10 bài hình thi vào thpt chuyên toán hoc247

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Hình học

Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm di động
trên cung nhỏ BC. Vẽ MH  BC tại H, MI  AB tại I, MK  AC tại K.
a) Chứng minh rằng I, H, K thẳng hàng.
b) Xác định vị trí điểm M để tổng

BC AC AB
nhỏ nhất


MH MK MI

Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). AB  AC  R 2 . M là điểm di động
trên cung nhỏ AC. D là giao điểm của AM và BC.
a) Chứng minh AM.AD không đổi
b) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm trên một đường cố
định.
c) Xác định vị trí điểm M để 2AM  AD nhỏ nhất.
Câu 3: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, CD là một đường kính thay đổi
không trùng với AB. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC, AD lần lượt tại E, F.
a) Tính BE.BF theo R
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c) Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE di động trên một đường cố

định.
Câu 4: Cho tam giác ABC có A  60o . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. ID cắt EF tại K. Đường thẳng qua K và song
song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác IMAN nội tiếp
b) Gọi J là trung điểm cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng.
c) Gọi r là bán kính của đường tròn (I), S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r.
Chứng minh rằng S IMN 

S
4

Câu 5: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) ( BC  2R) . A là điểm chuyển
động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao của

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 1


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

tam giác ABC cắt nhau tại H. I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng bốn điểm E, F, D, I thuộc cùng một đường tròn và S ABC 

BC. AC.AB
4R

b) Xác định vị trí điểm A sao cho chu vi tam giác DEF lớn nhất.
2
3

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HG  R
d) AO cắt BC tại T. Chứng minh

DB TB
AB

2
DC TC
AC

Câu 6: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (O)(B, C là tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE (D, E thuộc (O), D nằm giữa A và E. Tia
AD nằm giữa hai tia AO và AB). AO cắt BC tại H, cắt (O) tại I, L (I nằm giữa A và L).
a) Chứng minh rằng P, H, O, E cùng thuộc một đường tròn
b) Vẽ dây DK song song với BC. Chứng minh rằng K, H, E thẳng hàng.
c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE, cắt AB tại F và cắt BC tại G. Chứng minh rằng
D là trung điểm của FG.
d) Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DL, EI đồng quy.
Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có các tia AB, DC cắt nhau tại E; các
tia AD, BC cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm (khác C) của hai đường tròn (BCE); (CDF).
Chứng minh rằng:
a) E, M, F thẳng hàng
b) A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
c) EA.EB  FA.FD=EF2
d) OM  EF

Câu 8: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R), A di động trên cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b) Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.
c) Xác định vị trí A để AB2  AC 2 nhỏ nhất
d) Giả sử BAC  ACB  90o . Chứng minh rằng AB2  BC 2  4R 2
Câu 9: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) ( BC  2R) . A là điểm di động
trên cung lớn BC. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tia AI cắt đường tròn (O)
tại M, cắt BC tại D.
a) Chứng minh MD.MA không đổi
b) Xác định vị trí A để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất.
c) Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACD. Xác định vị
trí của A để r1  r2 lớn nhất.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 10: Cho tam giác ABC. M là điểm di động trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác ACM cắt AB tại D, giao điểm của CD và BE là N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABM cắt AC tại E. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác NBC, NDE cắt nhau tại N, K.
Xác định vị trí của M để tổng KB  KC  KM đạt giá trị nhỏ nhất.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 3


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:

a) Xét tứ giác BIHM ta có:
BIM  BHM  90o

Hai góc này cùng nhìn cung BM dưới hai góc bằng nhau nên BIHM là tứ giác nội tiếp.
Tương tự đối với tứ giác HCKM, ta có:
MKC  MHC  180o

Hai góc đối nhau có tổng số đo là 180o nên tứ giác HCKM nội tiếp.
Mặc khác tứ giác ABMC cũng là tứ giác nội tiếp nên ABM  MCK (tính chất góc ngoài)
 IMB  KMC (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
IMB  IHB
(hai góc nội tiếp của mỗi tứ giác nội tiếp cùng chắn một cung)
KMC  KHC

lại có: 

Vậy: IHB  CHK
mà chúng ở vị trí đối đỉnh nên: I, H, K thẳng hàng.

b) Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho CMD  BMA
AC AB BD DC
BC




MK MI MH MH MH
BC AC AB 2BC
.



MH MK MI MH

Ta có hệ thức:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 4


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Mà BC cố định, để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì MH phải đạt giá trị lớn nhất.
 H nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Câu 2:

a) Theo giả thiết ta có AB  AC  R 2
Xét AOC có OA  OC  R, AC  R 2  AOC vuông cân tại O
Tương tự cũng suy ra AOB vuông cân tại O.
 BOA  AOC  BOC  90o  90o  180o

 B, O, C thẳng hàng,

ABC vuông cân tại A

Xét AMB & ABD ta có:
ABDchung
 AMB

ABD  AMD(=sdAB)


ABD(g.g)

AM AB

 AM . AD  AB 2  2R 2 .
AB AD

b) Ta có AMB  45o (góc nội tiếp chắn cung AB)
BMC  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
 CMD  180o  AMB  BMC  180o  45o  90o  45o

Mặc khác CMD là góc nội tiếp chắn cung CD của đường tròn (I)

 sdCD  CID  90o

lại có CID cân tại I
Vậy CID vuông cân tại I.
ABC  ICD=45o (ở vị trí đồng vị, vậy AB//CI)

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Điểm A, B, C đều cố định, vậy tâm I di động trên đường thẳng song song với AB.
c) Ta có 2AM  AD  2 2AM . AD  2 4R 2  4R
Vậy khi M nằm giữa A và D thì 2AM  AD đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 3:

a) Ta có: CAB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Áp dụng hệ thức lượng vào AEF vuông tại A và đường cao AB:
BE.BF  AB2  4R 2

b) Xét tam giác ABF vuông tại B có đường cao BD
DFB  DBA (cùng phụ với DBA )
Mặc khác DBA  DCA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
Vậy DFB  DCA  DFB  DCE  180o
 Tứ giác CEFD nội tiếp.

c) Gọi G là trung điểm của dây EF.
IEF cân tại I  IG  EF
Mà EF  AB( gt )  AB / / IG

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vậy I nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB cố định hay song song với EF. (1)
Gọi H là giao điểm của CD và AG.
Ta có: AG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác AEF vuông tại H.
 GE  GF  GA  GAE  GEA
Dễ dàng chứng minh được AFB  ACH

mà AFB  AEF  90o
 HAC  HCA  90o

Hay AH  CD .
Tứ giác AOIG có các cặp cạnh đối song song  AOIG là hình bình hành
 AO  IG  R(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra Tâm I của (CDE) di động trên đường thẳng song song EF và cách
EF một khoảng bằng bán kính.
Câu 4:

a) Dễ dàng chứng minh được hai tứ giác MKIF và IKEN là các tứ giác nội tiếp.
Vì vậy, FMI  FKI (góc nội tiếp chắn cung FI)
lại có FKI là góc ngoài của tứ giác IKEN nội tiếp nên FKI  INA
Vậy: FMI  INA  IMAN là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có IE  IF=r  IEF cân tại I
Vậy ta dễ dàng chứng minh được IFK  IMK  KNI  KEN
nên IMN cân tại I, mặc khác MK  IK
Vậy K là trung điểm của MN.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 7


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chứng minh được AMN ABC(MN / / BC)
 Tia AK đi qua trung điểm của BC hay A, K, J thẳng hàng.
c)Xét IFA vuông tại F có IAF=30o , mà IF=r  AF=IF.tanAIF=IF.tan60=r 3
1
2

1
2

Vậy S AEIF  2dtAIF  2. AF .IF  2. r.r 3  r 2 3(dvdt )

r2 3
AEF
4
Xét IMF vuông tại F, ta có IM  IF
S
Vậy ta có dtIMN   dpcm .
4

Và diện tích IEF  dt AEIF  dt



Câu 5:

a)Ta có: EBD  EFC=HFD; EBD 

EOC
2

 cungEC  EFD  Tứ giác EFDI nội tiếp.

Vẽ đường kính AK.
AD AB
AB. AC

 AD 
AC AK
AK
1
1

AB. AC AB. AC.BC
 BC. AD  BC.

2
2
AK
4R

DAB
S ABC

CAK 

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 8


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
2

1
2

b) Ta chứng minh được OA  EF  SOEAF  OA.E F  R.EF

1
1
S ABC  .R.( DE  EF+DF)= chu vi tam giác DEF
2
2

Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
c) Sử dụng đường thẳng Euler trong tam giác ABC nội tiếp (O) có AK là đường kính :
KCA  KBA  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BHCK ta có :
BH // CK ( vì cùng vuông góc với AC )
CH // BK ( vì cùng vuông góc với AB )
Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành .
===> H , I , K thẳng hàng và IH = IK
Ta lại có: OI 

AH
( đường trung bình
2

KAH )

GA
(tính chất trọng tâm của ABC)
2
HAG  GIO (so le trong vì AH // OI )

GI 

Do đó GAH

GIO(c.g.c)

HGA  IGO (góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng )

Chúng ở vị trí đối đỉnh nên H, G, O thẳng hàng
2
3

Và cũng từ hai tam giác đồng dạng trên  HG  2GO  OH
2
3

Mà OH  R nên HG  R  dpcm .
d) Áp dụng định lý Ptoleme, ta suy ra các hệ thức sau :
DB AB KC TB AB KB
;


.
.
DC AC KB TC AC KC
DB TB AB  KC KB 
Nên :





DC TC AC  KB KC 

KC KB
KC KB

2
.
2
KB KC
KB KC
DB TB
AB
Vậy :

 2.
 dpcm
DC TC
AC

Theo Cauchy

Câu 6:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9

Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

a) ABO vuông tại B có BH  AO nên AB2  AH .AO(1)
ABD

AEB( g.g ) nên AB2  AD. AE(2)

Từ (1) và (2)  AD.AE  AH .AO nên tứ giác DHOE nội tiếp hay các điểm D, H, O, E cùng
thuộc một đường tròn.
b) Dễ dàng chứng minh được DKCB là hình thang cân mà AH là đường trung trực của BC
nên AH là trục đối xứng của hình thang cân DKCB.
Khi đó: AHK  AHD
Mặc khác: AHD  AEO (Vì tứ giác DHOE nội tiếp)
= ODE (vì tam giác ODE cân tại O)
= OHE (góc nội tiếp cùng chắn cung OE)
Do đó: AHK  OHE
Mà OHE  EHA  180o nên AHK  EHA  180o
Từ đó suy ra ba điểm H, K, E thẳng hàng.
c) Gọi M là giao điểm của DE và BC.
Tam giác HDE có HM, HA lần lượt là phân giác trong và ngoài của tam giác HDE.


MD AD
DH
(vì cùng bằng
)

ME AE
DE

DF AD

DF / / BE 



BE AE
Mặc khác 
 DG / / BE  DG  MD


BE ME

Từ các điều trên suy ra DF  DG nên D là trung điểm của FG.
d) Dễ chứng minh được DL là tia phân giác HDE

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vậy I là điểm chính giữa của cung nhỏ DK nên EI là tia phân giác DEH
Xét HDE có HB, EI, DL là các đường phân giác trong của tam giác nên chúng đồng quy.
Câu 7:

a) Từ các tứ giác ABCD, BCME, DEMF nội tiếp nên:
EMC  CBA  CDF  180o  CMF

 EMC  CMF  180o nên E, M, F thẳng hàng

b) Tứ giác EMCB nội tiếp nên FM .FE  FC.FB
Tứ giác ABCD nội tiếp nên FD.FA  FC.FB
Do đó FM .FE  FD.FA(1) suy ra tứ giác ADME nội tiếp nên các điểm A, D, M, E thuộc
cùng một đường tròn.
c) Chứng minh tương tự câu b ta có EB.EA  EM .EF(2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta suy ra FA.FD  EB.EA  EM .E F  FM .FE=EF2
d) Ta có: AOC  2ADC  ADC  ADC  EBC  EMA
Do đó: AOC  AMC  EBC  EMA+AMC  180o nên tứ giác AMCO nội tiếp.
Tứ giác AMCO nội tiếp có OA  OC nên MO là tia phân giác của AMC
Mặc khác: AME  ADE  DMF
Nên OME  90o . Hay OM  EF  dpcm
Câu 8:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

a) Vẽ AH  BC( H  BC ) .
Vì BC cố định nên diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất.

 H nằm chính giữa cung BC.
b) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng suy ra H nằm chính giữa cung BC.
c) Vẽ trung tuyến AM của ABC . Ta có AM 2 

2( AB 2  AC 2 )  BC 2
2

Do BC cố định nên AB2  AC 2 nhỏ nhất khi AM 2 nhỏ nhất. Lúc đó A nằm chính giữa cung
nhỏ BC.
d) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O).
Vì BAC  BDC  180o và BAC  ACB  90o nên ACB  BDC  900
mà DBC  BDC  900 nên ACB  DBC suy ra CD  AB
Do đó: AB2  BC 2  CD2  BC 2  BD2  4R 2

Câu 9:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

a)Xét ABM & BDM có:
AMB chung
 ABM
BDM ( g.g )


MBD  BAM
MA MB


 MA.MD  MB 2
MB MD

A di động nhưng do I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên M cố định và là điểm chính
giữa cung BC. Vậy MB cố định
b) Dựng IS  AB tại S (S thuộc AB). Vậy IS là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
BAC
2
Mặc khác, AI  AM  MI  AM  MB  2R  MB .
IS  AI .sin BAI  AI .sin

Vậy để bán kính nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn nhất khi AM là đường
kính, tức là A là điểm chính giữa cung lớn BC.
c) Vẽ O1T  AB tại T (T thuộc AB).
BAC
4
BAC
Tương tự: r2  ( AC  AD  CD) tan
4
BAC
Do đó, r1  r2  ( AB  AC  2AD  BC ) tan
2

Vậy: r1  O1T  AT tan TAI  AT tan

r1  r2 lớn nhất khi và chỉ khi AB  AC lớn nhất và AD lớn nhất.

Tức là A là điểm chính giữa cung lớn BC.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 10:

Tứ giác ADNE nội tiếp. Gọi I là giao điểm của AK và BC.
Dễ chứng minh được IB2  IC 2  IK .IA .
 I là trung điểm của BC.
 IK 

IB 2
 điểm K cố định.
IA

Gọi H là hình chiếu của K trên BC, ta có KM  KH .
Do đó, KB  KC  KM  KB  KC  KH
Vậy để tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc hạ từ K đến BC.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 OnThiLop10ChuyenToan

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 15