07 bài giảng số 3 giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính và ma trận

Bài giảng số 3.

Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận và
phép biến đổi tuyến tính.

I. Tóm lược lý thuyết
Cho f là một phép biến đổi tuyến tính trên một K – không gian véc tơ E có
số chiều n và có ma trận trong cơ sở chính tắc của E là A.
Định nghĩa 3.1: Ta gọi véc tơ riêng của một ma trận vuông A là véc tơ v khác
không của E sao cho tồn tại một số   K thoả mãn:
Av =  v
(1)
Số  gọi là một giá trị riêng của ma trận A và v gọi là véc tơ riêng liên kết
với giá trị riêng  .
Nhận xét 3.2:
i) Đẳng thức (1) viết lại dưới dạng ( A   I )v  0 (2)
Như vậy các véc tơ riêng của ma trận A là nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (2).
ii) Nếu v là một véc tơ riêng cho trước, số  thoả mãn (1) là duy nhất. Trái
lại với cùng một giá trị riêng có thể liên kết với nhiều véc tơ riêng.
Tính chất 3.3: Giá trị riêng của ma trận vuông đối xứng A với hệ số thực là những
số thực.
Tính chất 3.4: Hai ma trận vuông cùng cấp và đồng dạng với nhau thì có cùng các
giá trị riêng.
Định nghĩa 3.5: Đa thức P(  ) = |A -  I| được gọi là đa thức đặc trưng của ma
trận A.
Định lý 3.6: (Caylay –Hamilton)

Nếu đa thức đặc trưng P(  ) được viết dưới dạng:
P(  ) = (-1)n  n +an-1  n1 + …+ a0, thì P(A) = 0, tức là:
(-1)nAn + an-1An-1 +…+ a0In = 0
Định nghĩa 3.7: Ta gọi véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f là một véc tơ
khác không của E sao cho tồn tại một số  K thoả mãn:
f(v) =  v
(3)
Số  gọi là một giá trị riêng của ma trận A và v gọi là véc tơ riêng liên kết
với giá trị riêng  .
Nhận xét 3.8:
i) Vì f(v) = Av nên ta đồng nhất giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi
tuyến tính f với giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A liên kết với f. Từ đó suy

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

ra việc tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f là tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của
A.
ii) Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A liên kết với f cũng được gọi là đa
thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f.
Định lý 3.9: Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f không phụ thuộc vào
cách chọn cơ sở của không gian véc tơ E.
Tính chất 3.10: Các véc tơ riêng cùng liên kết với một giá trị riêng  cùng với véc
tơ không, lập nên một không gian véc tơ con của không gian E.
Ta kí hiệu không gian con đó là Ker(f -  IdE) và gọi là không gian riêng
Tính chất 3.11: Các không gian con riêng Ker(f -  IdE) là các không gian con một

hoặc hai chiều.
Định lý 3.12: Cho trước một phép biến đổi tuyến tính f của một K - không gian véc
tơ E và ma trận A tương ứng với một cơ sở nào đó của E.
1. Các giá trị riêng  của f (hoặc của A) là các nghiệm thuộc K của phương
trình đặc trưng: |A -  I| = 0.
2. Các véc tơ riêng của f liên kết với giá trị riêng  của f là nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất:

 x1 
x 
(A  I ) 2   0 .

 
 xn 
Định lý 3.13: Nếu đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f có n nghiệm
phân biệt 1 , 2 ,, n và v1, v2, …, vn là n véc tơ riêng tương ứng với các giá trị
riêng trên thì hệ véc tơ {v1, v2, …, vn} lập thành một cơ sở của không gian véc tơ E.
Hệ quả 3.14: Ma trận A của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở gồm các véc tơ
riêng {v1, v2, …, vn} của E có dạng:

 1 0  0 
0   0
2

A
    


 0 0  n 
Định nghĩa 3.15: Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hoá được nếu tồn tại

một ma trận vuông P cấp n khả nghịch sao cho ma trận P 1 AP có dạng ma trận
đường chéo.

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Định lý 3.16: Điều kiện để ma trận vuông A cấp n chéo hoá được là ma trận A có
đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Nhận xét 3.17: Gọi P là ma trận có các cột là các toạ độ cột của các véc tơ riêng
của ma trận A thì ma trận P 1 AP có dạng:

 1 0  0 
0   0
2

B
    


 0 0  n 
Từ đó suy ra: An  PB n P 1.
Định nghĩa 3.18: Phép biến đổi tuyến tính f của không gian véc tơ E là chéo hoá
được nếu tồn tại một cơ sở nào đó của E mà ma trận của f trong cơ sở đó là chéo
hoá được.
Định lý 3.19: Điều kiện đủ để phép biến đổi tuyến tính f chéo hoá được là f có đủ n
giá trị riêng phân biệt.

