Các bài toán rút gọn trong đề thi vào lớp 10 THPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (340.35 KB, 24 trang )
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
MỘT SỐ BÀI TẬP RÚT GỌN TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1. Đề thi CVA& Amsterdam 1995 - 1996
2x 3 x 2
Cho các biểu thức: A =
và B =
x 2
x 3 x 2x 2
x 2
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị của x để A = B.
HD:
a) ĐK: x 0; x 4 A = 2 x 1 ; B = x 1
b) x 4 2 3
Bài 2. Đề thi CVA& Amsterdam 1996 - 1997
Cho biểu thức: P =
3a 9a 3
a 2
1
1
a a 2
a 1
a 2
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để |P| = 1.
c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N.
HD:
a) P
a3 a 2
a 2
a 1
a 1
b) |P| = 1
c) P 1
PZ
2
a 1
a 1
2
a 1 a 0 (t/m đk)
2
a 1
a 1 1; 2 a 4;9
Bài 3. Đề thi CVA& Amsterdam 1997 - 1998
3 x x 3
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
x x 2
x 3
x 2
x 2
x 1
b) Tìm x để P <
HD:
1
15
.
4
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
a) x 0; x 1 P
b) P <
3x 5 x 8
x 1
x 2
3 x 8
x 2
15
15
3 x 8
4
<
3 x 2 x
9
x 2
4
4
4
9
Kết hợp với ĐK ta có: x ; x 1
Bài 4: (Chu Văn An 1998 - 1999)
Cho biểu thức:
x 1
xy x
xy x
x 1
P
1 : 1
xy 1 1 xy
xy 1
xy 1
a) Rút gọn P
b) Cho
1
1
6 , Tìm giá trị lớn nhất của P.
x
y
HD:
a) ĐK: x 0; y 0; xy 1
2
b) P =
1
1 1
1 1
1
.
9
xy
x y 4 x
y
Bài 5. Đề thi CVA& Amsterdam 1999 – 2000
x 3
x 2
x 2
x
Cho biểu thức: P =
: 1
x 1
x 2 3 x x 5 x 6
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
P
HD:
a) x 0; x 4; x 9 P =
x 1
x 2
b) x 0;1; 2;3
c)
1
3
3
1
1
2 Dấu "=" xảy ra khi x = 0.
P
0 1
x 1
2
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
Bài 6. Đề thi CVA& Amsterdam 2000 – 2001
2x 2 x x 1 x x 1
x
x x
x x
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
đúng một giá trị nguyên.
HD:
a) ĐK: x 0; x 1 : P =
2 x x 1
x
2
3 7
2 x
4 8
b) Cách 1: P - 5 =
0 P 5
x
1
2 4 1 5
x
Cách 2: P 2 x
c) Cách 1:
8
4 x
P x x 1
8 4
P 3
Do x 1 2 x nên
3 5
8
8
Z 1 x 3 x 1 0 x
P
P
2
Cách 2: Theo câu b) thì P > 5
Mà P =
2 x x 1
x
Từ (1) và (2) 0
>0
2
1 1
8 8
2 (1)
P 5
P 5
8
0 (2)
P
8
8
2
1
P
P
Bài 7. Đề thi CVA& Amsterdam 2001 – 2002
x 2
x 3
x 2
x
Cho biểu thức: P =
:2
x 3
x 1
x 5 x 6 2 x
3
8
chỉ nhận
P
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
1
5
.
P
2
HD:
a) x 0; x 4; x 9 ; P =
b)
x 1
x4
x 3 2 x 1 0 2 x 1 0 x 1
1
5
1 5
0
P 2
4
P
2
2 x 1
ĐS: 0 x
1
4
Bài 8: Đề thi CVA& Amsterdam 2002 – 2003
Cho biểu thức: P =
x 1
x2
x 1
x 1 x x 1 x x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
2
x.
