bài tập chuyên đề dãy số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (799.62 KB, 14 trang )
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
1
BÀI TẬP DÃY SỐ
1. Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
3 2
2 3 1
. !
n
u n n n n
.
Hãy tính tổng
1 2 2013
S u u u
. Đáp số:
2
2014 .2014
!
1
S
.
2. Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
4 2
2
arctan
2
n
n
u
n n
.
Hãy tính tổng
1 2 2013
S u u u
.
Đáp số:
2
arctan 2013 2014
4
S
.
3. (VMO 2001, bảng B). Cho dãy số
n
x
được xác đònh như sau:
1
2
3
x
và
1
2 2 1 1
n
n
n
x
x
n x
với mọi
*
n
.
Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy
n
x
. Đáp số:
4002
4003
.
4. Giả sử 1
,
n
a
n
và
lim
1
n
n
a
.
Cho
k
, hãy tính
2
lim
1
k
n n n
n
n
a a a k
a
.
Đáp số:
1
2
k k
.
5. Với
, hãy tính
2 2 2
1 1 2 1
lim
n
n
n n n n
.
Đáp số:
2
1
3
.
6. Cho
. Hãy tính
limsin !
n
n
.
Đáp số: 0.
7. Tìm giới hạn của dãy số
n
x
biết:
2 2 2
1 2
1 1 1
1
n
n
x n
n n n
.
Đáp số:
e
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
2
8. Tìm giới hạn của dãy số
n
x
biết:
2
1
1
1
n
n
k
k
x
n
n
. Đáp
số:
3
2
e
.
9. Tính giới hạn:
2
1
lim 1
.
n
n
n
e
n
.
Đáp số:
1
2
e
.
10. Cho dãy số
n
S
xác đònh bởi:
1
cos
n
n
k
k
S k
n
. Tìm giới hạn:
2
lim
n
n
S
n
.
Đáp số:
1
2
.
11. Tính
1 1 1
lim
1 1 2 2 2 1
n
n n n n n n
. Đáp
số:
ln
2
.
12. Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
1
1
0
ln 1
1
,
n n
a
a a n
.
Hãy tính: a)
lim
n
n
na
; b)
2
lim
ln
n
n
n na
n
.
Đáp số: a)
2
b)
2
3
.
13. Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi công thức:
0 1 2
1 1 1 1
n
n
n n n n
a
C C C C
,
1
n
. Hãy tính
lim
n
n
a
.
Đáp số:
2
.
14. Với
x
đònh nghóa
x x x
. Hãy tính
lim 2 3
n
n
. Đáp
số: 1.
15. Cho hai dãy số dương
n
a
và
n
b
thỏa mãn điều kiện:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
3
1 2 1 2
lim lim
0
n n
n n
n n
a b
a a a b b b
.
và cho dãy
n
c
xác đònh như sau:
1 2 1 1
n n n n
c a b a b a b
,
n
.
Hãy tính
1 2
lim
n
n
n
c
c c c
.
Đáp số: 0.
16. Tính
lim ! !
n
n e ne
.
Đáp số: 0.
17. (VMO 1994, bảng A). Cho
0,1
a
. Xét dãy số
n
x
được xác đònh
bởi:
2
0
1 1
4
arccos arcsin ,
2
1
n n n
x a
x x x n
.
Chứng minh rằng
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
dần đến vô
cùng và tìm giới hạn đó.
Đáp số: 1.
18. (VMO 2000, bảng B). Cho số thực
2
c
. Dãy số
n
x
được xây
dựng theo cách sau:
0
1
0
,
n n
x c
x c c x n
nếu các biểu thức
dưới căn là không âm.
Chứng minh rằng: dãy
n
x
được xác đònh với mọi giá trò
n
và tồn
tại giới hạn hữu hạn và tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
n
n
x
.
Đáp số:
1 4 3
lim
2
n
n
c
x
.
19. (VMO 2003, bảng B). Cho số thực
0
và cho dãy số thực
n
x
xác đònh bởi:
1
0
x
và
1
1, 1
n n
nx x
.
