De thi HSG Thanh Hoa 07-08

Sở Giáo Dụcvà Đào Tạo Kỳ thi học sinh giỏi
thanh hoá lớp 12 THPT , BTTHPT, lớp 9 THCS
Đề chính thức Năm học : 2007-2008
Môn thi: Toán lớp 9 THCS
Ngày thi: 28/3/2008
Thời gian: 150 phútkhông kể thời gian giao đề

Câu 1: (6 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A =
( )
2 2
2 2
5 9 6
3 2 9
x x x x
x x x x
+ + +
+ +
2) Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
6x y z
x y z
+ + + + + =
3) Tính giá trị của biểu thức: P = x
2006
+ y
2007
+z
2008

Câu 2: (4điểm)
Cho tứ giác ABCD có góc A vuông, góc D = 120
0
và các cạnh AB = 2 3 cm,
AD = 4 cm, DC = 2 cm . Gọi M là trung điểm của cạnh AD.
1) Chứng minh BM

MC
2) Tính độ dài cạnh BC.
Câu 3: (6 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:
( )
( )
( )
6 5
12 7
4 3
x y xy
y z yz
x z zx
+ =

+ =


+ =

2) Cho số thực dơng thoả mãn điều kiện : x + y + z = 2008
Chứng minh rằng:
4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3
2008
x y y z z x
x y y z z x
+ + +
+ +
+ + +
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của cạnh BC , đờng phân giác
ngoài của góc A cắt đờng thẳng BC tại D. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt
tia AB tại E và tia đối của tia AC tại F . Gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh
MN // AD.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai tập hợp A và B thoả mãn đồng thời 2 điều kiện a, b sau :
a) Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dơng phân biệt và
nhỏ hơn 2008.
b) Tổng số các phần tử của hai tập hợp lớn hơn 2008.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của tập hợp A và một phần tử
của tập hợp B có tổng bằng 2008.
-------------------------------------Hết------------------------------------------
Số báo danh
K
N
D
E
F
M
C
B
A

Gọi K đối xứng với F qua M
Tứ giác FBKC là hình bình hành

FC // BK

ã
ã
BKM MEB=
ã
ã
BKM MFA=
Mà
ã
ã
AEM MFA=



ã
ã
BKM MEB=

Tứ giác BMKE
nội tiếp


ã ã
BEK DAE=
ã
ã

ã
ã
BEK FMD FAD DAE= = =


ã ã
BEK DAE=


AD // EK
Do N là trung điểm củaEF , M là trung điểm của FK

MN // EK

MN // DA