Định lý 3.20: Phép biến đổi f là chéo hoá được nếu f có đủ n véc tơ riêng độc lập
tuyến tính.
Định lý 3.21: Gọi 1 , 2 ,, k  k  n  là các giá trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính f trên E. Nếu:
dim Ker ( f  1 Id E )  dim Ker ( f  2 Id E )    dim Ker ( f  n Id E )  n
thì f là chéo hoá được.
II. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Với mỗi ma trận A sau đây, hãy xác định giá trị riêng và véc tơ riêng của
từng ma trận.
 3 4 4 
 2 5 7 
1) A   2 1 2 
2) B   1 6 9 
 2 0 1 
 0 2 3 




Giải:
Gọi  là giá trị riêng của A, thì  là nghiệm của phương trình:

3
| A   I | 0  2
2

4
1  
0

4
2 0
1 

 2[8  4(1   )]  (1   )[(  1)(  3)  8]  0

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

   1
 (1   )(  1)((  3)  0    1

  3
Với   1, tọa độ véc tơ riêng v1 tương ứng là nghiệm của hệ sau:
4 x1  4 x2  4 x3  0
 x1   0 
 x1  x3





( A  I )  x2    0   2 x1
 2 x3  0  
 x2  0

 x  0
 2 x
 2 x3  0
 3  
1

c
Vậy v1   0  với mọi c   \ {0}.
c
 
Với   1 , tọa độ véc tơ riêng v2 tương ứng là nghiệm của hệ sau:
 2 x1  4 x2  4 x3  0
 x1   0 
 x1  0

( A  I )  x2    0   2 x1  2 x2  2 x3  0  
 x2  x3
 x  0
 2 x

0
 3  
1


 0
Vậy v2   c  với mọi c   \ {0}.
c
 
Với   3, tọa độ véc tơ riêng v3 tương ứng là nghiệm của hệ sau:

4 x2  4 x3  0

 x1   0 
 x1   x3

( A  3I )  x2    0   2 x1  4 x2  2 x3  0  
 x2  x3
 x  0
 2 x

2
x

0
 3  
1
3

 c 
Vậy v3   c  với mọi c   \ {0}.
 c 
 
2) Gọi  là giá trị riêng của B thì  là nghiệm của phương trình
| B   I | 0



2  

5

7

1

6

9

0

2

3  

   1
 0  3  2   1  0  
  1 (bôi )

Với   1, tọa độ véc tơ riêng v1 tương ứng là nghiệm của hệ sau:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 x1  5 x2  7 x3  0
 x1   0 

 x1  2 x3

( B  I )  x2    0    x1  7 x2  9 x3  0  
 x2   x3
 x  0


2
x

2
x

0
 3  
2
3


 2c 
Vậy v1   c  với mọi c   \ {0}.
 c 
 
Với   1 , tọa độ véc tơ riêng v2 tương ứng là nghiệm của hệ sau:
3 x1  5 x2  7 x3  0
 x1   0 
 x1  2 x3






( B  I )  x2    0    x1  5 x2  9 x3  0  
 x2   x3
 x   0

 2 x2  4 x3  0
 3  

 2c 
Vậy v1   c  với mọi c   \ {0}.
 c 
 
Ví dụ 2:
Trong  3 cho ma trận A có dạng như sau:
1 0 1
A   0 0 0 
1 0 1


a) Tìm trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A;
b) Tính An với n là một số tự nhiên khác không.
Giải:
Phương trình đặc trưng của ma trận A là:
1  0
1

A  I  0 

0



0

1

0

1 

  0
 0   2 (  2)  0  
  2

Với   0 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm khác không của hệ:
x  z  0
z  x
.


x  z  0  y  
Vậy nghiệm tổng quát của hệ có dạng (a, b, -a) = a(1, 0, -1) +b(0, 1, 0).
Ta chọn v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 1, 0) là hai véc tơ riêng cơ sở của không gian con
riêng của 0.
Với   2, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm khác không của hệ:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục

Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 x  z  0
x  z

  2y  0  
y  0
x

z

0

Vậy có thể chọn véc tơ v3 = (1, 0, 1) là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2.
2) Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sơ chính tắc sang cơ sở {v1, v2, v3}.
 1 0 1
Khi đó P có dạng: P   0 1 0  .
 1 0 1 



1
1
0

2
2



Ma trận nghịch đảo của P là: P 1   0 1 0  .
1
1 
0


2 
2
1
1
0

2
2  1 0 1  1 0 1


Ta có: P 1 AP   0 1 0   0 0 0   0 1 0  =
1
1   1 0 1   1 0 1 
0


2 
2

0 0 0
 0 0 0   B.



