =
Suy ra: I
4
2
thì t =
1
2 4
4
2
1
2 4
1
dt
ln t
t
4
2
1
2 4
1
2
ln
1 .
4
2 4
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
4
Tính tích phân: I
0
4x 1
2x 1 2
dx.
Giải
Đặt: t 2x 1 2 2x 1 t 2 2x 1 t 2 4t 4
t 2 4t 3
dx = (t – 2)dt.
2
x = 0 t = 3, x = 4 t = 5.
x
54
Suy ra: I
3
=
t 2 4t 3
1
2
t 2 dt =
t
5
5
3
2t2 8t 5 t 2 dt
t
5
2t 3 12t 2 21t 10
10
dt = 2t 2 12t 21 dt
t
t
3
3
2t 3
=
6t 2 21t 10 ln t
3
5
34
3
10 ln .
=
3
5
3
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
129
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Tính tích phân: I =
e
ln x
x(2 ln x)2 dx
1
Giải
1
Đặt u ln x du dx , x = 1 u = 0, x = e u = 1
x
1
1
1
2
2
du
du
ln
2
u
2 u 2 u 2
2
2 u0
0 2 u
0
1
I
u
2
3 1
ln3 ln 2 1 ln .
3
2 3
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
3
dx
1e
x
Tính tích phân: I
1
.
Giải
dt
Đặt t = ex dx =
; x = 1 t = e; x = 3 t = e3
t
I
e3
e
e3
dt
1
e3
1
dt ln t 1 ln t
e
t t 1 e t 1 t
e3
e
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
6
tan 4 x
dx
cos2x
0
Tính tích phân: I
Giải
Cách 1: Đặt t = tanx dt = (1 + tan2x)dx
cos2x
1 t2
1 t2
Đổi cận: x = 0 t = 0; x
Khi đó: I
3
3
3
3
1 t 2 dt t
0
130
t
4
3
t
6
3
0
2
1
1
dt
1 t2
ln e2 e 1 2
dt
1 t2
dx
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
t3
1 1 t
t ln
2 1 t
3
3 1
3 1 10
3 ln
2
3 1 9 3
0
Cách 2:
6
6
4
6
tan x
tan x
tan 4 x
dx
dx
cos2 x(1 tan2 x) dx
2
2
cos2x
0
0 cos x sin x
0
Ta có: I
Đặt: t = tanx dt
4
dx
cos2 x
Đổi cận: x = 0 t = 0; x
Khi đó: I
3
3
t4
3
t
6
3
1
1 t 2 dt 2 ln
0
3 1
3 1
10
9 3
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
sin x dx
4
Tính tích phân: I
sin
2x
2(1
sin
x cos x)
0
4
Giải
sin x dx
4
Tính tích phân: I
sin 2x 2(1 sin x cos x)
0
4
Đặt t = sinx + cosx dt (cosx sin x)dx 2 sin x dx
4
Đổi cận: x = 0 t = 1; x t 2
4
2
2
2
Ta có: t = sin x + cos x + 2sinxcosx = 1 + sin2x sin2x = t2 – 1
Khi đó: I
2
2
2
1
dt
2
t 1 2(1 t)
2
2
2
dt
(t 1)2
1
2 1
2 1
1 43 2
2
.
.
2 t 1 1
2 2 1 2
4
Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007
1
Tính tích phân: I
0
1
2
x x 1
dx
131
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Giải
1
1
I =
dx
2
1
3
0
x
2
4
Đặt x
1
3
3
tan t, t ; dx
1 tan2 t dt
2 2
2
2 2
3
I=
6
3
1 tan 2 t
2
dt
3
3 3
1 tan2 t
4
Bài 6: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007
Tính tích phân: I =
e
dx
1 x 3 1 ln x
Giải
Đặt: t 3 1 ln x lnx = t3 – 1,
dx
3t 2 dt
x
Đổi cận: x = 1 t = 1; x = e t 3 2
I
32
1
3tdt
3t 2 3 2 33 4 3
2 1
2
Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007
Tính tích phân:
1
x 1
0 x2 1 dx
Giải
1 1
1 xdx
1 dx
1
I 2
I1 I2 ; I1 ln(x2 1) ln 2 .
