Đề tài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin
Mục lục

Khoa:
Trang

Phần 1: Mở đầu

1.

4

Lý do chọn đề tài
4

2.

Mục đích nghiên cứu
5

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu
5

4.

Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
6

5.

Phơng pháp nghiên cứu
7

Phần 2: Nội dung
Chơng I. Các nội dung lý thuyết cơ sở

7
7

1. Các cấu trúc đại số

7

2. Nhắc lại về đa thức

9

3. Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử

10

1

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội

Toán - Tin

Khoa:

Chơng II. Vận dụng các nội dung lý thuyết cơ sở trên
vào giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành
nhân tử

11

1. Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình SGK

11

2. Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho
học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân
tích đa thức thành nhân tử

12

3. Một số bài tập vận dụng

17

Phần 3 Thực nghiệm s phạm

27

Phần 4 Kết luận

40

Phần 5

Tài liệu tham khảo

41

2

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

1. Sách giáo khoa Đại số 7
2. Sách giáo khoa Đại số 8
3. Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 8
4. Đa thức Phân tích đại số Phơng trình
5. Đại số đại cơng (Giáo trình CĐSP)
6. Lý thuyết trờng

(Giáo trình ĐHSP)

7. Lý thuyết Ga Loa

(Giáo trình ĐHSP)

Phần một: Mở đầu
1-Lý do chọn đề tài:

3

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Theo chủ chơng định hớng đổi mới phơng pháp dạy học nói chung của bộ
giáo dục đào tạo và dạy học môn toán nói riêng ,nhằm nâng cao chất lợng
giáo dục .Trong chơng đại số ở THCS , đa thức và phân tích đa thức thành
nhân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản, trọng tâm, nó là cơ sở
xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài toán khác nhau trong chơng trình nh: Quy đồng rút gọn phân thức, giải phơng trình, nhất là phơng
trình bậc cao, giải bất phơng trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm
cực trị,
Từ thực tiễn giảng dạy toán tôi thấy việc rèn kỹ năng làm toán cho học
sinh là rất quan trọng.Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là
một trong kỹ năng cơ bản quan trọng nhất, nếu nắm vững và thành thạo kỹ
năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liên
quan, tìm đợc lời giải tối u cho một bài toàn. Nhng đôi khi việc phân tích đa
thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp
đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng

những phơng pháp thông thờng đã học nh trong SGK thì học sinh khó có thể
phân tích đợc thành nhân tử.
Các kiến thức đợc học ở chơng trình đại học có nhiều kết quả ứng dụng
đợc vào chơng trình THCS.Tôi muốn vận dụng mội số kết quả đó vào dạy
học ở THCS .Trong chơng trình THCS có những đa thức không có nghiệm
thực thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử. Vì vậy một câu hỏi
thờng đợc đặt ra trong trờng hợp này là: Những đa thức nào thì không thể
phân tích đợc thành nhân tử? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả
năng giải đợc một cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể.
Ví dụ: Khi xét một phơng trình bậc hai, học sinh có thể kết luận đợc phơng trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải phơng trình.
Bên cạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng còn có thể sử dụng một số
phơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợp
nhất định, nhiều phơng pháp này trong chơng trình của SGK cha có điều kiện
4

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

đề cập đến nhng nếu giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu đợpc
một cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp
một cách nhanh chóng. Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệ thống
đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắm
vững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức
một cách chính xác, có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo

viên biết đợc phải cho và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đến
chừng mực nào để có thể vận dụng hợp lý, đa vào bài giảng của mình những
nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh, đa ra những bài tập
thích hợp.
2.Mục đích nghiên cứu.
Vận dụng những kiến thức về cầu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào giảng
dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số ở
các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phần
tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Qua điều tra khảo sát thực trạng giáo viên dạy toán tại ba trờng THCS
của phòng giáo dục Vụ Bản Nam Định tôi thấy có 40% giáo viên đã đổi mới
Phơng pháp dạy học và giảng dạy tơng đối bài bản trong chuyên đề phân
tích đa thức thành nhân tử
Qua dạy học và tìm hiểu tôi thấy chuyên đề này rât cần thiết cho học sinh
THCS và nó cũng là đơn vị kiến thức cần thiết để các em học lên THPT nên
tôi nghiên cứu chuyên đề này .
Mạch kiến thức trong đề tài đợc săp xếp theo trình tự từ lý tuyết cơ sở đến
vận dụng kiến thức đó vào phân tích đa thức thành nhân tử ,giảI các phơng
trình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích

5

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Khi nghên cứu cần nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến
thức cơ bản:
+Các cấu trúc đại số: Nhóm, vành, trờng, vành đa thức,
+Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy.
+Một số định lý về nghiệm của đa thức
+Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức của các đa thức bất khả
quy.
-Nghiên cứu nội dung, chơng trình SGK để nắm đợc mức độ, giới hạn nội
dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh.
-Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần
đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số THCS.
-Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức
thành nhân tử.
4.phạm vi và đối tợng nghiên cứu

-Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa
thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa
thức (một ẩn) thành nhân tử ở chơng trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việc
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các phơng trình bậc cao cho học
sinh THCS trong việc mở rộng kiến thức.

5.Phơng pháp nghiên cứu:
6

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh

Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

-Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết
-Phơng pháp thử nghiệm s phạm
-Phơng pháp điều tra thực tiễn.
Phần hai: Nội dung
ChơngI - Các nội dung lý thuyết cơ sở
1.Nhắc lại các cấu trúc đại số:
1.1. Định nghĩa phép toán hai ngôi:
-Giả sử A là một tập không rỗng. Một ánh xạ f: A->A đợc gọi là phép toán
2 ngôi trên A
-Với mỗi cặp (x, y) A x A, ảnh f((x, y)) đợc gọi là hợp thành của cặp (x,
y) và còn đợc viết gọn là f(x, y).
-Nếu kí hiệu ánh xạ bởi dấu <<+>> thì f(x, y) đợc ký hiệu bởi x+y và
phép toàn đợc gọi là phép toán cộng, x+y đợc gọi là tổng của x và y. Nếu kí
hiệu ánh xạ bởi dấu << . >> thì f(x, y) đợc ký hiệu bởi x.y (hoặc đơn giản là
xy), phép toán đã cho là phép toán nhân, xy đợc gọi là tích của x và y.
-Một phép toán hai ngôi đợc gọi là có tính chất kết hợp nếu:
f ( f (x, y), z) = f(x, f(y, z)) với x, y, z A
-Một phép toán hai ngôi đợc gọi là có tính chất giao hoán nếu:
f (x, y) = f (x, y)) với x, y A
1.2.Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị hoán.
-Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp đợc
gọi là một nửa nhóm.
-Một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính chất
giao hoán.
7

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

-Một nửa nhóm nhân A đợc gọi là một vị nhóm nhân nếu có một phần tử
e sao cho xe = x =ex, với x A (e đợc gọi là phần tử đơn vị)
-Một nửa nhóm cộng A đợc gọi là một vị nhóm cộng nếu có một phần tử
0 A sao cho x+0 = x = 0 + x, với x A (0 đợc gọi là phần tử không).
1.3.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm con:
-Một vị nhóm A đợc gọi là một nhóm nếu với phần tử a A đều tồn tại
một phần tử a A sao cho aa= e =aa.
a đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu bởi a.
-Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một
nhóm giao hoán hay nhóm aben.
-Một tập hợp con của B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm
A và B cũng là nhóm đối với phép toán trong A.
1.4. Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con.
-Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép toán cộng và phép
nhân sao cho:
+A với phép cộng là một nhóm giao hoá
+A với phép nhân là một vị nhóm.
+Phép nhân phân phối đối với phép cộng
-Vành A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán.
-Một tập con B của vành A đợc gọi là một vành con của A nếu B là một

vành đối với phép toán trong A.
1.5.Định nghĩa trờng, trờng con:
-Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác
không đều có nghịch đảo.
-Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờng
con của A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A.
8

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

2.Nhắc lại về đa thức:
2.1.Định nghĩa vành đa thức một ẩn:
-Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị u E. Phần tử a0+a1u2+
+anun+(1) trong đó ai A, với mọi i = (0, 1, , n, )và chỉ có một số hữu
hạn a1 0 đợc gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A.
Tập hợp các đa thức của u trên vành A đợc ký hiệu là A [ u ] .
-Khi coi u là một phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức của u
đợc ký hiệu là f(u), g(u) đợc gọi là đa thức của ẩn u.
-Nếu tồn tạo một đa thức dạng (1) với các a i không đồng thời bằng 0 mà
a0+aiu+a2u2+anun = 0 E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A.
Trái lại ta nói u là một phần tử siêu việt trên A
-Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn:
Giả sử f(x) = a0 + a1x +a2x2 + +anxn K [ x ] và k . Nếu trong đa thức

f(x) ta thay x= thì f( ) = a0 + a1 +a2 2 + +an n K.
f( )đợc gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x =
2.2.Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết, phép chia có d) và hệ
quả:
*Định lý:
Giả sử K [ x ] là vành đa thức trên trờng K. Khi đó với hai đa thức bất kỳ
f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao cho
f(x)=g(x) .q(x)+r(x); r(x) =0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức f(x) cho đa
thức g(x).
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x)
Và ký hiệu f(x) g(x)
Nếu f(x) 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) còn d
9

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

*Hệ quả:
Giả sử K là một trờng, f(x) K [ x] và K. Khi đó f( ) là d trong phép
chia f(x) cho x- .
2.3.Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn.
Giả sử A là một vành. Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)
A [ x ] nếu f( ) = 0

2.4. Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:
Giả sử K là một trờng. Phần tử K là nghiệm của đa thức f(x) K [ x ]
khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x- .

3.Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử:
3.1.Định nghĩa đa thức bất khả quy:
Đa thức f(x) 0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ
đẳng thức f(x) =g(x). h x h(x) là ớc của đơn vị.
3.2.Tiêu chuẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy:
Giả sử f(x) = a0 + a1x +a2x2 + +anxn , với các ai Z.
Nếu có một số nguyên tố phờng thoả mãn các điều kiện sau:
i)

p không phải là ớc của an

ii)

p là ớc của a1 với i = 0, 1, 2, ,n-1

iii)

p2 không phải là ớc của a0

thì f (x) là đa thức bất khả quy trong Q [ x ]
3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy:
3.3.1. Giả sử R là trờng số thực. Trong R [ x] mọi đa thức bậc nhất ax+b và
mọi đa thức bậc hai ax2 + bx+c với biệt thức = b 2 4ac < 0 đều là đa thức
bất khả quy.
10

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Ngợc lại mọi đa thức bất khả quy trong R [ x] đều là đa thức bậc nhất hoặc
là đa thức bậc hai ax2 + bx+c với biệt thức < 0
3.3.2. Giả sử K là một trờng. Trong vành K [ x] , nếu đa thức bất khả quy
p(x) là ớc của tích f(x).g(x) thì p(x) là ớc của f(x) hoặc của g(x)
3.3.3.Giả sử K là một trờng.Trong vành K [ x] , nếu tích f(x).g(x) chia hết
cho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và h(x).
3.3.4.Giả sử K là một trờng. Trong vành K [ x] , nếu tích f(x).g(x) chia hết
cho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và h(x), g(x)=1 thì f(x) chia hết cho h(x).
3.3.5. Giả sử K là một trờng. Trong vành K [ x] , nếu f(x) chia hết cho hai
đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng.
3.4. Định lý về sự phân tích một đa thức (có bậc n 1 ) thành tích các
đa thức bất khả quy.
Giả sử K là một trờng. Mỗi đa thức f(x) K [ x] có bậc lớn hơn 1 đều có
thể phân tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy.
ChơngII - Vận dụng các nội dung lý thuyết thuyết cơ
sở trên vào giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức
thành nhân tử
1.Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình sách giáo khoa:
Trong chơng trình đại số lớp 7, ở chơng IV, học sinh đã đợc học khái
niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của
ẩn, định nghĩa nghiệm của một đa thức và bớc đầu học sinh đã biết cách tìm