P
HD:
a) x 0; x 1 : P =
x
x x 1
2
b) Q = … = -2 - x 2 2 2
x
Do đó maxQ = 2 2 2 khi x = 2
Bài 9: Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004
x2 x
2x x 2(x 1)
Cho biểu thức: P =
x x 1
x
x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P
4
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
HD:
a) x > 0; x 1 : P = x x 1
1
2
1
3
b) P x Dấu "=" xảy ra x =
2 4
4
c) Q =
2
1
x
1
x
Ta có x
1
1
2 x
1 1
x
x
2
2
1
x
1
x
Dấu "=" xảy ra x = 1 (không thoả mãn đk)
Vậy dấu "=" không xảy ra Q < 2 mặt khác Q > 0
Vậy 0 < Q < 2 mà Q nguyên nên Q = 1 x
73 5
2
Bài 10: ( Chu Văn An, Amterdam, HN:2004-2005 )
x 1
Cho biểu thức : P
x 1
x 1 1
x
2
x 1 2 x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
P
x
2
HD:
a) ) x > 0; x 1 : P =
1 x
x
Bài 11: Đề thi CVA& Amsterdam 2005 – 2006
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
x x 1 x x 1 x 1
x x
x x
x
b) Tìm x để P =
HD:
5
9
.
2
2
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
a) x > 0; x 1 :
P
2
x 1
x
9
2
b) P 2 x 5 x 2 0 x 4; x
1
4
Bài 12: Đề thi CVA& Amsterdam 2006 – 2007
Cho biểu thức: P =
a a 1
1
:
a 1 a 1
a 1
a 1
a3 a 2
a 2
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để
1
a 1
1
P
8
HD:
a) a > 0; a 1 : P =
a 2
a 2
a 1
a 1
a
a 1
:
a 1
a 1
2
a 3
1
a 1
b)
1
0 a = 9 (tmđk)
P
8
8 a 1
Bài 13: Đề thi CVA& Amsterdam 2008– 2009
Cho biểu thức P = 1
x
x
x
:
x 1 x x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 4
c) Tìm x để P =
13
3
HD:
ĐK: x > 0
a) P =
x x 1
x
b) P =
7
2
6
2 a
a 1
a 1
=
a 1
2 a
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
13
1
3 x 10 x 3 0 x = 9; x
3
9
c) P =
Bài 14: (Hà Tây 2003 - 2004)
Cho biểu thức: P
x2 x
2 x+ x 2( x 1)
x x 1
x
x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q
2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P
HD:
ĐK: x 0; x 1
a) P = x - x 1
2 x
c) Q =
x x 1
Ta có
2 x
2
x 1 0 (vì x 1 ) x -
x 1 x
0 < Q < 2 mà Q Z Q = 1
2
2 x
x x 1
x x 1
2 hay Q <2
=1 3 x =x+1
2
9x = (x + 1) x - 7x + 1 = 0
1
1
2
1
.
Bài 15: Cho biểu thức: P=
y x y x
x
1
:
y
a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất
HD:
a) ĐK: x > 0; y > 0
P=
x y
b) P =
xy
1
1
x
y
2
x. y
2
1
16
7
x3 y x x y y3
x 3 y xy 3
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
x
Dấu "=" xảy ra
y
x y 1
xy 16
a 1
Bài 16: Cho biểu thức P=
ab 1
a 1
ab a
ab a
1 :
1
ab 1
ab 1
ab 1
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P nếu a= 2 3 và b=
3 1
1 3
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4
HD:
1) P = - ab
3) 4 = a b 2
a . b ab 4 ab 4 P 4
Dấu "=" xảy ra a = b = 4
Bài 17: (ĐHSP Ngoại Ngữ 2001-2002)
3x 9x 3
1
1 1
P
=
:
Cho biểu thức
x x 2
x
1
x
2
x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
là số tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3 .
HD:
a) P = 3x + 2 x 1
b)
1
1
N
N
P
3x 2 x 1
3x + 2 x 1 là ước dương của 1 3x + 2 x 1 = 1
3x + 2 x 2 = 0
Bài 18: (Tốt nhiệp TPHN 2002 - 2003)
4 x
8x x 1
2
:
.
x
2 x 4 x x2 x
Cho P
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = 1.
8
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m x 3 P x 1 .
HD:
ĐK: x 0; x 1; x 4; x 9
4x
x 3
a) P =
b) P = -1 4 x x 3 0
Vì x > 0 x
x 1 4 x 3 0
9
16
c) Ta có m x 3 P x 1 m x 3 .
4x
x 1
x 3
m.4x > x + 1 x(4m - 1) > 1
Vì x > 9 > 0 nên 4m - 1 > 0 m
1
4m 1
nên suy ra x
Do đó
1
(1)
4
1
5
(thoả mãn (1))
9 m
4m 1
18
Bài 19: (Tốt nghiệp TPHN 2003 - 2004)
1 x 1 1 x
x
x x
Cho biểu thức: P = P x :
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P biết x
2
2 3
c) Tìm giá trị của x thoả mãn: P x 6 x 3 x 4
HD:
ĐK: x 0; x 1
a) P =
2
x 1
x
b) x ... 3 1
2
c) P x 6 x 3 x 4 ĐK: x 4
9
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
x4 x 4 x4 0
Vì
x 2
2
2
x 2 x4 0
x 2 0
x4
0; x 4 0 nên:
x 4 0
Bài 20: (Lớp 10 Kim Liên 1993-1994)
Cho P
x yy x
x xy y
x
x 1 y y 1
x y xy
; Q=
y y 1 x x
y xy y x
a) Chứng minh: P + Q = x 2 y xy 1
b) Cho x 2 y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P + Q.
HD:
ĐK: x, y 0
P x y 1;
Q
y xy
b) P + Q = x 2 y xy 1
Mà
x 2 y 6 nên P + Q = 5 -
xy
Từ ĐK x, y 0 ta có x ; 2 y không âm.
Áp dụng BĐT: (a + b)2 4ab ta có ( x 2 y ) 2 4. x .2 y xy
P + Q 5
9 1
2 2
Vậy min (P + Q) =
1
, đạt được khi
2
x 2 y 3 hay x = 9; y
Bài 21: (ĐH vinh 2007-2008)
x
1
Cho biểu thức P
4 4 x
a) Rút gọn P,
2
x 1
x 1
x 1
x 1
b) Tìm x để 2P + x
HD:
a) ĐK: x 0; x 1 P
b) 2P + x
1 x
4 x
5
4
10
5
4
9
4
9
2
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
2 x 5 x 2 0 x 4; x
1
(thoả mãn đk)
4
2 a a 1 2a a a a a a
2 a 1
1
a
1
a
a
Bài 22: Cho biểu thức: B = 1+
a) Rút gọn B
b) Cho B =
6
1 6
, tìm giá trị của a..
c) Chứng minh rằng: B >
2
3
HD:
Điều kiện để B có nghĩa là: a>0, a 1, a
1
4
a a a 1 a a a a a a a ( a 1)
2 a 1
1
a
1
a
a
a) Ta có: B = 1+
= 1+
2 a 1
= 1+
1 a
= 1+
= 1+
b) Khi B =
a 1 2 a 1
a
1 a
a 1 a a ( a 1)
1 a a
2 a 1
a 1
2 a 1
a a 1 a a 1
= 1+
1
1 a 1 a a 2 a 1
a
1 a a
6
1 6
ta có
a ( a 1)( 2 a 1) a a 1
1 a 1 a a 2 a 1
1 a a a
1 a a
1 a
1 a a
1 a a a a
a
1 a a
1 a
1 a a
6
1 6
1 6 a a 6 6 6. a a 6
a 6. a 1 0 a = 2 3
c) Ta có
2
a 1 0 a, a 1, a
a+1 > 2 a
a
1
4
a 1
3
a 1
2
a a 1 (a 1)
2
2
a a 1 3
2
1 3
2
(Do a a 1 a 0, a 0 ) B > (đpcm)
3
2 4
11
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
Bài 23: Cho biểu thức : A
x 1
x 1 3 x 1
(Với x 0; x 1)
x 1
x 1
x 1
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9
c) Tìm giá trị của x để A =
1
2
d) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
e) Tìm x để A < 1.
