318 bài tập GIỚI HẠN DÃY SỐ GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 ôn thi THPT

BDKT & LTĐH LỚP 11
CHUYÊN ĐỀ

GIỚI HẠN


Tuyển tập 318 bài tập GIỚI HẠN – Cơ bản & nâng
cao.

 Chỉnh sửa mới nhất năm 2017!
Hy vọng tập tài liệu nhỏ này sẽ góp phần nhỏ bé tiếp lửa cho
các em trên hành trình chinh phục đỉnh cao tri thức!
Người soạn: THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn.
Phone
: 096 789 2112.
FANPAGE:
/>FACE: />

BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

CHUYÊN ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

BÀI TOÁN 1 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH


.


3n  5

2n  1
4n  5
Bài 2. lim
2n  3
Bài 1. lim

Bài 3. lim

Bài 4. lim

3n2  1
3n2  5n  2
2n2  3n  4
4n2  n  1

Bài 5. lim
Bài 6. lim
Bài 7. lim
Bài 8. lim
Bài 9. lim

2n2  2n  1

3  2n2
2n2  2n  3

4  2n  3n2
6n2  n  2
1  3n2
n2  3n  1

1  2n2
2n3  3n2  7

5n3  n  8
3n3  2n2  4
Bài 10. lim
5  6 n  7n 3
Bài 11. lim
Bài 12. lim
Bài 13. lim
Bài 14. lim

2 n3  2 n  3
1  4 n3
2n2  4n  5
2n  3n3
1  2 n3  n 4
3  n2  2n 4
n 4  n3  1
4  3n5

1 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

Bài 15. lim

Bài 16. lim
Bài 17.
Bài 18.
Bài 19.
Bài 20.

2017

4n5  n2  n

 n5  2n  1
3n5  6n2  3

2  5n3  4n5
(2n  1)(n  1)
lim
n2  1
n (2n  1)2
lim
2  n  4 n3
(n  1)(n  2)(n  3)
lim
n3  1
n4
lim
(n  1)(2  n)(n2  1)

4n2  1  2n  1

Bài 21. lim

n2  4n  1  n

BÀI TOÁN 2 GIỚI HẠN VÔ CỰC.



Bài 23. lim  2n  3n  5
Bài 24. lim  n  2n  4 
Bài 22. lim n2  2n  1
3

2

3



Bài 25. lim 1  3n  5n2  2n3
Bài 26. lim



4n2  1
3n  5

3  2 n  n3
Bài 27. lim
n 1

BÀI TOÁN 3
Bài 28. lim

Bài 29. lim

3n  2n
2n  3n

3n  4n  1

2.4n  2n
 (1)n 
Bài 30. lim 5 

n
3



2

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Bài 31. lim
Bài 32. lim
Bài 33. lim

2.4n  3.5n
5n1  1
3n  8.4n
1  4n1
3n  4n2
2n3  5n



Bài 34. lim 2  3n  5.5n
Bài 35. lim
Bài 36. lim

Chuyên đề: Giới hạn 2017



(2)n  4.7n

7n1  7.3n
1  2.3n  6n

2n (3n1  5)

BÀI TOÁN 4 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH    BẰNG CÁCH NHÂN
LƯỢNG LIÊN HỢP.
Bài 37. lim  n2  2n  n 


Bài 38. lim  4n2  5n  2n 



Bài 39. lim  9n2  2n  3n 


Bài 40. lim  4n2  3n  1  n 


Bài 41. lim  n  1  n2  1 


Bài 42. lim  n2  2n  n  1


Bài 43. lim  n2  3n  n2  1 


Bài 44. lim  n2  2n  n  1


Bài 45. lim  n2  n  n2  2 


Bài 46. lim

n2  3  n  4
n2  2  n

3 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

n2  3  n  4

Bài 47. lim

n2  2  n
1

Bài 48. lim
Bài 49.
Bài 50.
Bài 51.
Bài 52.

