Tổng hợp các đề thi học sinh giỏi lớp 9

Người tổng hợp:Nguyễn Huy Thịnh

TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI HSG LỚP
9 NĂM 2011-2012


Lời nói đầu:
Chào tất cả các bạn! Mình là Nguyễn Huy Thịnh học sinh lớp 8/1 Trường THCS Tân Xuân.Nay
mình quyết định tổng hợp lại tất cả các đề thi HSG lớp 9 (năm 2011-2012) để cho các bạn ôn thi
tuyển sinh lớp 10 và chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp 9 của tỉnh mình.Sau đây là hơn 30 đề
thi học sinh giỏi lớp 9 được mình tổng hợp trên VMF (diễn đàn toán học).Mình mong nó sẽ giúp
các bạn phần nào về ôn tập HSG

Người biên soạn
Nguyễn Huy Thịnh


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012
MÔN: TOÁN
NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012
THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
24
  x2
A=

  2  x 3

44
  x2

−  2  x 3




với −2 ≤ x ≤ 2 .
Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho

3

m

là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:


a 3 m2 + b 3 m + c = 0

2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa
mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn:
| x −10 | + | x −11| + | x +101| + | x + 990 | + | x +1000 |= 2012
2) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên thành 6
phần diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.
Bài 4: (4,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn
đường kính BC cắt AB,AC thứ tự tại M,N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I,K. Chứng
minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 5: (2,0 điểm)
Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có 3 điểm trong 51 điểm đã
cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1.

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2011-2012

Môn thi:Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)


1

Bài 1. (2,0 điểm)



với

 . 1+

2 x 1

+ 1 2 x

a) Cho biểu thức: A =  x  2 x 1

x > 0; x ≠ 1. Rút gọn biểu thức A



x
 x

−1
và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.




b) Cho biểu thức:
x2

x 1

(

M= x

+

x 1

)(x

+

+

x2
−

x 1

)(x

−

x2
+

x 1

)(−x

+

x2
+

Với x là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh M cũng là số tự nhiên.
x  24
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm x biết:

x 16

+

= 10

x + xy + y = 9

b) Giải hệ phương trình:  y + yz + z = 4
z + zx + x = 1

Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(0;1); B(0; 4);C(6; 4) D(4;1) . Gọi d là
và
đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt tại M,N sao cho đường thẳng d chia tứ giác
ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng
5m
y = mx −
(với m ≠ 0 ).
3
a) Tìm tọa độ của M và N
b) Tìm toạn độ điểm Q trên d sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ Q
đến Oy.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên các cạnh

)


AB,AC lần lượt lấy hai điểm D,E sao cho DHE = 60o . Lấy M bất kì trên cung nhỏ AB.

a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc BAC,
BDE, DEC đồng quy.
4
b) Cho AB có độ dài 1 MA + MB <
3
đơn vị. Chứng minh:
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax
của góc A. Vẽ đường thẳng d là trung trực của đoạn
thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và d. Chứng minh E
nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1.
Chứng minh rằng:
1
3
3
1+ x + y +

+
1

1
1+
3
y3 +
z

≤
1

1
+
z3
+
x3

*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm
tay khi làm bài thi.

---------------------HẾT----------------------


Đề thi HSG vòng 2 quận Hà Đông Hà Nội
Bài 1:
2
2
2
a)Giải pt: 2(x + x +1) − 7(x −1) =
3
13(x −1)
2

b)Cho pt : mx − 2(m −1)x + m − 3 = 0


1
2

2
2

Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 mà x + x =3
a)
Tìm x,y,z thuộc N* sao cho xyz-x-y-z=5
Bài 2:

1
x
)=3

2x
+
y )=1
(
1
1x
++
y
b)Giải


hệ:

y
2
(
1
−



Bài 3: Cho abc=2012, a,b,c >0
1
1
Tìm +
max
+3
:
a
+3
b
+
ab
c

1

3

b
+3
c
+
ab
c
3

c
+3
a
+

ab
c
Bài 4: Cho đường tròn (O) .Dây BC cố định , A
chuyển động trên đường tròn sao cho tam giác
ABC có ba góc nhọn.Kẻ các đường cao
AD,BE,CF cắt nhau tại H
2
2
2
a) CMR: cos A + cos B + cos C < 1
b)Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEH
max


c) CMR: đường tròn ngoại tiếp
tam giác DEF đi qua 1 điểm cố
định
d) C BC2 + AD2 > 4EF 2
M
:

Đề thi HSG toán 9 tỉnh Yên Bái
năm học 2011-2012


Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao để)
2
Câu 1:<4 đ>
x − xy = 7x − 2y −15
Tìm hai số x,y nguyên thoả mãn

Câu 2:<3 đ>
Giải hệ phương trình:
y
2
 x
=
 x2 +1 + 2
y +1 3

(x + y)(1+ 1
)=6
xy

Câu 3:<5 đ>
Cho hình thang ABCD(AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua
M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạch BC, AD lần
lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ.
a. Chứng minh rằng: FH=HE
b. Cho AB=2CD. Chứng minh rằng: EJ=JI=IF
Câu 4:<3 đ>
Cho đường tròn O và một dây cung $AB(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại A và B của đường
tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính $OC(D\neq A,B)$. Dây cung
CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D).
a. Chứng minh: BED = DAE
b. Chứng minh: DE2 = DA.DB
Câu 5:<2 đ>
Cho S =

1

+

1.2012
4024
So sánh S và
2013

1
2.2011

+...
+

1

+...

+
k(2012 − k +1)

1

, (k

;1 ≤ k ≤ 2012)

∈
2012.1

Câu 6:<3 đ>
Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn xyz=1.
2
2
2
z
3
Chứng minh rằng: x + y +
≥
y +1 z +1 x +1 2
ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011-2012


 5
Bài 1a) Rút gọn biểu thức 5 − 3  29 12
3
2
b) Tìm các số nguyên a,b sao cho
−
ab3
ab3

Bài 2a) Giải phương trình x2 − x +121 x
b) Giải hệ phương trình

= 7 − 203

= 36

(x +1)( y +1) = 10


( x + y )( xy −1) = 3


Bài 3Cho ba2số m,n,p
thỏa
mãn:
2
2
2

2

m +n =
m

+m
+
m

n2 n 2 p 2
2
3
4
Tính Q = m + m + p

2

= 2 và
p

2

+
n

2

2

p +n
m

2

+

n
p

=4
2

Bài 4Cho tam giác ABC có B nhọn, trên cung nhỏ AC của (ABC) lấy D khác A. K và H là hình
chiếu của D trên các đường thẳng BC,AB. I là giao điểm KH và AC.
a.CM DI vuông góc với AC và HK < AC
b.E là trung điểm AB . (HDE) cắt IK tại F . CM IF=FK
2
2
Bài 5Cho hai số thực x,y khác 0 sao cho (x + y +1)xy = x + y Tìm max của A = 1 + 1

x3

Đề thi chọn HSG tham dự kì thi cấp TP Hà Nội

y3


Bài 1(6đ):

1
1
1
+ +....... +
+
)
2 3
2011 2012
CMR: A là 1 số tự nhiên và A chia hết cho 2013
b) Tìm x thỏa mãn:
3 3x2  x  2011
 3 3x2  7x  2012 
3 6x  2013
= 3 2012
Bài 2 ( 3đ)

x + y − 2z − 5t = 2013

2
2

Giải hệ 
z −10zt + 25t = 0
x2 + 5 y2 + 4z2 − 4xy − 4zy = 0

Bài 3: Cho a,b,c thuộc R , x,y,z>0 CM:
2
2
2
2
(a + b + c)
a
b
c
a) + + ≥
x
y
z
x+y+z
b)Cho xy+yz+xz=671 CM:
1
y
z
x
2
2
2
+
+
≥
y − xz + 2013 z − xy + 2013 x − yz + 2013 x + y + z