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy
n
x
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
4
b) Chứng minh rằng dãy
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
và
tìm giới hạn đó.
Đáp số: a) – Với
2
thì
1
n
n
x
n
.
– Với
2
thì
2 1
1
1 1
11
1
n n
n
n n
x
.
b) – Với
1
1
thì
lim
1
n
n
x
.
– Với
1 1
thì
lim
1
n
.
20. (VMO 2005, bảng B). Cho dãy số
n
x
xác đònh bởi:
1
4
0
;
3
x a
và
3 2
1
3 7 5 ,
1
n n n n
x x x x n
.
Chứng minh rằng: dãy
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
và
tìm giới hạn đó. Đáp số: – Nếu
0
a
thì
lim
0
n
n
x
– Nếu
4
3
a
thì
4
lim
3
n
n
x
– Nếu
4
0
;
3
a
thì
lim
1
n
n
x
21. (VMO 2004, bảng A). Xét dãy số thực
n
x
được xác đònh bởi:
1
1
x
và
2
1
2 cos2 cos
,
2 2cos2 2 c 2
1
os
n
n
n
x
x n
x
trong đó
là một
tham số thực. Hãy xác đònh tất cả các giá trò của
để dãy số
n
y
với
1
1
1
1
,
2
n
n
k
k
y n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
và hãy tìm
giới hạn của nó. Đáp
số:
,
k k
và
1
lim
2
n
n
y
.
22. (VMO 1998, bảng B). Cho số thực
a
. Xét dãy số
n
x
được xác
đònh bởi:
1
x a
và
2
1
2
3
1
,
3 1
n n
n
n
x x
x n
x
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
5
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: – Nếu
0
a
thì
lim
0
n
n
x
– Nếu
0
a
thì
lim
1
n
n
x
– Nếu
0
a
thì
lim
1
n
n
x
23. Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
1
1
2
1
,
1 2
1
n
n
n
u
u
u n
u
.
Hãy tìm
1
lim
n
n
n
u
u
.
Đáp số:
2 1
.
24. (Moldova 2011). Cho dãy số
n
x
xác đònh như sau:
0 1
1, 41
x x
và
2 2
2 1
3 8
n n n n
x x x x
.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho và chứng minh rằng
mọi số hạng của dãy đều là số tự nhiên.
Đáp số:
1
25 17 3 2 3 25 17 3 2 3 44 1
6
n n
n
n
x
.
25. Cho
n
x
là một dãy số bò chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
12
1 3
,
1
4 4
nn n
nx x x
.
Chứng minh rằng dãy
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
.
26. (Đề nghò OLP 30/4/2000). Cho dãy số
n
x
thỏa mãn:
0 , ,
1
n m n m
x x x m n
.
Chứng minh rằng dãy số
n
x
n
có giới hạn hữu hạn.
27. (OLP 30/4/2013). Cho dãy số
n
x
như sau:
1
1
x
và
1
1
14 51
,
5
2
18
n
n
n
x
x n
x
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
6
Tìm
2013
x
và tìm
lim
n
n
x
. Đáp số:
2012
2013
2012
34 33.3
11.3 10
x
và
lim
3
n
n
x
.
28. (Đề nghò OLP 30/4/2000). Cho dãy số
n
u
xác đònh như sau:
4
4
4
4
1 2
;
0 2000.30
n
n n n
u a a a a
với
*
n
.
Chứng minh rằng dãy số
n
u
hội tụ.
29. Cho dãy số
n
x
xác đònh như sau:
1 2
1
0,
2
x x
và
3
1 1
2
1 ,
3
2
n n n
x x x n
.
Chứng minh rằng dãy số
n
x
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Đáp số:
5 1
2
.
30. Cho dãy số
n
x
xác đònh bởi:
1
5
2
x
và
3
1
20 21
1 ,
1
1
2
n n n
n
x x x n
n
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 2.
