Phần thứ nhất LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM doc

Phần thứ nhất
Lý thuyết và các phơng pháp tính tấm
Chơng 1
Lý thuyết tính tấm chịu uốn
Tấm là vật thể hình khối có chiều cao h (chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thớc
còn lại h<<a,b, hình 1-1.
Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng cách đều mặt trên và mặt dới của tấm.

Hình 1-1. Hình dạng và kích thớc tấm
Tấm chịu uốn đợc phân loại thành tấm mỏngvà tấm dầy.
Tấm đợc gọi là tấm mỏng khi [12,17]:

10
1
l
h

min
và
10
1
5
1
h
w
ữ
max
(w
max
là chuyển vị pháp lớn nhất).
Tấm đợc gọi là tấm dày khi:

10
1
l
h
>
min
Tấm mỏng đợc tính theo lý thuyết Kirchhoff (bỏ qua biến dạng cắt trong
mặt phẳng pháp tuyến) còn tấm dày đợc tính theo lý thuyết Reissner-Mindlin (có
xét biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến).
1.1. tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchhoff
1.1.1. Các giả thiết tính toán
Tính toán tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff dựa trên 03 giả thiết:
1. Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm
0=
z

.
2. Khi tấm chịu uốn, chuyển vị ngang trên mặt phẳng trung bình bằng
không
0
)0,,()0,,(
==
yxyx
vu
.
3. Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trớc biến dạng
thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không
thay đổi độ dài. Từ đó rút ra:
0===
yzxzz

.
Từ các giả thiết của Kirchhoff, chuyển vị
),,(),,(
;
zyxzyx
u v
, biến dạng, ứng
suất, nội lực đợc xác định qua chuyển vị
( )
yx
w
,
và bài toán 03 chiều trở thành bài
toán 02 chiều.
1.1.2. Các phơng trình cơ bản
Nói chung, bài toán cơ học đợc giải trên cơ sở 3 nhóm phơng trình cơ bản: hình
học, vật lý, cân bằng kết hợp với các điều kiện biên.
- Nhóm phơng trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị.
- Nhóm phơng trình vật lý biểu thị quan hệ giữa biến dạng và ứng suất.
- Nhóm phơng trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng (tĩnh, động) của phân tố
hoặc toàn hệ.
1. Phơng trình hình học
Xét tấm mỏng có chiều dày h=const, vật liệu đàn hồi tuyến tính. Tách từ tấm một
phân tố VCB có các cạnh dx, dy, hình 1-2.

Hình 1-2. Biến dạng của phân tố tấm
Theo lý thuyết đàn hồi và giả thiết 3:
0
z

w
zyx
z
=


=
),,(

. Từ đó rút ra theo
chiều dầy tấm:
ntww
yxzyx
cos==
),(),,(
(1.1)
Từ giả thiết 2 và 3, chuyển vị
),,( zyx
u
,
),,( zyx
v
tại điểm K bất kỳ cách mặt
trung bình khoảng cách z đợc biểu diễn qua chuyển vị
),( yx
w
, hình 1-3, có dạng:
2
x
w

zu
yx
zyx


=
),(
),,(
.
(1.2)
y
w
zv
yx
zyx


=
),(
),,(
.
(1.3)

Hình 1-3. Xác định chuyển vị ngang qua chuyển vị pháp tuyến
Các thành phần biến dạng của tấm đợc xác định theo công thức:
2
(x,y,z ) (x,y)
x x
2
u w

z. z.k
x x

= = =

(1.4)
2
(x,y,z ) (x,y)
y y
2
v w
z. z.k
y y

= = =

(1.5)
2
(x,y,z) (x,y,z) (x,y)
xy 1 2 xy
v u w
2.z. z.k
x y x y

= + = + = =

(1.6)
trong đó,
x
k

,
y
k
,
xy
k
là độ cong uốn và độ cong xoắn.
2
yx
2
x
x
w
k


=
),(
;
2
yx
2
y
y
w
k


=
),(

;
yx
w
2k
yx
2
xy


=
),(
(1.7)
2. Phơng trình vật lý
Các thành phần ứng suất của tấm, đợc xác định theo lý thuyết đàn hồi với các
thành phần biến dạng xác định theo (1.4
ữ
1.6), hình 1-4:
( )










+

=+

=
2
2
2
2
22
1
.
1 y
w
x
wzEE
yxx
à
à
à
à

(1.8)
( )

+



=+

=
2
2
2
2
22
1
.
1 x
w
y
wzEE
xyy
à
à
à
à

(1.9)
( )

2
1
xy yx xy
Ez w
G
x y

à

= = =
+
(1.10)
trong đó:
E
- mô đun đàn hồi của vật liệu;
3
à
- hệ số Poisson;
G
- mô đun trợt của vật liệu.
( )
à
+
=
12
E
G
(1.11)

Hình 1-4 và 1-5 Các thành phần ứng suất và mô men

Đối với kết cấu tấm thờng xác định nội lực: mô men uốn
x
M
,
y
M
, mô
men xoắn
xy
M
, lực cắt
x
Q
,
y
Q
thay cho xác định ứng suất. Mô men uốn và mô
men xoắn phân bố trên một đơn vị chiều dài xác định qua ứng suất đợc xác định
bằng biểu thức, hình 1-5:

+


==
2/
2/
2
2
2
2
.
h
h
pxx
y
w
x
w
DdzzM
à
(1.12)

+


==
2/
2/
2
2
2
2
.
h
h
pyy
x
w
y
w
DdzzM
à
(1.13)
( )

===
2/
2/
2
1.
h
h
pxyyxxy
yx
w
DdzzMM
à
(1.14)
trong đó:
p
D
- độ cứng trụ.
( )
2
3
112
.
à

=
hE
D
p
(1.15)
với:

h
- chiều dày tấm;
4
Biểu diễn mô men uốn và mô men xoắn (1.12
ữ
1.14) dới dạng ma trận qua
độ cong uốn và độ cong xoắn:
{ }
[ ]
{ }
cf
kCM =
(1.16)
trong đó:
{ }
{ }
T
xyyx
MMMM =
(1.17)
{ }
{ }
T
xyyxc
kkkk =
(1.18)
[ ]
( )

=














=
2
1
00

01
01
2
1
00
01
01
112
2
3
à
à
à
à
à
à
à
pf
D
Eh
C
(1.19)
Lực cắt phân bố trên một đơn vị chiều dài
x
Q
,
y
Q
là hợp lực của ứng suất
zx

,
zy

do biến dạng uốn gây ra đợc xác định từ điều kiện cân bằng.
Các thành phần nội lực của tấm đợc biểu diễn trên hình 1.6.

Hình 1-6. Các thành phần nội lực của tấm
3. Phơng trình cân bằng
Xét cân bằng của một phân tố tấm dới tác dụng của các thành phần nội lực và
ngoại lực phân bố
),( yx
q
, hình 1-6.
Chiếu các lực lên trục OZ và giản ớc cho
dxdy
:
0q
y
Q
x
Q
yx
y
x
=+


+

),(
(1.20)
Lấy tổng mô men đối với trục x, y và bỏ qua các đại lợng VCB bậc cao, giản ớc
cho
dxdy
:
0Q
y
M
x
M
x
xy
x
=+






(1.21)
5
0Q
x
M
y
M
y

xyy
=+






(1.22)
Từ (1.21
ữ
22) và kết hợp với mô men uốn và mô en xoắn biểu diễn qua hàm mặt
võng
( )
,x y
w
theo (1.12
ữ
14), lực cắt
x
Q
,
y
Q
đợc xác định bằng công thức:
( )
2
,
x p
x y

Q D w
x

=

; (1.23)
( )
2
,
y p
x y
Q D w
y

=

(1.24)
với
2

là toán tử Laplat
2
2
2
2
2
yx

+

=
(1.25)
Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.12
ữ
14), phơng trình cân bằng của
tấm có dạng:
( )
4 4 4
,
4 2 2 4
2
x y
p
q
w w w
x x y x D

+ + =

(1.26)
Phơng trình này gọi là phơng trình Sophi-Giecman.
1.2. tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Reissner-mindlin
1.2.1 Góc xoay có kể đến biến dạng trợt
Khi tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchhoff đã bỏ qua biến dạng cắt (
0
zyzx
==

) và các thành phần biến dạng, ứng suất, nội lực đợc xác định qua

chuyển vị
),( yx
w
.
Khi tính tấm dầy hoặc tấm Sandwich cần phải kể đến biến dạng cắt này.
Giả thiết của Mindlin khác với giả thiết Kirchhoff là: phần tử thẳng m-n
vuông góc với mặt phẳng trung bình trớc biến dạng thì sau biến dạng không nhất
thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình và góc xoay
x

,
y

tính theo lý
thuyết Kirchhoff đợc bổ sung một lợng bằng góc xoay của các pháp tuyến quanh
các trục x và y là
x

(tại tiết diện
constx =
),
y

(tại tiết diện
consty =
) do lực cắt
gây ra, hình 1.7.
y x
w
x

= +

(1.27)
x y
w
y


= +

(1.28)
6

Hình 1-6 Góc xoay pháp tuyến
1- Đờng thẳng đứng; 2. Vị trí pháp tuyến của đờng thẳng đứng
3. Vị trí nghiêng của đờng thẳng đứng
4. Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5. Mặt trung bình
Từ (1.27
ữ
1.28), góc xoay của câc pháp tuyến:
x y
w
x


= +

(1.29)

y x
w
y


= +

(1.30)
1.2.2. Biểu thức nội lực
ứng suất tiếp
zx

và
zy

gây ra do biến dạng cắt
x

,
y

đối với tấm đẳng hớng xác
định bằng công thức:
( )
1 0
0 1
2 1
xz x
yz y
E

à


=


+


(1.31)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
đợc xác định bằng công thức:


=
2h
2h
xzx
dzQ
/
/

;

=
2h
2h
yzy
dzQ
/
/

(1.32)
Dới dạng ma trận:
( )
1 0
0 1
2 1
x x
y y
Q
Eh
Q



à


=

+


(1.33)
hay
{ }
[ ]
{ }
s
Q C

=
(1.34)
trong đó:
{ }
{ }
T
yx
QQQ =
(1.35)
7
{ }
{ }
T
x y

=
(1.36)
[ ]
( )

+
=
10
01
12
à

Eh
C
s
(1.37)
Với

là hệ số hiệu chỉnh biểu thị sự chống vênh của mặt cắt ngang. Th-
ờng

lấy bằng 5/6 nhng cũng có thể lấy từ giá trị 2/3 đối với mặt cắt không có
khả năng chống vênh đến giá trị 1 đối với mặt cắt hoàn toàn có khả năng chống
vênh.
Nội lực mô men uốn
x
M
,
y

M
, mô men xoắn
xy
M
đợc xác định theo lý
thuyết Kirchhoff và lực cắt
x
Q
,
y
Q
do biến dạng trợt xác định theo (1.34) dới
dạng tổ hợp:
( )
( )
( )
3
2
1 0 0 0
1 0 0 0
12 1
0 0 1 / 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2 1
x x
y y
xy xy
x x
y y

Eh
M k
M k
M k
Eh
Q
Q
à
à
à
à



à

=











+






(1.38)
hay
{ }

{ }
[ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
5 1 5 1
5 5
0
0
f
c
s
x x
x
C
M k
Q
C






=

(1.39)
trong đó
,
x y

xác định theo (1.29
ữ
30) và
xyyx
kkk ,,
xác định theo công thức:
x
k
y
x


=

;
y
k
x
y


=

;

xy
k
x
y
xy





=


(1.40)
Có thể biểu diễn (1.38
ữ
1.39) tơng tự nh quan hệ ứng suất-biến dạng:
{ }
[ ]
{ }
p
p
p
C

=
(1.41)
Trong đó:
{ }
{ }

T
yxxyyx
p
QQMMM=

(1.42)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
5x5
s
f
p
C0
0C
C






=
(1.43)
{ }
{ }
T
x y xy x y
p

k k k

=
(1.44)
8
Biểu diễn
{ }
p

qua
w
,
x

,
y

{ }
T
xy
x
y
x
y
p
y
w
x
w
xyyx

+


+










=






(1.45)

1.3. điều kiện biên
1.3.1. Biên ngàm cứng
Điều kiện biên là chuyển vị và góc xoay bằng không.
- tại x=0 và x=a
0w =
và
0
x
w
=


(1.46.1)
- tại y=0 và y=b
0w =
và
0
y
w
=


(1.46.2)
1.3.2. Biên tựa khớp
Điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không.
- tại x=0 và x=a
0w =
và
0
x

w
y
w
x
w
DM
2
2
2
2
2
2
px
=


=










+

=

(1.47.1)
- tại y=0 và y=b
0w =
và
0
2
2
2
2
2
2
=


=










+

=
y
w
x
w
y
w
DM
py
à
(1.47.2)
1.3.3. Biên tự do
Điều kiện biên tự do, ví dụ tại y=b, hình 1.7, mô men uốn
y
M
, mô men xoắn
xy
M
, lực cắt
y
Q
bằng không:
( ) ( ) ( )
0QMM
by
y
by
xy
by
y

===
===
Song phơng trình vi phân mặt uốn của tấm (1.26) là phơng trình vi phân cấp 4 nên
chỉ cần 02 điều kiện biên trên mỗi cạnh là đủ xác định nghiệm. Kirchhoff đã gộp
hai điều kiện biên
xy
M
và
y
Q
thành một điều kiện.
Trên biên tự do y=b lấy 03 điểm a, b, c với khoảng cách bằng dx.
9

Hình 1.7 Điều kiện biên tự do
Tại D1 mô men xoắn là
xy
M
, tại D2 mô men xoắn là
dx
x
M
M
xy
xy


+

(D1 và D2 là điểm giữa của các đoạn ab và ac). Các mô men này có thể biểu diễn

dới dạng các lực tập trung ngợc chiều nhau. Giá trị của các lực tập trung tại đầu
các đoạn ab và bc là
xy1
MT =
và
dx
x
M
MT
xy
xy2


+=
. Chiếu các lực tập trung
tại điểm b lên phơng OZ:
dx
x
M
TTQ
xy
12y


==

, vì
y
Q

là lực tập trung nên
sau khi chia cho dx đợc lực phân bố
x
M
Q
xy
y


=

. Nh vậy, điều kiện biên khi kết
hợp
xyy
MQ ,
có dạng:
- tại biên
0x =
và
ax =
:
0
2
2
2
2
=


+

=
y
w
x
w
M
x
à
;
( )
02
2
3
3
3
=


+


=
yx
w
x
w
Q
x

à
(1.48.1)
- tại biên
0y =
và
by =
:
0
2
2
2
2
=


+


=
x
w
y
w
M
y
à
;
( )
02
2

3
3
3
=


+


=
xy
w
y
w
Q
y
à
(1.48.2)
1.3.4. Biên tựa đàn hồi
Ví dụ dầm đóng vai trò là biên tựa đàn hồi. Xét điều kiện biên tại x=a, hình 1.8,
điều kiện biên tơng thích giữa dầm và tấm có dạng:
1. Điều kiện biên thứ nhất
Độ võng của dầm bằng độ võng của tấm. Độ võng của dầm gây ra do tải trọng
phân bố là lực cắt tơng đơng
x
Q
của tấm.
10

Hình 1.8 Biên tựa đàn hồi

Do vậy:
( )
ax
pax
yx
w
x
w
D
y
w
EJ
=
=








+


=


2
2

3
3
4
4
2
à
(1.49.1)
2. Điều kiện biên thứ hai
Mô men xoắn của dầm bằng mô men uốn
x
M
của tấm.
ax
p
ax
p
y
w
x
w
D
yx
w
y
GJ
==

+


=













2
2
2
22
à
(1.49.2)
Nếu dầm không chịu xoắn:

0
2
2
2
2
=










+


=
=ax
px
y
w
x
w
DM
à
(1.49.3)
1.4. Thế năng toàn phần của tấm chịu uốn

Thế năng toàn phần

của tấm chịu uốn bằng tổng thế năng biến dạng của nội
lực và ngoại lực khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang trạng
thái biến dạng.
Thế năng biến dạng của nội lực đợc đo bằng công của nội lực
U
. Công nội
lực luôn luôn dơng, bằng nửa tích của nội lực (ứng suất) trên chuyển vị (biến
dạng) tơng ứng.
Thế năng của ngoại lực đợc đo bằng công của ngoại lực. Công của ngoại
lực luôn âm (có xu hớng ngăn cản biến dạng đa hệ về trạng thái cân bằng) bằng
tích của ngoại lực với chuyển vị của các điểm đặt lực tơng ứng.

= dxdywqU

(1.50)
Khi kể đến biến dạng trợt:
sb
UUU +=
(1.51)
trong đó:
11
Ngàm
Dầm
b
U
- năng lợng do biến dạng uốn.
s
U

- năng lợng do biến dạng cắt.
Năng lợng
s
U
do biến dạng cắt đợc xác định bằng công thức:
( )
( )
2
2
1
. .
2
s x y
S
U G S dxdy


= +



(1.52)
thay
x

và
y

theo (1.29
ữ

1.30), đối với tấm đẳng hớng, [12]:
( )
( )
2
2
2
3
3
2
24 1
1
2
24 1
s y x
S
Eh w w
U GS dxdy
Eh x y
à

à







= + +

ữ
ữ










(1.53)
Thay
G
theo (1.11) vào (1.52):
( )
( )
2
2
3
2
2
6 1
24 1
s y x
S
Eh w w
U dxdy
h x y

à

à





= + +

ữ
ữ







(1.54)
Năng lợng biến dạng chịu uốn của tấm đẳng hớng đợc xác định bằng công
thức [12]:
( )
( )
2 2
2
3
2
1
2

2
24 1
y y y
x x x
b
S
Eh
U dxdy
x x y y y x

à

à
à







= + + + +

ữ ữ ữ
ữ ữ

(1.55)
Nếu biểu diễn năng lợng biến dạng qua nội lực:
{ } { } { } { }
( )
1
2
T T
c
S
U M k Q dxdy

= +

(1.56.1)
thay (1.16), (1.38) vào (1.56.a):
{ } { } { }
[ ]
{ }
( )
1
2
T T
c f c s
S
U k C k C dxdy


= +

(1.56.2)
12