Bài 4(5đ):
Cho đường tròn ( O,R) . Từ điểm S ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến SM, SN tới đường
tròn( M,N là hai tiếp điểm), đường thẳng d qua S cắt đường tròn (O,R) tại A và B ( M thuộc
cung lớn AB). Qua A kẻ đường thẳng Ax // SM. Đường thẳng Ax cắt MN tại E, cắt MB tại C.
Đường thẳng MN cắt AB tại K . Gọi I là trung điểm AB
a) CM: IS là phân giác MIN
SA SK
b) CM:
=
SI SB
c) CM: MA,SC,BE đồng quy tại 1 điểm
Bài 5(2đ): Trong 1 cuộc hội nghị có 100 đại biểu, trong đó mỗi người quen với ít nhất 67 người
khác. CMR: trong hội nghị đó có ít nhất 4 người mà mỗi người đều quen với 3 người còn lại.
a) Cho : A= 1.2.3........2011.2012(1+

1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo
diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho biểu thức:
P = 1 x  (1 x) 1 x2

+ 1 x  (1 x) 1 x2
với x ∈[−1;1]
.
Tính giá trị biểu thức P với x = −1
2012
Câu 3: (3,0 điểm)
Tìm số thực x, y thỏa mãn:
3
= 8x y + 8xy
2
2 2
2
x
2  2x  y3  9
(x +1) y +16x +
Câu 4: (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 và hai điểm A(-1;1). B(3;9) nằm trên (P).
Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ($-1ABM lớn nhất.
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên
các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P.
a) Chứng minh:

BI + C = 2 .
I
AN BN CN
1
1
1

4
≤
.
+
+
b) Chứng minh:
2
AM .BN BN.CP
3(R − OI )
CP.AM
Câu 6: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp (O;R). Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ O đến các cạnh
BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $y+z-x=R+r$.
Câu 7: (2,0 điểm)
AI

+


Cho x,y thỏa mãn x, y ∈ và 0 ≤ x, y ≤
R

1

. Chứng minh rằng x

+y
2

≤

2 2

.
1+ y
1+ x
3

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh An Giang năm học 2011 - 2012

Bài
điểm)
3  21. (33112
 3 A
Rút
thứcgọn
sau:biểu =


3 5 2  7
−
+7−
3
: 5
2

(

3


Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai
phương trình

)

2




2

x + bx + c = 0; x + 3bx + 3c = 0 có
nghiệm thì phương

trì x2 + 2bx + 2c = 0 có nghiệm.
nh
Bài 3. (4
điểm)
Cho hệ
phương trình

(m −1) x − (m
−1) y = m − 37

x + 2 y = 3m +1

(m là tham số)

a. Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm x,y nguyên và x+y
bé nhất.
Bài 4. (4 điểm)

a.Chứng minh rằng với mọi số thực
a,b thì


a4 + b4

4
2
Dấu
bằng
của
bất
đẳng
thức
xảy ra
khi
nào.



 2


b. Phâ P x =
( )

n
4
− 2−
tích x 8x
đa x +12
thức
sau
thàn
h
nhâ
n tử:
Bài 5.
(6
điểm)
Gọi A',B',C' lần
lượt là trung
điểm của các
cung BC,CA,AB
không chứa các
điểm A,B,C của

≥

a+


đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. BC cắt A'C' và A'B' tại M và N; CA cắt A'B' và B'C' tại P
và Q; AB cắt B'C’ và A'C' tại R và S.
a. Chứng tỏ rằng AA',BB',CC' đồng quy tại I.
b. Chứng minh rằng IQAR là hình thoi.

c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để MN=PQ=RS.

-------------HẾT------------Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Long năm học 2011 - 2012

Bài 1. (2 điểm)
Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4
và số dư là 3.

