Tập hợp các đề thi học sinh giỏi toán 9

Đề Thi HSG Đà Lạt năm 2005-2006
Bài 1:
1) cho số :
a) Cm rằng A là hợp số (1.5đ)
b) A có phải là số chính phương ko vì sao (1.5)
2) Cm rằng vơí mọi số tự nhiên n ta có chia hết cho 11. (2đ)
Bài 2:
1)(3đ) ko dùng máy tính hãy so sánh GT hai biểu thức sau:
và
2)(4.5 đ) trên quãng đường AB, một xe máy khởi hành từ A đi về phía B, đi được 90 phút thì
một môtô khởi hành từ B đi ngược về phía A. hai xe gặp nhau tại C và tiếp tục đi theo hướng
của mình. nửa giờ sau khi gặp nhau thì môtô về đến A và 2 giờ sau khi gặp nhau thì xe máy
về đến B.
tính thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB( biết vận tốc của 2 xe ko đổi trong suốt hành
trình)
Bài 3:
cho tam giác ABC cân tại A .kẻ BK vuông góc với AC tại K.
a) Cm :
b) cho .tính
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD. từ điểm P thuộc miền trong hình bình hành vẽ đường thằng song
song với AB cắt AD tại N và từ P vẽ đường thằng song song với AD cắt AB tại M. gọi Q là giao
điểm của NB và MD. chứng minh ba điểm Q,P,C thẳng hàng
Đề thi học sinh giỏi quận Ba Đình năm học 2007-2008!!
Bài 1(6 điểm ) Cho biểu thức:
a/Rút gọn biểu thức P
b/tìm giá trị của x để
Bài 2(3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó là các số thực
thỏa mãn các điều kiện : và
Bài 3( 4 điểm ) Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và đường tròn tâm O' bán kính 4 cm
tiếp xúc ngoài tại A , tiếp tuyến chung EF . Đường thẳng qua A song song với EF cắt đường

tròn tâm O tại P và cắt đường tròn tâm O' tại Q . Tính độ dài đoạn PQ .
Bài 4( 4 điểm ) CHo đường tròn tâm O và điểm A ngoài đường tròn . Kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC
với đường trong (O) . Gọi E và F thứ tự là trung điểm của AB và AC . CHo điểm M trên cung
nhỏ BC ( Khác giao điểm của OA với đường tròn (O)) . Gọi H là giao điểm của OA với EF .
Trung trực của đoạn thẳng AM cắt đường thẳng EF tại P . Chứng minh đường thẳng PM tiếp
xúc với đường tròn (O) .
Bài 5(3 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình :
Đề thi HSG 9, quận Cầu Giấy, Hà Nội
1) cho A= .
a)Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b)Rút gọn A.
c)Tìm x để A< .
2) Cho đa thức f(n)= với n nguyên dương.
a) Phân tích đa thức f(n) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng đa thức trên chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n.
3) Giải phương trình:
4) Cho a, b, c>0.Chứng minh rằng:
5) Cho hình thoi ABCD có = . Tia Ax tạo với tia AB góc BAx= và cắt cạnh BC tại M, cắt
đường thẳng DC tại N.
Chứng minh: .
6) Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD. Chứng
minh rằng nếu thì đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB.
Đề thi HSG9, t.Thái Bình 2005-2006
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a)
b)
3) Cho x thỏa mãn phương trình:
, với ;
Cho y thỏa mãn phương trình:

