chuyende toan9

CHUYÊN ĐỀ - GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
(Bồi dưỡng học sinh giỏi toán các lớp 8, 9)
Bài 1: Tính diện tích tam giác biết 3 cạnh của nó bằng 10cm, 17cm, 21cm.
Giải:
Giả sử ∆ABC có AB = 10cm, AC = 17cm, BC = 21cm. Kẻ AH ⊥ BC.
Vì BC là cạnh lớn nhất của ∆ABC nên H ở giữa B và C.
Đặt HC = x, HB = y. Ta có: x + y = 21 (1)
∆ vuông AHB có AH
2
= AB
2
- BH
2
= 10
2
- y
2
(Pitago).
Tương tự ∆ vuông AHC có:
AH
2
= AC
2
- CH
2
= 17
2
- x
2
(Pitago)

⇒ 10
2
- y
2
= 17
2
- x
2
= AH
2
.
⇔ x
2
- y
2
= 17
2
- 10
2
= 189.
⇔ (x - y)(x + y) = 189 (2).
Từ (1) và (2) có:



=+
==
21yx
921:189y-x
⇒ x = 15; y = 6 ⇒ HC = 15 cm.

Do đó AH
2
= 17
2
- x
2
= 17
2
- 15
2
= 64 ⇒ AH = 8 cm.
Vậy S
ABC
=
2
1
BC.AH =
2
1
.21.8 = 84 (cm
2
).
Bài 2: Tính chiều cao một hình thang cân có diện tích bằng 12 cm
2
, đường chéo bằng 5
cm.
Giải:
Gọi BH là đường cao hình thang cân ABCD.
Ta chứng minh được: DH =
2

CDAB
+
Đặt BH = x, DH = y. Ta có:
∆BHD vuông tại H có: x
2
+ y
2
= BD
2
= 25 (Pitago) (1)
Ta lại có: S
ABCD
=
2
1
(AB + DC).BH = DH.BH = y.x. Do đó xy = 12 (2)
A
B H C
y x
A B
D H C
x
y
5cm
Từ (1) và (2) có:






=−+
+=++
⇔



=
=+
24-25xy2yx
2425xy2yx
21xy
25yx
22
22
22




±=
=+
⇔





=
=+
⇔

1y-x
7yx
1)y-x(
49)yx(
2
2
Do đó: x = 4, y = 3 hoặc x = 3, y = 4.
Vậy đường cao hình thang cân bằng 4cm hoặc 3cm.
Bài 3: Đường phân giác các góc tù ở một đáy của một hình thang cắt nhau tại một điểm
thuộc đáy kia. Tính các cạnh hình thang biết chiều cao bằng 12cm, các phân giác trên
dài 15cm và 13cm.
Giải:
Gọi AE, BE là các phân giác của các góc tù.
Kẻ AH ⊥ CD, BK ⊥ CD.
∆AHE vuông tại H. AH = 12cm, AE = 13cm
⇒ HE = 5cm (bộ ba Pitago).
Tương tự: ∆BKE vuông tại K có BK = 12cm, BE = 15cm ⇒ EK = 9cm.
Vì = (so le); = (gt) ⇒ = ⇒ ∆DAE cân tại D.
Đặt AD = DE = x ⇒ DH = x - 5.
∆AHD vuông tại H có: HD
2
+ AH
2
= AD
2
⇔ (x - 5)
2
+ 12
2
= x

2
Giải phương trình này được x = 16,9 ⇒ AD = DE = 16,9cm.
Chứng minh tương tự với ∆BCE cân tại C có: BC = CE = 12,5cm.
Do đó CD = DE + CE = 16,9 + 12,5 = 29,4cm.
Mà AB = HK = HE + KE = 5 + 9 = 14cm.
Vậy hình thang ABCD có AB = 14cm, DC = 29,4cm.
Bài 4: Tính diện tích tam giác có 3 trung tuyến bằng 30cm, 51cm, 63cm.
Giải:
Giả sử ∆ABC có trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.
A B
15cm

1
3
c
m
D H E K C
12cm
A
B C
NP
M
K
H
G
Gọi K là đối xứng của G qua M.
Giả sử AM < BN < CP.
⇒ GK = AG =
3
2

AM = 20cm.
BG =
3
2
BN = 34cm.
BK = CG =
3
2
CP = 42cm.
Nên ∆BGK có 3 cạnh là GK = 20cm, BG = 34cm, BK = 42cm.
Kẻ GH ⊥ BK. Đặt BH = x, HK = y ⇒ x + y = 42.
BG
2
- x
2
= GK
2
- y
2
- GH
2
⇒ 34
2
- x
2
= 20
2
- y
2
⇒ x

2
- y
2
= 34
2
- 20
2
⇒ (x - y)(x + y) = 14.54 ⇒





=+
==
42
18
42
14.54
y-x
yx
⇒ x = 30, y = 12 ⇒ GH
2
= 20
2
- y
2
= 20
2
- 12

2
= 256 ⇒ GH = 16cm.
S
BGK
=
2
1
BK.GH =
2
1
.42.16 = 336cm
2
.
Thế mà ta chứng minh được S
ABC
= 3.S
GBC
= 3.S
GBK
= 3.336 = 1008(cm
2
).
Vậy S
ABC
= 1008 cm
2
.
Bài 5: Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông diện tích là 100 cm
2
, có

khoảng cách đến 2 cạnh góc vuông thứ tự bằng 4 cm và 8cm. Tính cạnh góc vuông.
Giải
Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC.
Đặt BH = x, KC = y ta có: ∆BHM ∼ ∆MKC
⇒
y
x 4
8
=
⇒ xy = 32 (1)
Mặt khác : AB.AC = 2.SABC = 200 ⇒ (x + 8)(y + 4) = 200
(1), (2) ⇒



=
−=++
32
3220084
xy
yxxy
⇒ y
2
– 17y + 16 = 0
⇒ (y - 1)(y - 16) = 0
B
CA K
M
H
y

8
4
x
⇒



=
=
16
1
2
1
y
y
⇒ x = 32; x = 2
Có 2 đáp số: AB = 40 cm; AC = 5 cm hoặc AB = 10 cm; AC =20 cm.
Bài 6: Tính diện tích ∆ABC có đường cao AH = 6cm, biết rằng AH chia góc A theo tỷ
số 1: 2 và chia cạnh BC thành 2 đoạn nhỏ bằng 3cm.
Giải:
Giả sử HB < HC. Gọi AD là phân giác của ∆HAC. Ta có:
AC
6
x
3
AC
AH
DC
DH
=⇒=

(x = DC) ⇒ AC = 2x.
∆ vuông AHC có: AH
2
+ HC
2
= AC
2

⇒ 6
2
+ (3 + x)
2
= 4x
2
⇒ x
2

+ 6x + 45 = 4x
2
⇒ 3x
2
- 6x - 45 = 0
⇒ x
2
- 2x - 15 = 0
⇒ (x + 3)(x - 5) = 0 ⇒ x = -3 (loại) hoặc x = 5 ⇒ DC = 5cm.
⇒ BC = 11cm ⇒ S
ABC
=
2

1
BC.AH =
2
1
.11.6 = 33cm
2
.
Vậy S
ABC
= 33cm
2
.
Bài 7: Cho hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD sao cho E, F, G, H chia các
cạnh hình vuông ABCD theo tỷ số k. Tính k. Biết S
EFGH
=
9
5
S
ABCD
.
Giải:
Đặt BE = CF = DG = AH = x thì AE = BF = CG = DH = kx.
Ta có: AE
2
+ AH
2
= EH
2
⇒ (kx)

2
+ x
2
= EH
2
.
Mặt khác:
9
5
S
S
AB
EH
ABCD
EFGH
2
2
==
⇒
9
5
)kxx(
x)kx(
2
22
=
+
+
⇒
9

5
)1k(
1k
2
2
=
+
+
⇒ 9k
2
+ 9 = 5k
2
+ 10k + 5
⇒ 4k
2
- 10k + 4 = 0
⇒ 2k
2
- 5k + 2 = 0 ⇒ (2k - 1)(k - 2) = 0 ⇒





=
=
2
1
k
1k

2
1
B H D C
6
3 3 x
A
D C
BA E
F
G
H
kx x
Vậy tỷ số k = 1 hoặc k =
2
1
.
Bài 8: Một tam giác có số đo đường cao là các số nguyên với bán kính đường tròn nội
tiếp bằng 1. Chứng minh rằng: tam giác đó là tam giác đều.
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c của ∆ABC.
Ta có: SABC =
2
1
ax =
2
1
by =
2
1
cz =

2
1
(a + b + c).r
⇒ ax = (a +b +c).r ; r = 1 ⇒ x =
a
cba
++
⇒ x = 1 +
a
cb
+
> 2 (1) (Vì b + c > a (BĐT tam giác))
CM tương tự có: y > 2; z > 2.
Mặt khác ta có: ax = by = cz = a + b + c (vì r = 1).
⇒
x
a
1
=
y
b
1
=
z
c
1
=
zyx
cba
111

++
++
= a + b + c ⇒
zyx
111
++
= 1 (*)
Không mất tính tổng quát ta giả sử x ≤ y ≤ z =>
zyx
111
++
≤
xxx
111
++
=
x
3
Lại có x > 2 ⇒
x
3
≥
zyx
111
++
= 1 (Theo (*)) ⇒
x
3
≥ 1 ⇒ x ≤ 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có

zy
11
3
1
++
= 1 ⇒
zy
11
+
= 1 -
3
1
=
3
2
⇒
yz
zy
+
=
3
2
⇒ 3(y + z) = 2yz ⇒ 2yz – 3z – 3y = 0 ⇔ 4yz – 6z – 6y = 0
⇔ (4yz – 6y) - (6z - 9) = 9 ⇔ 2y(2z - 3) – 3(2z - 3) = 9 ⇔ (2z - 3)(2y - 3) = 9
⇒











=−
=−



=−
=−
132
932
332
332
y
z
y
z

(Loại y > z vì trái giả thiết)
B a C
r
A
bc