f) Tìm GTNN của A.
g) Tìm m để PT: m.A = x 2 có hai nghiệm phân biệt.
HD:
a) A =
2 x 1
x 1
b) A =
5
4
c) A =
1
x = 1 (loại)
2
d) A = 2
e) A < 1
3
x = 0; x = 4
x 1
2 x 1
x 1
x 2
0 mà
x 1
x 0 1 nên
x 20 x < 4
Kết hợp với ĐK x 0; x 1 ta được 0 x 4; x 1
f) A = 2
3
x 1
Ta có x 0 nên x 1 1 0
3
3 . Do đó A 1
x 1
Dấu "=" xảy ra x = 0
Vậy minA = -1 x = 0
g) m.A =
x 2 x 2m 1 x m 2 0 (1)
Đặt x t t 0 và 1
Ta được PT: t2 - (2m + 1)t + m - 2 = 0 (2)
PT (1) có nghiệm phân biệt PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1
12
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
2m 12 4 m 2 0
m 2 0
m2
2m 1 0
1 2m 1 m 2 0
x 4
Bài 24: Cho biểu thức P =
x
x 2
3 x 2
x
:
x 2
x
x 2
(với x 0; x 4)
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của P biết x = 6 2 5
c) Tìm giá trị của n để có x thoả mãn
x 1 .P x n
HD:
a) P = 1 x
(với x 0; x 4)
b) P = 2 5
c)
x 1 .P x n
x 1 1 x .P x n
2
1 5
x x n 1 0 x n
2 4
2
2
5
1
1
1
1
1
5
Vì x > 0 nên x do đó x n n n 1
2
4
4
2
x
1
4
4
1
4
2
Bài 25: Cho biểu thức: P
:
x 1 x x x 1 x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.
c) Tìm các số m để có giá trị của x thoả mãn: P. x m x
Bài 26: Cho biểu thức; P =
a (1 a ) 2
1 a
1 a 3
1 a3
:
a .
a
1 a
1 a
a) Rút gọn P
1
2
b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- )
13
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
x 4
Bài 27: Cho biểu thức : P =
x2 x
x 2
:
2 x
x
3
x 2
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
8
3 5
c) Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn ( x 1 ).P > x + n
2x 1
Bài 28: Cho biểu thức : A = 3
x 1
1 x x
: x
x x 1
1 x
x
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2 3
2
c) Xét dấu của tích A. 1 x
2 x 1
1 x 1
1
.
Bài 29: Cho biểu thức: A =
x 1 x 1
x
x x 1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x Z để A Z.
c) Xác định các giá trị nguyên của x để: (x – 1). A - 5 x = 1.
2x 1
x2
: 1
x x 1 1 x x x 1
Bài 30: Cho biểu thức : B =
1
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B. x = 4/5
x
Bài 31: Cho biểu thức : P 1 5 x 4 : 2 x
x 2 2 x x
x
x 2
a) Rút gọn P
b) Tìm m để có x thoả mãn : P mx x 2mx 1
14
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
Bài 32: Cho biểu thức :
x
B =
x 2
3
2 x
3 x 2 x 3
2 x
:
x 4 x 2 2 x x
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 5
c) Tìm x sao cho B.( x -1 ) = 3 x
Bài 33: Cho biểu thức P
3x 2 x 4
x 1
x 2
x x 2
x 2
x 1
a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P .
b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị của P khi x 4 2 3 .