Bài 2. (6 điểm)
Giải các phương trình sau:
a. x ( x + 7 ) = 8
3

b. 3x 1

3

=x4

c. 2 x + 2 + x −1 = 5

Bài 3. (3 điểm)

+1


2

Cho Parabol (P) : y = 2x . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ bằng 1, điểm B có hoành độ bằng 2.
Tìm m và n để đường thẳng (d ) : y = mx + n tiếp xúc với parabol (P) và song song với đường

thẳng AB.

Bài 4. (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai

2
x − 2 ( m +1) x + 2m +10 = 0 , với m là tham số thực.

a.Tìm m để phương trình có hai
nghiệm
b. Tìm m để biểu
thức

x1, x2
2

2

1

2

P = 6x x + x + x đạt giá trị nhỏ nhất.
1 2

Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Các cạnh AB,BC,CA lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại
D,E,F.
a. Chứng minh DF//BC và ba điểm A,O,E thẳng hàng, với O là tâm của đường tròn (O).
b. Gọi giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O) là M và giao điểm của DM với BC là N.

Chứng minh tam giác BFC đồng dạng với tam giác DNB và N là trung điểm của BE.
c. Gọi (O') là đường tròn qua ba điểm B,O,C. Chứng minh AB,AC là các tiếp tuyến của đường
tròn (O').

Bài 6. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c . Gọi h ,
lần lượt là các đường cao ứng với
a
hb , hc
các cạnh a,b,c. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết ha + hb + hc = 9r , với r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

-------------HẾT-------------


Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2011 - 2012

Bài 1. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình.
 x3 +1 = 2(x 2 − x + y)

3
2
 y +1 = 2( y − y + x)
2. Cho phương
trình:

4

2

x − 2mx + 2m −1 = 0(1)

x1 < x2 < x3 < x4
a. Tìm m để (1) có 4 nghiệm x1, x2 , x3 , x4 thoả 
=x −x =x −x
x −
x
3
2
2
1
 4 3
b. Giải phương trình (1) với m tìm được ở câu a.
Bài 2. (4,0 điểm)
2
Cho (P) : y = x ;(d) : y = x + m . Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho: tam giác OAB là tam giác vuông.
Bài 3. (4,0 điểm)
2
2
2
2
1. Cho 4 số a, b, c, d thoả điều kiện a + b + c + d = 2 . Chứng minh: a + b + c + d ≥ 1
3
2
2
2. Cho và a − 3a + 3a(m +1) −(m +1) = 0 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.
Bài 4. (3,0 điểm)

2

2

2

2

Chứng minh rằng: 2 + 4 + 6 +... + (2n) =

2n(n +1)(2n +1)
3

;n∈
,n1

Bài 5. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn
BAC,ACB,CBA theo thứ tự cắt các
cạnh đối tại các điểm M, P, N. Đặt a = BC,b S∆MNP , theo thứ tự là diện
= CA, c = AB;
tích
S∆ABC
của tam giác MNP và ABC.
1. Chứng minh
rằng:

S∆M
NP

S∆A

2abc
= a+b b+c c +a
(
)(
)(
)

BC

2. Tìm giá trị lớn nhất
(GTLN) của

S
∆
M
N
P

S
∆
A
B
C

-----------HẾT-----------

* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - 2012

Bài 1. (4 điểm)

Cho biểu thức: P =

 4 x


+
8x

 
:
2 
−




2+ x
4−
x  

a. R
ú
t
g
ọ

n

x 1

x2 x

x


x

P
b. T
ì
m
m
đ
ể
v
ớ
i
m
ọi
gi
á
tr
ị

)

xt

−3 P

>a

> x +1

9
c
ó

m

(

Bài 2. (3 điểm)
Cho abc = 1 và
3

a > 36 . Chứng
a
minh rằng:
+
2

2

b + c > ab + bc
+ ca

3
Bài 3. (4 điểm)
Cho phương
trình bậc hai: x2
− 2m(m + 2) x +
2
m + 7 = 0 (1) ,
(m là tham số)
a. Giải phương
trình (1) khi m
=1

