Đề toán lớp 9 học kì 2 có đáp án (4)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN
LỚP 9

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (2đ)
Câu 1: Phương trình 4x - 3y = -1 nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?
A. (-1;-1)
B. (-1;1)
C. (1;-1)
D. (1;1)
Câu 2: Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x+y = 1 để được một
hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. x+y=-1
B. 0.x+y=1
C. 2y = 2-2x
D. 3y = -3x+3
A. (0; 1)
B. (1; 0)
C. (-1; 0)
D. (0; -1)
2
3

2
Câu 3 : Cho hàm số y = x . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên luôn đồng biến
B. Hàm số trên luôn nghịch biến
C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Câu 4: Điểm P(-1;-2) thuộc đồ thị hàm số y = m.x2 khi m bằng:
A. 2

B. -2
C. 4
2
Câu 5: Tổng hai nghiệm của phương trình 2x +5x-3=0 là:
A.

5
2

B. −

5
2

C. −

D. -4

3
2

D.

3
2

Câu 6 : Cho đường tròn(O ; R )
dây cung AB = R 2 .Khi đó góc AOB có số đo bằng
A. 200
B. 300

C. 600
D. 900
0
·
Câu 7: Cho các số đo như hình vẽ, biết MON=60
. Độ dài cung MmN là:
2
πR m
A.
6
πR
B.
3
π R2
C.
6
π R2
D.
3

O
R

M

N
m

Câu 8: Cho ∆ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vòng
quanh cạnh AB được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 10π(cm2)
B. 15π(cm2)
C. 20π(cm2)
D. 24π(cm2)


Phần II. Tự luận (8 đ)
Bài 1 :
a) Giải hệ phương trình
 3 x − y = −1

− 3 x + 2 y = 5

b) Giải phương trình : ( x + 3) = ( x 2 − 2x )
2

2

Bài 2 : Cho phương trình ẩn x , tham số m : x 2 − mx + m − 1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho . Tìm giá trị của m để
x12 ×x 2 + x1.x 2 2 = 2
Bài 3 : Cho ( 0 ; R ) và một điểm A ở ngoài đường tròn
Qua A kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ).Gọi H giao điểm
của AO và BC .Chứng minh :
a) ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Kẻ đường kính BD của (O) ,vẽ CK vuông góc với BD .
Chứng minh :AC.CD = AO.CK
c) AD cắt CK ở I .Chứng minh I là trung điểm của CK
Bài 4 : Cho 361 số tự nhiên a1 ,a 2 ,a 3 ,.....,a 361 thỏa mãn điều kiện :

1
1
1
1
+
+
+ ××××+
= 37
a1
a2
a3
a 361
Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó ,tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
I.TRẮC NGHIỆM ( 2đ)
Câu
1
2
Đáp án
A
B

3
C

4
B

II.TỰ LUẬN (8ĐIỂM )

Bài 1 : a) Giải hệ phương trình ( 1đ )
 3 x − y = −1

− 3 x + 2 y = 5
Nghiệm của hệ là ( x= 4 ; y = 1 )
b) Giải phương trình :
(1đ)

( x + 3)

2

= ( x 2 − 2x )

2

⇔ ( x + 3) − ( x 2 − 2x ) = 0
2

2

⇔ ( x + 3 − x 2 + 2x ) ( x + 3 + x 2 − 2x ) = 0
⇔ ( − x 2 + 3x + 3) ( x 2 − x + 3) = 0

Suy ra : − x 2 + 3x + 3 = 0 (1) hoặc x 2 − x + 3 = 0 (2)

5
B

6

D

7
B

8
B


Giải(1) : ta được x1 =

3 − 21
3 + 21
; x2 =
2
2

PT (2) vô nghiệm
Vậy: phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 =

3 − 21
3 + 21
; x2 =
2
2

Bài 2 : (1,5 đ )
Xét phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0
a) ! = m 2 − 4 ( m − 1)
= m 2 − 4m + 4

= ( m − 2 ) ≥ 0, ∀m
2

Chứng tỏ phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
b) Vì phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
theo hệ thức Viet ta có : x1 + x 2 = m ; x1.x 2 = m − 1
Ta có :
x12 ×x 2 + x1.x 22 = 2
⇔ x1.x 2 (x1 + x 2 ) = 2
⇔ m(m − 1) = 2
⇔ m2 − m − 2 = 0
Do đó : m = -1 ; m = 2 là các giá trị phải tìm

B

A

O

H
I
C

K
D

Bài 3 : (3,5 đ )
a) ABOC là tứ giác nội tiếp ( có tổng hai góc đối bằng 180o )
b) ! ACO " ! CKD (g.g)
AC AO CO

⇒
=
=
CK CD KD
⇒ AC.CD = AO.CK
c) Ta có : CK // AB ( cùng vuông góc với BD ) nên : IK // AB
Xét ! ABD có IK // AB (cmt )


IK DK
=
( định lí ta lét ) ⇒ IK.DB = AB.KD (1)
AB DB
AC AO CO
=
=
Lại có ⇒
( cmt )
CK CD KD
Mà : AC = AB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) ; CO = OB = R
AB OB
=
⇒ AB.KD = CK.OB (2)
Nên : ⇒
CK KD
Từ (1) và (2) ta có : IK.DB = CK.OB
Hay : IK . 2R = CK . R
Do đó : CK = 2IK .Suy ra : I là trung điểm của CK
Bài 4 : ( 1đ )
Giả sử trong 361 số tự nhiên đó không tồn tại hai số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát , giả sử a1 < a 2 < a 3 < ........... < a 361
Do : a i ∈ N (i =1, 2,3,.....361) nên :
a1 ≥ 1; a 2 ≥ 2;.......a 361 ≥ 361
Do đó :

⇒

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
≤ 1+
+
+ ...... +
=
a1
a2
a3
a 361
2
3
361

2

2
2
2
1
1
1


+
+
+ .... +
< 2
+
+ ....... +
÷+ 1 =
1+ 1
2+ 2
3+ 3
361 + 361
3+ 2
360 + 361 
 2+ 1

2

(

)

2 − 1 + 3 − 2 + ........ + 361 − 360 + 1 = 37

Trái với giả thiết
Vậy : Trong 361 số tự nhiên đó , tồn tại ít nhất hai số bằng nhau