HD:
P
3x 2 x 4
x 1
x 2
x x 2
x 2
x 1
3x 2 x 4
x 1
x 2
x 1
x 2
x 2
x 1
Điều kiện để biểu thức P có nghĩa: x 0, x 1
+ P
3 x 2 x 4 x 1 x 4
x 1
x 2
x 2 x 1
x 1
2
x 2
x 1
x 2
2
b) +Ta có: x 4 2 3 1 2 3 3 3 1 x 3 1 .
Khi đó: P
3
1
3 1
2
3 3 1 3
Bài 34: (Chuyên Ngữ ĐHQG HN: 2011-2012)
Cho biểu thức
3
3
1
1
2
1 1 x y xx y y
A
. :
y x y x y
x
xy 3 x 3 y
1)Rút gọn A
2) Tìm x ; y biết xy
1
;A5
36
HD:
15
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
x y
1) A
xy
A
x y
.
2
x y
. :
xy
x y
x y
x
xy y xy ( x y )
xy x y
2
.
xy
xy x y
x y
x y
x y
xy
5
theo GT
6
2) A 5 x y 5 xy x y
theo Viet đảo
xy
1
6
x; y là nghiệm dương của phương trình bậc 2
1
1
5
1
t 2 t 0 6t 2 5t 1 0 1 t1 ; t 2
2
3
6
6
1 1 1 1
vậy x; y ; ; ;
4 3 3 4
Bài 35: (HSG Vĩnh Phúc: 2011-2012)
Cho biểu thức P
x2 x
x 1
1 2x 2 x
x x 1 x x x x
x2 x
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
HD:
Điều kiện: x 0, x 1 . Khi đó ta có
Rút gọn biểu thức ta được P
x 2
x x 1
Ta có Px P 1 x P 2 0 , ta coi đây là phương trình bậc hai của
x . Nếu
P 0 x 2 0 vô lí, suy ra P 0 nên để tồn tại x thì phương trình trên có
2
P 1 4 P P 2 0
3P 2 6 P 1 0 P 2 2 P 1
4
4
2
P 1
3
3
2
Do P nguyên nên P 1 bằng 0 hoặc 1
2
+) Nếu P 1 0 P 1 x 1 thỏa mãn
2
P 2
P 2 2x x 0 x 0 .
P 0
+) Nếu P 1 1
Vậy các giá trị cần tìm của x là x 0 hoặc x 1 .
16
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
Bài 36: (HSG Hà Nam: 2011-2012)
x x2 2x
Cho biểu thức A
x x2 2 x
x x2 2 x
x x2 2 x
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm x để A 2 3 .
HD:
x2 2x 0
a) A xác định
2
2
x x 2 x 0; x x 2 x 0
x 2 2 x 0 x 2; x 0
x x 2 2 x 0; x x 2 2 x 0 x 0
Vậy A xác định x 2 và x 0
b) A
A
( x x 2 2 x )2 ( x x 2 2 x ) 2
( x x 2 2 x )( x x 2 2 x )
4 x x 2 2 x
2 x2 2x
2 x
c) A 2 3 2 x 2 2 x 2 3 x 2 2 x 3 0
3 x 1 . Kết hợp với ĐK xác định của A thì A 2 3 0 x 1
Bài 37: Cho A
2 x 4
x 3
x 7
x 2 x 3
x 1
x 1
a) Rút gọn A.
x 1
8
b) Tìm các giá trị của x để A
HD:
A
2
2 x 4
x 3
x 4
x 7
x 3
x 3
x 1
x 1
x 1 x 7
x 1
x 1
x 3
x 1
17
( x 0; x 1)
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
2x 2 x 4 x 7 x 4 x 3
=
x
x 3
A
b)
x 3
x 1
x x
x 1
8
x 3
x 1
x
x 3
x 1
8
x 1
x4 x 3 0
x 9
Đối chiếu điều kiện suy ra với x = 9 thì A
x 1
8
Bài 38: (Chuyên ĐHSP 2008-2009)
ab
b
a
:
a b a b b ab
ab a
ab
P
a b
2
2
Với a > 0 , b > 0 , a b .