0 x 1 0 x2 1
0 2
2
dt
Đặt x = tant, t 0, , dx
4
cos2 t
I2 4 dt
0
1
. Vậy I ln 2
2
4
4
Bài 8: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007
2
sin x
dx
cos x
cos2x
Tính tích phân: I
3
132
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
Đặt t = cosx dt = sinxdx
x
3
2
1
0
t
2
I=
0
dt
2t 2 t 1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
dt
3 dt
2
2t
t
1
0
0 t 1 2t 1
1
1
1
1
I = ln t 1 ln 2t 1 02 ln 4
3
3
Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Tính tích phân: I =
6
dx
2x 1
2
4x 1
Giải
Đặt t 4x 1 x
2
t 1
1
dx tdt
4
2
t
5
5
dt
1
t
1
dt
I 2 2
dt
2
t 1 (t 1)2
3 2. t 1 1 t
3 (t 1)
3
4
1 5
3 1
ln t 1
3 ln 2 12
t
1
5
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tính tích phân: I =
10
dx
x2
5
x 1
Giải
Đặt t = x 1 t x 1 dx 2tdt và x = t2 + 1
x 5
10
Đổi cận
t 2
3
2
Khi đó: I =
3
1
1
2
t 2 2t 1 t 1 t 12 dt
2
2
3
2tdt
3
2
= 2 ln t 1
2 ln 2 1
t
1 2
133
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
2
sin2x
Tính tích phân: I
2
cos x 4sin2 x
0
dx
Giải
2
Ta có: I
0
2
sin2x
sin2x
dx =
cos2 x 4sin2 x
1 3sin2 x
0
dx
Đặt t = 1 + 3sin2x dt = 3sin2xdx.
Với x = 0 thì t = 1, với x =
4
4
1 dt 2
2
thì t = 4 I
t
31 t 3 1 3
2
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tính tích phân: I
ln 5
dx
ln 3 e
x
2e x 3
Giải
I
ln 5
ln 3 e
ln 5
dx
x
2e
x
3
x
e dx
2x
ln 3 e
3ex 2
Đặt t = ex dt = ex dx . Với x = ln3 t = 3 ; với x = ln5 t = 5.
5
5
dt
1
t2
1
dt = ln
(t 1)(t 2) 3 t 2 t 1
t 1
3
I
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Tính tích phân: I =
2
sin 2x sin x
0
1 3cos x
dx
Giải
2
I
0
(2 cos x 1)sin x
1 3cos x
dx .
t2 1
cos x
3
Đặt t = 1 3cos x
3sin x
dt
dx
2 1 3cos x
x = 0 t = 2, x =
t = 1.
2
134
5
3
ln
3
2
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
2
t2 1 2
2
I = 2
1 dt 2t 2 1 dt
3
3
91
2
2
2 2t 3
2 16
2 34
=
t 2 1 .
9 3
9
3
3 27
1
Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
2
sin 2x cos x
dx .
1 cos x
0
Tính tích phân: I
Giải
2
sin 2x cos x
dx . Đặt t = 1 + cosx dt = sinxdx.
1
cos
x
0
Ta có I 2
t = 1.
2
x = 0 t = 2, x =
1
2
(t 1)2
1
(dt) 2 t 2 dt
t
t
2
1
I 2
2
1
= 2 (2 4 ln 2) 2 2 ln 2 1 .
