Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƢ PHẠM

HOÀNG THỊ PHƢƠNG THẢO

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ
ĐỘ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số
: 60 14 10

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2009
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài


Trong cỏc mụn học ở trường phổ thụng, mụn Toỏn cú một vị trớ đặc biệt
quan trọng vỡ toỏn học là cụng cụ của nhiều mụn học khỏc. Khụng những thế,
toỏn học cũn “chỉ cho ta những phương phỏp hoặc những con đường dẫn tới
chõn lý. Toỏn học làm cho những chõn lý ẩn khuất trở thành minh bạch và phơi
bày chỳng ra trước ỏnh sỏng. Một mặt toỏn học làm giàu sự hiểu biết của chỳng
ta thờm sõu sắc” [tr 418]. Mụn Toỏn cú khả năng to lớn giỳp học sinh phỏt triển
cỏc năng lực và phẩm chất trớ tuệ, rốn luyện cho học sinh úc tư duy trừu tượng,
tư duy chớnh xỏc, hợp logic, phương phỏp khỏc trong suy nghĩ, trong suy luận,
trong học tập,… Qua đú cú tỏc dụng lớn rốn luyện cho học sinh trớ thụng minh
sỏng tạo.

Việc truyền thụ những tri thức cũng như cung cấp cho học sinh phương
phỏp nghiờn cứu toỏn học ở trường phổ thụng được thực hiện chủ yếu thụng
qua quỏ trỡnh rốn luyện phương phỏp để giải cỏc bài toỏn. Trong chương trỡnh
phổ thụng hiện nay, việc đưa phương phỏp vộc tơ và phương phỏp tọa độ vào
trong chương trỡnh vừa nhằm hiện đại húa vừa đỏp ứng mục tiờu đào tạo của
nhà trường phổ thụng Việt Nam là hỡnh thành những cơ sở ban đầu và trọng
yếu của con người phỏt triển toàn diện. Nghị quyết hội nghị lần thứ hai, Ban
chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khúa VIII về sự nghiệp giỏo
dục và đào tạo đó nhận định: “Nhiệm vụ và mục tiờu cơ bản của giỏo dục là
nhằm xõy dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bú với lý tưởng độc
lập dõn tộc và chủ nghĩa xó hội, cú đạo đức trong sỏng, cú ý chớ kiờn cường xõy
dựng và bảo vệ tổ quốc, cú ý thức giữ gỡn và phỏt huy cỏc giỏ trị văn húa của
dõn tộc, cú năng lực tiếp thu tinh hoa văn húa của nhõn loại, phỏt huy tiềm năng
của dõn tộc và con người Việt Nam, cú ý thức cộng đồng và phỏt huy tớnh tớch
cực của cỏ nhõn, làm chủ tri thức khoa học và cụng nghệ hiện đại, cú tư duy
sỏng tạo, cú kỹ năng thực hành giỏi, cú tỏc phong cụng nghiệp, cú tớnh tổ chức


là kỷ luật, cú sức khỏe, là những người thừa kế xõy dựng chủ nghĩa xó hội vừa
“ hồng “ vừa “ chuyờn “ như lời căn dặn của Bỏc Hồ “.
Nghị quyết trờn cũng đó chỉ rừ: Cựng với những thay đổi về nội dung cần
cú những đổi mới về phương phỏp dạy học ở tất cả cỏc cấp học, bậc học, khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rốn thành nếp tư duy sỏng tạo của người học,
từng bước ỏp dụng cỏc phương phỏp tiờn tiến và phương tiện hiện đại vào quỏ
trỡnh dạy và học, để khụng ngừng nõng cao hiệu quả của giỏo dục và đào tạo.
Nhận thấy cỏc kiến thức và cỏc phương phỏp chứng minh suy luận dựng
trong hỡnh học mà học sinh đang học hiện nay tuy đó cú từ thời Euclid ( thế kỷ
thứ 3 trước cụng nguyờn ) nhưng vẫn được dạy cho học sinh vỡ đú là những
kiến thức cơ bản, nền tảng cho việc rốn luyện tư duy, suy luận và gắn toỏn học
với thực tiễn. Cựng với phương phỏp vộctơ việc đưa phương phỏp tọa độ trong