, với b
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
+
Khi f(a, b) nhỏ nhất hãy xác định a; b.
4)Cho , ở đó a; b; c; d là hằng số.
Biết f(1)=2006; f(2)=4012; f(3)=6018, tính f(5)+f(-1).
5) Cho ABCD là 1 tứ giác lồi. Biết rằng các đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tam giác ACD
tiếp xúc nhau. Chứng minh rằng các đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác BCD cũng
tiếp xúc nhau.
6) Cho tam giác ABC không đều. Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp và điểm O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng khi và chỉ khi
Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Nghệ An !!!
Câu 1:Chứng minh rằng:
a.Với mọi số tự nhiên n>1 thì số không thể là số chính phương
b.Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của 2 số chính
phương
Câu 2:a.Hãy xác định giá trị x,y để có đẳng thức:
b.Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
Câu 3:Giải phương trình:
Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),kẻ đường phân giác AD của góc BAC và đường trung
tuyến AM ().Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM,hai đường tròn
này cắt nhau tại điểm thứ hai là I,đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB,AC
theo thứ tự tại E và F.Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J
a.Chứng minh:3 điểm I,M,J thẳng hàng
b.Gọi K là trung điểm của EF,tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q.Chứng minh tam
giác PAQ cân
Đề thi học sinh giỏi thi xã Long Khánh
Bài 1. a) Cho là các số khác nhau và . Tính giá trị của biểu thức:
b)Cho . Tính giá trị của biểu thức .

Bài 2. a) Tính tổng
b) Cho là phân số tối giạn Hỏi phân số có tối giản không?
Bài 3. a) Tính
b) Cho đường thẳng . Tìm trên đường thẳng những điểm có toạ độ thoả
điều kiện
Bài 4. Cho hình thang cân có chiều cao , cạnh bên có độ dài bằng bán kính đường tròn
ngoại tiếp hình thang. Tính diện tích hình thang theo ?
Bài 5. Tam giác ABC có góc ABC bằng 30 độ , góc ACB bằng 15 độ. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC và M,N,P,I lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,ỌC
a) Tính số đo góc PON . C/m A,M,I thẳng hạng
b) Tìm trực tâm chủa tam giác OMN.
Đề thi HSG toán 9, quận 1, tp. HCM
1) Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.
2) Rút gọn biểu thức:
a)
b)
3) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
4) Giải phương trình:
5) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 60 cm. Trên đoạn BC lấy điểm D cách B một khoảng
20 cm. Đường trung trực của AD cắt AB tại E, cắt AC tại F. Tính độ dài các cạnh của tam giác
DEF.
6) Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, có trực tâm là H. Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB,
AC lần lượt tại D và E sao cho HD=HE. Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với DE và cắt
BC tại M.
a) Chứng minh
b) Chứng minh M là trung điểm của BC.
Đề Quảng Ngãi
1) Tìm các cặp số nguyên x,y thoả mãn:

2) Với mỗi số tự nhiên ,đặt:
Chứng minh:
3)Tìm số tự nhiên n,biết tổng các chữ số của nó là:
4)Giả sử x,y,z là 3 số dương thoả mãn điều kiện:
và .HÃy tính giá trị biểu thức:
A=
5) Cho x,y liên hệ bởi hệ thức .AHãy tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
6)Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên dương của là bình phương
của một số nguyên.
7) Giải hệ phương trình:
8)Tìm tất cả các số thực: thoả mãn
9)Trong tất cả các cặp số x,y thoả mãn: .Hãy tìm cặp số mà y có giá
trị nhỏ nhất
10) Cho a,b,c thoả và
Chứng minh rằng:
11)a) Tìm đa thức f(x) biết :
f(x) : x-1 còn dư -3
f(x) : x+1 còn dư 3
f(x) : được thương là 2x và còn dư
b) Hãy tìm tất cả các nghiệm tìm được của f(x) tìm ở trên
12)Tìm tất cả các cặp số a,b thoả mãn sao cho giá trị của làb lớn nhất.
13)Cho phương trình:
a) Tìm m để phương trình có tích 2 nghiệm nhỏ nhất
b) gọi là 2 nghiệm của phương trình trên.CMR:
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO 10 THPT (2008-2009)
Bài 1 ( 2 điểm )
Cho biểu thức với và x khác 1
1) Rút gọn biểu thức Q
2) Tìm giá trị của x để

Bài 2 ( 2,5 điểm )
Cho hệ phương trình: và
1) Giải hệ với m=-2
2) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn