07 bài giảng số 6 phân phối chuẩn và một số bài tập minh họa

Đ t ố
ị ĩ

ế tụ trị tr (; +) ọ ố
t q t ớ t số à ế t ộ ủ ó ó
(xà)2
1
f (x) = e 22
2

í ệ N (à; )
st số ẽ ồ tị t ó ét ọ ồ tị
ồ tị ố ứ q ờ x = à
số t ự
x = à
ó ể ố t x = à + x = à
í tr trụ tệ
2

1
2

t số tr

ỳ ọ t

+

E(X) =

ự ệ é ổ ế Z =
1
E(X) =
2
1
=
2

1
xf (x)dx =
2

+

xe

(xà)2
2 2

dx



xà


+

z2

(z + à)e 2 dz

+


z2
à
(z + à)e 2 dz +
2

+

z2

e 2 dz = 0 + à = à


E(X) = à

P s

1
V (X) =
2

+

(x à)2 e

(xà)2
2 2

dx = 2



ộ ệ =
t số à í ỳ ọ s ủ ế
r t t t tì ồ tị t ố ì r tì ồ
tị ẹ ề ù ợ ớ ý ĩ ủ s
x

2

ế ố ó

ế trị tr (; +) ọ t t q t


✹✺
♣❤è✐ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ♥Õ✉ ❤➭♠ ♠❐t ➤é ❝ñ❛ ♥ã ❝ã ❞➵♥❣
u2
1
ϕ(u) = √ e− 2
2π

❉Ô t❤✃② ✿ ❊✭❯✮❂✵✱ ❱✭❯✮❂✶
◆❤❐♥ ①Ðt✿ ➜å t❤Þ ❤➭♠ ϕ(u) ♥❤❐♥ trô❝ t✉♥❣ ❧➭♠ trô❝ ➤è✐ ①ø♥❣
ϕ(−u) = ϕ(u)✱ ❣✐➳ trÞ ϕ(u) ➤➢î❝ tÝ♥❤ s➼♥ tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ♣❤ô ❧ô❝✳

❱í✐ u ≥ 4✱ ❧✃② ϕ(u) ≈ 0
❍➭♠ ♣❤➞♥ ❜è ①➳❝ s✉✃t✿
1
φ(u) = √
2π

u

u2

e− 2 du
−∞

✹✳❈➠♥❣ t❤ø❝ ①➳❝ s✉✃t ➤Ó ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❳∼

N (µ; σ 2 )

♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣

✭❛✱❜✮

●✐➯ sö✿X ∼ N (µ; σ )
2

➜➷t z =
❚❛ ❝ã✿

1
P (a < X < b) = √
σ 2π

x−µ
σ

0

e−

dx

a

b−µ
σ

z2

e− 2 dz

a−µ
σ

u − z2
e 2 dz
0

√1
2π

φ0 (u) = φ0 (

b−µ
a−µ
) − φ0 (
)
σ
σ

●❤✐ ❝❤ó✿
✰φ −u = −φ (u)✱
✰◆Õ✉ ✉❃✺✱ φ (u) ≈ φ (5) = 0, 5
✰●✐➳ trÞ φ (u) ➤➢î❝ ❝❤♦ s➼♥ tr♦♥❣ ❜➯♥❣ ♣❤ô ❧ô❝✳
❱Ý ❞ô✿ φ (−1, 52) = −φ (1, 52) = −0, 4357
✰φ(u) = 0, 5 + φ (u)
✰P (U < a) = φ(a) = + φ (a)
0

(x−µ)2
2σ 2

⇒ x = σz + µ, dx = σdz
1
P (a < X < b) = √
2π

➜➷t φ (u) =
❙✉② r❛✿

b

0

0

0

0

0

0

0

1
2

P (U > a) = 1 − φ(a) =

0

1
2

− φ0 (a).

P (a < U < b) = φ0 (b) − φ0 (a)

✳

P (X < b) = φ0 ( b−µ

) − φ0 (−∞) = 0, 5 + φ0 ( b−µ
)
σ
σ



P (X > a) = 0 (+) 0 ( aà
) = 0, 5 0 ( aà
)


st ủ sự s ệ ữ ế ỳ ọ ủ ó

st ể ế ố trị s ệ s ớ ỳ ọ t
ủ ó ề trị tệt ố ỏ ột số trớ
P (|X à| < ) = P (à < X < à + ) = 20 ( )
t

2, 3

ế = 2 t ó P (|X à| < 2) = 2 (2) = 0, 9544
ế = 3 t ó P (|X à| < 3) = 0, 9974
ét
trị ủ ố sẽ tr (à 2; à + 2)
trị ủ ố sẽ tr (à 3; à + 3)
í ụ
ờ t tệ ột tết ớ ề q ị ết ộ ủ
tết ợ s t r t t ố ớ ộ ệ = 0, 2cm
í st ể ộ tết tr