2
1
t2
= 2 2t ln t
2
Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 1
3
Tính tích phân: I sin2 x.tan xdx
0
Giải
3 sin2 x tan xdx
0
I
sin x
3 sin2 x
dx
0
cosx
Đặt t = cosx dt = sinxdx dt = sinxdx, sin2x = 1 – t2
Đổi cận
x 0
3
1
t 1
2
1
I 2
1
1
11
(1 t 2 )
t2
3
dt 1 t dt ln t ln 2
t
t
2 1
8
2
2
135
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Bài 16: ĐỀ DỰ BỊ 2
7
x2
Tính tích phân: I 3
dx
0 x 1
Giải
7
x2
I3
dx
0 x 1
Đặt t 3 x 1 t3 x 1 3t 2dt dx x 2 t 3 1
x 0
7
Đổi cận:
t 1
2
2 3
2
2
t5 t2
t 1 2
231
I
3t dt 3 t 4 t dt 3
t
5 2 1 10
1
1
Bài 17: ĐỀ DỰ BỊ 1
Tính tích phân: I
e3
x
1
ln2 x
lnx 1
dx .
Giải
I
2
e3
1
ln x
x ln x 1
dx
dx
2tdt
Đặt t ln x 1 t = lnx + 1 x
.
ln x 1 t 2
2
Đổi cận
I
x 1
e3
t 1
2
2 (t 2
1
t5 2
2 76
2
1)2
2tdt 2 (t 4 2t 2 1)dt = 2 t 3 t
5 3
1 15
1
t
Bài 18:
2
Tính tích phân: I
1
x
1 x 1
dx.
Giải
Đặt t =
136
x 1 t = 0
x 1 t2 = x 1 2tdt = dx. Đổi cận
x = 2 t = 1
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
Vậy I
t2 1 2t dt 21 t3 t dt 21 t2 t 2
1 t
0
0
t 1
0
2
dt
t 1
1
t3 t 2
11
I 2 2t 2ln | t 1| 4ln2 .
3
2
0 3
Bài 19:
e
Tính tích phân: I
1
1 3lnx.ln x
dx .
x
Giải
Đặt t 1 3lnx t 2 1 3lnx 2tdt =
3dx
x
x e t = 2
Đổi cận
x 1 t = 1
2 2
2
t 1 2tdt 2 4 2
2 t 5 t 3 2 116
I t
t t dt
3 3
91
9 5 3 1 135
1
Bài 20: ĐỀ DỰ BỊ 2
2
Tính tích phân: I
0
x4 x 1
x2 4
dx.
Giải
I=
2
0
2
x4 x 1
x
17
dx x2 4 2
2
dx
2
x 4
x 4 x 4
0
x3
1
= 4x ln x2 4
2
3
Tính: I1 =
2
2
2
dx
.
17 2
0
0x 4
dx
2
x2 4 . Đặt x = 2tant dx = 2(tan x + 1)dt
0
x 0
Đổi cận:
t 0
4
2
4
2
tan t 1
1
4
dt dt
I1 = 2
2
2
2
8
4
tan
t
1
0
0
0
4
x3
1
Vậy I = 4x ln x2 4
2
3
2
17
16
ln 2
17. =
8
3
8
0
137
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Bài 21:
2 3
Tính tích phân: I
5
dx
x x2 4
.
Giải
Tính tích phân I
2 3
dx
2
x x 4
5
. Ta có I
2 3
5
dx
2
x x 4
2 3
5
xdx
x
2
x2 4
xdx
Đặt t x2 4 t 2 4 x2 dt =
x2 4
x 2 3 t = 4
Đổi cận
x 5 t = 3
4
dt
Vậy I
3t
2
4
1 t 2 4 1 1
1 1 5
ln
ln ln ln .
4 t 2 3 4 3
5 4 3
Bài 22: ĐỀ DỰ BỊ 1
Tính tích phân: I
ln3
e2x dx
ex 1
ln2
.
Giải
I
ln 5
ln 2
e
2x
dx . Đặt t =
e 1
x
x ln 2
Đổi cận:
t
1
ex 1 t2 = ex – 1 2tdt = exdx và ex = t2 + 1
2
2 t 2 1 .2tdt
ln 5
t3
20
I
2 t
2
t
3
3
1
1
Bài 23:
4
1 2sin2 x
dx .
1 sin 2x
0
Tính tích phân: I
Giải
4
4
cos2x
1 d 1 sin 2x 1
1
dx
ln 1 sin 2x 4 ln2 .
1
sin
2x
2
1
sin
2x
2
2
0
0
0
Ta có I
Bài 24: ĐỀ DỰ BỊ 2
Tính tích phân: I
138
ln3
ex dx
0
e 1
x
3
.
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
I
ln 3
ex
0
ex 1
3
4
Khi đó I
dt
3
2 2
t
dx . Đặt t ex 1 dt ex dx ; Đổi cận:
x 0 ln3
t 2
4
4
2
t
2 1
2
Bài 25: ĐỀ DỰ BỊ 1
2
6
Tính tích phân: I 1 cos3 x sin x cos5 xdx
0
Giải
2
2
6
6
I 1 cos3 x sin x cos5 xdx 1 cos3 x.cos3 x.sin x.cos2 xdx
0
0
6
Đặt t 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 6t 5dt 3sin x cos2 xdx
2t5dt = sinxcos2xdx và cos3x = 1 – t6
Đổi cận;
x 0
t 0
2
1
1
I t. 1 t
0
6
1
2t dt 2t
5
0
6
12
2t
1
2
2t13
12
dt t 7
13
91
7
0
Bài 26: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM
2
Tính tích phân: I x sin 2xdx
0
Giải
du dx
u x
cos2x
dv sin2xdx v
2
2
2
1 s in2x 2
x cos2x
cos2xdx
Vậy: I =
20
4 2 2 0 4
2
0
139
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b
u(x).v(x)dx u(x).v(x)
Công thức:
b
a
a
b
b
a
udv uv
Viết gọn:
a
b
v(x).u(x)dx
a
b
vdu
a
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
3
Tính tích phân: I
1 x sin x
cos2 x
0
dx.
Giải
3
Ta có: I
0
1 xsin x
2
cos x
3
0
Tính J =
x sin x
1
dx
2
0 cos x
3
tan x
3
3
0
cos2 x dx
xsin x
2
cos x
3
dx
xsin x
2
0 cos x
3
dx 3
0
xsin x
cos2 x
dx
dx .
bằng phương pháp tích phân từng phần.
0
Đặt: u = x du = dx
sin x
1
dx, chọn v =
dv =
2
cos x
cos x
3
3
3
1
2
1
x
Suy ra: J =
cos x dx = 3 cos x dx
cos
x
0 0
0
Tính K =
3
1
3
cos x
cos x dx 1 sin2 x dx
0
0
Đặt t = sinx dt = cosxdx.
140
bằng phương pháp đổi biến số.
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Suy ra: K
3
2
0
1 1 t
ln
2
2 1 t
1 t
Vậy I =
3
2
dt
0
1 2 3
ln
2 2 3
2
1 2 3
ln
ln 2 3 .
2 4 3
2
3
ln 2 3 .
3
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
3
Tính tích phân: I
1
u 3 ln x dv
I
3
3 ln x
x 12
dx
x 12
dx
Giải
1
1
; du dx v
x
x 1
3
3 ln x
dx
x 1 1 1 x x 1
3
3
3 ln3
1
27
3 ln3 3
1
dx
3
3
ln x ln x 1 3 ln
dx
1
1
4
2 1x
x 1
4
4
16
1
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
2
Tính tích phân: I
1
ln x
x3
dx .
Giải
2
Tính tích phân: I
1
I
u ln x
dx
1
dx . Đặt:
, chọn v 2
dx du
3
x
2x
x
dv 3
x
ln x
2 2 1
1
1 2
1
3 3 2 ln 2
ln
x
3 dx = ln 2 2 ln 2
.
2
1 1 2x
8
8
16
16
2x
4x 1
1
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
e
Tính tích phân: I x3 ln2 xdx
1
Giải
141
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Tính tích phân
x4
2 ln x
.
dx; dv = x3dx v
x
4
Đặt u = ln2x du
Ta có: I
e
x4
dx
, dv = x3dx, chọn v
. Ta có
x
4
Đặt u = lnx du
e
e
x4 2 e 1 3
e4 1 3
.ln x x ln xdx
x ln xdx
1
4
21
4 2 1
e
e
x4
1 3
e4 1 4
x
ln
xdx
ln
x
x
dx
x
4
4 1
4 16
1
3
1
Vậy I
e
1
3e4 1
.
16
5e4 1
32
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
1
Tính tích phân: I (x 2)e2x dx .
0
Giải
Tính tích phân.
1
1
u x 2
I (x 2)e2x dx . Đặt
du dx, chọ n v = e2x
2x
2
dv e dx
0
1
I (x 2)e2x
2
1
1
0
1 2x
e2
1
e dx = 1 e2x
20
2
4
1
0
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
2
Tính tích phân: I = (x 1)sin 2x dx
0
Giải
u x 1
1
Đặt
du dx, chọ n v cos2x
2
dv sin 2xdx
I
x 1
cos2x 02
2
2
1
cos2xdx 1
2 0
4
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
142
5 3e2
4
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2
Tính tích phân: I = (x 2)ln xdx
1
Giải
1
x2
u ln x
Đặt
du dx, chọ n v
2x
x
2
dv x 2 dx
2
2
x2
5
x
I=
2x ln x 2 dx 2 ln 2
2
4
2
1 1
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
2
Tính tích phân: I 2x 1 cos2 xdx .
0
Giải
2
2
I (2x 1)cos2 x.dx (2x 1)
0
0
2
2
1
1
(2x 1)dx (2x 1)cos2x.dx
20
20
2
1 cos2x
dx
2
Tính I1 (2x 1)dx x2 x 02
0
2
4 2
2
Tính I2 (2x 1)cos2x.dx .
0
u 2x 1
1
Đặt
du 2dx chọ n v sin2x
2
dv cos2xdx
2
2
1
1
2
I2 (2x 1)sin 2x sin 2xdx cos2x 1
2
2
0
0
0
1
1
2 1
I I1 I2
.
2
2
8 4 2
143
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Bài 9:
3
Tính tích phân: I ln x2 x dx .
2
Giải
3
I ln x2 x dx
2
3
2
3
3
2
2
Ta có I = ln x x dx lnx x 1 dx lnx ln x 1 dx
2
dx
u lnx du =
Đặt
x
dv
dx
chọ
n
v
=
x
3
3 3
3
I1 lnxdx xlnx dx xlnx x 3ln3 3 2ln2 2
2 2
2
2
3ln3 2ln2 1
3
2
2
1
2
I2 ln x 1 dx lnudu ulnu u1 2ln2 1
3
Vậy I ln x2 x dx I1 I2 3ln3 2ln2 1 2ln2 1 I 3ln3 2
2
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1
4
x
dx .
1 cos2x
0
Tính tích phân: I
Giải
4
4
u x
du dx
x
1 xdx
I
dx
. Đặt
du
2
1 cos2x
2 0 cos x
chọ n v tan x
dv
0
cos2 x
4
4
1
1
1
1
I x tan x tan xdx x tan x ln cos x 4 ln 2
0
2
20
2
8 4
0
Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I
3 ln x
Tính tích phân: I
dx
1 (x 1)2
144
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
Đặt u = lnx
du
dx
x
dv = (x + 1)-2dx, chọ n v
I
1
x 1
3 1
ln x 3 3 (x 1) x
1
1
dx ln3
dx
1 x x 1
x 1 1 1 x(x 1)
4
3
1
x
1
3
= ln3 ln
4 ln3 ln 2
4
x
1
1
Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
4
Tính tích phân: I
ln 2x 1
(2x 1)3
0
dx
Giải
Đặt u = ln
3
2x 1 , dv= (2x 1) 2
dx du = (2x 1)1dx, chọn v = (2x 1)
1
2
1
2
1
2
4
ln 2x 1 0 ln3
3
3
Bài 13: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM
I = (2x 1)
2
Tính tích phân : I x sin 2xdx
0
Giải
du dx
u x
cos2x
dv sin2xdx, chọn v
2
2
x cos2x
Vậy: I =
2
0
2
1 s in2x 2
cos2xdx
20
4 2 2 0 4
Vấn đề 4:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP
A.ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
1
Tính tích phân : I
0
x2 (1 2ex ) ex
1 2ex
dx
145
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Giải
1
I
x2 (1 2ex ) ex
1
x3
I1 x dx
3
0
1
2
1
I2
e
x
0 1 2e
Vậy I =
x
0
dx =
1
0
0 1 2e
ex
dx x2 dx
1 2ex
0
1
x
dx
1
3
1
1
1 1 2e
1 d(1 2ex )
1
= ln(1 2ex ) = ln
2 3
2 0 1 2ex
2
0
1 1 1 2e
ln
3 2 3
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
e
3
Tính tích phân: I 2x ln xdx
x
1
Giải
e
e
e
3
1
I 2x ln xdx 2 x ln xdx 3 ln x. dx
x
x
1
1
1
e
Xét I1 x ln xdx . Đặt u ln x du
1
x2
dx
; dv xdx v
x
2
e
e
e
x2
1
e2 1 x 2
e2 1
Do đó I1 ln x xdx
2
2 2 2
4
1 2 1
1
e
1
Xét I2 = ln x. dx .
x
1
Đặt t = lnx dt
dx
. Với x = 1 t = 0; x = e t = 1 .
x
1
1
t2
1
e2 2
Do đó I2 tdt . Vậy I
2
2
0 2
0
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
2
Tính tích phân I cos3 x 1 cos2 xdx .
0
146
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
2
2
0
0
I cos5 xdx cos2 xdx
Đặt t = sinx dt = cosxdx; x = 0 t = 0, x
2
2
0
0
I1 cos5 xdx 1 sin2 x
2
2
1
cos xdx 1 t 2
0
t 1
2
2
1
1
8
2
dt t t 3 t 5
5 0 15
3
2
1
1
1
2
I2 cos xdx 1 cos2x dx x sin 2x
2
2
2
0 4
0
0
2
Vậy I I1 I2
8
5 4
Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
1
Tính tích phân I e2x x ex dx
0
Giải
1
1
0
0
Ta có I e x dx xex dx
1
I1 e x dx e x
0
1
0
1
1
e
1
I2 xex dx . Đặ t u x du dx; đặ t dv ex dx, chọ n v ex
0
Suy ra I2 xex
1
0
1
ex dx 1 . Vậy I I1 I2 2
0
1
.
e
Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007
1
Tính: I
2x 1
2
0 x x 1
dx
Giải
I =
1
2x 1
1
1
x2 x 1 dx 2 x2 x 1 dx
0
0
147
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
I1 =
1
2x 1
x2 x 1 dx ln x
2
x 1
0
Đặt x +
I2 =
3
6
I
1
0
ln3 ; I2 =
1
0
dx
2
1
3
x
2
4
1
3
3
tan t dx =
1 tan2 t dt
2 2
2
3
1 tan2 t dt
2
2
3
6 3
1 tan2 t
4
= ln3
2
6 3
Bài 6: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007
Tính tích phân : J
2
9
sin
xdx
0
Giải
Đặt t =
3
x thì dx = 2tdt J 2t sin tdt
0
u 2t
du 2dt
Chọn :
dv sin tdt chọ n v cost
3
0
3
J = 2t cos t 2 cos tdt 2t cos t 03 2sin t 03 =
0
3
3
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
2
Tính tích phân I 2 esin x cos x cos xdx .
0
Giải
2
2
1 cos2x
dx 2esin x
2
0
I 2 esin x d sin x 2
0
148
2
0
2
1
1
x sin 2x
2
2
e
0
1
2