2017

n  n2  2n
lim n  n2  3  n2  1 


3
lim  n3  3n2  1  n 


3
3

lim  n3  n2  1  n3  5n2  2 


3
lim
3
2n  8n3  2

2n

Bài 53*. lim



n 1

n 3



(n  1)(n  2)

Bài 54*. lim

n2  4n  4n 2  1
3n2  1  n

Bài 55. lim  1  n2  n4  3n  1 



1
Bài 56. lim
n2  2  n2  4

4n2  1  2n  1

Bài 57. lim

n2  4n  1  n

3
Bài 58. lim  2n  n3  n  1



Bài 59*. lim

3

n2  1  n6
n 4  1  n2

BÀI TOÁN 5
Bài 60. lim
Bài 61. lim
Bài 62. lim
Bài 63. lim

4

1  2  ...  n
2n2  4n  1
1  2  3  ...  n
n2  1
1  3  5  ...  (2n  1)
2 n3  n  1
3  1  5  ...  (7  4n)
3n2  n
Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

 1
1
1 
Bài 64. lim 

 ... 

n(n  1) 
 1.2 2.3
 1

1
1
Bài 65. lim 


 ... 

(2n  1)(2n  1) 
 1.3 3.5
 1
1
1 
Bài 66. lim 

 ... 

n(n  2) 
 1.3 2.4

1 
1 
1 
Bài 67. lim  1   1   ... 1  
 22  32   n2 
Bài 68. lim

1  2  22  ...  2n
1  3  32  ...  3n
2

 n(n  1) 
Bài 69. Biết 1  2  3  ...  n  
 , tính:
 2 
3

3

3

3

lim

1.2  2.5  3.10  ...  n(n2  1)
n

Bài 70*. Chứng minh rằng dãy (un) với un 

1

1

4

2n  3
5n

1

.

có giới hạn bằng 0.
*

.
n n  1  (n  1) n
n
n 1
1
1
1
b) Rút gọn un 

 ... 
1 2 2 1 2 3 3 2
n n  1  (n  1) n
c) Tính lim un .

Bài 71*. a) Chứng





n 

u1  1

Bài 72*. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 
1
u

u


(n  1)
 n1 n
n
2

a)Đặt vn  un1  un . Tính v1  v2  ...  vn theo n.
b) Tính un theo n.
c)Tìm lim un .

u  0, u2  1
Bài 73*. Cho dãy số (un ) được xác định bởi  1
2un2  un1  un (n  1)
1
a)Chứng minh rằng un1   un  1 n  1.
2
2
b) Đặt vn  un  . Tính vn theo n. Từ đó, tìm lim un .
3

5 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

BÀI TOÁN 6 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.
Bài 74. Tìm: S = 1+

1
1
1

 ... 
 ...
10 100
10n1

1 1 1 1
(1)n
Bài 75. Tính tổng: S  1      ... 
 ...
2 4 8 16
2n1
 1 1

1
Bài 76. Tính S  2  1    ... 
 ...  .
2n
 2 4


BÀI TOÁN 7 DÀNH CHO BAN NÂNG CAO.
Bài 77. lim
Bài 78.
Bài 79.
Bài 80.

Bài 81.
Bài 82.

Bài 83.

2cos n2

n2  1
1  cos n2
lim
2n  1
2n  cos n
lim
3n  1
n  sin2n
lim
n2  n
n3  n2 sin3n  1
lim
2n 4  n2  7
sin n
lim
n n 1
n
n  cos
5
lim
n n n