chương trỡnh học cũng là cơ hội để học sinh làm quen với cỏc ngụn ngữ của
toỏn học cao cấp, học sinh được trang bị thờm một cụng cụ mới để làm toỏn và
suy nghĩ thờm về cỏc vấn đề toỏn học khỏc. Theo mục tiờu đào tạo, sau khi học
xong chương trỡnh phổ thụng, học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản
nhất ở hỡnh học phẳng và hỡnh học khụng gian đồng thời phải nắm vững hai
phương phỏp chủ yếu để nghiờn cứu hỡnh học là phương phỏp tổng hợp và
phương phỏp tọa độ.
Trờn thực tế tỡnh hỡnh dạy và học nay vẫn cũn nhiều hạn chế trong việc
vận dụng phương phỏp tọa độ để giải cỏc bài toỏn hỡnh học của học sinh. Ngay
cả một số giỏo viờn dạy toỏn ở trường THPT cũng chưa nhận thức đỳng đắn
trong việc tăng cường rốn luyện phương phỏp tọa độ để giải bài tập hỡnh học
cho học sinh. Mà giải bài tập là một tỡnh huống dạy học điển hỡnh. Thụng qua
quỏ trỡnh giải bài tập, học sinh sẽ nắm chắc, củng cố được kiến thức, rốn luyện
được kỹ năng vận dụng tri thức vào thực tiễn và phỏt triển tư duy. Hệ thống bài


tập hợp lý sẽ tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức đó
học để củng cố và đào sõu kiến thức.
Đó cú nhiều cụng trỡnh khoa học giỏo dục nghiờn cứu theo một số gúc độ
khỏc nhau liờn quan đến phương phỏp tọa độ, song chưa nờu bật được một cỏch
đầy đủ cỏc kỹ năng giải cỏc bài toỏn trong khụng gian bằng phương phỏp tọa độ
dựa trờn sự tương hỗ giữa phương phỏp tổng hợp và phương phỏp tọa độ. Vỡ
vậy, để khắc phục thực trạng này và tỡm ra phương phỏp dạy học thớch hợp
với học sinh THPT tụi chọn đề tài:
“Rốn luyện kỹ năng vận dụng phƣơng phỏp tọa độ giải toỏn hỡnh
học khụng gian lớp 12 trung học phổ thụng “
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xõy dựng được một hệ thống cỏc bài toỏn nhằm rốn luyện kỹ năng
vận dụng phương phỏp tọa độ để giải cỏc bài toỏn hỡnh học khụng gian lớp 12
theo định hướng kết hợp giữa hỡnh học và đại số thỡ học sinh sẽ giải toỏn hỡnh

học khụng gian tốt hơn, giỳp khắc phục được những khú khăn và sai lầm của
học sinh, nõng cao chất lượng dạy và học chủ đề phương phỏp tọa độ trong
hỡnh khụng gian ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiờn cứu
- Cở sở lý luận của phương phỏp tọa độ
- Ứng dụng của phương phỏp tọa độ vào giải cỏc bài toỏn hỡnh học khụng
gian.
- Rốn luyện kỹ năng vận dụng phương phỏp tọa độ vào giải cỏc bài toỏn
hỡnh học khụng gian.
- Đề xuất phương phỏp dạy học thớch hợp để sử dụng cú hiệu quả cỏc kết
quả nghiờn cứu.
4. Phƣơng phỏp nghiờn cứu
Trong luận văn chỳng tụi đó phối hợp sử dụng cỏc phương phỏp nghiờn cứu:


- Phương phỏp nghiờn cứu lý luận:
Nghiờn cứu cỏc sỏch về giỏo dục học mụn Toỏn, Tõm lý học, cỏc sỏch về
khoa học toỏn học, sỏch giỏo khoa, sỏch tham khảo, tạp chớ giỏo dục, tạp chớ
toỏn học và tuổi trẻ, cỏc cụng trỡnh nghiờn cứu… liờn quan trực tiếp và phục vụ
cho đề tài.
- Phương phỏp điều tra, quan sỏt:
Lờn lớp, dự giờ, trao đổi với cỏc giỏo viờn khỏc, làm thực nghiệm sư phạm
để nắm được việc dạy của giỏo viờn, việc học của học sinh trong việc sử dụng
phương phỏp tọa độ vào giải toỏn hỡnh học khụng gian.
- Phương phỏp tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết những kinh nghiệm cú được qua thực tế giảng dạy và trao đổi kinh
nghiệm với giỏo viờn dạy giỏi bộ mụn Toỏn.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài cỏc phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn
gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của phương phỏp tọa độ
Chương 2: Rốn luyện những kỹ năng cơ bản giải toỏn bằng phương
phỏp tọa độ.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm


Chƣơng 1
CƠ SỞ Lí LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1.1 . Sơ lƣợc về lịch sử ra đời phƣơng phỏp tọa độ
Như chỳng ta đó biết, hỡnh học là một mảng kiến thức của ngành toỏn học ra
đời từ giai đoạn toỏn học cổ đại cỏch đõy hơn vài nghỡn năm với một khối
lượng kiến thức khổng lồ. Do đú khụng thể đưa toàn bộ kiến thức đú vào dạy
học cho cỏc thế hệ học sinh mà cần phải cú sự lựa chọn, sàng lọc hợp lý những
kiến thức hữu ớch đỏp ứng được yờu cầu cảu từng thời kỳ. Vỡ vậy, trong
chương trỡnh phổ thụng trước đõy đến nay đó được thu gọn và cắt bớt để
nhường chỗ cho phương phỏp tọa độ.
Đại số và hỡnh học là hai mảng kiến thức khỏc nhau trong toỏn học, nhưng
với phương phỏp tọa độ thỡ hai mảng kiến thức này lại dung hũa với nhau, cựng
nhau phỏt triển. Sự ra đời của phương phỏp tọa độ đó thiết lập được mối quan
hệ mật thiết giữa hỡnh học và đại số. Tất cả cỏc định lý hỡnh học đều cú thể
chuyển thành những quan hệ đại số giữa cỏc con số, cỏc chữ và cỏc phộp toỏn
đại số. Và đõy là phỏt minh mang tớnh chất cỏch mạng lớn trong toỏn học vỡ nú
giỳp cho toỏn học núi chung và hỡnh học núi riờng thoỏt khỏi tư duy cụ thể để
đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khỏi quỏt. Engels đó viết: “ Đại lượng
biến thiờn của Descartes là một bước ngoặt trong toỏn học. Nhờ nú mà vận
động và biện chứng đó đi vào toỏn học”.
Mụn hỡnh học ra đời từ thời Euclid ( Thế kỷ thứ III trước cụng nguyờn )
nhưng đến năm 1619, Rene Descartes – Một nhà triết học kiờm vật lý và toỏn
học người Phỏp ( 1596 – 1650 ) đó khỏm phỏ ra những nguyờn lý của mụn hỡnh
học giải tớch. ễng đó dựng đại số để đơn giản húa hỡnh học cổ điển. Cụng trỡnh

toỏn học chủ yếu của ụng là quyển “ La gộometrie “ (Hỡnh học, xuất bản năm
1637) của nhà toỏn học thiờn tài này đó đặt nền tảng cho hỡnh học giải tớch, ụng
đó trỡnh bày về phương phỏp tọa độ: với một hệ trục tọa độ xỏc định, vớ dụ


trong khụng gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuụng gúc ta cho điểm (x, y, z); cho
mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2  0 và D là 1 số),…Núi cỏch
khỏc trong phương phỏp tọa độ, người ta dịch chuyển những đối tượng, tớnh
chất hỡnh học sang khung đại số và dẫn đến những phộp toỏn trong khung đú. Ở
đõy, phộp toỏn đại số là hạt nhõn của phộp giải toỏn và về nguyờn tắc nú tỏch
khỏi trực giỏc hỡnh học.
Hỡnh học được trỡnh bày theo phương phỏp tọa độ mà ngày nay gọi là hỡnh
học giải tớch. Mụn hỡnh học giải tớch ra đời đó cung cấp cho chỳng ta những
phương phỏp nghiờn cứu hỡnh học bằng cụng cụ đại số. Trờn cơ sở của sự phỏt
triển và hoàn chỉnh mụn hỡnh học giải tớch, những tư tưởng của phương phỏp
tọa độ đó khai sinh ra cỏc chuyờn ngành toỏn học mới.
Nhõn loại đó tụn Rene Descartes lờn hàng bất tử vỡ ụng đó phỏt minh ra một
phương phỏp nghiờn cứu hỡnh học mới bằng ngụn ngữ và phương phỏp đại số.
Đỏnh giỏ phương phỏp tọa độ của Descartes trong hỡnh học, nhiều nhà Bỏc học
đó nhận xột: “ Nhờ cú Descartes mà chỳng ta biết sử dụng đại số và giải tớch
làm hoa tiờu trờn biển cả khụng bản đồ” hay “Descartes khụng xem xột lại hỡnh
học mà sỏng tạo ra nú”.
Ngày nay, trong chương trỡnh hỡnh học của trường phổ thụng từ năm 1991,
học sinh đó được học về vộctơ, cỏc phộp toỏn về vộctơ đồng thời dựng vộctơ
làm phương tiện trung gian để chuyển cỏc khỏi niệm hỡnh học và cỏc mối quan
hệ giữa cỏc đối tượng hỡnh học sang khỏi niệm đại số và quan hệ đại số. Vớ dụ
trong khụng gian muốn xỏc định vị trớ tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
nào đú, ta sẽ viết phương trỡnh của đường thẳng và phương trỡnh của mặt
phẳng, rồi tỡm nghiệm của hệ hai phương trỡnh ấy, tựy theo hệ phương trỡnh
này cú nghiệm như thế nào ta sẽ kết luận rằng đường thẳng cắt mặt phẳng hoặc

đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc đường thẳng thuộc mặt phẳng.