31. (Đề nghò OLP 30/4/2011). Cho dãy số
n
x
xác đònh bởi:
1
2011
2010
x và
2
1
2 4999
2 ,
1
2499
n n n
n
x x x n
n
.
Chứng minh rằng dãy số
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 1.
32. (Đề nghò OLP 30/4/2013). Cho dãy số
n
x
xác đònh như sau:
1
2
x
và
1
4 8 1,
1
n n
x x n
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Đáp số: 3.
33. (VMO 2013). Cho dãy số
n
a
xác đònh như sau:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
7
1
1
a
và
1
2
3
2
1
,
n
n
n
a
a
a n
.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Đáp số: 2.
34. (IMO Shortlist 1987). Cho
,
k k
a b
là hai dãy số dương thỏa mãn:
với mọi
1
n
ta có
n n
a b
và os o ,s
1
c c
n n
x
n
a x b x
. Chứng
minh rằng dãy
n
n
a
b
có giới hạn hữu hạn và tính lim
n
n
n
a
b
.
Đáp số: 0.
35. (Đề nghò OLP 30/4/2002). Cho
0
a
và dãy
n
x
xác đònh như sau:
1
x a
và
1
3
3
1 3
4
log 1 ,
3
n n
x x n
.
Tính
lim
n
n
x
.
Đáp số: 2.
36. Cho dãy số
n
x
xác đònh như sau:
0
1
2011
ln 1
0
,
n
x
n
x
x e n
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính giới hạn của nó.
Đáp số:
5 1
ln
2
.
37. (Vietnam TST 1985). Cho dãy số
n
x
xác đònh như sau:
1
1
2
1
2,9
3 ,
1
n
n
n
x
x
x n
x
Hãy tìm một số thực nằm bên trái dãy con
1 3 5
, , ,
x x x
và nằm bên
phải dãy con
2 4 6
, , ,
x x x
của dãy
n
x
. Đáp số:
3 5 1
2
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
8
38. (Đề nghò OLP 30/4/2006). Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
1 1
1, 3
u u
và
2
1 1 1 1
4 2 2 2
1
,
n n n n n n
u u u u u u n
.
Chứng minh rằng dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
của dãy đó.
Đáp số: 2.
39. (Đề dự bò thi HSG tỉnh Gia Lai 2010, bảng A). Cho dãy số
n
x
xác đònh bởi:
2
0 1 2
3 5
, ,
log 3 4 ,
n n
x x
n
x x x
x n
.
Chứng minh rằng dãy số
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 2.
40. (Đề nghò thi OLP 30/4/2004). Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
0 1
2
1 1
1 1
,
3 2
1 3
,
4 4
n n n
u u
u u u n
.
Tìm
lim
n
n
u
.
Đáp số: 1.
41. Chứng minh rằng với
3
n
, phương trình
ln
1
n
x x x
có đúng
hai nghiệm là
,
n n
u v
trong đó
n n
u v
; hơn nữa
lim
1
n
n
u
,
lim
n
n
v
.
42. Cho phương trình:
2
*
3
2 ,
4
n
x x nx n
. Chứng minh rằng
*
n
, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0;
n
u
.
Chứng minh rằng dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn
đó.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
9
Đáp số:
1
3
.
43. Cho phương trình:
*
1 2
1 1 1 1
0,
1 2
n
n
x
x x x n
.
a) Chứng minh rằng với mọi
*
n
, phương trình trên luôn có
nghiệm duy nhất
0;
1
n
u
.
b) Chứng minh rằng dãy
n
u
với
n
u
xác đònh ở câu a) có giới hạn.
Tìm giới hạn đó.
Đáp số: b) 0.
44. Cho phương trình:
2
tan tan tan
0
2
2 2
n
x x x
.
a) Chứng minh rằng với mỗi
2
n
, phương trình có một nghiệm
duy nhất trong khoảng 0
;
4
. Ký hiệu nghiệm đó là
n
u
.
b) Chứng minh rằng
n
u
có giới hạn hữu hạn khi
n
.
45. Cho dãy hàm
n
u x
xác đònh như sau:
2
1
2
u x u x x
;
1n n
u x u u x
;
1
n
.
a) Chứng minh phương trình:
0
n
u x
có đúng
2
n
nghiệm phân
biệt.
b) Chỉ ra nghiệm lớn nhất
n
u
của phương trình này và tìm
lim
n
n
u
.
Đáp số: b) 2.
46. Cho phương trình:
1 1 1
1
2 2 1 1 3 3 2 1 1 1x x x n n n n
,
*
n
a) Chứng minh rằng với
23
n
thì phương trình trên có nghiệm
dương duy nhất. Ký hiệu nghiệm đó là
n
u
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
10
b) Chứng minh rằng dãy số
n
u
có giới hạn hữu hạn khi
n
và tìm giới hạn đó.
Đáp số: b) 1.
47. (Vietnam TST 1990). Cho dãy số
n
x
thỏa mãn:
1 4
1
x x
;
2 3
9
x x
và
4
4 1 2 3
n n n n n
x x x x x
,
*
n
Chứng minh rằng dãy số
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 3.
48. Cho dãy số
n
x
được xác đònh bởi
1 2 3
1 2 3
0; 9
3 1
n n n n
x x x
x x x x n
.
Tìm
lim
n
n
x
.
Đáp số:
9
2
.
49. Dãy số
n
u
được xác đònh bởi công thức
2
1
1
1
( !)
n
n
k
u n
k
. Chứng
minh rằng dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó là một số vô
tỷ.
50. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1999).
Cho dãy
2
1, 1,2,
n
a n a n n với
a
là tham số thực.
a) Tìm các giá trò
a
sao cho
n
a
hội tụ.
b) Tìm các giá trò
a
sao cho
n
a
tăng.
Đáp số: a)
1
a
; b)
1
a
.
51. (Balkan 2002). Cho
n
a
thỏa mãn điều kiện:
1 2 2 1
20, 30, 3 , 1
n n n
a a a a a n
.
Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
1
1 5
n n
a a
là một số
chính phương.
Đáp số:
3
n
.
52. Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
2
0 1
2; 4
0
15 60,
n n n
a a a a n
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
11
Chứng minh rằng: số
2
1
8
5
n
b a
có thể biểu diễn thành tổng của
ba số nguyên dương liên tiếp với
1
n
.
53. (VMO 1989). Xét dãy số Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13
,
Đặt
2
1985 1956 1960
f n n n
.
a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số
F
của dãy trên sao cho
f F
chia
hết cho 1989.
b) Tồn tại hay không một số
G
của dãy sao cho f(G) + 2 chia hết cho
1989?
54. (VMO 1998 A). Cho dãy số nguyên dương
0
n
n
a
xác đònh bởi:
0 1 2 1
20, 100, 4 5 20
n n n
a a a a a
với
0
n
.
Tìm số dương
h
nhỏ nhất có tính chất:
n h n
a a
chia hết cho 1998
với mọi
n
.
Đáp số:
108
h
.
55. (VMO 1995). Một dãy số
n
a
được xác đònh bởi:
1
0 1 2
1
9 ,
1, 3,
9 5
,
n n
n
n n
a a if n is even
a a a
a a if n is odd
Chứng minh rằng:
2000
2
1995
k
k
a
chia hết cho 20;b)
2 1
n
a
không phải là
một số chính phương
*
n
56. (VMO 1987). Cho dãy số
,
n n
x y
xác đònh bởi:
1986
0 1
365 ;
1 1622
n n n
x x x x
,
0
n
và
0
16
y
;
3
1
1 1952
n n n
y y y
,
0
n
.
Chứng minh rằng:
0
n k
x y
,
1
,
n k
.
57. Cho dãy số
n
x
xác đònh bởi:
0 1 2
0; 1;
0
x x x
và
2
2
3 2 1
1 1
1
1
n n n n
n n n
n
x x n n x x
n n
.
Chứng minh rằng
n
x
là số chính phương với mọi
0
n
.
58. (St. Petersburg City MO 2002).Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
12
1
1
,
2
2
,
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
if a
a
a
if a
a
Cho
0
a
là một số nguyên dương,
2
n
a
với mỗi
1
;
2
;
;
2011
n
và
2002
2
a
. Tính
0
?
a
Đáp số:
2002
0
3.2 1
a
.
59. Cho dãy số
n
u
xác đònh bởi:
1 2
2 1
0; 1
1
n n n
u u
u u u
. Chứng minh rằng:
Nếu
5
p
là số nguyên tố thì
1
p p
u u
chia hết cho
p
.
60. (BMO 1996, Round 4). Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
1 1
1;
n
n
n
a
n
a a
n a
.
Chứng minh rằng:
2
n
a n
với
4
n
(ký hiệu
x
là phần nguyên của
x
).
61. (BMO 2001, Round 4). Cho dãy
n
a
thỏa mãn
0 1
4;
22
a a
và
1 2
6 0
n n n
a a a
với
2
n
. Chứng minh rằng tồn tại các dãy
,
n n
x y
gồm các số nguyên dương sao cho
2
7
n
n
n n
y
a
x y
với mọi
0
n
.
62. Cho dãy số
n
a
được xác đònh bởi
2
1
1
n
a
n
với mọi
1,2,3
,
n
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương
0
n
sao cho với mọi
0
n n
thì
3 12
1 2
2009
n
n
a a
a
n
a a a
.
63. Cho dãy số
n
u
xác đònh như sau:
1
1
2
1
1 ; 1,2,
n
n
u
u n
u
Gọi
p
là số lẻ,
q
là số chẵn bất kì. Chứng minh rằng:
p q
u u
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
13
64. (Taiwan 2000). Cho dãy số nguyên
3
n
, giả sử rằng dãy số thực
dương
1 2
, , ,
n
a a a
thỏa mãn
1 1
i i i i
a a k a
với dãy
1 2
, , ,
n
k k k
là dãy số
nguyên dương bất kỳ (trong đó
0
n
a a
và
1 1
n
a a
). Chứng minh
rằng:
1 2
2
3
n
k k
n
k n
.
65. (China 2000). Cho
1 2
, , ,
n
a a a
là các số không âm thỏa mãn:
mm
n
n
a
a
a
,m n
.Chứng minh rằng:
1
1
m
m
n
a
ma a
m
với
mọi
n
m
.
66. (China MO 2006). Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
1 1
1 1
, 1,2,
2 2
k k
k
a a a k
a
Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 11
2
1
.
n
n
n
n
n
a a a
n a a a
n
a a a
.
67. Cho ba dãy số nguyên
, ,
n n n
x y z
được xác đònh như sau:
1 1 1
1
1
1
3, 4, 5
3
1
2 1
;
3 2 2
4 3 2
n n n
n n n
n n n
x y z
x x z
n
y x z
z x z
.
a) Chứng minh mỗi bộ
, ,
n n n
x y z
là một bộ Pythagore.
b) Chứng minh
2 1
n n
x y
là một số chính phương.
c) Tính
, ,
n n n
x y z
theo
n
. d) Tính lim
n
n
n
x
z
.
Đáp số: d)
1
2
.
68. Cho dãy số
n
a
xác đònh bởi:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
14
1
1
1 2 1
1
1. 2 1 1
2
,
n
n n n
a
a a a n a n
.
a) Chứng minh rằng:
2 3 2 2 1
1, 3 0, 3 0
2
n n n
a a a a a a n
.
b) Tìm số dư trong phép chia
n
a
cho 3.
c) Xác đònh
n
a
theo
n
. Hãy chỉ ra rằng có nhiều vô hạn số hạng
thuộc dãy Fibonacci xuất hiện trong dãy
n
a
.
d) Chứng minh rằng:
2
2 1 2 1
1
n
k
n k n
k
C a F
.
e) Chứng minh rằng:
2
1 1
1
4
,
n n n
a a a n
.