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a và b sao cho b (a 1)2 và P = -1
HD:
a) P
ab
b
a
:
a b a b b ab
ab a
ab
:
a b
ab
ab
a b
a b
a b
2
b
b
a b
a b a ab b ab ab b ab a ab ab
:
a b
a b ab
a b 2 ab a b
:
a b a b ab
2
18
a b
a
a b
2
a
a b
2
a b
2
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
a b
a b
2
Nếu:
2
a b0
a b
a b
0
2
2
P
Nếu
a b 0abP a b
b)
a b 1 a
a 1
2
1
( vì b = (a+1)2
a a 1 1
a 1 a 0
Mà a> 0 1 a 0 a 1 b 4
Vậy a = 1 và b = 4 thì p = -1;
Bài 39: Cho biểu thức: A
3
8x
x2 3
2 3 x 3 x2 4
:
2
x
3
2 3 x
2 3 x
x 2 3 x2 2 3 x
Với x 8; x 8; x 0 . Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
HD:
3
8x
x2 3
2 3 x 3 x2 4
A
:2
x 3
2 3 x
2 3 x
x 2 3 x2 2 3 x
Đặt
3
x t
8 t3
t3
2t t 2 4
A
: 2
t
2 t
2 t t 2 t 2 2t
2 t 4 2t t
2
A
2t
2 t 4 2t t
2
A
A 2 t
2t
4 2t t 3 t 2 2t 2t t 2 t 2
:
t 2 t t 2
2
t
2t
t 2 2t 2t
.
4 2t t 3
t
t 2 2t 2t 2t t 2 t 2 2t 2t 2t
2
t
t
t
19
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
Vậy giá trị của A = 2 không phụ thuộc vào x.
6x 4
Bài 40: Cho biểu thức: A
3
3 3x 8
1 3 3x3
3x
3x
3 x 2 3x 4 1 3 x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
HD:
6x 4
1 3 3x3
3x
a) A
3x
3
3 3 x 8 3 x 2 3x 4 1 3 x
2
Ta có: 3x 2 3x 4 3x 1 3 0;1 3x 0, x 0 , nên điều kiện để A có
nghĩa là
A
3x
3
8
A
3x 3x 1 3x
3x 2 3x 1
3x 2 3x 2 3x 4
3x 4 2 3x
4
3
1 3x 3
3x
3 x
3
3 x 23 3 x 2 3 x 4 1 3 x
6x 4
6 x 4 3x 2 3x
A
3x 2 3x 2 3x 4
A
3 x 2 3 x 2 3 x 4 0, x 0 3 x 2 0 x
3x 1
2
4
3
(0 x )
3x 2
b) A
2
3x 1
2
3x 2 2
3x 2
3x 2 1
3x
3x 2
1
3x 2
Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 x 3 3 x 9
3 x 2 1
x 3 (vì x và x 0 ).
3x 1
3 x 1
Khi đó: A 4
Bài 41: Cho biểu thức.
x
6
1
10 x
: x 2
x 2
x 2
x x 4 x 3 x 6
A=
20
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm x sao cho A 2
HD:
x 0
a) Điều kiện:
x 4
x
6
1
10 x
: x 2
x 2
x 2
x x 4 x 3 x 6
A=
=
x
=
x
x 2
x 2
x 2 x 2 x 2
:
x 2 x 2
1 x 4 10 x
:
x 2
x 2
6
3 x 2
6
=
x 2
6
x 2
1
.