Đỏp ứng yờu cầu của chương trỡnh cải cỏch giỏo dục, phương phỏp tọa độ
trong khụng gian được đưa vào chương trỡnh hỡnh học cuối cấp THPT với
những yờu cầu cơ bản sau:
-

Về kiến thức: Học sinh cần nhận thức được thực chất của nghiờn cứu

phương phỏp tọa độ ở trường phổ thụng là nghiờn cứu một cỏch thể hiện khỏc
của hệ cỏc tiờn đề hỡnh học khụng gian. Việc đưa hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc
cho phộp đặt tương ứng mỗi vộctơ trong khụng gian với bộ 3 số thực sắp thứ tự
(x, y, z). Khi đú mặt phẳng là bộ 3 số (x, y, z) thỏa món: Ax + By + Cz + D = 0
(A2 + B2 + C2  0 và D là 1 số),… Từ cỏc kiến thức dẫn xuất suy từ cỏc tiờn đề
được trỡnh bày bằng tọa độ, bằng cỏch đại số húa. Học sinh nắm được những
kiến thức về hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, tọa độ của vộctơ , biểu thức tọa
độ của cỏc phộp toỏn vộctơ, phương trỡnh đường thẳng, phương trỡnh mặt
phẳng, phương trỡnh mặt cầu, cỏc cụng thức tớnh gúc và tớnh khoảng cỏch.
-

Về kỹ năng: Kỹ năng xỏc định tọa độ vộctơ, tọa độ của điểm bằng cỏch

sử dụng tọa độ vộctơ hoặc hỡnh chiếu vuụng gúc lờn cỏc hệ trục tọa độ; kỹ
năng lập cỏc dạng phương trỡnh đường thẳng trong khụng gian, lập phương
trỡnh mặt phẳng; cỏc kỹ năng về xỏc định khoảng cỏch, xỏc định gúc giữa cỏc
yếu tố trong khụng gian; kỹ năng lập phương trỡnh đường trũn theo cỏc yếu tố:
tõm, bỏn kớnh, điều kiện tiếp xỳc với đường thẳng và đương trũn, tớnh phương
tớch của một điểm với đường trũn; kỹ năng lập phương trỡnh mặt cầu, xỏc
định tõm và bỏn kớnh, xỏc định giao của mặt phẳng và mặt cầu, lập phương

trỡnh tiếp diện của mặt cầu.
-

Về phương phỏp: Đảm bảo sự cõn đối cho học sinh nắm vững cỏc mặt cỳ

phỏp và ngữ nghĩa trong việc dạy học cỏc nội dung. Chỳ trọng khai thỏc cỏc ứng
dụng khỏc nhau của từng khỏi niệm, định lý, quy tắc, cỏc tớnh chất,..Chỳ trọng
cỏc yếu tố trực quan ảo nhờ sự hỗ trợ của mỏy tớnh điện tử.
1.2 .Cỏc loại hệ tọa độ


1.2.1 Hệ tọa độ afin – Hệ tọa độ xiờn




* Hệ tọa độ afin: Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và 3 vộctơ cơ sở e1 , e2 ,


e3 . Cỏc vộctơ này đều khỏc vộctơ 0 và tạo thành 3 vộctơ khụng đồng phẳng.

* Tọa độ afin của một điểm trong khụng gian: Trong khụng gian, giả sử điểm M








ta cú: OM  x0 e1  y0 e2  z0 e3 . Bộ 3 số (x0, y0, z0) được gọi là tọa độ của điểm M
  

đối với hệ tọa độ afin 0; e1 , e2 , e3
* Phương trỡnh đường thẳng trong hệ tọa độ afin của khụng gian:
  

Trong khụng gian cho hệ tọa độ afin 0; e1 , e2 , e3 và cho đường thẳng đi


qua điểm M0 (x0, y0, z0) cú vộctơ chỉ phương u   ,  ,   . M ( x, y, z )  d
 x  x0   t
 
Phương trỡnh tham số của đường thẳng d : M 0 M  tu   y  y0   t
z  z   t
0


Phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng d:
Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0

 '
'
'
'
'2
'2
'2

 A x  B y  C z  D  0, A  B  C  0

* Phương trỡnh mặt phẳng trong hệ tọa độ afin của khụng gian:
  

