09 bài giảng số 2 định thức và các phương pháp tính định thức

Khóa học: Ma trận và Định thức

Bài giảng số 02. ĐỊNH THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC
2.1. Khái niệm về định thức
Định nghĩa 1
Định thức cấp 1 của ma trận A = (a) là định thức có dạng |a| và |a| = a.
 a11
 a 21

Định thức cấp 2 của ma trận A = 

và

a12 
a
 là định có dạng 11
a 22 
a 21

a12
a 22

a11 a12
 a11a22  a21a12
a21 a22

 a11

Định thức cấp 3 của ma trận A   a 21

a
 31

a12
a 22
a32

a13 
a11

a 23  kí hiệu là a 21
a33 
a31

a12

a13

a 22

a 23

a32

a33

a11

a12

a13

và a21

a22

a23  a11a22 a33  a13a21a32  a31a12 a23  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31 .

a31

a32

a33

Định thức của ma trận vuông cấp n

 a11  a1n 


Cho ma trận vuông cấp n, A      
a  a 
nn 
 n1
Ta gọi Aij là ma trận cấp n-1 có được sau khi bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j của ma
trận A.
Đặt Cij = (-1)i+j|Aij|. Thì Cij được gọi là các phần bù đại số của aij
Định nghĩa 2: Định thức của một ma trận vuông A cấp n được tính theo một trong
hai công thức sau:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục

Khóa học: Ma trận và Định thức

|A| = ai1Ci1 +ai2Ci2 + ...+ ainCin (i =1, 2,…,n) (Theo hàng thứ i của ma trận )
hoặc |A| = a1jC1j +a2jC2j +…+anjCnj (j =1, 2,…,n) ( Theo cột thứ j của ma trận )
Kí hiệu định thức của ma trận A là det(A) hoặc |A|
Ví dụ 1: Xét ma trận :
2 3 5


A = 1 4 2
2 1 5



Chúng ta tính det(A) bằng cách khai triển theo dòng 1, ta có:
C11 = (1)11

4 2
 18
1 5

C12 = (1)1 2

1 2
1 4
 1 và C13 = (1)13

 7
2 5
2 1

Vậy định thức của ma trận A là:
det(A) = a11C11 +a12C12 + a13C13 = 36 -3 -35 = -2
Ví dụ 2: Xét ma trận
2

1
A = 
5

2


3
4
4
1

0
0
8
0

5

2
5


5 

Khi đó khai triển theo cột thứ 3, ta có
2 3 5
3+3

det(A) = a13C13 +a23C23 + a33C33 + a43C43 = 8C33 = 8(-1)

1 4 2  16
2 1 5

Nhận xét: Khi ta tính định thức theo định nghĩa, chúng ta nên khai triển theo dòng
hoặc cột có nhiều phần tử 0 nhất.
2.2. Các tính chất của định thức
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

Tính chất 1: Định thức của ma trận A cấp n bằng không nếu thoả mãn một trong
ba điều kiện sau:
i) Có một dòng hoặc một cột bằng không
ii) Có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ với nhau
iii) Có một dòng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hoặc các
cột) còn lại.
Tính chất 2: Nếu A là ma trận dạng tam giác thì định thức của A là tích của các

phần tử trên đường chéo chính.
 1 2 3


Ví dụ 3: Nếu A =  0 4 5  thì det(A) = 1.4.6 = 24
0 0 6



Tính chất 3: Nếu thay đổi vị trí hai dòng (hoặc hai cột) của ma trận A cho nhau thì
định thức của A đổi dấu.
Ví dụ 4:

a b
c d

c d
a b

Tính chất 4: Nếu ta cộng vào một dòng ( hoặc một cột) của A với bội số của một
dòng (hoặc một cột) khác thì định thức của ma trận A là không đổi
2 3 5


Ví dụ 5: Cho ma trận A =  1 4 2 
2 1 5


2 3 5



Nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3 ta được ma trận B =  1 4 2  thì ta có
0  7 1



det(B) =det(A)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

Tính chất 5: Nếu nhân thêm vào một dòng hoặc một cột của ma trận A với một
hằng số c khác không thì ta được ma trận B sao cho det(B) = c det(A).
 1 m 1 0 


Ví dụ 6: Cho ma trận A =  2 m 2  1  1
 m m3  1 2 



dễ thấy cột thứ 2 của A có m -1 là thừa số chung nên ta có
1

1

0

det(A) = (m  1) 2

m 1
1
m m  m 1 2
2

Áp dụng tính chất 4, ta nhân cột 1 với -1 rồi cộng vào cột hai thì
1

0

0

Det(A) = (m  1) 2

m 1 1
m m2  1 2

Áp dụng định nghĩa bằng cách khai triển theo dòng thứ nhất ta có
det(A) = (m -1).1.

m 1 1
 (m  1)[2(m  1)  m 2  1]  (m  1)(m 2  2m  1)
m2  1 2

Tính chất 6: Nếu một dòng thứ i của ma trận A cấp n được phân tích dưới dạng

tổng của hai dòng thì định thức của A là tổng của hai định thức của 2 ma trận A1
và A2 cấp n có các dòng 1, 2, …,i-1, i +1, …, n giống của A, còn dòng thứ i là của
mỗi ma trận A1 và A2 là dòng tách ra thì dòng thứ i của A.
Ví dụ 7:

a b cb a b b c b c



a
b
a b a b a b

Tính chất 7: Định thức của ma trận chuyển vị At của ma trận A và định thức của
ma trận A là bằng nhau.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức
a b a c

 ad  bc
c d b d

Ví dụ 8:

Tính chất 8: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n thì ta có det(AB) =
det(A).det(B)
 1 2
 2 1
, B  
 , thì AB =
 1 0
  1 1

Ví dụ 9: Cho hai ma trận A = 

3
 0


  2  1

dễ thấy det(A) = 2, det(B) = 3 và det(AB) = 6. Vậy det(AB) = det(A)det(B)
Tính chất 9: Nếu A là ma trận khả nghịch, ta có det(A-1)det(A) = 1.
Dễ thấy vì AA-1 = In nên theo tính chất 7 det (A)det(A-1) =det(AA-1) = det(In) = 1.
Vậy det(A-1) =

1
det A

Tính chất 10: Cho ma trận vuông A cấp n. Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi
det(A)  0 .
2.3. Các phương pháp tính định thức
Phương pháp dựa vào các tính chất của định thức
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận sau:

1

2

A =  43

2

1

0
4
6
5
4

2
5
1
0
5

4
7
9
1
3

1
6

2
2
6

0

2
1

5
2

0 2 5 1 0

Giải:
Áp dụng tính chất 4 ta biến đổi định thức của ma trận A như sau:
Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào dòng 6 ta có:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

1

2
4
det(A) = det 

3
2

0

0
4
6
5
4

2
5
1
0
5

4
7
9
1
3

1
6
2
2
6

0


2
1

5
2

0 0 1 0 0

Nhân dòng 5 với -1 rồi cộng vào dòng 2 ta có:

1

0

det(A) = det  4
3
2

0

0
0
6
5
4

2
0
1

0
5

4
4
9
1
3

1
0
2
2
6

0

0
1

5
2

0 0 1 0 0

Theo tính chất 1 phần (ii), định thức trên có dòng 2 và 6 tỷ lệ nên det (A) = 0.
Ví dụ 2: Tính định thức của ma trận sau
a1b2
a1b3 
1  a1b1



A =  a 2 b1 1  a 2 b 2 a 2 b3 
 ab
a3b2
1  a 3b3 
 3 1

Giải
1

a1b2

Ta có det(A) = 0 1  a 2 b2
0

a 3b2

a1b3

a1b1

a1b2

a1b3

a 2 b3  a 2 b1 1  a 2 b2
a 2 b3
1  a 3b3 a 3b1
a3b2

1  a3b3

a1
a1b2
a1b3
1  a 2 b2
a 2 b3
= 1.
+ b1 a 2 1  a 2 b2 a 2 b3
a3b2
1  a3b3
a3
a3 b2
1  a3b3

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

a1

0

a1b3

a1

= (1  a 2 b2 )(1  a3b3 )  a 2 a3b2 b3  b1 a 2 1
a3

a 2 b3 + b1 a 2
0 1  a3b3
a3

a1
a1
a1b3
= 1 + a2b2 +a3b3 + b1
 b1b2 a 2
a3 1  a3b3
a3

a1

a1b2

a 2 b2
a 2 b3
a 3b2 1  a3b3

a1b3

a2
a 2 b3 = 1 + a1b1 + a2b2
a3 1  a 3b3

+a3b3
Phương pháp đưa về định thức tam giác
Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau
a b  b
b a  b
det(A)=
   
b b  a

Giải
Cộng các cột thứ 2, 3, …, n vào cột thứ nhất ta có:

a  (n  1)b b  b
a  (n  1)b a  b
det(A) =
 [a  (n  1)b]

  
a  (n  1)b b  a

1
1

1

a1b3

b  b
a  b
  

b  a

Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào các dòng 2, 3, …, n ta có
1
b

b
0 ab 
b
det(A) = [a+(n-1)b]




0
0
 ab

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

định thức cuối là định thức của một ma trận tam giác trên nên theo tính chất 2, ta
có:
det(A) = [a +(n-1)b].1.(a –b)…(a –b) = [a +(n-1)b](a –b)n
Phương pháp qui nạp

Ví dụ 4: Cho a, b  R , a  b . Tính định thức cấp n:

Dn =

a  b ab
0
1
a  b ab
0
ab
1



0
0
0
0
0
0








0
0

0
0
0
0


a  b ab
1
ab

Giải
Khai triển định thức cấp n trên theo dòng đầu tiên ta có:
1 ab
0
0 a  b ab
ab
1
Dn  (a  b) Dn 1  ab 0


0
0
0
0
0
0









0
0
0
0
0
0


a  b ab
1
ab

Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột thứ nhất ta có:
Dn  (a  b) Dn 1  abDn 2


Dn  aDn1  b( Dn1  aDn 2 )

Lặp lại qua trình trên ta có:
D n  aD n 1  b( D n 1  aD n  2 )  b 2 ( D n  2  aD n 3 )    b n  2 ( D 2  aD1 )

Ta có D2 = a2 + b2 +ab, D1 = a+b
Vậy

Dn –a Dn-1 = bn

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

Theo qui luật trên ta có
Dn –a Dn-1 = bn

(1)

Dn-1 –a Dn-2 = bn-1 (2)
……………….
D2 –aD1 = b2

(n-1)

Nhân đẳng thức (2) với a, (3) với a2 …, (n-1) với an-2 rồi cộng tất cả các đẳng thức
theo vế ta có:
Dn –an-1D1 = bn +abn-1 + …+an-1b
Dn –an –an-1b = bn +abn-1 + …+an-2b2
Dn = an +an-1b + an-2b2 + …+bn =

a n1  b n 1
a b

2.4. Ứng dụng của định thức
a) Ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính ( Chương 4)

b) Ứng dụng để tìm ma trận nghịch đảo
 a11
a
Cho ma trận vuông A cấp n: A =  21
 

 an1

a12  a1n 
a22  a2 n 
( với det( A)  0 )
   

an 2  ann 

Đặt Cij  (1)i  j | Aij | (i, j  1, 2, , n) , khi đó lập ma trận sau:
 C11 C12
C
C22
C   21
 


 Cn1 Cn 2

 C1n 
 C2 n 
thì C được gọi là ma trận phụ hợp
  


 Cnn 

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

Ta có ma trận nghịch đảo của A có dạng:

