sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

MỤC LỤC
Trang
A – MỞ ĐẦU............................................................................................. 2 – 3
B – NỘI DUNG ........................................................................................4 – 20
I.Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề...................................................4 – 8
1.Một số kiến thức cơ bản về Hình Học phẳng .................................4
2.Một số kiến thức cơ bản về Hình Học không gian .........................7
II.Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy .............9 – 18
1.Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy................................................................................10
2.Vấn đề 2: Trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông góc với
mặt phẳng đáy................................................................................12
3.Vấn đề 3: Trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc với mặt
phẳng đáy.......................................................................................13
4.Vấn đề 4: Trong khối đa diện có tất cả các cạnh bên cùng tạo với
mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng
nhau ...............................................................................................14
5.Vấn đề 5: Trong khối đa diện có tất cả các mặt bên cùng tạo với
mặt phẳng đáy một góc bằng nhau .................................................16
III.Kết quả thực dạy...............................................................................19
C – LỜI KẾT..................................................................................................21

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 1


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

A – MỞ ĐẦU
I – Lý do chọn đề tài:
1. Lý do khách quan:
Hình Học không gian là mảng kiến thức tương đối khó đối với học sinh
THPT nói chung và học sinh lớp 12 nói riêng. Để làm tốt bài toán này học sinh
ngoài việc nắm chắc kiến thức Hình Học phẳng trong chương trình môn Toán
bậc THCS để giải quyết các vấn đề liên quan đến phần định lượng trong bài
toán thì học sinh còn phải có kỹ năng tư duy trừu tượng để định hướng được các
vấn đề liên quan đến phần định tính trong bộ môn này. Vì thế để giúp học sinh
làm tốt bài toán “Hình học không gian” trong kỳ thi tốt nghiệp THPT thì giáo
viên cần trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về hình học phẳng và một số
phương pháp tư duy trừu tượng đặc trưng của bộ môn nhằm giúp học sinh tìm
ra các phương án tối ưu để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra.
2. Lý do chủ quan:
Là một Huyện vùng sâu, vùng xa của Tỉnh Bình Phước, điều kiện dạy và học
còn gặp rất nhiều khó khăn. Ngoài giờ đến lớp đại đa số học sinh phải về nhà
làm phụ cho gia đình, mặt khác điều kiện về cơ sở vật chất của Nhà trường còn
nhiều thiếu thốn, nên việc dạy và học bộ môn Toán của Nhà trường còn rất hạn
chế. Mặt khác trình độ của đại đa số học sinh chỉ ở mức trung bình và yếu nên
việc tiếp thu kiến thức bộ môn cũng rất khó khăn. Hơn nữa mảng kiến thức về
Hình Học không gian lại yêu cầu về tính liên thông kiến thức giữa các lớp học
khá nhiều và các bài toán liên quan đến Hình Học không gian trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT lại cần mức độ tư duy khá cao, nên việc giải quyết được bài
toán này đối với học sinh có học lực trung bình và trung bình khá là rất khó
khăn. Đứng trước những vấn đề đó, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu để tìm
ra các phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của
mình, giúp học sinh tiếp cận kiến thức bộ môn được tốt và đạt hiệu quả cao nhất
nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy của Nhà trường và chất lượng bộ môn
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 2


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Với những kinh nghiệm thu thập được tôi xin giới
thiệu để quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo và thảo luận.
II – Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:
1. Thu thập thông tin từ thực tế giảng dạy.
2. Thống kê các bài kiểm tra, bài thi để đánh giá mức độ hiệu quả của đề tài.
3. Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp để rút kinh nghiệm.
4. Dự giờ đồng nghiệp, mời đồng nghiệp dự giờ để cùng trao đổi và thảo
luận.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 3


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề:
Nhìn chung các bài toán liên quan mảng kiến thức Hình Học không gian là
khá rộng lớn, trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày các vấn đề liên
quan đến kỹ năng xác định đường cao và một số tính chất cơ bản nhằm tính
được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy trong khối đa diện để giải quyết bài
toán “Tính thể tích khối đa diện” trong chương trình môn Hình Học 12, giúp
học sinh làm tốt bài toán “Hình học không gian” trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Sau đây là các tiên đề, tính chất, định lý và các hệ quả cần thiết liên quan
đến bài toán, mà tôi sẽ trình bày dưới dạng các tính chất:
1. Một số kiến thức cơ bản về Hình Học phẳng:
a.

