Biểu diễn và xử lý các truy vấn trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ

Đại học quốc gia Hà Nội
Tr-ờng Đại học Công nghệ

Lê Xuân Tuấn

Biểu diễn và xử lý các truy vấn
trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ

Luận văn thạc sĩ

Hà Nội 2006


Đại học quốc gia Hà Nội
Tr-ờng Đại học Công nghệ

Lê Xuân Tuấn

Biểu diễn và xử lý các truy vấn
trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ
Ngành: Công nghệ thông tin
Mã số: 1.01.10

Luận văn thạc sĩ

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học

PGS. TS. Hồ Thuần

Hà Nội - 2006

Mục lục
Mục lục......................................................................................................... 3
Mở đầu........................................................................................................... 5
Ch-ơng 1. Khái quát về thông tin không chính xác và không
chắc chắn trong các hệ CSDL.......................................................... 9
1.1. Khái niệm về các thông tin không hoàn hảo ..................................... 9
1.1.1 Thông tin sai lệch ............................................................................. 9
1.1.2 Thông tin không chính xác .............................................................. 9
1.1.3 Thông tin không chắc chắn ............................................................ 10
1.2. Biểu diễn thông tin không hoàn hảo ..... Error! Bookmark not defined.
1.2.1 Các giá trị null và các giá trị tuyển Error! Bookmark not defined.
1.2.2 Các cơ sở dữ liệu xác suất .............. Error! Bookmark not defined.
1.2.3 CSDL mờ và CSDL khả năng ......... Error! Bookmark not defined.
1.3. Các thao tác xử lý thông tin không hoàn hảoError!
defined.

Bookmark

not

1.3.1 Các phép biến đổi (các câu hỏi) ..... Error! Bookmark not defined.
1.3.2 Các phép sửa đổi (cập nhật và cấu trúc lại)Error!
defined.

Bookmark

not

1.3.3 Các ph-ơng pháp xử lý thông tin không hoàn hảoError! Bookmark not

defined.
Ch-ơng 2. Các mô hình dữ liệu mờ và truy vấn mờ. Error!
Bookmark not defined.
2.1. Các mô hình dữ liệu mờ .......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.1 Cách tiếp cận dựa trên quan hệ mờ Error! Bookmark not defined.
2.1.2 Tiếp cận dựa trên sự t-ơng tự ......... Error! Bookmark not defined.
2.1.3 Tiếp cận trên cơ sở tính khả năng .. Error! Bookmark not defined.


2.1.4 Tiếp cận trên cơ sở khả năng mở rộngError! Bookmark not defined.
2.1.5 Các tiếp cận tổ hợp ......................... Error! Bookmark not defined.
2.2. Các truy vấn mờ ...................................... Error! Bookmark not defined.
2.3. Mô hình CSDL mờ dựa trên quan hệ t-ơng tựError!
defined.
2.4. Mô hình CSDL mờ dựa trên lý thuyết khả năngError!
defined.

Bookmark
Bookmark

not
not

Ch-ơng 3. CSDLQH mờ mở rộng và việc tính toán câu trả lời
cho các truy vấn ............... Error! Bookmark not defined.
3.1 Mở rộng mờ của các CSDL quan hệ ...... Error! Bookmark not defined.
3.1.1 Các mô hình CSDLQH mờ kinh điểnError! Bookmark not defined.
3.1.2 Các phép Chọn - Chiếu - Kết nối mờ kinh điểnError! Bookmark not
defined.
3.2 Cấu trúc logic của mô hình CSDLQH mờError! Bookmark not defined.

3.2.1 Lý thuyết quan hệ mờ mở rộng ...... Error! Bookmark not defined.
3.2.2 CSDLQH mờ mở rộng ................... Error! Bookmark not defined.
3.2.3 Quan hệ giống nhau mờ ................. Error! Bookmark not defined.
3.2.4 Các ràng buộc toàn vẹn trên CSDLQH mờ mở rộngError!
not defined.

Bookmark

3.3 Đánh giá chất l-ợng các câu trả lời ........ Error! Bookmark not defined.
3.3.1 Đánh giá độ không chắc chắn ........ Error! Bookmark not defined.
3.3.2 Đánh giá độ không chính xác ........ Error! Bookmark not defined.
3.3.3 Chất l-ợng cuối cùng của câu trả lờiError! Bookmark not defined.
3.4. Các phép Chọn - Chiếu - Kết nối mở rộngError! Bookmark not defined.
3.4.1 Phép Chọn mờ mở rộng.................. Error! Bookmark not defined.
3.4.2 Phép Chiếu mờ mở rộng ................. Error! Bookmark not defined.


3.4.3 PhÐp KÕt nèi mê më réng .............. Error! Bookmark not defined.
3.5 VÊn ®Ò d- thõa ......................................... Error! Bookmark not defined.
KÕt luËn chung ................... Error! Bookmark not defined.
Tµi liÖu tham kh¶o .............................................................................. 11


Mở đầu

Các hệ cơ sở dữ liệu (CSDL) kinh điển, phổ biến nhất là các hệ CSDL quan
hệ, hầu nh- không có khả năng biểu diễn và xử lý có hiệu quả các thông tin không
chính xác và không chắc chắn. Chẳng hạn, với câu hỏi: "Hãy cho biết họ tên các
nhân viên trẻ tuổi và có l-ơng khá cao ?" một hệ quản trị cơ sở dữ liệu kinh điển
d-ờng nh- không có cách gì để cho câu trả lời thoả đáng.

Mặt khác, chúng ta luôn phải đối mặt với một thực tế là sự hiểu biết của
chúng ta về thế giới thực th-ờng là không hoàn hảo và do đó việc duy trì tính toàn
vẹn của các CSDL luôn là một thách thức. Trong tình huống đó, để duy trì tính
toàn vẹn của các cơ sở dữ liệu, có hai giải pháp:
+ Hoặc là ta giới hạn mô hình ở phần của thế giới thực tại đó có đ-ợc thông
tin hoàn hảo (đầy đủ). Điều đó có nghĩa, trong mô hình dữ liệu quan hệ chẳng hạn,
các bộ ứng với các nhân viên không có đủ thông tin (thí dụ về tuổi hoặc mức l-ơng)
sẽ hoàn toàn bị loại (không có mặt trong cơ sở dữ liệu).
+ Hoặc là phát triển các mô hình dữ liệu cho phép biểu diễn, thao tác và xử
lý các thông tin không hoàn hảo.
Giả sử thông tin có đ-ợc về tuổi của một nhân viên là không chính xác, chỉ
biết là ở trong khoảng từ 30 tới 40. Nếu mô hình dữ liệu có khả năng đặc tả và thao
tác trên các khoảng thì loại thông tin không hoàn hảo đó có thể đ-ợc nắm bắt
trong một cơ sở dữ liệu mà vẫn duy trì tính toàn vẹn của nó. Vì giải pháp thứ hai
cho phép mở rộng các ứng dụng cơ sở dữ liệu nên phần lớn các hệ cơ sở dữ liệu đều
gắn kết với các mô hình dữ liệu có ít nhất một số đặc điểm nắm bắt thông tin
không hoàn hảo, trong đó đặc điểm chung nhất là khả năng l-u trữ các giá trị
null . Cơ sở dữ liệu quan hệ (CSDLQH) mờ là một mô hình dữ liệu rất tốt cho
việc biểu diễn, thao tác và xử lý các thông tin nh- thế.


Mặt khác, trong công nghệ CSDL thì biểu diễn, xử lý và tối -u hoá truy
vấn/câu hỏi luôn là một trong những thành phần then chốt nhất. Thành phần
này có trách nhiệm xử lý các câu hỏi của ng-ời dùng sao cho năng suất và hiệu
quả nhất. Nói cách khác, mục tiêu của việc xử lý và tối -u hoá câu truy vấn là
tìm ra những dữ liệu ng-ời dùng mong muốn từ cơ sở dữ liệu th-ờng là rất lớn
một cách hiệu quả với một độ chính xác chấp nhận đ-ợc.
Trong các hệ CSDLQH kinh điển, cả dữ liệu và các câu truy vấn của
ng-ời sử dụng đều đ-ợc giả sử là chính xác. Trong thực tế, điều giả sử này có
thể không đúng, nghĩa là có thể có sự không chính xác trong dữ liệu hay trong

các câu hỏi. Hãy xét dân số của một thành phố. Sẽ không thể biết đ-ợc con số
chính xác số dân c- ngụ trong thành phố tại một thời điểm cho tr-ớc. Thậm chí
ngay cả khi số dân đ-ợc xác định chính xác tại một thời điểm thì nó cũng sẽ
thay đổi vì các nguyên nhân nh- là sinh đẻ hay di c- T-ơng tự nh- thế, trọng
l-ợng của con ng-ời cũng là đại l-ợng thay đổi theo thời gian. Do vậy, việc
xuất hiện của các dữ liệu không chính xác trong CSDL là điều tự nhiên. Chúng
ta biết rằng ng-ời dùng thích đ-a ra những truy vấn không chính xác hơn là
những truy vấn chính xác. Thí dụ, họ muốn tìm tất cả những ng-ời bạn trẻ mà
không đ-a ra độ tuổi chính xác là bao nhiêu thì gọi là trẻ. Nhìn chung, ta có
thể gặp ba dạng không chính xác sau:
i. Truy vấn không chính xác nh-ng dữ liệu trong CSDL là chính xác.
ii. Truy vấn là chính xác nh-ng dữ liệu là không chính xác.
iii. Cả truy vấn và dữ liệu đều không chính xác.
Tóm lại, việc biểu diễn và xử lý các thông tin không chính xác và không
chắc chắn đã và đang là một đề tài thời sự và có ý nghĩa ứng dụng rõ rệt. Có
nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề nêu trên. Luận văn tập


trung vào cách tiếp cận sử dụng lý thuyết tập mờ với nội dung nhằm giải quyết
các vấn đề chủ yếu sau:
- Biểu diễn và xử lý các thông tin không chắc chắn và không chính xác
trong cơ sở dữ liệu quan hệ mờ.
- Mở rộng đại số quan hệ để xây dựng ngôn ngữ hỏi trên cơ sở dữ liệu
quan hệ mờ, tính toán và đánh giá chất l-ợng câu trả lời cho các truy vấn.
Để thực hiện mục tiêu trên, ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo, luận văn đ-ợc bố cục nh- sau:
Ch-ơng 1, trình bày khái quát về thông tin không chính xác và không
chắc chắn trong các hệ CSDL. Nội dung cụ thể của ch-ơng này gồm các khái
niệm ngắn gọn về thông tin không chính xác, không chắc chắn; cách biểu diễn
chúng trong cơ sở dữ liệu cũng nh- các thao tác xử lý (các phép biến đổi - các

câu hỏi và các phép sửa đổi - cập nhật và cấu trúc lại) trên những thông tin đó.
Ch-ơng 2 giới thiệu tổng quan về các mô hình dữ liệu mờ nhằm biểu diễn
các dữ liệu không chính xác, trong đó tập trung vào việc trình bày sâu, đầy đủ
hơn về các CSDL mờ dựa trên quan hệ t-ơng tự và CSDL mờ dựa trên lý thuyết
khả năng, đồng thời nghiên cứu về vấn đề xử lý các câu hỏi mờ t-ơng ứng.
Ch-ơng 3 đề xuất một cách mở rộng kiến trúc logic của cơ sở dữ liệu
quan hệ mờ nhằm đáp ứng một cách chặt chẽ hơn việc biểu diễn, xử lý các
thông tin không chắc chắn và không chính xác, cụ thể là biểu diễn và xử lý cả
các thông tin tuyển mờ (fuzzy disjunctive information). Trên cơ sở đó, ta dùng
thêm hai độ đo, độ "thoả" (satisfactory degree) và độ "phụ trợ" (extra degree),
nhằm xác định chất l-ợng các câu trả lời cho các câu truy vấn Chọn - Chiếu Kết nối (Select - Project - Join: SPJ). Các độ đo này sẽ xác định thông tin thoả
đáng đ-ợc cung cấp là bao nhiêu và thông tin chân lý (truth) đòi hỏi đối với
mỗi câu truy vấn là nhiều cỡ nào. Các câu trả lời vì thế mà bao gồm các câu trả


lời chắc chắn (sure answers) và các câu trả lời có thể/khả năng (maybe
answers). Quá trình đánh giá chất l-ợng các câu trả lời truy vấn cũng sẽ cho
thấy cách mà đại số quan hệ đ-ợc mở rộng, cụ thể đ-ợc trình bày trong ch-ơng
này là cách mở rộng các phép toán SPJ nhằm biểu diễn và xử lý một cách hiệu
quả các câu truy vấn trên CSDLQH mờ.

*
*

*

Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn khoa học, tận tình và
nghiêm khắc của thầy PGS. TS Hồ Thuần. Em xin đ-ợc bày tỏ niềm kính trọng
và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô, gia đình và các bạn bè, đồng nghiệp, những
ng-ời đã có nhiều giúp đỡ, đóng góp quý báu cho việc hoàn thiện luận văn

trong thời gian qua.


Ch-ơng 1.
Khái quát về thông tin không chính xác
và không chắc chắn trong các hệ CSDL

1.1. Khái niệm về các thông tin không hoàn hảo
Có thể liệt kê ra nhiều loại thông tin không hoàn hảo, bao gồm cả thông tin
mơ hồ và nhập nhằng. Đối với các hệ cơ sở dữ liệu, ta quan tâm tới ba loại thông tin
không hoàn hảo sau: [1].
1.1.1 Thông tin sai lệch
Thông tin sai lệch (Erroneous information) là loại thông tin không hoàn hảo
đơn giản nhất. Thông tin của cơ sở dữ liệu là sai lệch khi nó khác với "thông tin
thực"(1) (the true information).
Ta sẽ theo cách tiếp cận cho rằng mọi sai số lớn hay nhỏ đều làm ph-ơng hại
tính toàn vẹn của cơ sở dữ liệu và không dung thứ đ-ợc. Một loại thông tin sai
lệch quan trọng là sự không nhất quán. Đôi khi, cùng một khía cạnh của thế
giới thực đ-ợc biểu diễn nhiều lần, trong cùng một cơ sở dữ liệu hay trong
nhiều cơ sở dữ liệu khác nhau. Khi các biểu diễn đó là đối lập quyết liệt không
thể hoà hợp đ-ợc, thông tin là không nhất quán. Trong việc tích hợp thông tin
từ nhiều cơ sở dữ liệu khác nhau, các vấn đề về sự không nhất quán của thông
tin phải đ-ợc quan tâm thích đáng.
1.1.2 Thông tin không chính xác
Thông tin trong cơ sở dữ liệu là không chính xác khi nó ký hiệu một tập
các giá trị có thể, và giá trị thực là một phần tử của tập đó.

(1)

Còn gọi là thông tin đúng.

Nh- vậy, thông tin không chính xác không là thông tin sai lệch và không
làm ph-ơng hại tới tính toàn vẹn của cơ sở dữ liệu.
Sau đây là một số loại thông tin không chính xác đặc tr-ng:
- Thông tin tuyển, chẳng hạn, tuổi của Giang hoặc là 35 hoặc là 36.
- Thông tin âm, chẳng hạn, tuổi của Giang không là 30.
- Thông tin khoảng/miền, chẳng hạn tuổi của Giang nằm giữa 35 và 40,
hoặc tuổi của Giang là lớn hơn 35.
- Thông tin với các cận sai số, chẳng hạn tuổi của Giang là 30+1.
Hai loại thông tin không chính xác cực biên là thông tin chính xác (ứng
với tr-ờng hợp tập các giá trị có thể là tập một phần tử) và các giá trị null (đ-ợc
hiểu theo nghĩa là thông tin không chính xác, trong đó tập các giá trị có thể
bao gồm toàn bộ miền các giá trị hợp lệ).
1.1.3 Thông tin không chắc chắn
Đôi khi, tri thức của chúng ta về thế giới thực (chính xác hay không
chính xác) không thể đ-ợc phát biểu với niềm tin tuyệt đối, và đòi hỏi ta phải
xác định niềm tin về thông tin đ-ợc phát biểu. Thông tin với độ chắc chắn nhất
định cũng không là thông tin sai lệch và không làm ph-ơng hại tới tính nhất
quán của cơ sở dữ liệu.
Trong khi phát biểu "tuổi của Giang hoặc là 35 hoặc là 36" thể hiện tính
không chính xác, phát biểu "tuổi của Giang có khả năng là 35" lại thể hiện tính
không chắc chắn.
Đôi khi, một giá trị chính xác có thể kéo theo sự kém chắc chắn, nh-ng
chừng nào giá trị đó đ-ợc thay thế bằng các giá trị càng dần kém chính xác thì
độ chắc chắn sẽ tăng dần và cuối cùng đạt cực đại với một giá trị có độ "chính
xác cực tiểu" (một giá trị null chẳng hạn).


Tµi liÖu tham kh¶o

TiÕng Anh
1.

A.Motro, Imprecision and uncertainty in database systems; In P. Bose
and J.Kacprzyk, editors, Fuzziness in database management systems,
Physica, Verlag, 1995.

2.

E.F.Codd, Extending the database relational model to capture more
meaning, ACM Transactions on database systems, 4(A), December 1979.

3.

C.J.Date, NOT is not "not"! In Relational database writings 1985 -1989,
Additson Wesley, Reading, Massachusetts, 1990.

4.

S.Abiteboul and G.Grahne, Update semantics for incomplete databases, In
Proceedings of the 11 th International Comference on very large data bases,
1985.

5.

T.Imielinski, Incomplete information
Engineering, 12(2), June 1989.

6.

D.Barbara, H.Garcia - Molina, and D.Porter, The management of
probabilistic data, IEEE Transactions on Knowledge and Data
Engineering, 4(5), October 1992.

7.

B.P. Buckles and F.E.Petry, A fuzzy representation of data for relational
databases. Fuzzy sets and systems, 7(3), May 1982.

8.

D.Dubois and H.Prade, Possibility theory: An approach to computerized
processing of Uncertainty, Plenum Press, New York,
1988.

9.

H. Prade and C.Testemale, Generalizing database relational algebra for
the treatment of incomplete information and vague
queries,
Information Sciences, 34(2), 1984.

in

logical

databases,

Data

10. P.Bosc and H .Prade, An introduction to fuzzy set and possibility theory based approaches to the treatment of uncertainty andimprecision in
database management systems, In A.Motro and P.Smets, editors,
Proceeding of the Workshop on Uncertainty management in information
systems: From needs to solutions, 1993.
11. A.Motro, Intensional answers to database queries, IEEETransactions on
Knowledge and data Engineering, 6(3), June 1994.


12. E. Kerre and G.Chen, An overview of fuzzy data models, In P.Bosc and J.
Kacprzyk, editors, Fuzziness in Database Management Systems, Physica Verlag, 1995.
13. A. Zvieli, A fuzzy relational calculus, In: L.Kerschberg, eds, Expert
Database Systems, Proceedings of 1st International conference, April 1 -4,
South Carolina, USA, 1986.
14. J.Kacprzyk and A.Ziolkowski, Database queries with fuzzy linguistic
quantifiers, IEEE Trans. on Sys. Man. and Cybern, 16, 1986.
15. L.A. Zadeh, The role of fuzzy logic in the management of uncertainty in
expert systems, Fuzzy sets and Systems, 11, 1983
16. P.Bose, M.Galibourg, Hamon G., Fuzzy querying with SQL extensions and
implementation aspects, Fuzzy sets and systems, Vol.28, 1988.
17. P.Bosc, O. Pivert, About equivalents in SQLf: a relational language
supporting imprecise querying, Proceeding of International Fuzzy
Engineering Symposium, Yokohama (Japan), 1991.
18. R.R. Yager, General multiple - objective decision functions and
linguistically quantified statements, Int. J. Man - Machine studies, Vol
2, 1984.
19. Yager, On ordered weighted average aggregation operators in
multicriteria decision making, IEEE Trans. on Systems, Man and
Cybernetics, Vol. 18, No.1, 1988.
20. F. Petry, P.Bosc ,Fuzzy databases : Principles and Applications

Kluwer, Norwell, MA, 1996 .
21. H.Thuan, T.T.Thanh, Fuzzy functional dependencies with linguistic
Quantifiers, J.of Informatics and Cybernetics, vol.18(2), 2002.
22. H.Thuan, H.C.Ha, An approach to extending the relational database model
for handling incomplete information and data dependencies, J. of Informatics
and Cybernetiecs, vol.17(3), 2001.
23. Codd EF, A relational model of data for large shared data banks. Commun
ACM 1970; 13: 377-387.
24. Dubois D, Prade H. Possibility theory: An approach to computerized
processing of uncertainty. New York: Plenum Press; 1986.
25. Lipski W. On database with incomplete information. J ACM 1981; 28: 41-70.
26. Lipski W. On semantic issues connected with incomplete information
databases. ACM Trans Database Syst 1981; 3: 262-296.


27. Reiter R. Towards a logical reconstruction of relational database theory. In:
Brodie ML, Mylopoulos J, Schmidt JW, editors. On conceptual modeling:
Perspectives from artificial intelligence, databases, and programming
languages. Berlin: Springer Verlag; 1984. pp 191-223.
28. Imielinski T, Lipski W. Incomlete information in relational databases. J ACM
1984; 31: 761-791.
29. Liu KC, Sunderraman R. Indefinite and maybe information in relational
databases. ACM Trans Database Syst 1990; 15: 1-39.
30. Zadeh LA. Fuzzy sets and as a basis for theory of posibility. Fuzzy set Syst
1978; 1: 3-28.
31. Zadeh LA. PRUF - A meaning representation language for natural language.
Int J Man Mach Stud 1978; 10: 395-460.
32. Buckles BP, Petry FE. A fuzzy representation of data for relational databases.
Fuzzy Set Syst 1982; 7: 213-226.
33. Buckles BP, Petry FE. Information-theoretical characterization of fuzzy

relational databases. IEEE Trans Syst Man Cybern 1983; 13: 72-77.
34. Ma ZM, Mili F. Handling fuzzy information in extended posibility-based fuzzy
relational databases. Int J Intell Syst 2002; 17: 925-942.
35. Prade H, Testemale C. Generalizing database relational algebra for treatment
of incomplete or uncertain information and vague queries. Inform Sci 1984;
34: 115-143.
36. Raiju KVSVN, Majumdar AK. Fuzzy functional dependencies and lossless
join decomposition on fuzzy relational database systems. ACM Trans
Database Syst 1988; 13: 129-166.
37. Shenoi S, Melton A. An extended version of the fuzzy relational database
model. Inform Sci 1990; 52: 35-52.
38. Hsieh NC, Chiang DA, Chiang RCT. Measuring the quality of queries in the
fuzzy relational databases. Int J Intell Syst 2001; 16: 191-208.
39. Vila MA, Cubero JC, Medina JM, Pons O. On the use of logical definition of
fuzzy relational database. In: Proc 2nd IEEE Int Conf on Fuzzy Systems, San
Francisco; 1993.
40. Yang JD. Implicit predicates for handling disjunctive fuzzy information in
fuzzy database. Int J Intell Syst 2002; 17: 1085-1100.
41. Dubois D, Prade H. The treatment of uncertainty in knowledge-based systems
using fuzzy set and possibility theory. Int J Intell Syst 1988; 3: 141-165.


42. Medina JM et al. Toward the implimentation of a generalized fuzzy relational
database model. Fuzzy Set Syst 1995; 75: 273-289.
43. Prade H. Lipski's approach to incomplete information database restated and
generalized in the setting of Zadeh's possibility theory. Inform Syst 1984; 9:
27-42.
44. Hsieh NC. Handling indefinite and maybe information in logical fuzzy
relational databases. Int J Intell Syst 2004; 19: 257-276.
45. Zemankova M, Kandel A. Implementing impricise in information systems.

Inform Sci 1985; 37: 107-141.
46. De Luca D, Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy in the
setting of fuzzy set theory. Inform Contr 1972; 20: 301-312.
47. Yager R. On the measure of fuzzyness and negation part I: Memebership in
the unit interval. Int J Gen Syst 1979; 5: 221-229.
48. Morrissey JM. Imprecise information and uncertainty in information systems.
ACM Trans Inform Syst 1990; 8: 159-180.
49. Zadeh LA. Fuzzy sets. In: Belzer J, Holzman A, Kenit A, editors.
Encyclopedia of computer science and technology. New York: Marcel
Dekker; 1877, pp 325-351.
50. Keller AM, Winslett MW. On the use of an extended relational model to
handle changing incomplete information. IEEE Trans Softw Eng 1985; 11:
620-633.
51. Saxena PC, Tyagi BK. Fuzzy functional dependencies and independencies in
extended fuzzy relational database model. Fuzzy Set Syst 1995; 69: 65-89.
52. Yazici A, Gocmen E, Buckles BP, George R, Petry FE. An integrity constraint
for a fuzzy relational database. In: Proc IEEE Int Conf on Fuzzy Systems, San
Francisco; 1993.