0 0 2



Vậy A  PBP 1 , suy ra:

1
1
0

n 1
0 2n 1 
 1 0 1 0 0 0   2
2 2

 

An  PB n P 1   0 1 0   0 0 0   0 1 0  =  0 0 0 
 1 0 1   0 0 2 n   1
1   2n 1 0 2n 1 



0

2 
2
Ví dụ 3:
Xét ma trận:

 1
 2

a
M 
 b
 a

 c

b
a
1

2
b
c

c 
a 

c 
, với a, b, c   \ 0.
b 
1 
 
2

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục

Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Tính các giá trị riêng của M và suy ra các vec tơ riêng. Chứng minh rằng
nhờ cách đổi cơ sở ta có thể đưa M về dạng đường chéo.
Giải:

1
 
2
a
Xét đa thức đặc trưng: M    0 
b
a
c
2
 b

 1
  1
           1 

 2
  2
 a

b
a

1
 
2
b
c

c
a
c
0
b
1
 
2

 1
 a a c a  1
 a










  =0
 2

 a c
b
b
2



c

 

3




2
 8 3 +12 2 -18  -27 = 0  
3

2
3
Với  = , toạ độ vec tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
2
b
c

x  a y  a z  0

c

b
c
a
 x  y  z  0  ax  by  cz  0  x   y  z
b
a
a
b
b
a
x

yz0
 c
c
nghiệm tổng quát của hệ là:
c
z
 b
  b
  c
 y
  y  z, y, z  =   y, y,0  +   z,0, z  =  b, a,0  +  c,0, a 
a
 a
  a
a
  a
 a

Vậy v1  (b, a, 0) và v2  (c, 0, a) là 2 véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng



3
.
2

Với  

3
, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
2

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




b
c


2
x

y

z0


a
a

c
 a
 x  2y  z  0
b
b
b
 a
x

y  2z  0
 c
c

Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 2ax  by  cz  0

  ax  2by  cz  0
 ax  by  2cz  0


 ax  by  cz.

 ax ax  x
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là:  x, ,    bc, ac, ab  .
 b c  bc
3

Véc tơ v3  (bc, ca, ab) là vec tơ riêng liên kết với giá trị riêng   .
2
Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc e1 , e2 , e3  sang cơ sở v1 , v2 , v3  thì P
có dạng:

 b c bc 
P   a 0 ca 
 0 a ab 


det( P )  3a 2bc  0 (a, b, c  0).
Ta có:

 1
b

1 1
1
P  
3 c
 1

 bc

2
a
b

ca
1

ac

c 
ab 

2 
a 
1 

ab 



Vậy ma trận M đồng dạng với ma trận
 3

0 0
 2



3
1
P MP   0
0


2



3
 0

0
2

Ma trận trên có dạng chéo nên M là chéo hoá được.
Ví dụ 4:
Cho ánh xạ f :  2 ( x)   2 ( x), xác định bởi f ( P )  (2 x  1) P  ( x 2  1) P ' .

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

(P’ là đạo hàm của P).
1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính và viết ma trận của phép
biến đổi tuyến tính f đối với cơ sở {1, x, x2};
2) Tìm các giá trị riêng và vec tơ riêng của f.
Giải:
1) Lấy P, Q   2 ( x) ( ,   ).
Xét:
f ( P   Q )

 (2 x  1)( P   Q )  ( x 2  1)( P   Q )'
  (2 x  1) P   ( x 2  1) P '   (2 x  1)Q   ( x 2  1)Q '
  [(2 x  1) P  ( x 2  1) P ' ]   [(2 x  1)Q  ( x 2  1)Q ' ]
  f ( P)   f (Q ).

Vậy f là phép biến đổi tuyến tính trên  2 ( x ).
Ta có:

f (1)  1  2 x
f ( x)  1  x  x 2
f ( x 2 )  2 x  x2
Vậy ma trận của phép biến đổi f trong cơ sở {1, x, x2} là:
1 1 0
A   2 1 2 
0 1 1


2) Gọi  là giá trị riêng của f thì  cũng là giá trị riêng của A, ta có đa thức đặc
trưng của f là:
1 
1
0
A  I  0  2 1 
2 0

0

1

1 

 (1   )[(1   )2  2]  2(1   )  0
   1
 (1   )(  1)(3   )  0     1


   3
Với   1, véc tơ riêng v1 ( x, y , z ) tương ứng là nghiệm của hệ:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

0
 2x  y
 xz

 2x  2 y  2z  0  
 y  2 z
 y

2
z

0

Vậy vectơ v1 (1,  2,1) .
Với   1 , véc tơ riêng v2 ( x, y, z ) tương ứng là nghiệm của hệ.