nghiệm của một đa thức đơn giản (bậc nhất, bậc hai).
ở chơng I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã đợc học về
các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phép
chia hết và phép chia có d) nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thành
nhân tử các đa thức tơng đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông
11

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

thờng, cha có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức với
việc tìm nghiệm của đa thức nên học sinh cha có sự hiểu biết một cách
toàn diện và có hệ thống về đa thức.
Trong chơng cuối của chơng trình Đại số lớp 8, học sinh sẽ đợc học về
phơng trình và cách giải phơng trình, trong đó có cách giải một số phơng
trình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích. Để có thể đa các phơng trình
bậc cao về dạng phơng trình để giải, học sinh cần thành thạo kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử và việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc này có
thể thực hiện với đa thức phức tạp hơn rất nhiều so với các dạng đa thức mà
học sinh đã đợc làm quen trớc đó. Trong một số trờng hợp, các đa thức cần
phân tích thành nhân tử có bậc cao, lại không có nghiệm hữu tỉ, đo đó việc
áp dụng phơng pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thực
hiện đợc, đôi khi có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nên
không phân tích đợc thành nhân tử.

2.Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh
trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân
tử:
2.1.Các khải niệm cơ bản:
2.1.1.Đa thức:
Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với các
biến chỉ là phép cộng, trừ, nhân, và luỹ thừa. (Đa thức là một biểu thức
nguyên).
Ví dụ:
Biểu thức: f(x) = x4 4x3 8x3 +8x là một đa thức của biến (ẩn) x
Biểu thức: g(x) = y2 +4y + 4 là một đa thức của biến (ẩn ) y
Biểu thức: h(x,y) = 5x3y +x2y2 y3 +1 là một đa thức của hai biến (ẩn) x
và y.
2.1.2. Giá trị của một đa thức tại một giá trị của ẩn:
12

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Xét đa thức f(x), nếu thay x =a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính đ ợc một
giá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x =a.
Ví dụ:
Xét biểu thức: f(x) = x3 - 4x2 +2x +4
Nếu thay x =1 vào đa thức ta sẽ có f(x) =1 3 4.12+2.1+4 = 3 là giá trị

của đa thức f(x) tại x=1
2.1.3. Nghiệm của một đa thức:
Nghiệm của 1 đa thức là giá trị của ẩn thuộc tập xác định mà tại đó đa
thức nhận giá trị bằng 0
Ví dụ:
1/Xét đa thức f(x) = f(x)= x4 4x3 8x3 +8x
Nếu thay x=-2 vào đa thức, ta có:
f(2) = (-2)4 4.(-2)3 8.(-2)3 +8.(-2) = 0
Vậy x=-2 là nghiệm của đa thức f(x) đã cho
2/Xét đa thức h(x,y) = 5x3y +x2y2 y3 +1
Nếu thay x=0, y=1 vào đa thức ta có:
h(0,1) = 5.03.1 +02.12 13 +1=0
Vậy cặp giá trị x= 0, y=1 là một nghiệm của đa thức h(x,y)
*Chú ý:
-Một đa thức bậc nhất ax+b (với a 0) luôn có nghiệm và nghiệm đó là
duy nhất.
-Một đa thức bậc n (n 2 ) có thể chỉ có một nghiệm, có thể có đúng n
nghiệm hoặc cũng có thể vô nghiệm.
2.2.Phân tích đa thức thành nhân tử:
2.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
13

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đa thức đó dới dạng một tích của
các đa thức có bậc nhỏ hơn.
2.2.2. Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử (đã
có trong chơng trình sách giáo khoa lớp 8 THCS):
Phơng pháp đặt hạt nhân tử chung
Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
Phơng pháp tách một hay nhiều hạng tử
Phơng pháp thêm bớt một hay nhiều hạng tử
Phơng pháp biến đổi
2.3. Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức
dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức.
2.3.1. Định nghĩa về phép chia hết và phép chia có d của một đa thức
cho một đa thức.
Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0, tồn tại duy nhất hai đa thức
q(x) và r(x) sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x); r(x) = 0 hoặc r(x)< bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức f(x) cho đa
thức g(x).
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x).
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn d
2.3.2. Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức
dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức. Định lý Bơdu (Bezout) về
nghiệm của một đa thức.
Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết dới
dạng f(x) = g(x). h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho đa thức g(x)
14

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS

Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

hoặc đa thức h(x) và khi có nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệm
của f(x).
Định lý Bơdu (Bezout): D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a
đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a ).
Từ định lý Bơdu, ta có thể suy ra một số mệnh đề về sự liên hệ giữa tính
chất chia hết và nghiệm của đa thức sau:
1/Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x a khi và chỉ khi f(x) = 0 hay a
chính là một nghiệm của đa thức f(x). (Dựa vào định nghĩa nghiệm của một
đa thức).
Nh trên ta đã nêu, nếu f(x) chia hết cho nhị thức x a thì f(x) có thể
phân tích thành tích của hai đa thức trong đó có một đa thức x a. Vậy nếu
đa thức f(x) có một nghiệm là a thì nó có thể phân tích thành tích có dạng:
(x- a). h (x).
Ta có thể biểu thị mối liên quan giữa tính chất chia hết, nghiệm của đa
thức và khả năng phân tích thành nhân tử của một đa thức nh sau:

f(x) phân tích thành tích (x-a).h(x)

f(x) chia hết cho x-a

f(x) có một nghiệm là a

2/Nếu một đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,
do đó đa thức chia hết cho x-1
Ví dụ:
15

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Đa thức f(x) = 2x2 3x +1 có tổng các hệ số bằng 0 nên nó có một
nghiệm là 1. Khi phân tích thành nhân tử, đa thức này có thể viết đợc thành
tích: (x-1) . q(x), tức là có chứa thừa số x - 1.
3/Nếu một đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức này chia
hết cho nhị thức x+1
Ví dụ:
Đa thức g(x) = x3 x2 + 2x +4 có tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng
tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng 3 nên đa thức này có một nghiệm
là -1, khi phân tích thành nhân tử đa thức g(x) có thể viết dới dạng tích
(x+1). (x), tức là có chứa thừa số (x+1).
4/Xét đa thức f(x) = an xn + an-1 xn-1 + a1 x +a0
Nếu f(x) có nghiệm nguyên a thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hệ số
tự do a0. Vì vậy ta có thể nhẩm để tìm nghiệm của f(x) một cách nhanh
chóng bằng cách xét các ớc của a0. Để nhanh chóng loại trừ các ớc tự do của
a0 không phải là nghiệm của f(x) ta có thể dùng nhận xét:

Nếu là là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) đều khác 0
thì

f (1)
f (1)
và
a 1
a +1

Đa thức f(x) với các hệ số nguyên an a0 nếu không có nghiệm
nguyên mà có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm hữu tỉ đó phải có dạng

p
q

với p là ớc của hệ số tự do a0, còn q là ớc dơng của số hạng bậc cao
nhất an.
áp dụng:
Khi thực hiện việc phân tích đa thức thành nhân tử, trong trờng hợp đa
thức cần phân tích là đa thức có bậc cao, phức tạp, khó phân tích, ta có thể
vận dụng các mệnh đề lý thuyết trên để làm đơn giản bớt bằng cách nhẩm
nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng phơng pháp tách các
hạng tử của đa thức một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân
tử.
16

