Thử sức trước kì thi đại học 2014

19h30 thöù 7 - treân www.k2pi.net

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1. Cho hàm số y  x3  3  m  1 x 2  m  1 có đồ thị là  Cm  , m là tham số thực.
I.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị  C0  khi m  0.

b. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng  x1 ;x 2  thỏa x 2  x1  2014 .



 31

 2x   cos3x .
Câu 2. Giải phương trình sin  2x    sin 3x  cos 
4

 4

Câu 3. Giải phương trình x3  3x 2  x  2  2x  11  2x 2 x  4 .
0

Câu 4. Tính tích phân I 



1

x  x2  2



x2  2



2

dx.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD  a 3,AC  AB  a . Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ACD . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA,BC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,SD bằng

3a 95
. Tính thể tích của khối
38

chóp M.ABNG theo a .
Câu 6. Cho a, b,c là các số thực thỏa mãn a2  b2  c 2  1  ab  bc  ca . Chứng minh rằng

 a  b  c 4  54abc  5  9 ab  bc  ca   2 a  b  c .
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B.
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu 7a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B và trên tia
OA lấy điểm C sao cho AC  2OB . Gọi M là một điểm trong tam giác ABC sao cho tam giác ABM đều.
Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC biết rằng ABO  150 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC bằng 2  3 .
Câu 8a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi M là điểm cố định của họ mặt phẳng  Pa  đi qua với mọi



 

 



a , biết rằng  Pa  : a2  2a x  a2  a y  a2  1 z  6a2  3  0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và

chứa trục Oy .
Câu 9a. Gọi X là biến cố ngẫu nhiên có phân bố nhị thức T  x  2;0,4  . Lập bảng phân bố xác suất của biến
cố X , biết x là nghiệm của phương trình 3x 3  7

x 1
2

 441 .

B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AO . Gọi  C

là đường tròn tâm A , đường kính OD . Tiếp tuyến của  C tại D cắt CA tại E  8;8 . Đường thẳng vuông
góc với ED tại E và đường thẳng đi qua A , vuông góc với EB cắt nhau tại M  8; 2  . Viết phương trình

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng EB có phương trình 4x  3y  8  0 .
Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  4; 1;1 ,B  3;1; 1 và C 1;2; 4  . Gọi    là
mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và cùng phương với Ox . Tìm tọa độ điểm đối xứng của C qua mặt phẳng
  .

1  log 6 y 4  9  5 x
Câu 9b. Giải hệ phương trình  x
2
5  2 log 6 y  log 6 y  6  21
--------------------------------------Hết--------------------------------------






HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH NĂM 2014

www.k2pi.net

Đề 02 - Ngày thi : 16-11-2013

t

DIỄN ĐÀN TOÁN THPT

i.n
e

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu 1 Cho hàm số y = −x 3 + 3(m + 1)x 2 + m − 1 có đồ thị là (C m ), m là tham số thực.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C 0 ) khi m = 0.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng (x 1 ; x 2 ) thoả x 2 − x 1 = 2014.
Lời giải :

a. Tự giải
b. y = −3x 2 + 6(m + 1)x = −3x x − 2(m + 1) nên y > 0 khi x ở trong 2 nghiệm 0; 2(m + 1)
Trường hợp: m + 1 > 0 do x 2 − x 1 = 2014 nên 2(m + 1) ≥ 2014 ⇐⇒ m ≥ 1006
Trường hợp: m + 1 < 0 do x 2 − x 1 = 2014 nên 2(m + 1) ≤ −2014 ⇐⇒ m ≤ −1008
Câu 2 Giải phương trình sin 2x +

31π
π
− sin 3x = cos
− 2x + cos 3x
4
4

.k2
p

Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương:


−π
π
− k2π
x=
2x
=
3x
+
+
k2π

π


4
4
2 sin 2x = cos3x + sin 3x ⇔ sin 2x = sin 3x +
⇔
⇔
3π
3π
k2π (k ∈ Z )
4
2x =
− 3x + k2π
x=
+
4
20
5


Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x =

3π k2π
−π
+
;x =
− k2π
20
5

4

(k ∈ Z )

Câu 3 Giải phương trình x 3 + 3x 2 + x + 2 = 2x + 11 + 2x 2 x + 4
Lời giải :
PT ⇔ x 2 x + 3 − 2 x + 4 + x + 2 − 2x + 11 = 0,
(1)
Đặt : t = x + 4 ⇒ x = t 2 − 4, (t ≥ 0)
2
Khi đó (1) trở thành : t 2 − 4 t 2 − 2t − 1 + t 2 − 2 − 2t 2 + 3 = 0
2

t 2 − 2t − 1 + t 2 − 2t − 1 + 2t − 1 −

ww
w

⇔ t2 −4

⇔ t 2 − 2t − 1

2t 2 − 4t − 2

2

t2 −4 +1 +

t 2 − 2t − 1 = 0
2

2
⇔ 2
=0
t −4 +1+
2t − 1 + 2t 2 + 3
Vậy Pt có 1 nghiệm : x = −1 + 2 2


2t 2 + 3 = 0

2t − 1 + 2t 2 + 3

=0

(t ≥ 0)
2t − 1 + 2t 2 + 3 ≥ −1 + 3 > 0

⇔ t = 1+ 2

0

Câu 4 Tính tích phân : I =

x + x2 + 2
d x.
2
2
−1 (x + 2)

Lời giải :

Ta để ý rằng :

x + x2 + 2
2
x2 + 2

=

x + x2 + 2
x2 + 2

·

1
x2 + 2

x2 + 2

=

x
x2 + 2

+1 ·

1
x2 + 2

x2 + 2

Lại có :

x
x2 + 2

www.k2pi.net

=

2
x2 + 2

x2 + 2

2


Do đó đặt

x

t=

x2 + 2

1
1
⇒ dt =
dx
2

2
x + 2 x2 + 2

x = −1 ⇒ t = −

3
; x =0⇒t =0
3

I=

1
2

0
−

3
3

(t + 1) d t =

i.n
e

Khi đó tích phân đã cho trở thành :

t

Đổi cận :

1 t2
+t
2 2

0

−

3
3

=

2 3−1
12

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình bình hành với AD = a 3, AC = AB = a
. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC D) trùng với trọng tâm G của tam giác
AC D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S A, BC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC , SD bằng

3a 95
. Tính thể tích của khối chóp M .AB NG theo a .
38

Lời giải :
Trong mặt phẳng (ABC D) kẻ DE //AC sao cho tứ giác AC E D là hình bình hành
⇒ AC //(SDE ) ⇒ d (AC , SD) = d (AC ; (SDE ))

.k2
p

FK
3
GF G A 1
=
= ⇒
=
GK GE 2
GK 2
3
1
1
2a 95
1
⇒ d (AC , (SDE )) = d (F, (SDE )) = d (G, (SDE )) ⇒ d (G, (SDE )) =
=
−
=d ⇒
2
38
SG 2 d 2 GK 2
2 2S∆AC D a 3
a 5
GK =
=
⇒ SH =
3
AC

3
2
a2 3
S ABC D a 2 3
Ta có S ABC D =
Và S AB NG = S − (S ∆AGP − S ∆GPC − S ∆GBC ) =
=
2
2
4
1 SH S ABC D a 3 15
⇒ VM .AB NG =
=
3 2
2
48

Từ G kẻ đường vuông góc với AC cắt AC , DE tại F, K ⇒

Câu 6 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 − 1 = ab + bc + c a . Chứng minh rằng:
(a + b + c)4 + 54abc + 5 ≥ 9(ab + bc + c a) − 2(a + b + c)

Lời giải :

ww
w

Đặt t = a + b + c từ đó suy ra ab + bc + c a =

t2 −1

t2 +2
và a 2 + b 2 + c 2 =
. Để ý rằng
3
3

a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − c a ⇒ 3abc = a 3 + b 3 + c 3 − t

Bất đẳng thức đã cho viết lại thành

t 4 + 18 a 3 + b 3 + c 3 − t + 5 ≥ 3 t 2 − 1 − 2t ⇔ t 4 − 3t 2 − 16t + 8 + 18 a 3 + b 3 + c 3 ≥ 0

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
t2 +2
t −2
(b + c)2
(t − a)2
= a2 + b2 + c 2 ≥ a2 +
=a+
⇒a≥
3
2
2
3

tương tự ta cũng có b, c ≥

t −2
. Từ đó ta có thể viết
3

t −2
t −2
t −2
t −2 2
a + b2 + c 2
+ b2 b −
+ c2 c −
+
3
3
3
3
t −2
t −2
t −2
t −2 t2 +2
a−
+ b2 b −
+ c2 c −
+
3
3
3
3
3

a3 + b3 + c 3 = a2 a −
= a2

www.k2pi.net

3


Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
t −2
t −2
t −2
+ b2 b −
+ c2 c −
3
3
3

a−

t −2
t −2
t −2
+b −
+c −
≥
3
3
3

a a−

t −2
t −2

t −2
+b b −
+c c −
3
3
3

2

4
= (t + 1)2
9

t

a2 a −

Từ đó ta có

(t − 2) t 2 + 2
2
(t + 1)2 +
9
9

i.n
e

t 4 − 3t 2 − 16t + 8 + 18 a 3 + b 3 + c 3 ≥ t 4 − 3t 2 − 16t + 8 + 18

= t 4 − 3t 2 − 16t + 8 + 2 t 3 + 6t − 2

= t 4 − 3t 2 − 4t + 2t 3 + 4 = t 2 + t − 2

Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi

a +b +c = 1
ab + bc + c a = 0
4
abc = − 27
a + b + c = −2
ab + bc + c a = 1
4
abc = − 27



1
3

2
3




⇔


≥0

a = − 31
b = c = 23
a = − 43
b = c = − 13

.k2
p



t =1

⇔

t = −2



2

4
3

1
3

Hay a = − ; b = c = v a = − ; b = c = − . và các hoán vị

II. PHẦN RIÊNG

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , trên tia Ox lấy điểm A , trên tia O y lấy điểm B
và trên tia O A lấy điểm C sao cho AC = 2OB . Gọi M là một điểm trong tam giác ABC sao cho
tam giác AB M đều. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C của tam giác ABC biết rằng ABO = 15o và bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2 + 3 .

ww
w

Lời giải :

Câu 8.a Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z gọi M là điểm cố định của họ mặt phẳng (P a )
đi qua với mọi a , biết rằng (P a ) : (a 2 + 2a)x + (a 2 − a)y + (a 2 + 1)z − 6a 2 − 3 = 0 . Viết phương trình
mặt phẳng đi qua M và chứa trục O y .
Lời giải :
Viết lại phương trình: x + y + z − 6 a 2 + 2x − y a + z − 3 = 0 mọi a nên
⇐⇒

x +y +z =6
2x − y = 0
z =3

⇐⇒

x =1
y =2
z =3

M (1; 2; 3)

Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy có dạng: Ax +C z = 0
Vì đi qua M nên : A + 3C = 0 hay A = −3C và C = 0 (P ) có phương trình 3x − z = 0
www.k2pi.net

4


Câu 9 .a Gọi X là biến cố ngẫu nhiên có phân bố nhị thức T (x − 2; 0; 4) . Lập bảng phân bố
x−1
xác suất của biến cố X , biết x là nghiệm của phương trình 3x−3 .7 2 = 441.

B. Theo chương trình Nâng cao

i.n
e

t

Lời giải :

.k2
p

Câu 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao
AO . Gọi (C ) là đường tròn tâm A , đường kính OD . Tiếp tuyến của (C ) tại D cắt C A tại E (−8; 8)
. Đường thẳng vuông góc với E D tại E và đường thẳng đi qua A , vuông góc với E B cắt nhau
tại M (−8; −2) . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng E B có

phương trình 4x + 3y + 8 = 0.
Lời giải :
Ta có tam giác BC E cân tại B, EC là phân giác góc B E D . Hai tam giác vuông ADE và AK E bằng
nhau, ta thấy ngay B E là tiếp tuyến của đường tròn tâm A ,từ đây AB là đường trung trực OK
Phương trình AM có dạng :3x − 4y + c = 0 mà đi qua M (−8; −2) nên c = 16
8
8 4
AM : 3x − 4y + 16 = 0 suy ra: K − 16
5 ; 5 Gọi I là trung điểm OK thì I − 5 ; 5
Phương trình AB : 10x − 5y + 20 = 0 suy ra toạ độ B (−2; 0) , A (0; 4)
OB : y = 0; E A có phương trình : x + 2y − 8 = 0 suy toạ độ C (8; 0)
gọi J trung điểm BC thì J (3; 0) và BC = 10 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x − 3)2 + y 2 = 25.
Câu 8.b Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z cho ba điểm A(4; −1; 1); B (3; 1; −1) và C (1; 2; −4)
. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và cùng phương với Ox . Tìm tọa độ điểm đối xứng
của C qua mặt phẳng (α) .

ww
w

Lời giải :

(α) cùng phương Ox ⇒ (α) : b y + cz + d = 0 (α)

A, B ⇒

−b + c + d = 0
b −c +d = 0

⇒ d = 0, b = c

Phương trình (α) : y + z = 0
−
Đường thẳng d qua C vuông góc với (α)nhận véc tơ chỉ phương →
u = (0; 1; 1) có phương trình tham
x =1
y = 2+t
z = −4 + t
gọi I = d ∩ (α) ⇒ 2 + t − 4 + t = 0 ⇒ t = 1 ⇒ I (1; 3; −3)
Gọi C x ; y ; z là điểm đối xứng với C qua (α) ta có toạ độ C (1; 4; −2).

số đường thẳng d :

Câu 9 .b Giải hệ phương trình:

1 + log6 y 4 = 9.5−x
5x + 2 log6 y. log6 (y 2 + 6) = 21

Lời giải :

www.k2pi.net

5


—————————————————-Hết—————————————————-

ww
w

.k2

p

i.n
e

t

Lời giải được thực hiện bởi các thành viên diễn đàn toán THPT www.k2pi.net

www.k2pi.net

6