Skkn vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

MỤC LỤC
1. Cơ sở đề xuất giải pháp..............................................................................2
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp.............................................................2
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................2
1.3-Mục tiêu của giải pháp...............................................................................2
1.4-Các căn cứ để xuất giải pháp.....................................................................3
1.5-Phương pháp thực hiện..............................................................................3
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng...................................................................3
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp.................................................3
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp ..........................................................3
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiến phát sinh .................................3
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay .......................................................4
3. Hiệu quả giải pháp........................................................................................16
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp.................................16
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được................................................17
3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp ...................................................17
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp...........................................17
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị......................................................................18
4.1. Kết luận.....................................................................................................18
4.2. Đề xuất, kiến nghị......................................................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................19
GV: Nguyễn Hoài Điệp

1

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Giải pháp

VẬN DỤNG LINH HOẠT TỈ SỐ THỂ TÍCH
TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
1. Cơ sở đề xuất giải pháp
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp
Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay phần hình học không gian
ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng
trong việc xác định đường cao của khối đa diện. Trước tình hình đó cùng với
quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối
đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải
ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa, kỳ thi THPT quốc gia 2017 sẽ tổ chức theo hình
thức trắc nghiệm ở bài thi môn toán. Với suy nghĩ giúp các em có thêm phương
pháp giải quyết bài toán và cũng là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay
tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong
bài toán hình học không gian lớp 12”.
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp
Bài toán tính thể tích khối đa diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.3-Mục tiêu của giải pháp
Giúp học sinh hình thành tư duy sáng tạo trong giải quyết một số bài toán
tính thể tích khối đa diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Qua đó kích thích học sinh tìm tòi, phát hiện và
tạo hứng thú trong quá trình học môn Toán.

GV: Nguyễn Hoài Điệp

2

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Học sinh áp dụng vào giải quyết một số bài toán tính thể tích khối đa diện,
tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
1.4-Các căn cứ đề xuất giải pháp
Học sinh tỏ ra rất lúng túng trong việc xác định đường cao của khối đa
diện. Đây là yếu tố quan trọng để có thể giả được bài toán về thể tích khối đa
diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng. Phương pháp mới giúp học sinh có thể tính được thể tích của một
khối đa diện dựa vào thể tích của khối đa diện đã biết.
1.5-Phương pháp thực hiện
Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào
giải bài toán tính thể tích khối đa diện và bài toán khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng. Đặc biệt là các khó khăn mà học sinh thường gặp đối với các bài
toán khó.
Phương pháp tổng hợp: sử dụng các tài liệu tham khảo cùng với thực tế
diễn ra trên lớp học, cùng với đóng góp của quý thầy, cô giáo.
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những
kết quả thảo luận với các thầy, cô giáo trong tổ. Thảo luận với học sinh thông
qua hệ thống bài tập để giúp học sinh hình thành các phương pháp giải với từng
dạng bài toán.
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi
THPT ở các trường THPT.
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp

GV: Nguyễn Hoài Điệp

3

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Thời gian

Nội dung

Từ tháng 1 năm 2015 đến

Nghiên cứu, đề xuất

tháng 8 năm 2015
Từ tháng 9 năm 2015 đến

Áp dụng thử nghiệm

tháng 12 năm 2015
Từ tháng 8 năm 2016 đến

Tiếp tục áp dụng thử nghiệm.

nay

2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiễn phát sinh

Hệ thống lại các bài toán cơ bản thể tích khối đa diện, bài toán về tỉ số thể
tích của các khối đa diện. Hình thành hướng tư duy mới.
Học sinh cần hiểu được rằng:
- Chiều cao của một khối chóp chính là khoảng cách từ đỉnh đến mặt
phẳng đáy của khối chóp.
- Chiều cao của một khối lăng trụ chính là khoảng cách từ một điểm trên
mặt đáy này đến mặt đáy kia của khối lăng trụ.
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay
Bài toán 1: (Bài 4 sgk HH12CB trang25)
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các
điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR:

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

(1)

Giải:
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC)

GV: Nguyễn Hoài Điệp

4

Trường THPT Nguyễn Du

Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và
(SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét ∆ SAH ta có

SA ' A ' H '
=
(*)
SA
AH

A
A'
B'

B

S

H H'

C'

C

Do đó

1
A ' H '.S∆SB ' C '

· ' SC '
VS . A ' B ' C ' 3
A ' H ' SB '.SC '.sin B
=
=
.
(**)
·
1
VS . ABC
AH
SB
.
SC
.sin
BSC
AH .S ∆SBC
3

Từ (*) và (**) ta được đpcm □
Trong công thức (1), đặc biệt hoá,
cho B’ ≡ B và C’ ≡ C ta được
VS . A ' BC SA '
=
VS . ABC
SA

(1’)

Ta lại có

VS . ABC = VS . A ' BC + VA '. ABC
(1') ⇒ VS . ABC =

⇒

SA '
.VS . ABC + VA '. ABC
SA

VA '. ABC
SA ' A ' A
= 1−
=
VS . ABC
SA
SA

Vậy:
GV: Nguyễn Hoài Điệp

VA '. ABC A ' A
=
VS . ABC
SA
5

(2)
Trường THPT Nguyễn Du

Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A 1A2…An ( n ≥ 3) , trên
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
VA1 '. A1 A2 ... An
VS . A1 A2 ... An

=

A1 ' A1
SA1

(2’)

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp
S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
2.3.1- DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ví dụ 1:

S

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và

A

I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích

D

O

của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD.

M

I

Giải:

B

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD,
do đó
1
1 1
1 1 1
VISCM = VB.SCM = . .VD.SBC = . . VS . ABCD
3
3 2
3 2 2

Vậy

VISCM
1
=

VS . ABCD 12

Ví dụ 2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần
lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số
thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’)
GV: Nguyễn Hoài Điệp

6

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Giải:

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD và I

C'

B'

là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI
cắt SC tại C’

I

A

Ta có

D'
O'

O

B
VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC '
=
.
=
;
VS . ABC
SB SC 2 SC

D

C

VS . AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '
=
.
=
VS . ACD
SC SD 2 SC

1 SC '

1 SC '
(VS . ABC + VS . ACD ) = .
.VS . ABCD
2 SC
2 SC

Suy ra VS . AB ' C ' + VS . AC ' D ' = .

Kẻ OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
1 1
2 3

Do đó VS . A ' B ' C ' D ' = . .VS . ABCD Hay

VS . A ' B ' C ' D ' 1
=
VS . ABCD
6

Ví dụ 3:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I là trung điểm của B’C. Hãy tính tỉ số
thể tích giữa khối tứ diện IABC và khối chóp B’.AA’C’C.
Giải:
Ta có:

VB ' ABC
VABC . A ' B ' C '

=

1
1
⇒ VB ' ABC = VABC . A ' B ' C '
3
3

2
⇒ VB '. AA ' C ' C = VABC . A ' B ' C ' − VB ' ABC = VABC . A ' B ' C '
3
VIABC
IC
1
1
1
=
= ⇒ VIABC = VB ' ABC = VABC . A ' B ' C '
VB ' ABC B ' C 2
2
6

Suy ra:

VIABC
VB '. AA ' C ' C

GV: Nguyễn Hoài Điệp

1
VABC . A ' B ' C '

1
6
=
=
2
VABC . A ' B ' C ' 4
3
7

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

* Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có
trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của
hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS:

VH .MNP
1
=
VS . ABC 32

Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (
α ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính

SM
để mặt phẳng ( α ) chia
SC

hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS:

SM
3 −1
=
SC
2

2.3.2- DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH
Ví dụ 1:
·
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD
= ABC
= 900 ,
AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Giải:

S

Áp dụng công thức (1) ta có
M

VS .BCM SM 1
=
=
VS . BCA
SA 2

2a

VS .CMN SM SN 1
=
.
=
VS .CAD
SA SD 4
GV: Nguyễn Hoài Điệp

N

2a

a

8

B

D

A
C

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Suy ra
VS . BCNM = VS . BCM + VS .CNM

1
1
a 3 2a 3 a 3
= VS .BCA + VS .CAD =
+
=
2
4
2.3 4.3 3

Ghi chú:
1
3

1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V = B.h
gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể
tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP
theo a.

S

Giải:

M

Ta có
VCMNP CN CP 1
=
.
=
VCMBD CB CD 4

A

(a)
H

VCMBD VM . BCD MB 1
=
=
=
(b)
VCSBD VS .BCD
SB 2

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được

B

D

N
P

C

VCMNP 1
1
= ⇒ VCMNP = .VS .BCD
VS . BCD 8
8

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD mà ( SAD) ⊥ ( ABCD) nên
SH ⊥ ( ABCD ) .

Do đó VS .BCD
GV: Nguyễn Hoài Điệp

1
1 a 3 1 2 a3 3
= .SH .S ∆BCD = .
. a =
3
3 2 2
12
9

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Vậy: VCMNP

a3 3
=
(đvtt)
96

Ví dụ 3:
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và DA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải:
Ta có

VDAMN DM DN
=
.
VDABC
DB DC

AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam

D

giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có
2

N

2a

2

DM DA
4a
DM 4
=
= 2 = 4⇒
=
2
MB AB
a
DB 5

Tương tự

DN 4
=
DC 5

Do đó VD.AMN =

VA.BCMN =

M

A

a

C
a

a

B
4 4
16
. .VD.ABC = .VD.ABC. Suy ra
5 5
25

9
.VD.ABC
25
1
3

Mà VD.ABC = .2a.

a 2 3 a3 3
=
.
4

6

A

3a 3 3
Vậy VA.BCMN =
(đvtt)
50

c

Ghi chú:

B

b

c'
H

b'

C

b ' b2
=
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây
c ' c2
GV: Nguyễn Hoài Điệp

10

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a,
AD = a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do
đó

C
S

AI 2
AI 1
= ⇒
=
AO 3
AC 3
VAIMN
AI AM 1 1 1
=
.
= . =

nên
VACDN AC AD 3 2 6

Mặt khác

VACDN NC 1
=
=
VACDS
SC 2

Từ (1) và (2) suy ra

Mà VSACD

a

(1)

A
a

N

Ma
I

2

D

O

(2)

B

C

VAIMN
1
=
VACDS 12

1
1 a 2a a 3 2
1
a3 2
= .SA.S ∆ACD = a.
=
. Vậy VAIMN = .VSACD =
(đvtt)
3
3
2
6
12
72

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA=a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác
4

SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC theo a.
GV: Nguyễn Hoài Điệp

11

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Giải:
Từ giả thiết ta tính được
AH =

a 2
a 14
3a 2
, SH =
, CH =
, SC = a 2 ⇒ SC = AC .
4

4
4

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm
của SA.
V

SM

1

1

S . MBC
=
= ⇒ VS .MBC = VS . ABC
Ta có V
SA
2
2
S . ABC

1
1 a 2 a 14 a 3 14
VS . ABC = .SH .S ∆ABC = . .
=
(đvtt)
3
6 2
4

48

Ví dụ 6:
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Các cạnh ở đỉnh S hợp
với nhau một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải:
Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm A’ và B’ sao cho SA ' = SB ' = SC = a .
Khi đó, SA’B’C là hình tứ diện đều cạnh bằng a.
Nên VSA ' B ' C =
Ta lại có:

2a 3
(đvtt)
12

VS . A ' B ' C SA '.SB ' 1
=
=
VS . ABC
SA.SB 6

Suy ra VS . ABC = 6.VS . A ' B ' C

2a 3
(đvtt)
=
2

* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có

·ABC = BAD
·
·
= 900 , CAD
= 1200 ,

AB = a, AC = 2a, AD = 3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.
GV: Nguyễn Hoài Điệp

12

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

ĐS: VABCD

a3 2
=
2

Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a
ĐS: VS . AB ' C ' D ' =

16a 3
45

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi
M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a
thể tích khối chóp S.DMNP
ĐS: VS .DMNP

a3 2
=
36

2.3.3- DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG
CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng
cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài
đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt
phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải :

D
I

4
5

4

A

Ta có AB2 + AC2 = BC2 ⇒ AB ⊥ AC

C
5

3

B
GV: Nguyễn Hoài Điệp

13

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

1
6

Do đó VABCD = AB. AC. AD = 8cm 2
Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5
Nên ∆BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
⇒ S ∆BCD =

1
2 2
DC.BI =

5 − (2 2) 2 = 2 34
2
2

Vậy d ( A,( BCD)) =

3VABCD
3.8
6 34
=
=
S ∆BCD
17
2 34

Ví dụ 2:
·
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ·ABC = BAD
= 900 ,

AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD)
Giải:
Ta có

S
VS . HCD SH
=
VS .BCD SB

H

∆SAB vuông tại A và AH là đường cao nên
SH SA2 2a 2
SH 2
=
= 2 =2⇒
=
Ta có
2
HB AB
a
SB 3

Vậy VS.HCD =

a

B

A

2a

C

2
2 1
a 2 a3 2

VS.BCD = . a 2.
=
3
3 3
2
9

1
3

Mà VS . HCD = d ( H ,( SCD )).S ∆SCD .
∆SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),

GV: Nguyễn Hoài Điệp

14

Trường THPT Nguyễn Du

D


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

do đó S∆SCD

1
1
3a 3 2 a
2

= CD.SC = .a 2.2a = a 2 . Vậy d ( H ,( SCD)) = 2
=
2
2
9a 2 3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
Giải:

A'

C'

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’

B'
a 2

Suy ra B’C //(AME) nên

A

VC . AEM MC 1
=
=
Ta có
VC . AEB
CB 2

E

H

d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))

a

B

M

a

C

1
1 1 a 2 a 2 a3 2
⇒ VC . AEM = VEACB = . . .
=
2
2 3 2 2
24

Ta có d (C ,( AME )) =

3VC . AEM
S ∆AEM

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH ⊥ AE
Hơn nữa BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta được AE ⊥ HM
Mà AE =

⇒ BH =

a 6
,
2

∆ABE

vuông tại B nên

1
1
1
3
=
+
=
BH 2 AB 2 EB 2 a 2

a 3
3

∆BHM vuông tại B nên MH =

GV: Nguyễn Hoài Điệp

a 2 a 2 a 21
+
=
4
3
6

15

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

1
1 a 6 a 21 a 2 14
= AE.HM = .
.
=
2
2 2
6
8

Do đó S∆AEM

Vậy:

d (C ,( AME )) =

3a 3 2
a 7
=
2
7
a 14
24.
8

Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính S ∆AEM
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH =

1
BC = a.
2

∆A ' AH vuông tại H nên ta có A ' H = A ' A2 − AH 2 = a 3

Do

Mặt khác

đó

VA '. ABC

VA '. ABC
VABC . A ' B ' C '

Suy ra VA '. BCC ' B '

=

1
a.a 3 a 3
= a 3
= .
3
2
2

B'

1
3

A'

2a

2
2 a3
= VABC . A ' B ' C ' = .3. = a 3
3

3 2

Ta có d ( A ',( BCC ' B ')) =

C'

B
a

3VA '.BCC ' B '
S BCC ' B '

C

H

K

a 3

A

Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B ' H vuông tại A’

GV: Nguyễn Hoài Điệp

16

Trường THPT Nguyễn Du

Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Suy ra B’H =

a 2 + 3a 2 = 2a = BB ' . ⇒ ∆BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung

điểm của BH, ta có B ' K ⊥ BH . Do đó B ' K = BB '2 − BK 2 =

Suy ra S BCC ' B ' = B ' C '.BK = 2a.

Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) =

a 14
2

a 14
= a 2 14
2

3a 3
3 14a
=
14
a 2 14

* Bài tập tham khảo :
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của

AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến
mp(IBC)
ĐS: d ( A,( IBC )) =

2a 5
5

Bài 2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm
M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: d ( A,( AB ' C )) =

a
2

Bài 3:
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ·ABC = 900 . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: d ( A,( BCD)) =
GV: Nguyễn Hoài Điệp

ab
a 2 + b2
17

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Bài 4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: h1 + h2 + h3 + h4 =

3VABCD
2
=a
S ∆ACB
3

3. Hiệu quả giải pháp
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp
Từ tháng 9 năm 2015 đến tháng 12 năm 2015, tiến hành áp dụng thử nghiệm.
Từ tháng 8 năm 2016 đến nay, tiếp tục áp dụng thử nghiệm.
Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận.
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được:
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích trong một số bài tập cụ
thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinh các
lớp kết quả như sau:
Năm học

2015-2016

2016-3017

Lớp

Số học sinh giải được

Sĩ số

Trước khi thực hiện
đề tài

Sau khi thực hiện đề
tài

12A7

33

7

25

12A9

31

5

21

12A10

30

9

25

12A11

31

10

27

3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi
THPT ở các trường THPT.
GV: Nguyễn Hoài Điệp

18

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở
trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học,
nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể
giải quyết nếu không có công cụ là tỉ số thể tích, thì nay lại được giải quyết một
cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi
nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học
sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của

nhà trường.
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị
4.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường
THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, các em học
sinh hiểu được bài và vận dụng giải quyết được các bài toán tương tự.
4.2. Đề xuất, kiến nghị:
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi
THPT ở các trường THPT. Kính mong sự đóng góp ý kiến của các đồng chí
chuyên viên có trách nhiệm thẩm định đề tài và các đồng nghiệp bổ khuyết.
Đồng thời đề nghị nhà trường, tổ chuyên môn có kế hoạch triển khai áp dụng
giải pháp đến học sinh lớp 12 của trường.
CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là giải pháp do tôi dựa trên các tài liệu tham khảo
và thực tế giảng dạy viết ra.
Châu Đức, ngày 20 tháng 10 năm 2016
Người viết
GV: Nguyễn Hoài Điệp

19

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

Nguyễn Hoài Điệp

GV: Nguyễn Hoài Điệp

20

Trường THPT Nguyễn Du


Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Sách giáo khoa: Hình học 12, Hình học 12 (nâng cao)
 Sách giáo viên: Hình học 12, Hình học 12 (nâng cao)
 Giải toán hình học 12, tác giả: Trần Thành Minh (chủ biên)
 Tuyển tập các đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2012 – NXB
Giáo Dục
 Phương pháp giảng dạy môn Toán, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn
Bá Kim – NXB Giáo dục
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................

................................................................................................................................
.
GV: Nguyễn Hoài Điệp

21

Trường THPT Nguyễn Du