Giả sử trong khụng gian cho hệ tọa độ afin 0; e1 , e2 , e3 . Gọi (P) là mặt


phẳng đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và cú cặp vộctơ chỉ phương là a  (a1 , a2 , a3 ) và

b  (b1 , b2 , b3 ) độc lập tuyến tớnh:
 x  x0  t1a1  t2b1
 x  x0  t1a1  t2b1




M ( x, y, z )  ( P)  MM 0  t1 a  t 2 b   y  y0  t1a2  t 2b2   y  y0  t1a2  t 2b2
z  z  t a  t b
z  z  t a  t b
0
1 3
2 3
0
1 3
2 3



Hệ phương trỡnh trờn được gọi là phương trỡnh tham số của mặt
phẳng (P) trong đú t1, t2 là cỏc tham số.

Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0


1.2.2 Hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc – Hệ tọa độ trực chuẩn
Chỳ ý: Hệ tọa độ Đề cỏc là một hệ tọa độ afin đặc biệt tức là trong khụng
  

gian hệ tọa độ afin 0; e1 , e2 , e3 trở thành hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc nếu ta cú: |



     
e1 |=| e2 |=| e3 |=1 và e1  e2 , e2  e3 , e3  e1 . Do đú cỏc vấn đề cú liờn quan đến hệ tọa

độ afin ở trờn vẫn được xột tương tự như đối với hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc.
Tọa độ của vộc tơ và của điểm trong hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc:
  





Đối với hệ tọa độ trực chuẩn 0; e1 , e2 , e3 ta cú: u  ( x1; y1; z1 ); v  ( x2 ; y2 ; z2 )
+ Hai vộctơ bằng nhau khi và chỉ khi cỏc tọa độ của chỳng bằng nhau

+ Tớch của một vộctơ với 1 số: ku  (kx1; ky1; kz1 ); k  R
 

+ Tổng hai vộctơ: u  v  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 )




+ Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA  k MB . Khi đú điểm M
x A  kxB

 xM  1  k

y  kyB
cú tọa độ:  yM  A
1 k

z A  kz B

 zM  1  k




+ Tớch vụ hướng của 2 vộctơ: u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2

2
2
2
2
+ Bỡnh phương vụ hướng: u  x1  y1  z1


+ Độ dài của vộctơ: u  x12  y12  z12


u.v
+  là gúc tạo bởi 2 vộctơ thỡ: cos    
| u |.| v |

x1 x2  y1 y2  z1z 2
x  y12  z12 . x2 2  y2 2  z 2 2
2
1

+ Tớch cú hướng của 2 vộctơ:

    y1 z1 z1 x1 x1 y1 
w  [u, v]= 
;
;
  ( x3; y3; z3 )
y
z
z
x
x
y
 2 2 2 2 2 2


Phương trỡnh đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc
được thành lập như đối với hệ tọa độ afin.
Vị trớ tương đối của 2 mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 và
A' x  B' y  C ' z  D'  0, A'2  B'2  C '2  0

+ 2 mặt phẳng trựng nhau 

A B C D



A' B' C ' D'

+ 2 mặt phẳng song song 

A B C D



A' B' C ' D'

+ 2 mặt phẳng cắt nhau  A : B : C  A' : B' : C '
+ 2 mặt phẳng vuụng gúc với nhau  AA'  BB'  CC '  0
Vị trớ tương đối của 2 đường thẳng: Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M0


(x0, y0, z0) cú vộctơ chỉ phương u  (a, b, c) và đường thẳng (d’) đi qua điểm M’0

'
'
'
'
’
’
’

u
(x 0, y 0, z 0) cú vộctơ chỉ phương  (a , b , c ) . Ta cú:
 ' '

+ d và d đồng phẳng  u, u  .M 0 M o  0


 ' '
'
'
'
+ d và d’ cắt nhau  u, u  .M 0 M o  0, a : b : c  a : b : c


 ' '
’

+ d và d chộo nhau  u, u  .M 0 M o  0


’

+ d trựng với d’  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )
+ d song song với d’  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )

 '
+ d vuụng gúc với d  u.u  0
’

Vị trớ tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (  ) lần lượt cú phương trỡnh là:
(d):

x  x0 y  y0 z  z0


;
a
b
c

(  ): Ax + By + Cz + D = 0


Aa  Bb  Cc  0
Ax 0  By0  Cz0  D  0

+ (d) thuộc mặt phẳng (  )  

Aa  Bb  Cc  0
Ax 0  By0  Cz0  D  0

+ (d) song song với mặt phẳng (  )  

+ (d) cắt mặt phẳng (  )  Aa  Bb  Cc  0
+ (d) vuụng gúc với mặt phẳng (  )  A : B : C  a : b : c
Tớnh gúc trong hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc:


+ Cho đường thẳng (d) cú vộctơ chỉ phương u  (a, b, c) và đường thẳng (d’) cú


'
'
'
'
vộctơ chỉ phương u  (a , b , c ) .  là gúc giữa hai đường thẳng (d) và (d’)
được tớnh theo cụng thức:

 '
cos | cos(u, u ) |

aa '  bb'  cc '
a 2  b2  c 2 . a '2  b'2  c'2


+ Cho đường thẳng (d) cú vộctơ chỉ phương u  (a, b, c) và mặt phẳng (P) cú



vộctơ phỏp tuyến n  ( A; B; C ) .  là gúc nhọn giữa đường thẳng (d) và mặt
phẳng (P) được tớnh theo cụng thức:

sin  

Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2


+ Cho 2 mặt phẳng (P) và (P ) lần lượt cú vộctơ phỏp tuyến là: n  ( A; B; C ) và
’


n'  ( A' ; B' ; C ' ) .  là gúc nhọn giữa 2 mặt phẳng được tớnh theo cụng thức:

cos 

AA'  BB'  CC '
A2  B 2  C 2 . A'2  B '2  C '2

Tớnh khoảng cỏch trong hệ tọa độ Đề cỏc vuụng gúc
+ Khoảng cỏch giữa 2 điểm: Cho 2 điểm A(a1; b1; c1); B(a2 ;b2; c2). Ta cú:



d ( A, B) | AB | (a2  a1 )2  (b2  b1 )2  (c2  c1 ) 2

+ Khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng trong khụng gian:
Khoảng cỏch từ điểm M0 (x0, y0, z0) đến mặt phẳng (  ) cú phương trỡnh: Ax +
By + Cz + D = 0 được tớnh theo cụng thức:
d ( M 0 , ( )) 

Ax 0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

+ Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng trong khụng gian:
Khoảng cỏch từ điểm M1(x1; y1; z1) đến đường thẳng (d) cú phương trỡnh
x  x0 y  y0 z  z0


được tớnh theo cụng thức:

a
b
c
 
 M 0 M1 , u 



u
 (a, b, c) là vộctơ chỉ phương
trong
đú
M
(x
,
y
,
z
)
d,
d (M1 , d ) 


0
0
0
0
u

 





của (d) và  M 0 M1 , u  là diện tớch hỡnh chữ nhật cú cạnh là M 0 M1 và u . Do đú
cụng thức trờn được tớnh:

y1  y0 z1  z0
d (M1 , d ) 

b

c

2



z1  z0 x1  x0
c

2

a



x1  x0 y1  y0
a

2

b

a 2  b2  c 2

Lưu ý: Muốn tớnh khoảng cỏch từ M1 đến đường thẳng (d) ta cú thể thực hiện
cỏc bước sau đõy:
Bước 1: Lập phương trỡnh mặt phẳng (P)

d

đi qua M1 và vuụng gúc với (d)
Bước 2: Tỡm giao điểm H = ( P)  d
Bước 3: Tớnh M1H  d  M1 , d 

P

+ Khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

M
1

H
M
0


x  x0 y  y0 z  z0



a
b
c
x  x '0 y  y '0 z  z '0
(d 2 ) :


a'
b'
c'
(d1 ) :

Ta có: d 

(bc'  b'c)( x0  x'0 )  (ca '  c 'a)( y0  y '0 )  (ab'  a 'b)( z0  z '0 )
(bc'  b'c)2  (ca '  c ' a)2  (ab'  a 'b)2

Phương trỡnh cỏc mặt bậc hai đơn giản trong khụng gian:
 Mặt cầu
+ Định nghĩa: Cho điểm I (a; b; c) cố định và khoảng cách R cho trƣớc không đổi.
M thuộc mặt cầu (S)  IM Tập hợpcác điểm M là mặt cầu tâm I bán kính R.
+ Phƣơng trình mặt cầu tâm I bán kính R:
Dạng 1: (x-a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
Đặc điểm phƣơng trình mặt cầu:
+ Các hệ số của x2, y2, z2 bằng nhau.
+ Không có các số hạng chứa cách tích xy, yz, zx. Do đó ta có:
Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phƣơng trình mặt cầu tâm I (a; b;
c) và bán kính R = a 2  b 2  c 2  d với điều kiện: a2 + b2 + c2 - d ≥ 0.