0
 y
x  z


2 x  2z  0  
 y0
 y
0

Vậy vectơ riêng v2 (1, 0, 1).
Với   3 , vec tơ riêng v3 ( x, y , z ) tương ứng là nghiệm của hệ.

0
 2 x  y
 y  2x
 xz

2
x

2
y

2
z

0





 y  2z

 y  2z
 y  2z  0

Vậy vec tơ riêng v3 (1, 2,1).
Ví dụ 5:

0 3 0
Cho ma trận A   3 0 4  là ma trận của tự đồng cấu f trong cơ sở chính
1 1 0


tắc của  3 .
1) Tìm giá trị thực  để hạng của ma trận A -  I có hạng bé hơn 3;
2) Xác định Ker(f -  Id) với  là các giá trị tìm được ở trên;
3) Tính ma trận An, từ đó suy ra A1 và giới hạn của các dãy (pn), (qn) và (rn)
 pn1 
 pn 
1
thoả mãn điều kiện  qn1   A  qn  với n  N và p0 =0, q0 =1, r0 = 0.
r  4 r 
 n 1 
 n
Giải:
 3
0
1) rank ( A   I )  3  A   I  0  3



1

1

4 0


Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

   3
 (4   )(  1)(  3)  0    1

  4
 x  0
2) Với   3 , véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  3Id )  ( A  3I )  y    0 
 z  0
   
3 x  3 y  0
x   y

 3 x  3 y  4 z  0  
.
z

0


 x  y  3z  0

Vậy Ker ( f  3Id  )  span{v1 (1,  1, 0)}.
3

 x   0
Với   1, véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  Id )  ( A  I )  y    0 
 z   0
   
x  3y  0
 x  3 y

 3 x  y  4 z  0  
.
z

2
y

x  y  z  0

Vậy Ker ( f  Id  )  span{v2 (3, 1, 2)}.
3

 x  0
Với   4 , véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  4 Id  )  ( A  4 I )  y    0 
 z  0
   
0
4 x  3 y

 x  12c


  3 x  4 y  4 z  0   y  16c .
 x  y  4z  0
 z  7c


Vậy Ker ( f  4 Id  )  span{v3 (12,16, 7)}.
3

3

3) Gọi P là ma trận có các cột là toạ độ của các véc tơ v1, v2, v3. Ta có:
 1 3 12 
P   1 1 16  ,
0 2 7


vì det(P) = 70 nên P là ma trận khả nghịch.
Ma trận nghịch đảo của P là:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 25 45 60 

1
P 1   7
7 28  .
70 
2
2 
2
Ma trận D  P 1 AP là ma trận của f trong cơ sở {v1, v2, v3} và D có dạng:
 3 0 0 
D   0 1 0 
 0 0 4


Từ đó suy ra A  PDP 1 , ta có An  ( PDP 1 )( PDP 1 ) ( PDP 1 )  PD n P 1
 21  25.3n  24(4)n
(1) 

7  25.3n  32(4) n

70 
n
 14  14(4)

21  45.3n  24(4)n

n

7  45.3n  32(4) n
14  14(4) n

 1
3

1
1
Với n  1, ta có: A  
 3
 1

 4

0
0
1
4

84  60.3n  24(4) n 

28  60.3n  32(4) n  .

56  14.(4) n



1 

0 

3 
 

4

 pn 
 0
1


Nếu U n   qn  và U 0   1  thì từ U n1  AU n , ta có:
4
r 
 0
 n
 
 21  45.3n  24(4)n 
1
(1) 
n
n 
U n  n AnU 0 
n  7  45.3  32( 4) 
4
70.4
 14  14(4)n



n

 12 
 35 

 
16
12
16
1
Suy ra : limU n    , vậy lim pn  , lim qn 
và lim rn  .
 35 
35
35
5
 1 
 
 5 
Ví dụ 6:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Cho E là  – không gian véc tơ có số chiều bằng 3. Với t  , xét một cơ sở

e , e , e  của E và một tự đồng cấu f của E sao cho trong cơ sở đó ma trận của f
1

2

3

có dạng:



 2cos 2 t 1 1  cos 4t 


M  0
1
0



1
0 2sin 2 t 
 

2

Giả sử g  f  Id E
1) Xác định giá trị riêng và không gian con riêng của f. Hỏi f có chéo hoá
được không?
2) Giả sử w = e2, v = g(w), u =g(v). Hãy tính v và u và chứng minh u, v, w
là một cơ sở của E;
3) Chứng minh rằng ma trận của f trong cơ sở {u, v, w} có dạng
1 1 0
J   0 1 1 
0 0 1




Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ e1 , e2 , e3  sang cơ sở u, v, w . Tính P 1 ;
4) Tính Jn và Mn theo n N.
Giải:
1) Gọi u  xe1  ye2  ze3 là một véc tơ riêng của f, khi đó tồn tại số thực 
sao cho f (u )  u. Vậy ta có:


 2cos 2 t  
1

Mu  u  ( M   I )u  0  
0
1 

1

0


2


(2cos 2 t   ) x  y  2(cos 2 2t ) z  0

 (1   ) y  0
 1
 x  (2sin 2 t   ) z  0
 2


 x   0 
   
 y    0 
 z   0 
2sin 2 t       

1  cos 4t
0

(S)

(2cos 2 t  1) x  y  2(cos 2 2t ) z  0
y  0

Nếu   1 hệ (S)   1


2
 x  2(cos 2t ) z
  2 x  (2sin t  1) z  0
Vậy với   1 là giá trị riêng của f thì không gian con riêng của f là:

Ker ( f  Id E )  span{(2cos 2t , 0,  1)}, dim Ker ( f  Id E )  1.
Nếu   1, hệ (S) tương đương với hệ sau:


(2cos 2 t   ) x  y  2(cos 2 2t ) z  0  x  2(  2sin 2 t ) z


 y  0
y  0
 1
(2cos 2 2t  2(2cos 2 t   )(  2sin 2 t )) z  0

 x  (2sin 2 t   ) z  0
 2
 x  2(  2sin 2 t ) z

 y  0
 x  y  z  0.
(  1) 2 z  0

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Vậy không có giá trị riêng của f khác 1, tức là tổng số chiều của các không
gian con riêng khác 3, nên f không chéo hoá được.
2) g  f  Id E , w  e2



 cos 2t 1 2cos 2 2t   0   1 


v  g ( w)  ( f  Id E )( w)  ( M  I 3 ) w   0
0
0   1    0 
 1
  0   0 

0

cos
2
t


 2





2
 cos 2t 1 2cos 2t   1   cos 2t 





1
Vậy v  e1 và u  g (v)   0
0
0   0    0   (cos 2t )e1  e3.
2
 1
  0   1 
0  cos 2t 
 
  
 2

 2 
Ma trận của hệ véc tơ u, v, w đối với cơ sở e1 , e2 , e3  là:


 1 0 cos 2t 


0 
0 1

1 
0
0





2 
Ma trận này là ma trận tam giác và có định thức khác không nên khả nghịch vậy hệ
véc tơ u, v, w là cơ sở của E. Ta có:

1
g (u )  (cos 2t ) g (e1 )  g (e3 )
2
1
1
 (cos 2t )[(cos 2t )e1  e3 ]  [(2cos 2 2t )e1  (cos 2t )e3 ]  0
2
2
g (v )  u và g ( w)  v,
nên ma trận của g trong cơ sở u, v, w có dạng:

0 1 0
G   0 0 1  .
0 0 0


Vậy ma trận của f  g  Id E trong cơ sở u, v, w của E có dạng:
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 1 1 0
J  G  I 3   0 1 1 

0 0 1


Ma trận P chuyển cơ sở e1 , e2 , e3  sang cơ sở u, v, w có dạng:


 cos 2t 1 0 


P  0
0 1  . Từ đó suy ra:
 1

0 0
 
 2


 e1 
u 
v   Pe 
 2
 
 w
e 
 
 3

1


u  (cos 2t )e1  2 e3

 v  e1

w  e
2


Vậy ma trận nghịch đảo của P là:
0 0
P 1   1 0
0 1


e1  v

e2  w
e  2u  2(cos 2t )v
 3

2


2cos 2t .
0 

n

4) Ta có J n  ( I 3  G ) n   Cnk G k . Vì g 3  0, nên G k  0 với mọi k  3 .
k 0


1 n

Vậy J n  I  nG  Cn2G 2   0 1
0 0



n(n  1) 
2 

n .
1 



Vì P là ma trận chuyển cơ sở từ e1 , e2 , e3  sang u, v, w và J là ma trận của f
trong cơ sở u, v, w nên ta có J  P 1MP  M  PJP 1  M n  PJ n P 1. Vậy ma
trận M có dạng:

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật




 cos 2t 1 0   1 n


M  0
0 1 0 1
 1
 0 0

0
0


 2


n(n  1) 
2 
2  0 0

n   1 0 2cos 2t 
1   0 1
0 



n(n  1)


cos 2t 2n cos 2 2t 
1  n cos 2t n 

2



0
1
0
.


n
n(n  1)


1

n
cos
2
t


2
4


Ví dụ 7:
Cho A và B là hai ma trận đối xứng cấp n, từng ma trận một đều có đủ các
giá trị riêng khác nhau. Chứng minh rằng BA = AB khi và chỉ khi A và B có chung
các véc tơ riêng.

Giải:
Nếu A, B thoả mãn điều kiện AB = BA và x là véc tơ riêng ứng với giá trị
riêng  của ma trận B, ta có ABx  A( x)   Ax. Mặt khác BAx  ABx, nên suy
ra
BAx   Ax. Vậy Ax cũng là một véc tơ riêng của B ứng với giá trị riêng  .
Vì  là giá trị riêng đơn của B nên Ax và x phụ thuộc tuyến tính suy ra s  
sao cho Ax  sx. Vậy x cũng là véc tơ riêng của A.
Ngược lại giả sử A và B là hai ma trận đối xứng cấp n và có chung các véc tơ
riêng. Gọi { 1 , 2 ,, n } và { 1 ,  2 ,,  n } lần lượt là các giá trị riêng của ma trận
A và B, giả sử {e1, e2, …, en} là các véc tơ riêng chung tương ứng với các giá trị
riêng của ma trận A và B suy ra {e1, e2, …, en} là một cơ sở của  n .
Gọi x = x1e1 + x2e2 + … +xnen là một véc tơ bất kì thuộc  n , ta có:
ABx = AB(x1e1 + x2e2 + … +xnen)
= A(x1Be1 +x2Be2 + …+xnBen)
= A(x1 1 e1 + x2  2 e2 + …+ xn  n en)
= x1 1 Ae1 + x2  2 Ae2 + …+ xn  n Aen
= x1 11 e1 + x2  22 e2 + …+ xn  n n en.
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Tương tự BAx  x1 11 e1 + x2  2 2 e2 + …+ xn  n n en.
Vậy ABx = BAx với mọi x   n hay AB = BA.
Ví dụ 8:
Cho phép biến đổi tuyến tính f của  3 xác định bởi:
f ( x, y, z )  (2 x  y  z , x  z ,  x  y  2 z ).
1) Hãy tìm một cơ sở của  3 để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo.

2) Tìm các giá trị riêng của f 1 (nếu có).
Giải:
1) Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc của  3 có dạng:
 2 1 1
A   1 0 1 
 1 1 2 


Gọi  là giá trị riêng của f, suy ra  là nghiệm của phương trình:
2   1
1
  1 (bôi)
A   I3  0  1

1  (  1) 2 (  2)  0  
  2
1
1 2
Với  = 1, toạ độ véc tơ riêng u tương ứng là nghiệm của hệ sau:
x  y  z  0

( A  I 3 )u  0   x  y  z  0  x  y  z .
 x  y  z  0

Vậy véc tơ riêng tương ứng có dạng (a + b, a, b) với a, b  . Suy ra u1(1, 1, 0) và
u2(1, 0, 1) là hai véc tơ riêng cơ sở của Ker ( f  Id  ).
3

Với  = 2, toạ độ véc tơ riêng u tương ứng là nghiệm của hệ sau:
 y  z  0


( A  2 I 3 )u  0   x  2 y  z  0  x  y   z .
 x  y  0

Vậy u3(1, 1, -1) là véc tơ riêng cơ sở của Ker ( f  2Id  ).
3

Vì dim Ker ( f  2Id  )  dim Ker ( f  Id  )  3  dim  3 nên f là chéo hoá được.
3

3

Lúc đó ta có f(u1) = u1, f(u2) = u2, f(u3) =2u3 nên ma trận của f trong cơ sở
{u1, u2, u3} có dạng:
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

1 0 0
B   0 1 0 
0 0 2


2) Vì det(B) = 2, nên f là một tự đẳng cấu của  3 . Vậy tồn tại ánh xạ ngược f 1 và
f 1 cũng là một tự đẳng cấu của  3 .

Giả sử  là một giá trị riêng của f thì   0 và  1 là giá trị riêng của f 1 .

Thật vậy giả sử tồn tại giá trị riêng 0 của tự đẳng cấu f, gọi x là véc tơ riêng khác
không tương ứng, ta có f(x) = 0. Vì f là đơn cấu nên x  0 (> <).
Gọi x là véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  của f, ta có f ( x )   x, suy ra

f 1 ( x)  x   f 1 ( x)  x  f 1 ( x)   1 x.
Vậy nếu  là một giá trị riêng của f thì  1 là giá trị riêng của f 1.
Áp dụng vào trường hợp f như trên suy ra 1 và

1
là hai giá trị riêng của f 1.
2

Ví dụ 9:

1 0 0 
0 1 1
Cho A   0 0 1 , B   1 1 1 , f và g là các phép biến đổi tuyến
0 1 2 
1 1 3




3
tính của  với ma trận tương ứng trong cơ sở chính tắc là A và B.
1) Tính (A – I)2. Hỏi f có chéo hoá được không?
2) Tính B(B -2I)2. Hỏi g có chéo hoá được không?
3) Cho E  Ker ( g )  Ker ( g  2 Id  ). Chứng minh rằng E là bất biến đối
3

với f và g. Tìm một cơ sở của 3 để ma trận A’, B’ của f và g trong cơ sở có dạng
tam giác.
Giải:
0 0 0 
Ta có:
( A  I )   0 1 1   ( A  I ) 2  0.
0 1 1 


Vậy theo định lý Caylay – Hamilton phương trình đặc trưng của f có dạng:
(   1)2 = 0    1 .
Dễ thấy dim Ker ( f  Id  )  2  3 nên theo định lý 3.21, f không chéo hoá được.
3

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

 2 1 1 
2) Ta có:
B  2 I   1 1 1   ( B( B  2 I ) 2  0.
 1 1 1


Vậy theo định lý Caylay–Hamilton phương trình đặc trưng của g có dạng:
  0
 (   2 )2 = 0  

  2
Với   0 ,ta có Kerg  span{(2,1, 1)}, và với   2 ,
ta có Ker ( g  2 Id  )  span{(0,1,  1)}.
3

Vậy dim Ker g  dim Ker ( g  2Id  )  2 suy ra g không chéo hoá được.
3

3) Đặt e1  (2, 1,  1), e2  (0,1,  1) và e3  (0, 0,1). Ta có {e1, e2, e3} là một cơ sở
của  3 .
Ta có f(e1) = e1 và f(e2) = e2 nên E là bất biến đối với f.
Tương tự g(e1) = 0 và g(e2) = 2e2 nên E cũng bất biến đối với g.
Để xác định ma trận của f và g trong cơ sở {e1, e2, e3} ta tính f(e3) và g(e3).
1
3
Ta có: f (e3 )  (0,  1, 2)  e2  e3 và g (e3 )  e1  e2  2e3 .
2
2
Vậy ma trận của f và g trong cơ sở {e1, e2, e3} là:
1 

0 0 2 
1 0 0 


 0 1 1 và  0 2  3  .



2

0 0 1 




 0 0 2 


Ví dụ 10:
Cho E là  – không gian véc tơ, f, g là các tự đồng cấu của E
a) Cho  khác không là giá trị riêng của f  g. Chứng minh rằng  cũng là giá
trị riêng của g  f;
b) CMR nếu E có hạng hữu hạn thì kết quả đúng với  = 0.
Giải:
1) Cho x  E, x  0 sao cho fg ( x)   x. Giả sử  không phải là giá trị riêng
của g  f thì với y  E mà gf ( y )   y ta có y  0.
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Từ ( f  g )( x)   x suy ra g ( fg ( x))   g ( x)  gf ( g ( x ))   g ( x ). Vậy

g ( x)  0  fg ( x)  0 hay  x  0. Điều này mâu thuẫn vì   0 và x  0.
Vậy   0 cũng là giá trị riêng của g  f .
2) Nếu E hữu hạn và giả sử 0 không là giá trị riêng của g  f , lúc đó g  f là
song ánh và do đó g, f cũng là những song ánh, suy ra f  g cũng là song ánh và 0
không là giá trị riêng của f  g (> <).

III. Bài tập tự giải
Bài 1: Cho f là một phép biến đổi tuyến tính của  3 và ma trận của f trong cơ sở
chính tắc của  3 có dạng:
 7 2 2 
A   2 4 1 
 2 1 4 


1) Xác định số thực  sao cho tồn tại véc tơ x  0 thoả mãn f ( x )   x;
2) Xác định tập hợp các véc tơ x   3 sao cho f ( x)   x.
Bài 2: Cho f  L ( 3 ) và ma trận của f trong cơ sở chính tắc là :

2 1 1
A   1 2 1 
1 1 2


Xác định một cơ sở của  3 sao cho f là chéo hoá được.
Bài 3: Trong các ma trận sau, ma trận nào chéo hoá được? Hãy tìm một cơ sở để
ma trận đó đưa về dạng chéo (nếu có).
 2

1)  2

 2


2
4
2 2

 3 2 2 
4)  1 0 1  ;
1 1 0



 2

2 2 ;

1 

 3 1 1 
2)  0 2 0  ;
 1 1 3 


1
1
5) 
0

0

 2 5 7 
3)  1 6 9  ;
 0 2 3 



0 1 1 
0 0 0 
.
1 0 0

0 1 0

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Bài 4: Xét ánh xạ tuyến tính T :  2   2 mà ma trận của nó theo cơ sở chính tắc
có dạng:
t  2 2
A
 , trong đó t là tham số thực.
 t  3 3
1) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính đó;
2) Với giả thiết t  1, hãy viết biểu thức của phép biến đổi T theo cơ sở
gồm các véc tơ riêng. Từ đó suy ra đặc trưng hình học của phép biến đổi T.
Bài 5: Chứng minh rằng trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy, phép chiếu vuông
góc lên đường thẳng đi qua gốc toạ độ có hai giá trị riêng là 0 và 1.
 cos sin  
Bài 6: Xét ma trận A  
 , (   )
sin



cos



1) Chứng minh rằng A có một véc tơ riêng trong  2 ứng với giá trị riêng 1;
2) Chứng minh rằng bất kì một véc tơ riêng v   2 nào ma vuông góc với
véc tơ riêng trên thì ta đều có Av  v.
3
 10 6
 0 6 16 


Bài 7: Xét hai ma trận A   26 16
8  và B   0 17 45 
 16 10 5 
 0 6 16 




1) Chứng minh rằng A và B có cùng các giá trị riêng;
2) Rút gọn A và B về dạng ma trận chéo như nhau;
3) Giải thích tại sao tồn tại ma trận khả nghịch R sao cho R 1 AR  B.
Tìm A8 và B 8 .
Bài 8: Với giá trị nào của  thì các ma trận sau là chéo hoá được?
sin  sin 2 
 0
 3   5    



1) A   sin 
0
sin 2 
2) B   
  2  
 sin 2 sin 
 5
0 
5
2 


Bài 9: Với điều kiện nào của a, b, c thì ma trận sau là chéo hoá được?
1 a b
0 2 c


0 0 1



Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục




Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho các trường kỹ thuật

Bài 10: Cho phép biến đổi tuyến tính f :  3( x)   3 ( x), xác định bởi

f ( P )  (1  x 2 ) P ''  3 xP '. Phép biến đổi f có chéo hoá được không?
Bài 11: Cho f là một phép biến đổi tuyến tính của M n    (n  2 ), xác định bởi
f(A) =At. Xác định giá trị riêng của f.
 a 1 3 
Bài 12: Cho ma trận A   1 a
3  và B = A –aI3 (a  ) .
 1 0 a  3


Chứng minh rằng B chéo hoá được, từ đó suy ra A cũng chéo hoá được.
 1 2 
Bài 13: Cho ma trận vuông A  
 mà ta coi là ma trận của phép biến đổi

5
6


tuyến tính từ  2 vào  2 .
1) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của A;

x 
2) Cho X 0 ( x0 , y0 )   2 , ta có thể đồng nhất nó với ma trận cột  0  .
 y0 
Ta định nghĩa Xn bởi hệ thức truy hồi sau: Xn =AXn-1, n  1. Hãy tính Xn theo X0 và
n.
Bài 14: Trong không gian véc tơ  3 cho một phép biến đổi tuyến tính f với ma
trận tương ứng trong cơ sơ chính tắc f là ma trận A thoả mãn điều kiện: A2= A.

1) Chứng minh rằng f luôn có giá trị riêng s  0;
2) Chứng minh rằng nếu v không thuộc Kerf thì f (v) là một véc tơ riêng
của f tương ứng với giá trị riêng s  1. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của f có các
nghiệm là số thực;
3) Giả thiết hạt nhân của f là không gian con một chiều sinh bởi véc tơ u.
a) Chứng minh rằng nếu u, v, w độc lập tuyến tính thì u, f(v), f(w)
cũng độc lập tuyến tính;
b) Tìm ma trận B của f theo cơ sở u, v, w. Từ đó suy ra các giá trị
riêng của f.

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục