hoctoancapba com dethi11HK2 de so 9

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 9
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2x2 + x − 1
a) lim
x →+∞ 3 x 2 + 2 x

b) lim

x →2

x +2 −2
x2 − 4

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
x +1

f (x) =  1
 x ² − 3 x

khi x ≤ 1
khi x > 1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x2 − 2x + 3
2x + 1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD).
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
a) y = sin(cos x )

b) y =

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc
(–1; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = cos3 x . Tính y′′ .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
hoành.

3x + 1
tại giao điểm của (C) với trục
1− x

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 3 + 4 x 2 − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng:

y 3 y′′ + 1 = 0 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =

2x −1
tại điểm có tung độ bằng 1.
x−2

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9
CÂU
1

Ý
a)

b)

NỘI DUNG
1 1
2+ −
2
2x + x −1
x x2
lim

= lim
x →+∞ 3 x 2 + 2 x
x →+∞
2
3+
x
2
=
3
lim

x +2 −2
2

x −4

x →2

= lim

x →+∞

x →+∞ ( x + 2)

2

= lim

(

0,50

x + 2 + 2)

x+2 +2

)

=0

1
1
=−
x →1 x − 3 x
2
f ( x ) không liên tục tại x =1
y = sin(cos x ) ⇒ y ' = − sin x.cos(cos x )
lim f ( x ) = lim+

a)
b)

0,50

x →1

x →1+

y=

=

x − 2x + 3
⇒ y' =
2x + 1

( 2 x + 1)

0,25

2

2

0,25
0,50

( x − 2 ) ( 2 x + 1) − 2

x2 − 2x + 3

2

x − 2x + 3

( 2 x + 1)

0,25

2

x −8
2

0,50
0,50

x +1
khi x ≤ 1

f (x) =  1
khi x > 1
 x ² − 3 x
lim− f ( x ) = lim− ( x + 1) = f ( 1) = 2

x →1

3

0,50

x −2

( x − 2) ( x + 2) (

1

ĐIỂM

x2 − 2x + 3

0,25

4

a)
b)

Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB )
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD , CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD )
SA ⊥ ( ABCD ), SA = a , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là đường
trung bình tam giác SBD ⇒ FE P BD
BD ⊥ AC ⇒ FE ⊥ AC , SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ FE ⊥ SA
FE ⊥ (SAC ), FE ⊂ ( AEF ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( AEF )
2

0,50
0,50
0,25
0,50
0,25


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
c)

·
SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ ϕ = SCA
SA
a

1
=
=
⇒ ϕ = 450
AC a 2
2
5
Gọi f ( x ) = x − 3 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R
⇒ tan ϕ =

5a

0,50

f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0). f (2) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( 0;2 )

6a

a)

b)

c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)

0,25

3
y = cos3 x ⇒ y ' = −3cos2 x.sin x ⇒ y ' = − (sin 3 x + sin x )
4
3

y " = − ( 3cos3 x + cos x )
4

1
Giao của (C) với Ox là A  0; − ÷
3

4

( x − 1)

2

⇒ k = f ' ( 0) = 4
1
3

f(0) = –2, f(1) = 3 ⇒ f(0).f(1) < 0 ⇒ PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( 0;1)

0.50
0,25

0,25
0,25
0,25

f(–1) = 1, f(0) = –2 ⇒ f (−1). f (0) < 0
⇒ PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( −1;0 )

0,25

Dễ thấy c1 ≠ c2 ⇒ phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.

0,25

y = 2x − x2 ⇒ y ' =

1− x
2x − x2

⇒ y' =

1− x
y

− y − (1 − x ) y′ − y 2 − (1 − x )2 −2 x + x 2 − 1 + 2 x − x 2 −1
′′
y =
=
=
= 3
y2
y3
y3
y
⇒ y 3 y "+ 1 = y 3 .
b)

0.50

0,50

Gọi f ( x ) = x 3 + 4 x 2 − 2 ⇒ f ( x ) liên tục trên R

a)

0,25
0,25

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y = 4 x −

6b

0,25

f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (−1;0)

y' =

5b

0,50

−1
+ 1 = −1 + 1 = 0 (đpcm)
y3

2x −1
(C)
x−2

2x −1
y =1⇔
= 1 ⇔ 2 x − 1 = x − 1 ⇔ x = 0 ⇒ A(0; 1)
x −1
−3
3
y' =
⇒ k = f ( 0) = −
2
4
( x − 2)

0,25
0,50
0,25

y=

3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + 1
4

3

0,50

0,25
0,25