Chú ý:
- Ta có thể chuyển dạng 2 về dạng 1 để tìm tâm và bán kính của mặt cầu, khi
cần tìm tập hợp điểm trong không gian thoả mãn một số tính chất nào đó của bài
toán mà ta tìm đƣợc phƣơng trình dạng 2 thì ta có thể căn cứ vào đó để kết luận khi
nào tập hợp cần tìm đó là một mặt cầu.
- Từ phƣơng trình của mặt cầu ta dễ dàng viết đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn
trong không gian là một hệ gồm hai phƣơng trình trong đó:
Mỗi phƣơng trình là phƣơng trình của một mặt cầu với điều kiện 2 mặt cầu
này cắt nhau.


Có một phƣơng trình mặt cầu và một phƣơng trình mặt phẳng với điều kiện
mặt phẳng cắt mặt cầu.
* Cho mặt cầu (S): (x-a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 và mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0
- Khoảng cách d từ tâm I (a; b; c) của (S) tới (α) là: d =

aA  bB  cC  D
A2  B 2  C 2

+ Nếu d < R thì (α)  (S) = đƣờng tròn (C) có phƣơng trình:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2
Ax + By + Cz + D = 0
+ Nếu d = R thì (α) tiếp xúc với (S).
+ Nếu d > R thì (α)  (S) = Ф.
- Giao của 2 mặt cầu: Cho 2 mặt cầu (S): (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2.
(S’): (x – a’)2 + (y – b’)2 + (z-c’)2 = R2.
d là khoảng cách 2 tâm của (S) và (S’) khi đó:
+ d > R + R’  2 mặt cầu ngoài nhau.
+ d = R + R’  2 mặt cầu tiếp xúc ngoài.

+  R - R’ < d < R + R’  2 mặt cầu cắt nhau và khi đó giao tuyến là đƣờng
tròn (C) có phƣơng trình:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
(x - a’)2 + (y - b’)2 + (z - c’)2 = R2
+ d = R - R’ 2 mặt cầu tiếp xúc trong.
+ 0 < d < R-R’ 2 mặt cầu lồng nhau.
+ d = 0  2 mặt cầu đồng tâm.
- Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu: Trong trƣờng hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 – d ≥ 0 tại điểm M


(xo, yo, zo) thì mặt phẳng tiếp xúc đƣợc gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại
điểm M và có phƣơng trình là:
xxo + yyo + zzo + a(x + xo) + b ( y – yo) + c (z + zo) + d = 0
- Phƣơng tích của điểm P(x1, y1, z1) đối với mặt cầu (S):
PP/(S) = x21 + y21 + z21 + 2ax1 + 2by1 + 2cz1 + d
- Mặt phẳng đẳng phƣơng của 2 mặt cầu (S) và (S’) không đồng tâm:
(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 –d ≥ 0
(S): x2 + y2 + z2 + 2a’x + 2b’y + 2c’z + d’ = 0 với a’2 + b’2 + c’2 - d ≥ 0
Mặt phẳng đẳng phƣơng có phƣơng trình:
(): (a – a’)x + (b – b’)y + (c – c’)z +

d  d'
=0
2

với (a – a’)2 + (b – b’) + (c – c’)2 ≠ 0.
 Mặt trụ:
Chú ý: Khi thành lập phƣơng trình mặt trụ trong không gian, chúng ta cần chú
ý rằng nếu đƣờng chuẩn (C) đƣợc cho bởi phƣơng trình F(x, y) = 0 trong mặt

phẳng.Trong không gian đƣờng cong phẳng này đƣợc biểu thị bằng hệ phƣơng
 F ( x, y )  0
z  0

trình: (C): 

Nếu xét phƣơng trình F(x, y) = 0 trong hệ toạ độ Oxyz của không gian thì
phƣơng trình đó biểu thị cho ta một mặt trụ có đƣờng sinh song song với trục Oz
và nhận đƣờng cong (C) nói trên làm đƣờng chuẩn.
- Phƣơng trình mặt trụ tròn xoay có đƣờng sinh song song với trục Oz và có
bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (phƣơng trình không chứa z).
- Phƣơng trình mặt trụ tròn xoay có đƣờng sinh song song với trục Oy và có
bán kính R: (x – a)2 + (z – c)2 = R2 (phƣơng trình không chứa y).


- Phƣơng trình mặt trụ tròn xoay có đƣờng sinh song song với trục Ox và có
bán kính R: (y– b)2 + (z – c)2 = R2 (phƣơng trình không chứa x).
* Mặt tròn:
- Phƣơng trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Oz, góc ở đỉnh 2α
là: x2 + y2 - z2tg2α = 0
- Phƣơng trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Oy, góc ở đỉnh 2α
là: x2 + z2 - y2tg2α = 0
- Phƣơng trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Ox, góc ở đỉnh 2α
là: y2 + z2 – x2tg2α = 0.
1.2.3 Tọa độ cực
Trong khụng gian 0xyz, tọa độ cực của một điểm P được xỏc định bởi
một bộ bốn số cú thứ tự   ,  ,  ,   , trong đú:
 
 
 

 = OP;   Ox, OP ;   (Oy; OP);   (Oz; OP)





Giữa tọa độ Đề cỏc (x, y, z) của điểm P và tọa độ cực của điểm đú cú cỏc
hệ thức sau đõy:
 x   cos
 y   cos

 z   cos

  x 2  y2  z2


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phựng Hồng Kổn: Dạy và học với mỏy tớnh hỡnh học khụng gian lớp 12,
NXB Giỏo dục, 2008.
2. Bựi Văn Nghị: Giỏo trỡnh phương phỏp dạy học những nội dung cụ thể mụn
Toỏn, NXB Đại học sư phạm, 2008.
3. TS. Nguyễn Phỳ Lộc: Lịch sử toỏn học, NXB Giỏo dục, 2008.


4. Đào Tam: Phương phỏp dạy học hỡnh học ở trường THPT, NXB Đại học sư
phạm Hà Nội, 2007.
5. Nguyễn Bỏ Kim ( chủ biờn ) – Vũ Dương Thụy: Phương phỏp dạy học mụn
Toỏn ( dựng cho cỏc trường Đại học sư phạm), NXB Giỏo dục, 1992.
6. Nguyễn Như í ( chủ biờn ) – Nguyễn Văn Khang – Vũ Quang Hào – Phan
Xuõn Thành ( Thư ký ) : Đại từ điển tiếng Việt, NXB Văn húa thụng tin,

1999.
7. Từ điển bỏch khoa Việt Nam 2, NXB Từ điển bỏch khoa, 2002
8. Nguyễn Tuấn Quế - Bựi Anh Tuấn – Tuấn Điệp: ễn kiến thức, luyện kỹ
năng giải cỏc dạng toỏn quan trọng về hỡnh học, NXB Đại học sư phạm,
2009.
9. Trần Thị Võn Anh: Phương phỏp giải toỏn tự luận hỡnh học giải tớch 12,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008.
10. Ngụ Long Hậu – Mai Trường Giỏo: Tổng hợp kiến thức cơ bản và nõng cao
hỡnh học 12, NXB Đại học sư phạm, 2008.
11.PGS.TS Đậu Thế Cấp – Nhà giỏo ưu tỳ Trần Minh Giới – Nguyễn Văn Quý:
Tuyển tập cỏc bài toỏn hay và khú hỡnh học tự luận và trắc nghiệm 12, NXB
Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chớ Minh, 2008.
12.Nguyễn Thế Thạch ( chủ biờn ) – Nguyễn Hải Chõu – Phạm Đức Quang –
Nguyễn Thị Quý Sửu – Hà Xuõn Thành: Cõu hỏi và bài tập theo chuẩn kiến
thức kỹ năng hỡnh học 12, NXB Đại học Sư phạm, 2008.
13.Đỗ Mạnh Hựng – Phan Thị Luyến – Nguyễn Lan Phương: Kiểm tra, đỏnh giỏ
kết quả học tập hỡnh học 12, NXB Giỏo dục, 2008.
14.Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biờn ) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biờn ) – Khu Quốc
Anh – Trần Đức Huyờn: Hỡnh học 12, NXB Giỏo dục, 2008.
15.Trần Vinh: Thiết kế bài giảng hỡnh học 12, NXB Hà Nội, 2008.


16.Nguyễn Thanh Hưng (Trường ĐH Tõy Nguyờn ): Ba cấp độ tri thức của
phương phỏp tọa độ, Tạp chớ giỏo dục, 1/2004.
17.Nguyễn Bỏ Kim: Những xu hướng dạy học khụng truyền thống, Tài liệu bồi
dưỡng giỏo viờn, Hà Nội , 2002.
18.Nguyễn Đỡnh Phựng: Rốn luyện phương phỏp tọa độ cho học sinh phổ thụng
để giải bài toỏn hỡnh học khụng gian, Luận ỏn thạc sỹ khoa học ĐHSP Hà
Nội, 2000.
19.Tụ Thị Thoa: Một số biờn phỏp sư phạm nhằm nõng cao chất lượng dạy học

chủ đề phương phỏp tọa độ trong khụng gian ở trường THPT Việt Nam,
Luận văn thạc sỹ giỏo dục, Viện KHGD, 2000.
20.Phạm Đức Quang: Giỳp học sinh tỡm lời giải một số bài tập hỡnh học theo
phương phỏp tọa độ, tạp chớ giỏo dục, 11/2003.