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh

Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Ví dụ:
Với đa thức g(x) = x3 x2 +2x + 4, ta đã biết nếu phân tích thành nhân tử
nó sẽ chứa nhân tử x+1 do đó ta có thể thực hiện phép chia đa thức g(x) cho
nhị thức x+1 và tìm đợc đa thức k(x) = x2 2x + 4. Khi đó:
g(x) = (x+1). (x2 2x +4). Đến đây không thể phân tích tiếp đa thức
k(x) thành nhân tử đợc vì x2 2x + 4 đa thức này là một đa thức bậc hai nhng không có nghiệm nên không thể tách thành tích của hai đa thức bậc nhất.
3.Một số bài tập vận dụng:
3.1. Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x3 5x2 +3x + 9
Gợi ý cách giải:
-Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ:
9-5 = 3+1
=> đa thức có nghiệm là -1
=> đa thức có chứa nhân tử x+1
b/ x3 -5x2 +8x -4
Gợi ý cách giải:
-Tổng các hệ số bằng 0:
1+(-5)+8 +(-4) = 0
=> đa thức có nghiệm là 1 đa thức
=> đa thức có chứa nhân tử x -1
c/ 3x2 -8x + 4
Gợi ý cách giải:
17

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng
thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy
thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)
3x2 8x + 4
=3x2 -6x 2x +4
=3x(x-2) -2 (x-2)
=(x-2) (3x-2)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất)
3x2 8x + 4
= 4x2 8x +4 x2
=(2x-2)2 x2
=(2x -2 +x) (2x 2 + -x )
=(3x -2) (x-2)
d/(x2 +x)2 +4 (x2 +x)-12
Gợi ý cách giải:
-Dùng phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng
thức
e/x3 + 64
Gợi ý cách giải:
-áp dụng hằng đẳng thức

f/4x4 +81
Gợi ý cách giải:
-Dùng phơng pháp thêm bớt của 1 hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
4x4 +81
18

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

=4x4 +36x2 +81 36x2 (thêm bớt 36 x2)
g/x(x+4) . (x+6) . (x+10) +128
Gợi ý cách giải:
Dùng phơng pháp đổi biến, đa đa thức bậc bốn đối với x thành đa thức
bậc hai đối với y:
x(x+4). (x+6) . (x+10) +128
=(x2 +10x)(x2 + 10x + 24) +128
Đặt x2 + 10x + 24 = y đa thức đã cho có dạng:
(y - 2)(y+12) +128 = y2 16
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng nhiều cách:
x3 7x 6
Gợi ý cách giải:
Chú ý: Nhẩm nghiệm thấy -1 là nghiệm của đa thức
=>đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x+1
Sử dụng phơng pháp tách, ta có các cách:

Cách 1: x3 7x 6 = x3 -7x -7 +1
Cách 2: x3 7x 6 = 7x3 x 6x -6
Nếu sử dụng thêm bớt cùng một hạng tử ta có:
Cách 3: x3 7x 6 = x3 x2 +x2 x 6x -6
Cách 4: x3 7x 6 = 7x3 -7x -6x3 6
Chú ý: Nhẩm nghiệm đợc -2 là một nghiệm
=>đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x+2
Sử dụng phơng pháp tách, ta có các cách tách đa thức nh sau:
Cách 5: x3 7x 6 = x3 -4x 3x 6
19

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Cách 6: x3 7x 6 = x3 +8 7x -14
Chú ý: Nhẩm nghiệm đợc 3 là một nghiệm
=>Đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x -3
Sử dụng phơng pháp tách, ta có các cách tách nh sau:
Cách 7: x3 7x 6 = x3 - 9x 2x -6
Cách 8: x3 7x 6 = x3 -27 -7x +21
Bài 3:
Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức (x+a)(x-4)-7 phân tích đợc
thành tích (x+b)(x+c)
Gợi ý cách giải:

Với mọi x ta có (x+a) (x-4) 7 = (x+b) (x+c). Nên với x =4
Thì: -7= (4+b) (4+c)
Xét hai trờng hợp: 4+b = 1, 4+c =-7 và 4+b = 7, 4+c =-1
Trờng hợp thứ nhất cho b = -3, c = -11, a = -10
Ta có: (x-10) (x-4) 7 = (x-3) (x-11)
Trờng hợp thứ hai: b =3, c = -5, a = 2
Ta có: (x+2) (x-4) 7 = (x+3) (x-11).
Bài 4:
Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức x3 +ax2 + bx +c phân tích đợc
thành tích (x+a) (x+b) (x+c)
Gợi ý cách giải:
Nhân (x+a) (x+b) (x+c), ta đợcL
x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x + abc
Từ đó ta có:

b+c=0

b = ab + bc + ac

(1)
(2)

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh

20


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

c = abc

Khoa:

(3)

Từ (1) ta có c = -b thay vào (2) ta đợc:
ab b 2 ab =b
b2 +b = 0
b(b+1) = 0
b=0; b=1

Nếu b=0 thì từ (1) có c =0, còn (2 ) và (3) luôn đúgn nên a tuỳ ý.
Nếu b=-1 thì (1) có c = 1, từ (3) có a = -1
Tóm lại, ta có x3 +ax2 = x2 (x+a) hoặc x3 x2 x +1 = (x-1)2 (x+1)
Bài 5:
Không làm phép chia đa thức hãy xem xét đa thức:
f(x) = x3 9x2 +6x +16 có hay không chia hết cho:
a/ x+1
b/ x-3
Gợi ý cách giải:
áp dụng định lý Bơdu: Tìm f(-1) và f(3) và xét xem có giá trị nào bằng
0 hay không.
Bài 6:
Tìm d của các phép chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho:
a/ x+1
b/ x-2 + 1
Gợi ý cách giải:
áp dụng định lý Bơdu: Tìm f(1) và f(-1)
a/ r = f (-1) = -1 -1 -1 -1 +7 = 3. D 3

21

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

b/ x99 + x55 + x11 + x + 7 = x (x98 + 1) + x (x10 +1) 2x +7
Chú ý rằng (x2)49 + 1, (x2)27 + 1, (x2)5 + 1 chia hết cho x2 +1 (theo hằng
đẳng thức).
Vậy số d phải tìm là - 2x +7

Bài 7
Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x -3 thì d 7, chia cho x -2 thì
d 5, f(x) chia cho (x -2) . (x -3) thì đợc thơng là 3x và còn d.
Gợi ý cách giải:
Trớc hết ta tìm d khi chia f(x) cho (x - 2) . (x - 3)
Xét

f(x) = (x - 3) . A (x) +7

(1)

f(x) = (x 2 ) . B (x) +5

(2)

Cách 1: Xét f(x) = 3x (x-3) (x-2) +ax +b

(3)

Từ (1), (2), (3) bằng cách cho x = 2, x =3 ta tìm đợc a = 2, b = 1
D của phép chia f(x) cho (x-3) (x-2) là 2x +1
Do đó f(x) = 3x (x - 3) (x -2) +2x +1 = 3x3 15x2 + 20 x +1

Bài 8:
Biết rằng đa thức f(x) chia cho x-3 thì d 2, chia cho x +4 thì d 9, hãy tìm
d trong phép chia f(x) cho x2 + x -12
Gợi ý cách giải:
Tơng tự nh cách giải bài trên

Bài 9:
22

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Xác định hằng số a sao cho:
a/ 10x2 7x +a chia hết cho 2x -3
b/ 2x2 + ax +1 chia cho x -3 d 4

c/ 3x2 + ax + 27
Gợi ý cách giải:
a/Biến đổi: 10x2 -7x +a = 10x2 -15x +8x -12 +12 +a
=5x. (2x -3) +4 (2x +3) + (12+a)
=>12 +a =0
b/2x2 + ax +1 chia cho x -3 d 4
=>f(3) =4 hay 3a +19 =4
c/Gọi thơng của phép chia là Q(x) thì
3x2 + ax +27 = (x+5) .Q(x) +2 với mọi x

Bài 10:
Xác định các hằng số a và b sao cho:
a/x4 + ax2 +b chia hết cho x2 +x + 1
b/ax3 +bx -24 chia hết cho (x+1)(x+3)
c/ x4 x3 3x +ax +b chia hết cho (x2 x - 2) có d là 2x 3
d/ 2x3 + ax +b chia cho x+1 d -6, chia cho x-2 d 21
Gợi ý cách giải:
Chia đa thức thứ nhất cho đa thức thứ hai
Tìm đa thức d xác định a và b bằng cách cho đa thức d bằng 0
a/Làm phép chia, ta đợc thơng bằng x2 x +a, d (1 - a)x +(b a).
Muốn chia hết thì đa thức d phải đồng nhất bằng 0, tức là 1 a =0, b a =
0, do đó a= b = 1
23

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

b/Đáp số a =2, b = -26
Cách 1: Thực hiện phép chia, đợc thơng là ax 4a,
d (13a + b)x + (12a -24)
Cách 2: Đồng nhất đa thức ax3 +bx -24 với (x2 +4x +3 + (ax - 8))
Suy ra 4a -8 =0, 3a -32 =b
c/Đáp số a = 3, b = -1
d/ Với mọi x, ta có 2x3 + ax +b = (x+1) P(x) -6
2x3 + ax +b = (x-2) Q(x) +21

(1)
(2)

Với x =- 1 thì -2 a +b =-6
Với x =2 thì 16 +2a +b =21 Do đó a = 3, b =-1

Bài 11
Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3 + bx2 +c chia hết cho x +2, chia hết
cho x2 1 thì d x +5
Gợi ý cách giải:
Vì ax3 + bx2 +c chia hết cho x +2 nên đa thức có nghiệm là -2
Vậy ta có -8a + 4b +c = 0 (*)
Mặt khác, ta có ax3 +bx +c = (x2 -1) . q(x) +5
Với x =1 => a+b+c = 6 (**)
Với x =-1 => -a+b+c = 4 (***)

3.2.Các ví dụ về giải phơng trình sử dụng phân tích đa thức thành
nhân tử

Ví dụ 1: Giải phơng trình
x2 -7x +12 = 0

(1)

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh

24


Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Toán - Tin

Khoa:

Đây là phơng trình mà học sinh cha biết cách giải
Bằng kiến thức đã học: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng
0
Từ đó dẫn đến suy nghĩ có thể phân tích VT của phơng trình (1) về tích
các nhân tử đợc không?
Nhận xét: Phơng trình (1) thuộc dạng ax2 +bx = c =0
Vế trái muốn phân tích thành nhân tử đợc thì b2 4ac phải là bình
phơng của một số.
Từ đó, ta tách bx = mx + nx
m + n = b
m.n = ac

Trong đó

Sau đó nhóm các hạng tử có nhân tử chung
Quay trở lại phơng trình (1), ta thấy vế trái của (1) phân tích đợc thành
nhân tử vì:
(-7)2 4. 12 = 49- 48 = 1 =11
Vậy ta tách nh sau:
x2 -3x -4x +12
=(x-3) -4 (x-3)
=(x-3) (x-4)
Đến đây giải phơng trình (1) đã trở thành giải phơng trình:
(x -3) (x - 4) = 0
Cho nên: hoặc x-3 = 0 hoặc x-4 =0
Nghiệm của phơng trình là x =3 và x =4
Ta đã giải đợc phơng trình bậc hai: x2 7x +12 = 0 bằng phơng pháp
phân tích vế trái thành nhân tử, đa về dạng phơng trình mà học sinh đã
biết cách giải.
25

Ngời thực hiện: Đỗ Xuân C ờng Trờng THCS
Hiển Khánh