6
x 2 x 2
2 x
x 0
b) Với điều kiện:
(*)
x
4
Ta có A < 2
1
2
2 x
1
2 x 3
20
0
2 x
2 x
2 x 3 0
+ Trường hợp 1:
2 x 0
9
x
4x4
x 4
2 x 3 0
+ Trường hợp 2:
2 x 0
9
9
x
4x
4
x 4
9
0 x
Kết hợp với điều kiện (*), ta có giá trị x cần tìm là:
4
x 4
Bài 42: Cho biểu thức
1
x
x
:
.
x 1 x x
x
P=
1)Rút gọn P
2)Tính giá trị của P khi x = 4.
21
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
3)Tìm x để P =
13
3
HD:
1)Rút gọn P
x x 1
x 1
x x 1 x x
.
x ( x 1)
x
x x 1
P=
x
x x 1
x
2)Tính giá trị của P khi x=4.
x = 4 P
4 4 1 4 2 1 7
3,5
2
2
4
3)Tìm x để P=
13
3
13 x x 1
13 x 3( x x 1) 3 x 10 x 3 0
3
x
P
3 x 1
x 3 0 x1 9, x2
1
9
x
2 x
3x 9
, với x 0 và x 9.
x 3
x 3 x 9
Bài 43: Cho biểu thức : A =
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của x để A = -
1
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
HD:
a) A =
=
x
2 x
3x 9
x
2 x
3x 9
=
x 3
x 3 x9
x 3
x 3 ( x 3)( x 3)
x ( x 3) 2 x ( x 3) (3 x 9)
( x 3)( x 3)
=
x 3 x 2 x 6 x 3x 9
3 x 9
=
( x 3)( x 3)
( x 3)( x 3)
=
3
3( x 3)
=
x 3
( x 3)( x 3)
22
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
1
3
1
3
=
x 3 3
b) A=
x 3 =9
x =6 x=36 (thoả mãn điều kiện)
c)
x 3 3
3
3
=1 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1, khi x=0 (thoả mãn điều kiện)
x 3 3
1
1
x 3 3
Bài 44: (ĐHSPHN: 2012-2013)
a2 b2
ab
ab
với a b 1
a 2 b 2 a b a 2 b 2
ab ab
Cho biểu thức: P=
a) Rút gon P.
b) Biết a - b = 1. Tìm GTNN của P.
HD:
1
1
a2 b2
a2 b2
b
a b a b a 2 b2
a b ab
a) P= a b
b) Từ (gt) a = b + 1 và BĐT Cauchy, ta có
b 1
P
2
b2
b
1
1
2b 2 2 2b. 2 2 2 2
b
b
minP = 2 2 2 khi a 1
1
1
;b
2
2
Bài 45: Cho biểu thức. A
a b
2
4 ab
a b
a b b a
b với a > 0, b > 0
ab
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của b để giá trị của biểu thức A bằng 1.
HD:
A 2 bb
b) A = 1 b 2 b 1 0 b = 1 (thỏa mãn đk)
1 x 1
Bài 46: Cho biểu thức P x :
x
x
a) Rút gọn P
23
1 x
x x
Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu
b) Tính giá trị của P biết x
2
2 3
Bài 46: (Quảng Ninh 2013- 2014)
Cho biểu thức: P
x2
x 1
x 1
với x ≥ 0 và x ≠ 1
x x 1 x x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên.
HD:
a) P
x2
x 1
x 1
x x 1 x x 1 x 1
x2
x 1
x x 1 x x 1
x 1
x 1
x 1
x2
x 1
1
x x 1 x x 1
x 1
x2
( x 1)( x 1)
x x 1
( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1)
x 2 x 1 x x 1
x x
( x 1)( x x 1)
( x 1)( x x 1)
x ( x 1)
x
( x 1)( x x 1) x x 1
Vậy với x ≥ 0 và x ≠ 1, thì P =
x
x x 1
b) Đặt t x , ðk t 0
Ta có P
t
Pt 2 ( P 1)t P 0
t t 1
2
Đk có nghiệm (P 1) 2 4P 2 0 1 P
Do x 0 : x 1 nên 0 P
1
3
1
P nguyên P 0 tại x=0
3
24