í st ể ộ tết s t r ớ
í st ể ộ tết ợ s t r ệ ớ ộ q ị q


ó X N (à = 20; 0, 2 )
P (19, 7 < X < 20, 3) = (
) (
) = 2 (1, 5) = 0, 8664
P (X > 21) = 0, 5 (
) = 0, 5 0, 4938 = 0, 0062
P (|X 20| < 0, 3) = 2 ( ) = 2 (1, 5) = 0, 8644
ết q t tết ợ s t r ó ộ tr
ứ ế s s số é tì tỷ ệ ế
ỏ ế ố tỷ ệ ế q tì s é

tì s
0

=

2

0

20,320
0,2

0

19,720

0,2

20,520
0
0,2
0,3
0 0,2

0


) 0, 95
P (|X 20| < ) 0, 95 20 ( 0,2

0 ( 0,2
) 0, 475




0,2

1, 96

0



0, 392

ứ s ớ
P ố st ủ tổ ế ộ t t ù ột q
t

sử X , X ế ộ X N (à , ) X N (à , )
ó ế X = X + X N (à + à ; + )
ế ế X , X , ...X ộ t t ột q t
ố st ó tì ế X =
X sẽ ố ỉ ớ
E(X) =
E(X ) V (X) =
V (X )
1

2

1

1

1

n
i=1

2

2

1

2

2
1

n
i=1

i

1

2
1

2

2

2
2

2
2

n

n
i=1

i

i

ự ộ tụ ủ q t ị tứ q t Pss ề q t

sử ụ q t ị tứ ế ớ tì ệ tí t t tứ r
sẽ ó ế ỏ ế ứ np npq tì ó tể ù q t Pss ể t
tế
ế ỏ ú ó ó tể ù q t ể t tế q
t ị tứ ế tỏ ề ệ


n > 5

|

p
1p



1p 1
| n
p

< 0, 3

ế ỉ ớ ì ọ t à = np s

2 = npq

ừ ó

1
x np
P (X = x) = Cnx px q nx
(
)
npq
npq

tứ tr ọ ị ý
t

P (x X x + h) = Px + Px+1 + ... + Px+h 0 (

x + h np
x np
) 0 (
)

npq
npq

(1)

ọ ị ý tí
í ụ
ột ồ ố ồ t ọ số t ệ t s tr

ó
ì số t ệ t s ó ề t í st t ứ


✹✽
❜✳ ❚×♠ ①➳❝ s✉✃t s❛♦ ❝❤♦ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ❳ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (1600 + 5√2; 1600 + 10√2)
●✐➯✐✿
❛✳❳ t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ♥❤Þ t❤ø❝ ✈í✐ ♥❂✸✷✵✵✱♣❂✵✱✺
❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ t×♠ ♠èt t❛ ❝ã np + p − 1 ≥ m ≥ np + p s✉② r❛ m = 1600
0

❜✳

0

1
1600
0, 51600 0, 51600 ≈ √
P3200 (1600) = C3200
ϕ(0) = 0, 014
3200.0, 5.0, 5
√
√
P (1600 + 5 2 < X < 1600 + 5 2)
√

√

2−1600
2−1600

√
√
) − φ0 ( 1600+5
)
= φ0 ( 1600+10
3200.0,5.0,5
3200.0,5.0,5

= φ0 (0, 5) − φ0 (0, 25) = 0, 0927

❱Ý ❞ô ✷✿
❚rä♥❣ ❧➢î♥❣ ❳✭❣✮ ❝ñ❛ s➯♥ ♣❤➮♠ ❞♦ ♠ét ♠➳② tù ➤é♥❣ s➯♥ ①✉✃t ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♣❤➞♥
♣❤è✐ ❝❤✉➮♥ X ∼ N (100, 1)✳ ❙➯♥ ♣❤➮♠ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵t t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ♥Õ✉ trä♥❣ ❧➢î♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ➤➵t
tõ ✾✽✱✵✹❣ ➤Õ♥ ✶✵✶✱✾✻❣✳
❛✳ ❚Ý♥❤ tû ❧Ö s➯♥ ♣❤➮♠ ➤➵t t✐➟✉ ❝❤✉➮♥✳
❜✳ ▲✃② ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✶✵✵ s➯♥ ♣❤➮♠ ❝ñ❛ ♠➳②✳ ❚Ý♥❤ ①➳❝ s✉✃t ➤Ó ❝ã Ýt ♥❤✃t ✾✺ s➯♥ ♣❤➮♠ ➤➵t
t✐➟✉ ❝❤✉➮♥✳
●✐➯✐✿
❛✳P (98, 04 ≥ X ≥ 101, 96) = φ (
)−φ (
) = 2φ (1, 96) = 0, 95
❜✳●ä✐ ❨ ❧➭ sè s➯♥ ♣❤➮♠ ➤➵t t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ tr♦♥❣ sè ✶✵✵ s➯♥ ♣❤➮♠ ➤➢î❝ ❧✃②✱ ❨ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ♥❤Þ
t❤ø❝ ✈í✐ ♥❂✶✵✵❀♣❂✵✱✾✺✳ ①➳❝ s✉✃t ➤Ó ❝ã Ýt ♥❤✃t ✾✺ s➯♥ ♣❤➮♠ ➤➵t t✐➟✉ ❝❤✉➮♥
0

