CONG THUC ON THI THPT

VI. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT
loga 1  0
a0  1

an 

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f NB trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.

1

log a ab  b

an

a .a  a

2. Cực đại, cực tiểu (CĐ, CT) của hàm số

a

Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a

aloga b  b

 a 



b

loga a  1

a a
1

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f ĐB trên I.

VIII. TÍCH PHÂN

loga (bc)  loga b  loga c



b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt CĐ tại x0.

a
a
   
b
b

b
log a    log a b  log a c
c

Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,

(ab)  a .b

loga b   loga b

(a )  a.

logb c 

log a c
log a b

log a b 

1
logb a

f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt CĐ tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt CT tại x0.
3. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
- Tính f (x).
- Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] .
- Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
- So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f ( x)  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a; b]

m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a; b]

4. Tiệm cận
 Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số
y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )  

x  x0 

x  x0 

x  x0 

x  x0 

 Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số
y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x)  y0 ;

x 

lim f ( x)  y0

x 

5. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò
của hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với
các trục toạ độ. Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ
chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.

GV: BÙI VĂN THANH – CƠNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt CT tại x0.

n

ab  n a .n b

n

a

b

n

ap  n a 

mn

n

a

log a

nb

1
c  log a c (  0)


ln b  loge b  e  2,718

p

lg b  log b  log10 b

a  mn a

a  b    log a b

 loga b   loga b

a M  a N   M  N  a  1  0

loga b    a  b

a  1: a  a    

loga b  loga c  b  c

0  a  1: a  a    

a  1: loga b  loga c  b  c
0  a  1: loga b  loga c  b  c

\

VII. NGUN HÀM

 0dx  C

a

 dx  x  C
x



dx 

x

dx 

x

a

 C (0  a  1)
ln a

 cos xdx  sin x  C

1

x
 C , (  1)
 1

 sin xdx   cos x  C
1

1

 x dx  ln x  C

 cos2 x dx  tan x  C

e

 sin 2 x dx   cot x  C

x

1

dx  e x  C
1

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
1
1
 cos2 ax  b dx  a tan  ax  b   C



1 ax b
e
C
a
1
1
 ax  b dx  a ln ax  b  C
1
1
 sin 2 ax  b dx   a cot  ax  b   C
 

e

ax  b

dx 

HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHĨ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CƠNG!

V. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Sự đồng biến, nghòch biến (ĐB, NB) của hàm số
Đònh lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

1. Định nghĩa:

b

 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) (F là ngun hàm của f)

a

2. Phƣơng pháp tính tích phân
b

u( b )

a

u( a )

a. Phương pháp đổi biến số:  f u( x ) .u '( x )dx 
Đặc biệt:
f(x) có chứa



f (u)du

Cách đổi biến

a2  x 2

x  a sin t, 





t
2
2


x  a tan t,   t 
2
2

a2  x 2
x 2  a2

x

  
a
, t   ;  \ 0
sin t
 2 2
b

b

b

b. Phương pháp tích phân từng phần:  udv  uv   vdu
a

a

a

b

Thường dùng cho tích phân có dạng: I   f ( x ).g( x )dx
a

du  f '( x )
u  f ( x )
Đặt: 

dv  g( x )dx v   g( x )dx  G( x )

Thứ tự ưu tiên đặt u: “ Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”
3. Ứng dụng của tích phân
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thò hàm số
y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Trục hoành; Hai đường thẳng x = a,
b

x = b là: S   f ( x ) dx
a

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thò của các
hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Hai đường thẳng
b

x =a, x = b là: S   f ( x )  g( x ) dx
a

Chú ý:Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò
tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn
[a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b



a

f ( x ) dx 

c

d

b

a

c

d

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
 Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Đồ thò hàm số y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi
b

quay quanh trục Ox là: V    f 2 ( x )dx .
a