CÔNG THỨC GIẢI NHANH THƯỜNG gặp PHẦN THỂ TÍCH

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Hình vẽ

CT 1. Cho hình chóp SABC với
các mặt phẳng  SAB  ,  SBC 

SAC 

Thể tích

A

vuông góc với nhau từng

đôi một, diện tích các tam giác
SAB, SBC , SAC
lần lượt là
S1 ,S 2 ,S 3 .

2S1 .S 2 .S 3

VS. ABC 

S
C

3

B

CT 2. Cho hình chóp S.ABC có
SA vuông góc với  ABC  , hai
mặt phẳng

SAB

và

S

SBC 
VS. ABC

vuông góc với nhau, BSC   ,

C

A

ASB   .

SB3 .sin 2 .tan  .

12

B

CT 3. Cho hình chóp đều
S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng b .

a2 3b2  a2
VS. ABC 
12
Khi a  b được tứ diện đều

VS. ABC 

S

CT 4. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng đáy
góc  .
CT 5. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh bên bằng
b và cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc  .
CT 6. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc  .

VS. ABC 

C

A
G

M

VS. ABC 

a3 2
12

a3 tan 
24

3b3 .sin  cos 2 
4

B
VS. ABC

a3 .tan 

12


CT 7. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng a, và
SA  SB  SC  SD  b .

VS. ABC

a 2 4b 2  2 a 2


6

Khi chóp tứ giác có tất cả

S

các cạnh bằng a thì
VS. ABC 

CT 8. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là 
CT 9. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
  
SAB   , với    ;  .
4 2

A

D

B

C

VS. ABCD 

CT 10. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có các cạnh bên
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và
 
mặt đáy là  với    0;  .
 2

a3 tan 2   1
.
6

4a3 .tan 

VS. ABCD 
3

CT 11. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A
song song với BC và vuông góc
với  SBC  , góc giữa  P  với mặt

a3 .tan 
.
6

VS. ABCD 

M

O

a3 2
6

 2  tan  
2

S
F

VS. ABCD 

N
A

E

C

x
G

phẳng đáy là  .
B

M

a3 cot 
.

24

3


CT 12. Khối tám mặt đều có
đỉnh là tâm các mặt của hình lập
phương cạnh a

A'

B'
O'

D'
O1

C'

V

O2

O4
O3

A

a3
.

6

B
O

D

CT 13. Cho khối tám mặt
đều cạnh a. Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập
phương

C

S
3

G2
D

A G1

a 2
2a3 2
V 


 3 
27




N

M
C

B

S'

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC  , SAC  vuông góc với

CT 1.

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S1 ,S 2 ,S 3 . Thể tích khối chóp SABC
là: VS. ABC 

2S1 .S 2 .S 3
3

Lời giải

A

1
1
AS  SBC   VSABC  .SSBC .SA  SA.SB.SC
3

6
1
1

SA2 .SB2 .SC 2 
SA.SB.SB.SC.SA.SC
6
6
2S1 .S2 .S3
1

2S1 .2S2 .2S3 
6
3

S
C

B

Áp dụng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC  , SAC  vuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là 15cm2 ,20cm2 ,18cm2 Thể tích khối
chóp SABC là
A. a3 20.
VABCD 

2S1 .S2 .S3
3

B.

a 3 20
.
3

 a3 20  Chọn đáp án A.

C.

a3 20
.
2

D.

a3 20
.
6


CT 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng

SAB và SBC  vuông
VS. ABC 

góc với nhau,

BSC   , ASB   .

Thể tích khối chóp SABC là

SB3 .sin 2.tan .
12

Lời giải
+ SAB vuông tại A có : AB  SB.sin  , SA  SB.cos 
+ SBC vuông tại B có :
1
1
BC  SB.tan   SABC  AB.BC  .SB2 .sin  .tan 
2
2
1
1 1
VS. ABC  .SABC .SA  . .SB2 .sin  .tan  .SB.cos 
3
3 2
3
SB .sin 2 .tan  .

12

S

C

A

B

Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB  và

SBC  vuông góc với nhau, SB  a

3 , BSC  45o , ASB  30o . Thể tích khối chóp SABC là

a3 6
.
B.
8

3a 3
A.
.
8

a3 2
.
C.
2

a3 3
.
D.
6

SB3 .sin 2 .tan  3a3
VS. ABC 

 Chọn đáp án A.

12
8
CT 3. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b . Thể tích khối chóp S.ABC là

a2 3b2  a2
12
S

Lời giải

Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 

a 3
a 3
 AG 
2
3
SGA vuông tại G có:

ABC đều  AM 

a2
3b2  a2
SG  SA  AG  b 

3
3
2

2

G

2

1
1 a2 3 3b2  a2 a2 3b2  a2
.

Vậy VSABC  .SABC .SG  .
3
3 4
3
12
Khi a  b  VSABC 

C

A

a3 2
12

B

M


Áp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng a . Thể tích khối chóp S.ABC là

a3 3
a3 2
a3 2
a3 3
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
24
12
24
12
 Chọn đáp án B.
CT 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc  . Thể tích khối chóp S.ABC là

a3 3
.
A.
48
Lời giải

a 3 tan 
24

a3 3
.
C.
24

a3
B.
.
24

D.

a3
.
12

S

a2 3
4
+ Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 
+ ABC đều  SABC 





 SBC  ,  ABC   SMG  
G

1
a 3.tan 
SG  GM.tan SMG  .AM tan  
3
6
Vậy VSABC

C

A

Xét SGM vuông tại G có :

M

B

1
1 a2 3 a 3.tan  a3 tan 
 .SABC .SG  .
.

3
3 4
6
24

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC là

a3 3
.
A.
48
VSABC 

a3
B.
.
24

a3 3
.
C.
24

a3
D.
.
12

a3 tan  a3 3

 Chọn đáp án C.
24
24

CT 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng
đáy góc  . Thể tích khối chóp S.ABC là

3b3 .sin  cos 2 
4


Lời giải

S

+ Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 
Xét SGA vuông tại G có:
SG  SA.sin   b.sin 
3
3b.cos 
AG  SA.cos   AM  AG 
2
2

 SABC 
Vậy VSABC



C

A

3
AB
+ ABC đều  AM 

2
2
 AB 
AM  3b.cos 
3

G

M

B



2
AB2 3
3 3 3b2 cos 2 
 3b.cos 

4
4
4
3
2
1
3b .sin  cos 
 .SABC .SG 
3
4

CT 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với
a3 .tan 
12

mặt phẳng đáy góc  . Thể tích khối chóp S.ABC là
Lời giải

S

+ Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 
Xét SGA vuông tại G có :
2
 SG  AG.tan   AM.tan 
3
+ ABC đều  AM 

3
AB
2

C

A
G

2 3
a 3.tan 
 SG  .
AB.tan  
3 2

3

M

B

1
1 a2 3 a 3.tan  a3 .tan 
.

Vậy VSABC  .SABC .SG 
3
3 4
3
12
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là

A.

VSABC 

a3
.
48

B.

a3
.

24

a3 tan  a3 3

.  Chọn đáp án D.
12
36

C.

a3 3
.
24

D.

a3 3
.
36


CT 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

a 2 4b 2  2 a 2
và SA  SB  SC  SD  b . Thể tích khối chóp S.ABCD là
6
Lời giải

S

AC  BD  O  SO   ABCD 
Gọi M là trung điểm AB.

 SM 2  SA2  AM 2  b2 

SOM vuông tại O có:

a2
4

D

a2 a2
4b 2  2 a 2
SO  SM 2  OM 2  b2  

4 4
2

M

O

1
a 2 4b 2  2 a 2
Vậy VSABCD  .SABCD .SO 
3
6
Khi SA  SB  SC  SD  a  VSABCD 

A

C

B

a3 2
.
6

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
và SA  SB  SC  SD  a . Thể tích khối chóp S.ABCD là

a3 6
.
6
 Chọn đáp án C.
A.

CT 8.

B.

a3 2
.
2

C.

a3 2

.
6

D.

a3 3
.
3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt

bên và mặt phẳng đáy là  . Thể tích khối chóp S.ABCD là
Lời giải

AC  BD  O  SO   ABCD 

a3 .tan 
.
6

S

Gọi M là trung điểm CD





 SCD  ,  ABCD   SMO  
+ Tam giác SOM vuông tại O có:

A
D
a
SO  OM.tan SMO  .tan 
2
M
O
1
1 2 a
a3 tan 
VSABCD  .SABCD .SO  .a . .tan  
B
C
3
3
2
6
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng
đáy là 450 . Thể tích khối chóp S.ABCD là


a3 3
.
B.
6

a3
A.
.
12

VSABCD 

a3 6
.
C.
2

a3
D.
.
6

a3 tan  a3

 Chọn đáp án D.
6
6

CT 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB   , với

  
a3 tan 2   1
   ;  . Thể tích khối chóp S.ABCD là
.
4 2
6


Lời giải

S

AC  BD  O  SO   ABCD 
Gọi M là trung điểm AB.
SMA vuông tại M có:
a.tan 
 SM  AM.tan SAB 
2
SOM vuông tại O có:

D
2

 a.tan    a 
SO  SM  OM  
  
 2  2
a

tan 2   1
2
2

2

A
M

O

2

C

B

1
1
a
a3 tan 2   1
VSABCD  .SABCD .SO  .a2 .
tan 2   1 
3
3
2
6
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB  600 . Thể tích khối chóp
S.ABCD là
A.

VSABCD 

a3 2
.
12

B.

a3 2
.

6

C.

a3 tan 2   1 a3 2

 Chọn đáp án B.
6
6

a3 6
.
2

D.

a3
.
6


CT 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt

 
bên và mặt đáy là  với    0;  . Thể tích khối chóp S.ABCD là
 2
Lời giải

4a 3 .tan 
3

 2  tan  
2

3

S

AC  BD  O  SO   ABCD 
Gọi M là trung điểm CD





 SCD  ,  ABCD   SMO  600
Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x
+ Tam giác SMC vuông tại M có:
x2
SM  SC  CM  a 
4
+ Tam giác SOM vuông tại O có:
2

2

A

D
M

O

2

B

C

x
x2
x2  2 x2 
1
x2
  cos  . a2 

  a   cos2 
OM  SM.cos SMO  . a2 
2
4
2 
4 
2
4
1
4a2 .
2
2
2
4a cos 

4a2
2a
4a2
2
1

tan

x 


x
 SABCD 
2
1
1  cos 2 
2  tan 2 
2  tan 2 
2

tan

1
1  tan 2 
x
a.tan 
Ta có: SO  OM.tan SMO  .tan  
2
2  tan 2 

1
1
4a2
a.tan 
4a3 .tan 
VSABCD  .SABCD .SO  .
.

3
3 2  tan 2  2  tan 2 
3 2  tan 2 





3

CT 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A song
song với BC và vuông góc với  SBC  , góc giữa  P  với mặt phẳng đáy là  . Thể tích khối chóp S.ABC
là

a3 cot 
.
24


Lời giải

S

+ ABC đều  SABC 

a

2

3
F

4
+ Gọi G là trọng tâm ABC  SG   ABC 

N

+ Gọi  P   SBC   EF  EF / / BC

A

  P   SBC   Ax với Ax / / EF / / BC

E

C

x
G

+ Gọi M là trung điểm của BC, SM  EF  N
Ta có: AM  BC , SG  BC

 BC  SAM   AN  BC  AN  Ax

M

B

Mà AM  BC , BC / / Ax  AM  Ax





  P  ,  ABC   NAM  
Ta có: GSM  NAM   (cùng phụ với SMA )
Xét SGM vuông tại G có :

1 a 3
a 3.cot 
1
.cot  
SG  GM.cot GSM  .AM cot   SG  .
3 2
6
3
1
1 a2 3 a 3.cot  a3 cot 
.

Vậy VSABC  .SABC .SG  .
3

3 4
6
24
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A song
song với BC và vuông góc với  SBC  , góc giữa  P  với mặt phẳng đáy là 30 0 . Thể tích khối chóp
S.ABC là:
A.

a3 3
24

Áp dụng bài này: VSABC

B.

a3 3
8

C.

a3
8

a3 cot 300 a3 3


 Chọn đáp án A
24
24

D.

3a 3
8


CT 12. Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể
tích là
A.

a3
.
12

B.

a3 3
.
4

C.

a3
.
6

Lời giải

D.

a3 3
.
2

A'

B'
O'

2

2
BD a 2
a

 SO1O2O3O4   O2O3   .
2
2
2
OO ' a

Chiều cao khối chóp O1O2O3O4 là h 
2
2

+ O2O3 

D'
O1

O2

O4

2

 VOO1O2O3O4O '  2VOO1O2O3O4

C'

1  a  a a3
 2. .   . 
3  2  2 12

A

O3

B
O

 Chọn đáp án C.

D

C

CT 13. Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích
a3
bằng V. Tỷ số

gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
V
A. 9, 5.
B. 7,8.
C. 15,6.
D. 22,6.
Lời giải
+ G1G2 

S

2
1
a 2
MN  BD 
3
3
3
3

G2

a 2
2a3 2
+ V 

 3 
27



a3 27 2
 
 9, 5  Chọn đáp án A.
V
4

D

A G1
N

M
C

B

S'

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và
mặt phẳng đáy là  . Mặt phẳng  P  qua AC và vuông góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp

S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là

V1
 cos 2 
V2

Lời giải:
Ta có:

S

SD  SN 2  ND2  ON 2 .

1
2

cos SNO

 ND 2
M

a
1
a
1 
cos 2   1 Ta có :
2
2 cos 
2.cos 
1
1
SSCD  CM.SD  SN.CD
2
2


SN.CD
 CM 

SD

a 1
.a
2 cos 
a
cos 2   1
2.cos 

 DM  CD2  CM 2  a2 



A

D
N

O
B

C

a
1  cos 2 

a2

a.cos 

2
1  cos 
1  cos 2 
a.cos 

VMACD
V
1 DM DA DC 1 DM 1
 MACD  .
.
.
 .

VSABCD 2.VSACD 2 DS DA DC 2 DS 2

 VMACD 

1  cos 2 
a
1  cos 2 
2.cos 



cos 2 
1  cos 2 



V
cos2 
cos2  
1
V

V

1

VSABCD Vậy MACD  cos 2 

 VSABCD 
SABCD
SABCM
2
2
2
VSABCM
1  cos 
1  cos 
 1  cos  