A1 

1
Ct
det( A)

 1 1 2


Ví dụ 5: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   3 0 3 
 2 3 0


Giải
Ta có det(A) = 3
C11 = (-1)1+1

0 3

3 3
3 0
= -9, C12 = (-1)1+2
= -6, C13 = (-1)1+3
=9,
3 0
2 0
2 3

C21 = (-1)1+2

1 2
1 2
1 1
= 6, C22 = (-1)2+2
= 4, C23 = (-1)2+3
= -5,
3 0
2 0
2 3

C31 = (-1)3+1

1 2
1 2
1 1
= 3, C32 = (-1)3+2
= 3, C33 = (-1)3+3
=-3,
0 3

3 3
3 0

Vậy ma trận nghịch đảo của A có dạng:
 C11
1 
A 
C12
det( A) 
 C13
1

C21
C22
C23

C31   3
2
1
 

C23    2 4 / 3 1 
C33   3 5 / 3 1

c) Tìm hạng của ma trận
Định nghĩa 1: Cho một ma trận A cấp m  n . Định thức con cấp k  min m, n của
ma trận A là định thức của ma trận mà lập thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi m-k
dòng và n-k cột của ma trận A.
Định nghĩa 2: Hạng của ma trận A là cấp của định thức con cao nhất mà định thức
đó khác không.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

Kí hiệu: r(A)

 2 1 2 3 
A   2 9 4 7 
 4 3 1 1



Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận sau:

Giải:

Dễ thấy

2

1

2 9

2

1 2

2

1 3

 20  0 , còn 2 9 4  0, 2 9 7  0

4 3

1

4 3 1

Nên rank(A) = 2.
Ví dụ 7: Biện luận theo k hạng của ma trận sau:

 3 1
2 5

 4 7

5 4

3 2
4 5 
1 4

7 k 

Giải
Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận đưa ma trận trên về dạng
2 
 3 1 3


19 
 0 17 6
 0 0 3 15 


 0 0 0 3k  9 

Nếu 3k  9  0  k  3 thì hạng của ma trận bằng 3
Nếu k  3 thì hạng của ma trận bằng 4.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính định thức của các ma trận sau:

3

1

D = 
2

7


a a2

C = b b2

2
c c

 1 1  1


B =  1 1 1  ,
1 1 1 



1 3 2


A = 8 4 0
 2 1 2


2


2
E = 2

4
5


4 5 2

0 1 0
3 6 3

2 9 4 

3
3
3
6
8

7
7
6
2
7

1
1
1
3

4

3

5
9

4
5 

2

2
F = 4

4
2


1
1
3
3
1

5
5
2
2
6

a3 

b3 

c3 

1
1
1
0


3

2
1

1
7 

Bài 2: Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp và det A = 2 det B = 3, Hãy tìm
định thức của ma trận A2B-1
Bài 3: Tính định thức sau bằng phương pháp qui nạp
5
2
0

0

3
5
2

0

0
3
5

0

0
0
3

0

 0 0
 0 0
 0 0
 




2 5

Bài 4: Tính giá trị của các định thức sau:

a)

a2

(a  1) 2

(a  2)2

(a  3) 2

b2
c2
d2

(b  1) 2
(c  1) 2
(d  1) 2

(b  2)2
(c  2)2
(d  2)2

(b  3) 2
(c  3) 2
(d  3)3

b)

1  a1
a2

a1
1  a2
a1
a1

a2
a2

a3
a3

a4
a4

1  a3
a4
a3
1  a4

Bài 5: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp định thức

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục




Khóa học: Ma trận và Định thức

1 2  2



b)  1 5 3 
2 6 1



 1 1 1


 1  1 1
 0 0 1



2

1
f) 
2

1


1 a b  c 


e) 1 b a  c 
1 c a  b 




5
2
4
3

8
3
7
5

1 5 2


c)  1 1 7 
0  3 4



 2 3 4


d)  3 4 2 
 2 3 3



 3  2 1  5



 2 5  2 3 
g) 
0 2 1
0 


 1  1 0  1



5

1
2

3 

Bài 6: Tính giá trị của các định thức sau:

1  cos x 1  sin x 1
A  1  sin x 1  cos x 1
1

C

1

a

B x b

1

3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3

x x

x

D

x

x c

1 x x x
1 a 0 0
1 0 b 0
1 0 0 c

Bài 7: Giải các phương trình sau:

1

x

a) 1 1
1 x2

1

x2
1 0
x3

b)

x x

x 1

x

x

x

x x 1

x

x x

0

x 1

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên Học viện Quản lý Giáo dục