Bài 84. lim

Bài 85. lim
Bài 86. lim

(1)n sin n2  cos n
23 n  1
n sin n2  3n2
n2
n4  n2 cos3n  1

2n 4  n2  1
(1)n sin(3n  n2 )
Bài 87. lim
3n  1
Bài 88. lim
Bài 89. lim

6

3sin6 n  5cos2 (n  1)
n2  1
5.2n  cos5n

2n

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Bài 90. lim

Chuyên đề: Giới hạn 2017

3sin2 (n3  2)  n2

2  3n2
3n2  2n  2
Bài 91. lim
n(3cos n  2)


n
Bài 92. lim  n cos
 2n2 
5



7 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1

Bài 1. lim( x 3  x 2  5)
x 2

x 3
x 2 x  1
Bài 3. lim  x 2  5  1
x 2 

Bài 4. lim  2 x 3  x  5 
x 1

Bài 2. lim

Bài 5. lim

x2  4x  1
2 x

x 4

x 2  3x  4
Bài 6. lim
x 3
x 2

BÀI TOÁN 2 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

0
0

ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC.

x2  1
Bài 7. lim
x 1 x  1

x 2  81
x 9 x  9

Bài 8. lim

x2  x  2
Bài 9. lim
x 1
x 1
x2  2x  3
x 3 2 x  6

Bài 10. lim

x2  2x  1

Bài 11. lim

x 1 x 2

Bài 12. lim

x 2

Bài 13. lim

 2x  3
x  16 x  15
2

x2  4x
x 2  5x  4

x 1

Bài 14. lim

x 2

Bài 15. lim

x 2

8

x2  1
x2  2x  8
x2  4
x2  x  6
x2  4
Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

3x 2  11x  6
Bài 16. lim
x 3
x 3
2 x 2  5x  3

Bài 17. lim

x2  9
4x2  x  5

x 3

Bài 18. lim

x2  x
4 x 2  21x  5

x 1

Bài 19. lim

x 2  7 x  10
x3  x 2  x  1
Bài 20. lim
x 1
x 1

x 5

x3  8

Bài 21. lim

x 2 x 2

Bài 22. lim

4
2 x 2  3x  1

x 1 x 3

Bài 23. lim

 x2  x  1
x3  x 2  x  1

x 2  3x  2
x 4  16
Bài 24. lim
x 2 x  2
x 1

x4 1

Bài 25. lim

x 1 x 3

Bài 26. lim

 2x2  1
x 4  16

x 2 x 3

Bài 27. lim

x 3

Bài 28. lim

 2x2
x 3  5x 2  3x  9

x 4  8x 2  9
4 x 6  5x 5  x

( x  1)2

x 1

Bài 29. lim

x 1

Bài 30. lim

x9  9x  8
( x  1)2

x7 1

x 1 x 5

1
1
x  2
x
Bài 31. lim
x 1 x  1
 1
1
Bài 32. lim 
 
x 0  x ( x  1) x 

(1  x )3  1
x 0
x

Bài 33. lim

9 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112

318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

(1  x )5  1
Bài 34. lim
x 0
x
(1  x )11  1
x 0
x

Bài 35. lim

( x  1)2
Bài 36. lim
x 1 | x  1|
Bài 37. lim

x5  1

x 1 x 3

Bài 38. lim

1
x  5x 5  4 x 6

(1  x )2

x 1

 1
3 
Bài 39. lim 


x 1 1  x 1  x 3 


1
1
Bài 40. lim 


x 2  x 2  3 x  2 x 2  5 x  6 
(1  x )(1  2 x )(1  3x )  1
Bài 41. lim
x 0
x

x  x 2  x 3  ...  x n  n
Bài 42*. lim
x 1
x 1

BÀI TOÁN 3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC.



Bài 43. lim 3x 3  5x 2  7 x  4
x 



Bài 44. lim (3x 5  2 x 3  4)
x 

Bài 45. lim (4 x 4  2 x 3  x  3)
x 

Bài 46. lim (3x 5  2 x 3  4)
x 

Bài 47. lim (5x 4  x  1)
x 

Bài 48. lim (5x 7  4 x 5  3)
x 

Bài 49. lim

2 x 2  3x  4

x 

Bài 50. lim

x 

Bài 51. lim

x 

10

x2  x  2
x2  x  3

3 x 2  1
x 2  5x  6
x3  6

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

x 3

Bài 52. lim

x  x 2

 5x  2

 x 2  5x  4

Bài 53. lim

x 

2x  1
3x  5x 2  7
4

Bài 54. lim

x 

Bài 55. lim

x 

Bài 56. lim

x 

Bài 57. lim

x 

x 2  10
3x 4  x  1
x3  1
(1  2x)2

1  x2
(3 x 2  1)(5 x  3)

(2 x 3  1)(x  1)

( x  1)2 (7 x  2)2

Bài 58. lim

x 

(2 x  1)2
(2 x  3)2 (4 x  7)3

Bài 59. lim

x  (3 x 3

 1)(10 x 2  9)

x x 1

Bài 60. lim

x 

Bài 61. lim

Chuyên đề: Giới hạn 2017

x2  x  1

(2 x  1) x 2  3

x  5x 2
x 2  5x  2
Bài 62. lim
x  2 | x | 1
x 

BÀI TOÁN 4 GIỚI HẠN MỘT BÊN.
Bài 63. lim

x 3
x 3

Bài 64. lim

x2  6x  5
x 3

x 3

x 3

x 2  5x  2
Bài 65. lim
x 2
x 2
x2  x  3
3 x
x 3
2x 1

Bài 67. lim
x 3 3  x
x 1
Bài 68. lim
x 2 2  x
Bài 66. lim 

11 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017


1 1
Bài 69. lim 

1

x 0 x  x  1

Bài 70. lim

x 2

Bài 71. lim
x 0

Bài 72. lim

x 2

Bài 73. lim


x x2
x 2  3x  2
x x

x x
|2 x|
2 x 2  5x  2
|2 x|

2 x 2  5x  2
x2
Bài 74. lim
x 0 | x |
x 2

x2
Bài 75. lim
x 0 | x |
1 x
Bài 76. lim
x 4 ( x  4)2
Bài 77. lim

x2  4x  5

( x  1)2
Từ bài 78 đến 81, tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 9  x2

khi x  3
Bài 78. f ( x )   x  3
tại x = 3.
1  x
khi x  3
 x2  2x
khi x  2

 8  x3
Bài 79. f ( x )  
4
 x  16 khi x  2 tại x = 2.
 x  2
x 1

 x 2  3x  2
khi x  1

2
Bài 80. f ( x )   x  1
tại x = 1.
 x
khi x  1

 2
 1 x 1
khi x  0
 3
1

x

1
Bài 81. f ( x )  
tại x = 0.
3
khi x  0
 2
Từ bài 82 đến 85, tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
 x  3m
khi x  1
Bài 82. f ( x )   2
 x  x  m  3 khi x  1 tại x = -1.
12

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

x  m
khi x  0

 2
Bài 83. f ( x )   x  100 x  3
khi x  0 tại x = 0.

x 3

 x3  1

khi x  1
Bài 84. f ( x )   x  1
mx  2 khi x  1 tại x = 1.
 1
3


3
Bài 85. f ( x )   x  1 x  1
m2 x 2  3mx  3


khi x  1
khi x  1

tại x = 1.

BÀI TOÁN 5 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
Bài 86. lim

0
ĐỐI VỚI CĂN BẬC HAI.

0

x 2

x 4 x 2

Bài 87. lim

x 2

 16
x 2 2
x 2

Bài 88. lim

x6 x
x 3

Bài 89. lim

2 x 3
x7

Bài 90. lim

2x  6  4
x 5

Bài 91. lim

3x  4  2
x

x 3

x 7

x 5

x 0

1 1 x
x 0
x

Bài 92. lim
Bài 93. lim

x x2

x 2 x 2

Bài 94. lim

 3x  2
x 3 2

x 1 x 2

Bài 95. lim

 2x  3
x 3 8

x 6 x 2

Bài 96. lim

x2  7  x  1
x 2  16

x 4

Bài 97. lim

 2x  3
.

5x 2  3x  2

x 1 6 

12 x  24

13 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112

318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

Bài 98. lim

x 2

2017

3x 2  5x  2
5  x  23

Bài 99. lim

x 0

Bài 100. lim

x  1  x2  x  1
x
x 2  3 x  11  x  1
4 x2  7x  2
x 1

x 2

Bài 101. lim

x 1

x2  x  x  1

2 1 x  4  x
x 0
x
1  2x  1
Bài 103. lim
x 0 3 x  4  2  x
Bài 102. lim

x 3  3x  2
Bài 104. lim
x 1
x 1
Bài 105. lim

x 0

Bài 106. lim

x 2

Bài 107. lim

x2  1  2x  1
x  1  4x2  1
x 2  3 x  11  3
x3  2 x  4
2x  7  x  4

x3  4 x2  3

x x 8
Bài 108. lim
x 4 4  x
x 1

Bài 109. lim

x  9  x  16  7
x

Bài 110. lim

x 2  x 7 5
x 2

x 0

x 2

BÀI TOÁN 6 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
Bài 111. lim

x 8

x 64 3

Bài 112. lim

x 4

1 x 1

x 0 3 1 

Bài 113. lim

x 1

14

0
ĐỐI VỚI CĂN BẬC BA.
0

x 1

x 1  2
3

x 1
Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11
3

Bài 114. lim

x 1 3

x 1

4x  4  2
1  x2  1  x

Bài 115. lim

1 3 1 x

x 0

4  x2  2  x

Bài 116. lim

1 3 1 x

x 0

Bài 127. lim

Chuyên đề: Giới hạn 2017

3

4x  4  x  3

x3  4 x2  3
3
1 x  1 x

Bài 118. lim
.
x 0
x
x 1

1  2 x  3 1  3x
Bài 119. lim
x 0
x
Bài 120. lim

3

6 x  2 x
x 2

3

12 x  3  3 x  3
x 2

x 2

Bài 121. lim

x 2

Bài 122. lim

3

5  x  1 x
x 3

3

4  2x  x  6
x2

x 3

Bài 123. lim

x 2

x 2  3x  3 3x  2
.
x 2
x 2

Bài 124. lim

2 1 x  3 8  x
x 0
x

Bài 125. lim

1  x  1  x 

Bài 126. lim
3

(1  x)2

x 1

Bài 127. lim

3

x 2

Bài 128*. lim

8x  11  x  7
2 x 2  5x  2
1  4x  3 1  6x

x2
1  4x . 1  6x 1
Bài 129*. lim
x 0
x
x 0

Bài 130*. lim

x 0

1  2 x .3 1  4 x  1
x

15 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

BÀI TOÁN 7
Bài 131. lim

x2  x  1

Bài 132. lim

x2  1
x

Bài 133. lim

4 x 2  5x  1
x  2

x  

x  

x 

x 2  3x  5
x 
2x  3
2
)(3x 2  x  1)
Bài 135. lim (
x  3 3
x x 1
Bài 134. lim

Bài 136. lim

3

x 

8x3  4 x  9
x 2  3 x  12

1
x 6  3x  1
x  2 x  1
5x 4  x 2

Bài 137. lim

BÀI TOÁN 8 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH    ĐỐI VỚI CĂN BẬC HAI.

Bài 138. lim  x 2  x  1  x 
x  

Bài 139. lim  x  x 2  2 x  3 
x  

Bài 140. lim x  x 2  5  x 
x  

Bài 141. lim  x  4  x 2  7 x  2 
x  

Bài 142. lim x  x 2  1  x 2  2 
x  

Bài 143. lim  2 x  1  4 x 2  4 x  3 
x  

Bài 144*. lim

x 

x 2  2 x  3x
x2  1  x  2



Bài 145*. lim  x  x  x  x 
x  


Bài 146. lim  x 2  2 x  3  x 
x  


16

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

Bài 147. lim  x 2  4 x  1  x 
x  

Bài 148. lim  x 2  1  x 
x  

Bài 149. lim 
x  
Bài 150. lim 
x  
Bài 151. lim 
x  
Bài 152. lim 
x  

x 2  x  x 


x 2  2 x  x 

x 2  11  x 


4 x 2  6 x  1  2 x 


BÀI TOÁN 9 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH    ĐỐI VỚI CĂN BẬC BA.
Bài 153. lim

x 



3

2x 1  3 2x  1



3
Bài 154. lim  x 2  1  x 3  1 
x  

3
Bài 155. lim  x 3  3x 2  x 2  2 x 
x  


Bài 156. lim

x 



3 ( x  1)( x  2)( x  3)

x



Bài 157. lim  x 4  3x 2  2  x 2 
x  

3
Bài 158. lim  x  3x 2  x 3 
x  

3
Bài 159. lim  3x 3  1  x 2  2 
x  


17 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI TOÁN 1 XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
2

f ( x )  2 x  3x khi x  1
khi x  1
1

tại xo = 1.

 x2  4x  5

khi x  5
Bài 2. Cho hàm số f(x) =  x  5

khi x  5
3
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0  5 .
 x 2  5x  6

khi x  2
Bài 3. Cho hàm số f ( x )   x  2

khi x  2
 1
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2.

 x2  3
khi x  3

Bài 4. Cho hàm số: f ( x )   x  3
 2 3 khi x  3

Xét tính liên tục của hàm số tại x  3.
Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số:

 3  x2  5

khi x  2
f (x)  
x 2
12
khi x  2

tại x = 2.
Bài 6. Cho hàm số:
 x 1 1
khi x  0

x
f (x)  
2 x  1
khi x  0

2
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0.
 2  7 x  5x 2  x 3


khi x  2
Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số: f ( x )   x 2  3 x  2
tại x = 2.
1
khi x  2

Bài 8*. Xét tính liên tục của hàm số:

18

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

 2x2  3

 5
f ( x )  6  5 x
 x 3
 2
x 9

khi x  1
khi 1  x  3
khi x  3

tại x = 1 và x = 3.

 x2  1

Bài 9*. Xét tính liên tục của hàm số f ( x )   x  1 khi x  1
 x  a khi x  1
tại điểm x0  1 .
Bài 10*. Xét tính liên tục của hàm số sau:
2 x 2
khi | x | 2

f ( x )  5
khi | x | 2
3 x  1 khi | x | 2

tại x0 = 2.

BÀI TOÁN 2 XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ.
12 x  5 khi x  1
Bài 11. Cho hàm số f ( x )   2
3x  2 x khi x  1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Bài 12. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 2x2  2x

khi x  1
y  f (x)   x  1

khi x  1
2

Bài 13. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2  5 x  24

khi x  3
f ( x)  
x 3

khi x  3
9
Bài 14. Xét tính liên tục của hàm số sau:
 2 x 2  3 x  1
1
khi x 

1  2x
2
f (x)  
1
1

khi x=
 2
2
trên TXĐ của nó.
Bài 15. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 2 x 2  5 x  3

khi x  3
f ( x)  
3 x


khi x  3
7
Bài 16. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
19 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

 3x 2  2 x 16

khi x   2
f (x)  
2 x

khi x   2
2

21  x khi x  3
Bài 17. Cho hàm số f ( x )   2
 x  3x khi x  3
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Bài 18. Xét tính liên tục của hàm số:

 x 2  3x  2


khi x  2
y  f x   x  2

khi x  2
3 x  5
trên tập số thực .
Bài 19. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x2  2x  3

f ( x )   x  1 , khi x  1

, khi x  1
 4x
Bài 20. Xét tính liên tục của hàm số sau trên :

3 x 2  2 x  1 khi x  2

y  f (x)   x  2  2
khi x  2

 x 2
Bài 21. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng:
2 x  1
khi x  2

f ( x )  5
khi x  2
2
 x  3 x  4 khi x  2


BÀI TOÁN 3 TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC.
 x2  x  6

Bài 22. Cho hàm số: f ( x )   x  2 khi x  2

khi x  2
2 a
Tìm a để hàm số liên tục tại x = -2.
 5x 2  3x  2

khi x  1 .
Bài 23. Cho hàm số: f(x) = 
x 1
4m  1
khi x  1
Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.
 5x 2  3x  2

khi x  1 .
Bài 24. Cho hàm số: f ( x )  
x 1

khi x  1
2 m  1
Tìm m để hàm số liên tục x = -1.
Bài 25. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x0  6 :

20

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

 x 2  5x  6

f ( x)   x  6
m  2 x

khi x  6
khi x  6

 7 x  10  2

khi x  2
Bài 26. Cho hàm số: f ( x )  
x 2

khi x  2
mx  3
Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 27. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 1.
 x3  x 2  2 x  2

f (x)  
x 1


3 x  m

khi x  1
khi x  1

 1 x  1 x

x
Bài 28. Xác định a để hàm số f ( x )  
a  4  x

x2
Bài 29. Tìm m để hàm số sau liên tục trên :
 x2  4x  3

f ( x)   x  1

2 m  3
Bài 30. Tìm m để hàm số sau liên tục trên

khi  1  x  0
khi x  0

liên tục tại x0 = 0.

khi x  1 .
khi x  1

:

 x  4x  5

khi x  1
f ( x)   x  1

khi x  1
mx  2
2

 4  x2

khi x  2
Bài 31. Cho hàm số y  f  x    x  2
2m  1 khi x  2

a) Với m = 1 xét tính liên tục của hàm số trên .
b) Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 32. Tìm m để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
 x 2  7 x  18

khi x  2
f (x)  
2x
m2 x  5m  8 khi x  2


 x 2
khi x  2

Bài 33. Cho hàm số f ( x )   x  1  1

mx  4 khi x  2
Xác định giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên

21 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

.

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

BÀI TOÁN 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.
Bài 34. Chứng minh rằng phương trình 4 x 4  2 x 2  x  3 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;1).
Bài 35. Chứng minh phương trình: 2 x 4  5x 2  x  1  0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0,2).
Bài 36. Chứng minh phương trình: 3x 4  x 3  2 x  1  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (1;1) .
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 5):

x 3  5x 2  2  0
Bài 38. Chứng minh phương trình: x 3  x  3  0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Bài 39. Chứng minh rằng phương trình sau : x3 – 2011x2 + 2012 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
Bài 40. Chứng minh phương trình x 5  3x 2  2  0 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 41. Chứng minh rằng phương trình x3  3x 2  4 x  7  0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 42. Chứng minh rằng phương trình 7  3x  x 5  0 có nghiệm.
Bài 43. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:

x3  7x 2  2 x  3  0
Bài 44. Chứng minh rằng phương trình: 2 x 3  10 x  7  0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 45. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất 2 nghiệm:
3

5x 2  5x  8  x  0 .

Bài 46. Chứng minh phương trình: x 5  5x  1  0 có ít nhất 3 nghiệm.
Bài 47. Chứng minh phương trình 2x4 - 2x3 - 17x2 + 5x + 21 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 48. Chứng minh rằng phương trình:

16 x 4  64 x3  56 x 2  16 x  15  0
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 49. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có ba nghiệm phân biệt:

2x  63 1  x  3
Bài 50. Chứng minh phương trình:

x 5  5x 3  4 x  1  0
có năm nghiệm trên (-2; 2).

BÀI TOÁN 5 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH LUÔN CÓ NGHIỆM.
Bài 51. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

x 4  mx 2  2mx  2  0.
Bài 52. Chứng minh phương trình m4 x 4  m2 x 2  (m2  4) x  3  0 luôn có nghiệm với mọi giá
trị của m.
Bài 53. Chứng minh phương trình (2m4  7) x 5  4m2 x 2  5  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị
của m.





Bài 54. Chứng minh phương trình m4  m  1 x 2013  x 2  4  0 luôn có nghiệm với mọi m.
22

Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!


BDKT và LTĐH LỚP 11

Chuyên đề: Giới hạn 2017

Bài 55. Cho phương trình

 9  5m  x 5   m2  1 x 4  1  0 . Chứng minh rằng phương trình trên

luôn có ít nhất một nghiệm.
Bài 56. Chứng minh rằng phương trình : m(x2-9x)3 –x +3 = 0 có nghiệm với mọi giá trị của tham
số m .
Bài 57. Chứng minh rằng phương trình (m2  m  2011) x 2012  x  3  0 luôn có ít nhất một
nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.





Bài 58. Cho phương trình: m4  m  1 x 2013  x 5  32  0 .
Chứng minh rằng phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số
m.





Bài 59. Cho phương trình: m4  m  1 x 2013  x 3  8  0 , m là tham số
Chứng minh rằng phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Bài 60. Chứng minh rằng phương trình m(2sinx - 3 ) = 2sin3x + 1 luôn có nghiệm với mọi tham
số m.
Bài 61. Với mọi số thực m thuộc (2; 34), phương trình: x3 + 3x - 2 = m có ít nhất 1 nghiệm thuộc
(1;3).

BÀI TOÁN 6 NÂNG CAO.
Bài 62. Chứng minh rằng với mọi a, b, c, phương trình:

x3  ax 2  bx  c  0
luôn có nghiệm.
Bài 63. Chứng minh rằng với 2a + 3b + 6c = 0, phương trình:

ax 2  bx  c  0
luôn có nghiệm.
Bài 64. Chứng minh rằng với a + 2b + 5c = 0, phương trình:

ax 2  bx  c  0
luôn có nghiệm.
Bài 65. Chứng minh rằng phương trình:

ax 2  bx  c  0
 1
luôn có nghiệm x   0;  với a  0 và 2a  6b  19c  0.
 3

Bài 66. Chứng minh rằng với mọi a, b, c, phương trình sau đây luôn có nghiệm:
a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0
Bài 67. Chứng minh rằng với mọi a, b, c, phương trình sau đây luôn có nghiệm:
ab( x  a)( x  b)  bc( x  b)( x  c)  ac( x  a)( x  c)  0

23 THẠC SĨ. Trần Ngọc Đức Toàn

Phone: 096 789 2112


318 bài tập GIỚI HẠN - Cơ bản và nâng cao

2017

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
CHUN ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
BÀI TỐN 1.
3
Bài 1.
2
Bài 2. 2
2
Bài 3.
3

3
2
Bài 5. 2
2
Bài 6. 

3
Bài 7. 2
1
Bài 8.
2
2
Bài 9.
5
3
Bài 10. 
7
Bài 4.

Bài 11. 

1
2

Bài 12. 0
1
Bài 13.
2
Bài 14. 0
Bài 15. - 4
3
Bài 16.
4
Bài 17. 2
Bài 18. 1
Bài 19. 1

Bài 20. 1
Bài 21. 2
BÀI TỐN 2.
Bài 22. +
Bài 23. 
24

Bài 24. 
Bài 25. 
Bài 26. 
Bài 27. 
BÀI TỐN 3.
Bài 28. 1
1
Bài 29. 
2
Bài 30. 5
3
Bài 31. 
5
Bài 32. 2
Bài 33. 0
Bài 34. 
Bài 35. 

4
7

1
3

BÀI TỐN 4.
Bài 37. 1
5
Bài 38.
4
1
Bài 39.
3
Bài 40. 
Bài 36.

Bài 41. 1
Bài 42. 2
3
Bài 43.
2
Bài 44. 0
1
Bài 45.
2
Bài 46. 0
Bài 47. 2
Bài 48. 
Học là gốc . . . nhưng thành đạt phải là đích đến!