2


b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1;
x2

thỏa mãn: x1 x2 − 2 ( x1 − x2 ) = 4
Bài 4. BC = 5a;CA = 4a; AB =
(6
3a , đường trung trực của
điểm) đoạn AC cắt đường
Cho
tam
giác
ABC
có
phân giác trong của góc BAC tại

K.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông.
b. Gọi (K) là đường tròn có tâm
K và tiếp xúc với đường thẳng
AB. Chứng minh rằng đường
tròn (K) tiếp xúc với đường
tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC.
c. Chứng minh rằng trung điểm của
đoạn AK cũng là tâm đường tròn
nội tiếp của tam giác ABC
a2
thỏ a . Chứng
+
a b2 minh rằng
Cho a,b,c là
mã =
các số nguyên n: c
2
c
tố khác 0, a ≠
+2
c
b
Bài 5. (3
điểm)

2

2

2

a +b +c
không thể là
một số nguyên
tố.

-


3



x−2

1. G
3 )3 =
x iả
i
16
h

ệ
p

h
ư
ơ Bài 3.

n (2,0
g điểm)
tr 1. Tìm
ì
nghiệ
n
h
m
:
nguyê

n của
 phươn
g
2. G
trình:
2
iả
8x +
2
i
23y
+16x
p
− 44y
h
+16xy
−1180
ư
=0

ơ

H
Ế
T
-

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hải Dương năm
học 2011-2012

n
g

Bài
1.
(2,5
điể
m)

2

2

x x − 6x + 8
−
5x
+
6
+
3

tr
ì
n
h
:


1. Rút gọn biểu thức: A =
3x −12 + ( x −
3) x2 − 6x + 8

x
−

3
3
3
2. Phân tích thành nhân tử: a + b + c
− ( a + b + c )3

3. Tìm x biết ( x + x + 2 )3 − ( x +1)3 = x
+1
2

Bài 2. (2,0 điểm)

3
6


−

(
x
−


2

2

2. Cho n là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của 2n . Chứng minh rằng n + m
không là số chính phương.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là
hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM,ON lấy lần lượt các điểm M' và N' sao
2
cho OM ′.OM = ON′.ON = R .

1. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,M',N' thuộc một đường tròn.
2. Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M' thuộc một đường tròn cố
định.
3. Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO+MA
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. (0,5 điểm)
Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O;r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ
nhất.

-------HẾT-------

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
9 THCS
NAM ĐỊNH

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán

(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:
2
2
2
a −b=b −c=c −a
Chứng minh rằng: (a + b +1)(b + c +1)(c + a +1) = −1
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca =1
2
(b + c) a +1
Chứng minh rằng:
=1
2
2
b +1 × c +1


Câu 2:
 2

x2  8y
=5
1) Giải hệ phương trình  y − 3x +
 x(x − 3) + y( y + 8) = 13
x 1 + 3 − x = 3x2 − 4x − 2
2) Giải phương
trình:
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức:
x
y
z
2012 + 2013 = 2014
Câu 4: Cho đường tròn (O), AB là đường kính của (O). Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác
O; Q khác B). Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D
khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B). Gọi G là giao điểm của các đường
thẳng CD và AP. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS. Gọi K là trung điểm của
đoạn thẳng AQ.
1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD
2) Chứng minh rằng EP=EQ=EG
3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD Câu
5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
2
2
2
a +b +c =3
1
Chứng minh rằng:
1
1
≥1

3 +
3 +
3
1+ 8a
1+ 8b
1+ 8c

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2011 - 2012

Bài 1. (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số
nguyên dương nào đó.
2
Bài 2. (4 điểm)
x + x −1 = 0 . không giải phương trình, hãy tính
Giả sử $a$ là một nghiệm của phương trình 2

giá trị của biểu thức: A
8x=1
Bài 3. (4 điểm)
a. Giải phương trình:

2a − 3
4

2(2a − 2a + 3)
2

= x + 3x
−1

2x2 − y2 = 1
b. Giải hệ phương trình: 
2
xy + x = 2

2

+ 2a


Bài 4. (7 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB