KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết
trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay
và khó nhất trong đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để
làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường
dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều
phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán
cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.
Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư
tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số
cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua
ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài
toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình.
Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn
rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và
tìm GTLN, GTNN.
1. Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.
Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm cực trị để tìm mối quan hệ giữ chúng rồi
tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát.

nhất của biểu thức:
=2

+

−3
Cao đẳng khối A, B –

-

+

-

=

+

+

−2

= 2 ta có:

+

=2

=

+

+

−

− +

−

3
=2

+

2−

−3

- Từ giả thiết: + −2 =2⇒ =
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt: =

+

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: + ≥

Ta có:
=2

+

−

+

−3

=2 + 2− −3
Ta có: =

, vì thế sau khi đặt = + , thì
=2

Ta có: + ≥

−2
2

2−

−2
−3

3
2

=−

−

+6 +3

2

⇒ + ≤ 4 ⇒ −2 ≤ ≤ 2

Xét hàm số: =− − + 6 + 3 với −2 ≤ ≤ 2
Ta có:

= −3 −3 +6

Ta có bảng biến thiên
t

-2

1

1
Vậy:

P’ t
max

;

min

;

=
=

1=

khi
−2 ;

√

=

√

=
=

;

=

;

=

√
√

−7; 1 = −7 khi

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

=

= −1

2


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

thức:
=4

+3

4

+3

+ 25
Đại học khối D –

-

+ = +

− +
= 16

−2

+ 12

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt:
=
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0 ≤ ≤

Ta có: = 4 +3 4 +3 + 25 = 16 + 12 + + 34
= 16

+ 12

+

= 16 + 12 + −3 + 34

= 16

−2

−

+ 34

+ =1

+ 12

Đặt xy = t. Ta có: do ≥ 0, ≥0 ê 0≤ ≤

+

+

=1

= ⇒ 0≤ ≤

Xét hàm số: = 16 − 2 + 12 với 0 ≤ ≤ . Ta có:

= 32 − 2

Bảng biến thiên
t

0

ft

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

3


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Vậy: min

=

;

max ;

=

=

√

=

khi

=

;

=

√

=

=

0;

;

12;

Gv Thái Văn Duẩn

√
√

khi

=

=3 + + −2 + +1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện: +

=

=

+ 4 ≥ 2.
Đại học khối B –

+
+ = +
+

=

+

−2

− +

≥4

≥1

- Ta biến đổi được A như sau:
=3 + +

−2 + +1
+ +

≥ + +

+ −2 + +1

−2 + +1
+ ≥

hay

≥

+ −2 + +1

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được
+
-

+

≥

Theo bất đẳng thức hiển nhiên: + ≥4 , nên từ
+

+4

≥2⇒

+

+

+

≥

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

+

+4

≥2

4


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

⇒ + + + ≥2
⇒ x+y -1

+

Gv Thái Văn Duẩn

+

+

+2 ≥0

⇒ x+y - 1≥ 0
do

+

+

+

+2=

+

+

+ > 0, ∀ ,

Bài toán được đưa về tìm min, max của:
=3
+
+

−2

+

+1

với x, y thoả mãn: x+y ≥ 1.
Ta biến đổi A như sau:
+1

=3 + + −2 +
=

+ +

+ −2 +

≥ + +

+1
+1

−2 +

do + ≥
hay

≥

Vì + ≥
Đặt =

+

−2

+

+1

do x+y ≥ 1 nên + ≥
+

Ta có: = − 2 + 1 với ≥
=

⇒

−2

Ta có bảng biến thiên:
t

f’ t
+∞
Vậy min

=

=

xẩy ra khi t =

Suy ra ≥ . Mặt khác ta dễ thấy = = thì =

Tóm lại: minA = khi = =
Thí dụ 4: Cho hai số thực x, y khác 0 thay đổi thoả mãn điều kiện:

+

=

+

−

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

5


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

=

Gv Thái Văn Duẩn

1 1
+
Đại học khối A – 2006

=

-

ty ⟹ =

-

+ + −+ + 1
=

=

= +

;= =

Từ giả thiết, ta có:
1
1
= + =
=

+

+
= +

=

−

+

+

1

1

Đặt: =
từ giả thiết
do đó: =

+

=

+

−

⟹

+1

=

− +1

;= =

Từ đó
1
= + =
Xét hàm số:
=

+2 +1
− +1

1

+2 +1
− +1

ó
− +1

=

−3

+3

Ta có bảng biến thiên:
t

−∞

-1

1
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

f’ t

6


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1

Gv Thái Văn Duẩn

4

ft

0

1
Vậy: GTLN của A là:

1 = 16 khi

=

=.

2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.
cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán
biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được
Sơ đồ tổng quát
• Bước 1: Xem P x, y, z là hàm theo biến x, còn y, z la hằng số. Khảo sát
,, ≥ , ặ ,, ≤ ,
• Bước 2: Xem g y, z là hàm biến y, còn z là hằng số. Khảo sát hàm nàyy với
điều kiện T. Ta được , ≥
ặ , ≤
• Bước 3: Cuối cùng Khảo sát hàm một biến h z với điều kiện T tìm min,

ặ

,, ≥ , ≥ ≥
≤
, ≤

,,

≤

nhất của biểu thức:
=

2 +3

+

+

+

+

2011
-

,

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

7


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Ta có:
+

+

= 2 +3 +

+

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số.
−
= + + +

=

−
+

≥

Theo giả thiết: ≥ ⇒ − ≥ 0 nếu ≥0⇔

−
+
do x, y, z ∈ 1; 4

t

P’ z

-

0

min

+

Từ bảng biến thiên:
=

≥

+

√

√

+

Đặt = , do ≥ , ≥ và x, y, z ∈ 1; 4 nên 1 ≤ ≤ 2.
Xét hàm
=
=
Suy ra f t giảm trên 1; 2 , do đó ≥

+
< 0, ∀ ∈ 1; 2
= ≥ 2=

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

8

www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

=
Đẳng thức xẩy ra:

Vậy: = ℎ

⇒ = 4,

=

=2

= 4,

= 1, = 2

= 1, = 2

thức:
=+++++
Hoạt động khám phá:
, ≤ℎ

-

,,

≤

,

≤ℎ

≤

Đặt
=+++++
Xem đây là hàm theo biến a; còn b, c là hằng số.
−
= + − + = +

−

+

• Trường hợp 1: ≥ ≥ và , , ∈ ;3
Suy ra: − ≥ 0; − ≥ 0 nên

≥ 0. Do đó: P a tăng trên ;3
3

⇒ ≤ 3 = 3+ + + + +3 =
xem g c là hàm theo biến c

Mặt khác
−
= + + +3 = +

3
+3 ≤0

−3 3 −

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

9


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Do đó: g c giảm trên ;3
⇒

≤

1
3
=
3

3+

+

−

=

3
3 +1

+

1
=ℎ
10

xem h b là hàm theo biến b
Ta có
3
ℎ = 3 +1

+3

1−
3 +1

1+
+3

Ta có bảng biến thiên:
b

1

h’ b

+

-

Suy ra ℎ ≤ℎ 1 =
Vậy: , , ≤ 3, , ≤ 3, , ≤ 3, 1, = khi = 3; = 1; = .
• Trường hợp 2: ≥ ≥ và , , ∈ ;3
Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: , , ≤
Mặt khác:
,, − ,, =
−
−
= + + + ≤0
⇒
Vậy

,,

−

≤ 8
5

= , xẩy ra khi và chỉ khi , , = 3, 1, ; , 3, 1 ; 3, ,1

Thí dụ 7: Cho ba số thực dương , , thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

10


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
=

Hoạt động khám phá:
-

+=

2

2
−
+
+1 +1 +1

Gv Thái Văn Duẩn

3

1−

=

<

-

≤

∈ 0, +∞ suy ra

-

≤

≤

=

Biến đổi giả thiết thành:
1

+

+ = 1− >0⇒ < à = 1−
Thay vào biểu thức P ta được:
2

3
2+
= +1 + +1 + +1 +1 −2

=

2
2+
+
+1

3
+1

+1

−2+

+1

Xét hàm số:
1
+
= +1 + +1 +1 −1 ớ 0< < à

1
à ℎ ố >0

Ta có
−2

+2 −1
= 1+ 1+ =0
⇔ =− +√ + 1 ∈ 0,
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

11


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Bảng biến thiên:
x 0

fx

Khi đó: Từ bảng biến thiên
≤

=

√1 +

3
2
≤

+1
√1 +

=2 +

3
=
+1

+

Ta có
=
⇔=

2 1−8
1+
=√

=0

3 + √1 +
∈ 0, +∞

Bảng biến thiên:
c

0

g’ c

+
Từ bảng biến thiên suy ra:

≤
⇒

≤

≤

=

10
3

Vậy với
√

=, √2ℎì

√

=
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

12


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

trị nhỏ nhất của biểu thức:
=

1

+

2

+

Gv Thái Văn Duẩn

3
Đề thi Olympic 30/4 –

Hoạt động khám phá:
-

=

-

,=

, = bài toán chuyển thành bài toán là gì?

-

à

-

+2 + =

-

>

≥ ≥ =2 + +
=

Ta đi đến kết luận: ≥

≥

≥

Đặt:
1
1
1
= , = , = ⇒ , , > 0; 2 + 8 + 21 ≤ 12 à = +2 +3
Từ:
2 +8

7

2 + 8 + 21 ≤ 12 ⇒ ≥ 12 − 21 à > 4
Từ biểu thức S suy ra được:
2 +8
≥ +2 + 4 −7 =

⇒

=1−

14 − 32
4 −7

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

=0

13


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

=

⇔

=

+

Gv Thái Văn Duẩn

∈

, +∞

9 32 + 14
+
4
2

=

Bảng biến thiên:
x

f
Khi đó: Từ bảng biến thiên
≥

≥

=2 +

=

⇒
Đặt: = 32 + 14 thì phương trình

8 −9 32 + 14 − 28
4

32

+ 14

=0

=0
⇔ 8 −9 32 + 14 − 28

⇔ − 50 − 122 = 0 ⇔ = 8 ⇔ =
y 0
g’ x

-

0

+

gx
Từ bảng biến thiên suy ra:

≥

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

14


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

≥

⇒

Gv Thái Văn Duẩn

5 15
=
4
2

≥

Vậy với:
= , = 3, = ⇔ = , = , = ℎì

=

Tìm giá trị nhỏ nhất của: =3 + + +4
Hoạt động khám phá:

-

=3 3−

+3

+2 2 −3
+ 3−
≤ 2 = 2

Ta đi đến kết luận ≥

≥ 1 = 13

Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể giả sử: 0 < ≤ ≤
Chu vi bằng 3 nên + + =3⇒ + =3− , à + > ⇒1≤ ≤
Ta biến đổi: =3 + + +4 =3 + +3 +4
=3

+

−2

+3

+4

=3 3−

+3

+2

2 −3

Măt khác:
≤

=

⇒ 2 −3 ≥

2 −3 ì < ⇒2 −3<0

Do đó:
≥3 3− +3 +2 2 −3

= − + =

Xét hàm số: = − + , ê 1;
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

15


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

=3

⇒

−3 =0⇔

Gv Thái Văn Duẩn

=1

Bảng biến thiên
c

1

f’ c

0

+

13
Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ra
fc
≥ 1 = 13
Suy ra

≥

≥

1 = 13 khi

= 1,

= 1,

=1

Vậy min P =13 khi c = 1, a = 1, b = 1.

Thí dụ 10: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: + + =4
Chứng minh rằng:

-

183 − 165√5 ≤

+

=2

+
≤ 18
Đề thi Olympic Toán THPT Việt Nam –

=++
,

,

+

+

= 4 −2 + +

−2 + + −2

++

=2
-

− 32 +

144
Tìm điều kiện theo ẩn mới như thế nào?
= do đó =

4− +

Tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t.

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

16


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

+ ≥4 ⇔ 4− ≥ ⇔ −8 + 16 − 8 ≥ 0 ⇔ −2 −6 +

-

⇔ 3 − √5 ≤ ≤2
=
4−
+ trên đoạn 3 − √5; 2 , ta có

=
√
√

183 − 165√5 ≤ + + ≤ 18

Cho , , ≥0
+ + =1
Tìm GTLN của = + +
ẩ

ℎ

=,

= 0, =

Cho x, y, z là số thực thoả mãn + + = 2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
=
+
+
−3
min = −2√2 ẩ
Cho

> 0,

> 0,

> 0 và thoả mãn điều kiện

+

ℎ = −√2, = =0
+ = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
=

+

+

−2

Đáp số: min = ẩ

ℎ ===

Cho , , ∈ 1; 2 . Chứng minh rằng:
+

1

+

+

1

+

1

≤ 10

Tìm GTNN của:
=

+

−

+

+

+

Cho , , ∈ 0; 1 . Chứng minh rằng
+
+ +1 + +1 + +1

+

+ 1−

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1−

1−

≤1

17


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Cho > 0, > 0, > 0 và thoả mãn điều kiện +

Gv Thái Văn Duẩn

+≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
=+++++
Đáp số: min
C. Kết luận

=

ẩ

ℎ

=

=

=


1

1

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1

18