101,96−100
1

0

98,04−100
1

0

100 − 100.0, 95
95 − 100.0, 95
P (95 ≥ Y ≥ 100) = φ0 ( √
) − φ0 ( √
)
100.0, 95.0, 05
100.0, 95.0, 05
= φ0 (2, 2944) − φ0 (0) = 0, 4884

§✽✿ ◗✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❦❤✐ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✲χ2 (n)

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❧✐➟♥ tô❝ χ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❦❤✐ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ♥ ❜❐❝
tù ❞♦ ♥Õ✉ ❤➭♠ ♠❐t ➤é ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ ♥ã ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜➺♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ s❛✉✿
2

f (x) =



0

✈í✐




1

n
2 2 .Γ( n
)
2

x≤0
x

n

e 2 x 2 −1

✈í✐

x>0



tr ó Gamma(x) =

ế ột số tì

x1 t
t e dt
0

(n + 1) = n!

E( ) = n
V ( ) = 2n
trị tớ ì ứ í ệ tỏ
2

2

2(n)


P (2 > 2(n)
) =

trị tớ ợ tí s tr ụ ụ
í ụ = 27, 49 = 16, 79
ó ĩ P ( > 27, 49) = 0, 025 P ( > 16, 79) = 0, 975
số tự t q t ì sẽ ỉ ớ q t
ế ế ộ ù ố t q t ì
ớ số tự t ứ n n tì ế tổ
2(n)


2(15)
0,025

2(30)
0,975

2(15)

2(30)

2
2

2
1

1

2

2 = 21 + 22

ũ ố t q t ì ớ n = n + n tự
ế ế X ù ố t q t ó tì
1

2

i

n
2

Xi2

=
i=1

ố t q t ì ớ tự
Đ t tt

ế tụ ọ ố t q t tt ớ tự ế
t ộ st ủ ó ợ ị ể tứ s
f (t) =

( n2 )
(n 1)( n1
)
2

[1 +

t2 n
] 2
n1

ồ tị t ố ứ q trụ t

V (T ) =
trị tớ tt ứ í ệ t tỏ
n
n2

(n)


P (T > t(n)

) =

ớ ọ

t



t = t
í ụ t = 2, 131 t = t = 1, 708
ó ĩ P (T (15) > 2, 131) = 0, 025 P (T (25) > 1, 708) = 0, 95
số tự t ố sẽ ộ tụ rt ề ố
ó ó ớ ó tể ù ố ó t tế ố
sử U N (0, 1) V ộ tì ế
(n)


(n)
1

(15)
0,025

(25)
0,95

(25)
0,05

2(n)

T =

U
V
n

ố t q t tt ớ tự
Đ t srr F (n1 , n2 )

ế tụ ọ ố t q t srr ớ n
tự ế t ộ st ủ ó ợ ị ể tứ s
1

n2

f (x) =




0


C

tr ó

ớ

x0

n1 +n2
2
(n1 +n2 )
2
(n2 +n1 .x)

x

ớ

n1

x>0

n2

2
( n1 +n
)n12 n22
2
C=
( n1
).( n22 )
2

E(F ) =
V (F ) =
trị tớ srr ứ í ệ f

n2
n2 2
2n22 (n1 +n22 2
n1 (n2 2)2 (n2 4)

(n1 ,n2 )


tỏ

P (F > f(n1 ,n2 ) ) =

trị tớ ợ tí s

f(n1 ,n2 ) =

í ụ

1
(n2 ,n1 )
f1


=
sử ế ộ ù ố t q t ì
(15,10)

(20,15)

f0,025 = 3, 52 f0,95

1
(15,20)
f0,05


✺✶
♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜❐❝ tù ❞♦ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ n ✱n t❤× ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
1

2

F =

U
n1
V
n2

♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❋✐s❤❡r✲❙♥❡❞❡❝♦r ✈í✐ n ✈➭ n ❜❐❝ tù ❞♦✳
1

2