Tính chất 1: (Các công thức tính diện tích tam giác)
 Diện tích tam giác bất kỳ: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b,
BC = a; đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C lần lượt là ha, hb,
hc; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Ta có

 Diện tích tam giác vuông: Nếu tam giác vuông có độ dài hai cạnh
góc vuông là a và b thì có diện tích là:
 Diện tích tam giác đều:
Nếu tam giác đều có cạnh bằng a thì có diện tích là:

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 4


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

(SGK Hình Học 10 – CB)
b.

Tính chất 2: (Các công thức tính diện tích tứ giác lồi)
 Tứ giác bất kỳ:
Nếu tứ giác bất kỳ có hai đường chéo là d1, d2 và góc giữa chúng là
thì có diện tích là:
 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

Nếu tứ giác có hai đường chéo d1, d2 vuông góc nhau thì có diện
tích là:
 Hình thang:
Nếu hình thang có chiều dài hai đáy lần lượt là a, b và có đường
cao h thì có diện tích là:
 Hình chữ nhật:
Nếu hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b thì có diện tích
là: S = a.b
 Hình vuông:
Nếu hình vuông có chiều dài cạnh là a thì có diện tích là: S = a2
(SGK Toán 8 – Tập 1)

c.

Tính chất 3: (Công thức chung để tính diện tích đa giác lồi)
Việc tính diện tích đa giác bất kỳ ta thường chia chúng thành các

tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đó để tính.
(SGK Toán 8 – Tập 1)
d.

Tính chất 4: (Định lý Talet - Tính chất đồng dạng của tam giác)
 Định lý Talet (thuận):
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 5

SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

 Định lý Talet (đảo): Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một
tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng
tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
 Tính chất hai tam giác đồng dạng:
Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ thì:

(SGK Toán 8 – Tập 2)
e.

Tính chất 5: (Các hệ thức lượng trong tam giác)
 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài ba cạnh lần lượt là BC =
a, AB = c, AC = b; đường cao xuất phát từ đỉnh A là ha; b’, c’ lần
lượt là hình chiếu vuông góc của b và c lên trên cạnh huyền BC.
Lúc đó ta có:
1. a2 = b2 + c2
2. b

2

5.

= a.b’;
6.

c2 = a.c’

3. h2 = b’.c’

7.

4. b.c = a.h

(SGK Toán 9 – Tập 1)
 Định lý hàm sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

 Định lý hàm cosin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 6


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

(SGK Hình Học 10 – CB)

2. Một số kiến thức cơ bản về Hình Học không gian:
a. Tính chất 1: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học
phẳng đều đúng.
(SGK Hình Học 11 - CB)
b. Tính chất 2: Công thức tính thể tích khối đa diện (Khối lăng trụ và

khối chóp)
 Khối lăng trụ: Nếu khối lăng trụ có diện tích đáy là B, đường cao
là h thì thể tích là: V = B.h
 Khối chóp: Nếu khối chóp có diện tích đáy là B, đường cao là h
thì thể tích là:
(SGK Hình Học 12 – CB)
c. Tính chất 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa hai mặt
phẳng
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặ
phẳng (P). Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P). Lúc đó
góc giữa d với (P) là góc giữa hai đường thẳng d và d’.
 Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Giả sử (P)
cắt (Q) theo giao tuyến là d. Trên d lấy một điểm I tùy ý; trong (P)
qua I dựng đường thẳng d1 vuông góc với d; trong (Q) qua I dựng
đường thẳng d2 vuông góc với d. Lúc đó góc giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
(SGK Hình Học 11 – CB)
d. Tính chất 4: Một số định lý và tính chất cơ bản làm cơ sở để xác
định đường cao trong khối đa diện
 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với
đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 7


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

(SGK Hình Học 11 – CB)
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì bất cứ đường thẳng nào

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc
với mặt phẳng kia.
(SGK Hình Học 11 – CB)
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
(SGK Hình Học 11 – CB)
 Nếu các cạnh bên trong một khối chóp cùng hợp với mặt đáy của
khối chóp đó một góc bằng nhau hoặc tất cả các cạnh bên bằng nhau
thì chân đường cao hạ từ đỉnh đến mặt phẳng đáy trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng đáy đó.
(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)
 Nếu các mặt bên trong một hình chóp cùng hợp với mặt đáy của
hình chóp đó một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh đến
mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp của đa giác nằm
trong mặt phẳng đáy đó.
(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)
e. Tính chất 5: Tỉ số thể tích của hai khối đa diện
 Để giải các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của hai khối đa
diện, ta phải phân chia chúng thành các khối chóp tam giác để áp
dụng tính chất cơ bản sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên 3
cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ tùy ý không trùng
với S.
Lúc đó:
(Bài tập số 4 – trang 25 – SGK Hình Học 12 – CB)
 Một khối lăng trụ tam giác luôn được phân chia thành 3 khối tứ
diện có thể tích bằng nhau.
(SGK Hình học 12 – CB)
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 8

SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

II. Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy:
Để tính được thể tích khối đa diện (chủ yếu là hai khối cơ bản đó là khối
lăng trụ và khối chóp) ta có thể hướng dẫn cho học sinh thực hành theo quy
trình ba bước như sau:
Bước 1: Xác định mặt đáy và đường cao tương ứng của khối đa diện
Bước 2: Lập công thức để tính thể tích của khối đa diện tương ứng
(Nếu khối đa diện là khối lăng trụ hoặc khối chóp thì đã có công
thức tính, còn các khối đa diện còn lại thì phải phân chia thành các
khối lăng trụ và khối chóp rồi lắp ghép để tính)
Bước 3: Tính diện tích mặt đáy và độ dài đường cao tương ứng.
Được kết quả thay vào công thức ở bước 2 tính ra được thể tích khối
đa diện.
Nếu căn cứ vào quy trình ba bước như trên chúng ta có thể thấy ở bước 1
và bước 2 mang tính chất định tính, còn bước 3 thì lại hoàn toàn mang tính chất
định lượng. Chính vì thế nếu chúng ta có thể hệ thống cho học sinh các kiến
thức cơ bản về bộ môn Hình Học phẳng thì tôi tin học sinh có học lực trung
bình khá có thể thực hiện được bước thứ 3. Tuy nhiên qua kinh nghiệm giảng
dạy khối 12 tôi nhận thấy rằng khó khăn học sinh khi làm bài toán này chủ yếu
là phần định tính, mà đặc biệt là ở bước 1, khó khăn ở đây chính là cách nhận
dạng và xác định được đường cao tương ứng với khối đa diện; nếu không làm
được việc này thì học sinh không thể đưa ra công thức để tính thể tích của khối
đa diện tướng ứng. Nhưng ngược lại nếu học sinh có thể xác định được đường
cao của khối đa diện thì lúc đó các em có thể dễ dàng thực hiện được bước thứ
2. Sau đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm để giúp học sinh chủ động và
linh hoạt trong việc xác định được đường cao của khối đa diện, làm nền tảng để
học sinh có thể giải quyết được bài toán “Tính thể tích của khối đa diện” trong

kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 9


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

1. Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện đã có một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt đáy thì đường cao
của khối đa diện hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC bằng 2a. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Giải
S

A
D

B
C

Diện tích mặt đáy là hình vuông ABCD và đường cao là SA
Ta có:
VS.ABCD = 1/3.SABCD. SA
Mà SABCD = a2 và
Vậy: V S.ABCD =

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
a, góc
cạnh SC sao cho

, các cạnh bên SA = SB = SC = SD = 2a. M là một điểm trên
. Tính thể tích khối tứ diện MBCD.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 10


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Giải
S

B

M
O

A

C

H
D

Do các cạnh bên bằng nhau nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Suy ra

đường cao MH của khối chóp M.BCD phải song song với SO (H thuộc cạnh
AC)
1
3

Ta có: VM .BCD  .SBCD .MH
1
2

Mà SBCD  CB.CD.sin 600 

a2 3
4

Ta lại có MH song song với SO, nên:
MH CM 1


SO
CS
4
1
1
 MH  SO 
SC 2  OC 2
4
4
1

SC 2  ( DC .cos30 0 ) 2

4
a 13

8

Vậy:
1
a3 39
VM .BCD  .SBCD .MH 
3
96

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 11


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Thông thường bài toán mà cho dưới dạng như vấn đề 1 nêu trên thì việc xác
định đường cao là khá đơn giản, công việc còn lại của học sinh đơn thuần chỉ là
thực hiện bước 3 theo quy trình 3 bước nêu ở trên.
2. Vấn đề 2: Trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông
góc với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt đáy thì đường cao của khối
đa diện chính là giao tuyến (nếu có) của hai mặt bên đó.
Ví dụ : Cho hình chóp tam giác S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là một tam giác đều có cạnh bằng a,
cạnh bên SB tạo với đáy một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải
S

A

a

300

B

C
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vậy khối chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC và đường cao là SA.
Ta có: V  1 S ABC .SA  1 ( 1 AB. AC.sin 600 )( AB.tan 300 )  a
3

3 2

3

12

Bài toán này thì bước 3 trong quy trình 3 bước thực hiện khá đơn giản,
tuy nhiên khó khăn ở đây chính là bước 1, học sinh phải có kiến thức hình học
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 12

SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

không gian lớp 11 thì mới nhận ra được SA chính là đường cao của khối chóp
S.ABC.
3. Vấn đề 3: Trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc với mặt phẳng
đáy.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc
với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phẳng đáy thì đường cao của
khối đa diện nằm trong mặt bên và vuông góc với giao tuyến của
mặt đáy và mặt bên đó.
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình hình chữ nhật, AB
= 2a, AD = a. Tam giác SAD là một tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD.
Giải
S

A
a
D

H

2a

B

450
C

Vì (SAD) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến là AD nên từ S dựng SH
vuông góc với AD tại H. Suy ra SH vuông góc với (ABCD), hơn nữa tam giác
SAD cân tại S nên H là trung điểm của AD. Vậy khối chóp S.ABCD có mặt đáy
là hình chữ nhật ABCD và đường cao là SH.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 13


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Ta có:
1
VS . ABCD  S ABCD .SH
3

Mà: SABCD = AB.AD = 2a.a = 2a2
SH  HC  DC 2  DH 2 

1
3

a 17
2

Vậy: VS . ABCD  S ABCD .SH 

a3 17

3

Ở bài toán này việc tính toán khá đơn giản, tuy nhiên nếu học sinh dựng
đường cao SH của khối chóp S.ABCD mà không dựa vào tính chất mặt bên
vuông góc với mặt đáy (H không thuộc cạnh AD) thì học sinh không thể tính
được độ dài đường cao SH.
4. Vấn đề 4: Trong khối đa diện có tất cả các cạnh bên cùng tạo với mặt
phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng nhau.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện (khối chóp) có tất cả các
cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có
tất cả các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh của
khối đa diện trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác nằm
trong mặt phẳng đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB
= a,
, các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 300. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
Giải
S

H
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 14


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

C

B
120 0

a

A
Gọi H là chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng (ABC). Lúc đó, ta có:
  SBH
  SCH
  300 SHA  SHB  SHC  HA  HB  HC
SAH

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Vậy khối chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao là SH.
Ta có:
1
VS . ABC  SABC .SH
3

Mà:
2
1
a 3
SABC  . AB. AC.sin BAC
2
4

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC, ta có:
AC
AC

 2 R  R  HB 
a

2
sin
30 0
sin ABC

Trong tam giác vuông SHB, ta có:
  a.tan 300  a 3
SH  HB.tan SBH
3
1
3

Vậy: VS . ABC  S ABC .SH 

a3
12

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh
a, A’A = A’B = A’C = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Giải
A’
2a

B’
C’

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 15


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

A

B
H
C

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A’ đến mặt phẳng (ABC)
Ta có:

A ' A  A ' B  A ' C   A ' HA   A ' H B   A ' H C  H A  H B  H C

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao
chính là A’H.
Ta có: VABC.A' B'C '  SABC .A' H
Mà:
SABC

1
a2 3
0
 AB. AC.sin 60 
2
4

A ' H  AA '2  AH 2 

a 33
3

Vậy: VABC . A' B 'C '  SABC .A ' H 

a3 11
4

Trong hai bài toán này phải nói cho học sinh thấy tính chất H là tâm đường
tròn ngoại tiếp dựa vào giả thiết các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng nhau
hoặc các cạnh bên bằng nhau phải được chứng minh lại ngay trong lời giải của
bài toán.
5. Vấn đề 5: Trong khối đa diện có tất cả các mặt bên cùng tạo với mặt
phẳng đáy một góc bằng nhau.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện (khối chóp) có tất cả các
mặt bên cùng tạo với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phẳng đáy
một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh của khối đa diện
trùng với tâm đường tròn nội tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng
đáy.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 16


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, BC = 7a. Các mặt
bên (SAB), (SBC) và (SCA) của hình chóp cùng tạo với đáy một góc 600. Tính
thể tích khối chóp S.ABC.

Giải
S

A

I
K

H

B
J

C
Gọi H là chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng (ABC).
Trong mp(ABC) hạ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với AB, BC và AC
  SJH
  SKH
  600
Lúc đó: SIH

Do đó, ta có:

 SH I   SH J   SHK  H I  H J  H K

Suy ra chân đường cao H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

1
3

Ta có: VS . ABC  SABC .SH
Mà: SABC  p( p  AB)( p  BC )( p  AC )  6a 2 6 , p = (AB + BC + AC)/2
Mặt khác: SABC  p.r  r  HI 

S ABC 2a 6

p
3

  2a 2
Trong tam giác vuông SHI, ta có: SH  HI .tan SIH
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 17


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

1
3

Vậy: VS . ABC  S ABC .SH  6a 3 3
Đây là một bài tập nằm trong sách giáo khoa Hình Học 12 (CB) thuộc vào
phần giảm tải của Bộ GD & ĐT đã ban hành. Tuy nhiên kỹ năng để giải bài
toán này cũng rất cần trang bị cho học sinh.
Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp luận để giúp học sinh có thể
chủ động và linh hoạt trong việc xác định được đường cao trong khối đa diện,

làm tiền đề quan trọng trong việc giải quyết bài toán “Tính thể tích khối đa
diện”. Ngoài việc định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp xác
định đường cao của khối đa diện như trên (Phương pháp tính trực tiếp bằng
công thức) thì trong quá trình dạy học về bài toán “ Tính thể tích khối đa diện”
chúng ta cũng chỉ cho học sinh các phương pháp bổ trợ cho việc tính thể tích
của khối đa diện thông qua việc phân chia, lắp ghép và dùng tỉ số thể tích để
giải toán (Phương pháp gián tiếp). Ngoài ra chúng ta cũng phân tích để học sinh
nhận biết được các khối chóp đều là trường hợp đặc biệt của vấn đề 4, nên cách
xác định đường cao của khối chóp đều hoàn toàn giống với vấn đề 4 nêu ở trên,
hơn nữa các khối chóp đều thì việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt
đáy là khá đơn giản. Đối với khối lăng trụ thì lăng trụ đứng và lăng trụ đều có
đường cao là cạnh bên của lăng trụ đó, cho nên học sinh chỉ gặp khó khăn khi
xác định đường cao của khối lăng trụ thường (lăng trụ có cạnh bên không vuông
góc với mặt phẳng đáy), trong trường hợp này chúng ta có thể định hướng cho
học sinh cách xác định đường cao của khối lăng trụ thông qua đường cao của
khối chóp có mặt đáy nằm trong mặt đáy của khối lăng trụ và đỉnh của khối
chóp chính là đỉnh của khối lăng trụ đó. Nếu giáo viên có thể trang bị cho học
sinh hệ thống các kiến thức cơ bản về bộ môn này tôi tin rằng không chỉ học
sinh có học lực khá giỏi, mà học sinh có học lực yếu hơn cũng có thể giải được
bài toán này trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, ngoài ra đây là các kiến thức và
kỹ năng rất cần thiết giúp các em chủ động, linh hoạt trong việc phân tích, lập
luận để có thể giải được các bài toán Hình Học không gian trong các kỳ thi
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 18


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng. Tuy nhiên để giải tốt các bài toán Hình Học

không gian trong các kỳ thi tuyển sinh ĐH – CĐ ngoài những kỹ năng trên học
sinh cần trang bị thêm những phương pháp khác như phương pháp “Giải toán
không gian bằng phương pháp tọa độ”, các kiến thức về góc và khoảng
cách….một cách hoàn chỉnh mà trong giới hạn của bài viết này tôi chưa đề cập.
III. Kết quả thực dạy:
Qua 8 năm công tác tại trường THPT Thanh Hoà, trong đó có 6 năm trực
tiếp giảng dạy khối 12. Trong 3 năm đầu giảng dạy khối 12 (từ năm học 2006 –
2007 đến 2008 - 2009) tôi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Đến năm
học 2009 – 2010 tôi đã cùng các đồng nghiệp trong tổ trực tiếp giảng dạy khối
12 cùng áp dụng và thảo luận sáng kiến kinh nghiệm này. Tình hình thực tế
trình độ học sinh của trường đa số ở mức khá, trung bình và yếu nhưng sau khi
áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này kết quả thi tốt nghiệp THPT bộ môn Toán
của Nhà trường đạt kết quả tương đối khả quan so với mặt bằng chung của các
trường trong Tỉnh. Đặc biệt số điểm trên 8 tăng lên đáng kể vì đây là bài toán có
mức độ vận dụng ở cấp độ khá cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Sau đây tôi
xin trích dẫn kết quả bài kiểm tra 45 phút, chương I – Hình Học 12 và điểm thi
tốt nghiệp môn Toán đạt trên điểm 8 của cá nhân và toàn trường THPT Thanh
Hòa, cụ thể như sau:
1. Bài kiểm tra 45 phút chương I – Hình Học 12 – Tuần 12 – Tiết 12
Năm học
2006-2007
2007-2008
2008-2009
2009-2010
2010-2011
2011-2012

Số lớp dạy
3
4

4
5
3
2

Tổng số HS
121
153
148
183
122
70

Số HS đạt 8 trở lên
17
21
23
43
39
27

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

%
14,0
13,7
15,5
23,5
31,9
38,6

Trang 19


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

2. Điểm thi tốt nghiệp THPT từ năm học 2006-2007 đến 2010-2011:
Cá nhân
Năm học

Toàn trường

Tổng số

Số HS đạt

Số HS đạt

HS

8 trở lên

%

Tổng số HS

8 trở lên

%

2006-2007

121

22

18,2

497

96

19,3

2007-2008

153

27

17,6

456

74

16,2

2008-2009

148

28

18,9

492

81

16,5

2009-2010

183

56

30,6

512

131

25,6

2010-2011

122

73

59,8

489

247

50,5

Kết quả cá nhân

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 20


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Kết quả toàn trường
C. LỜI KẾT
Dạy và học là một quá trình tương tác giữa thầy và trò,mà ở đó giáo viên
đóng vai trò là người hướng dẫn để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách
tích cực chủ động, sáng tạo. Không phải học sinh nào cũng có trình độ tiếp thu
kiến thức như nhau vì vậy giáo viên phải luôn là người tìm tòi, sáng tạo các
phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình.
Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT bài toán “Hình học không gian” không phải quyết
định chất lượng kết quả cho toàn bài thi, hơn nữa đây là dạng câu hỏi đòi hỏi
mức độ vận dụng khá cao, vì vậy nếu học sinh làm tốt bài toán này sẽ có cơ hội
để đạt được điểm số cao trong môn Toán, giúp các em tự tin hơn trong kỳ thi

tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng. Mặt khác bài tập ở sách giáo khoa chương I,
Hình Học lớp 12 tương đối khó với đại đa số học sinh, muốn làm được các bài
toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức từ Hình Học phẳng đến Hình Học
không gian khá hoàn chỉnh, vì vậy hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và các
phương pháp luận là việc làm rất cần thiết của giáo viên, giúp các em chủ động
và tự tin hơn trong việc tìm lời giải cho bài toán và đó cũng chính là tôn chỉ của
bài viết này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Toán, BGH, BCH
Công Đoàn và các giáo viên trong trường THPT Thanh Hoà đã giúp đỡ tôi hoàn
thành bài viết này. Trong quá trình viết chắc còn nhiều thiếu sót, tôi mong quý
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 21


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

thầy (cô) giáo và các bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý để chúng ta cùng trao đổi,
thảo luận, nhằm đưa chất lượng giáo dục của Huyện và Tỉnh nhà càng ngày
càng tiến bộ đi lên.
Bù Đốp, ngày 01 tháng 02 năm 2012
Người viết

Nguyễn Tiến Định

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 7 (tập 1 – 2) – Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)
2. Sách giáo khoa Toán 8 (tập 1 – 2) – Phan Đức Chính (TCB)
3. Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1 – 2) – Phan Đức Chính (TCB)
4. Sách giáo khoa Hình Học 10 – Trần Văn Hạo (TCB)

5. Sách giáo khoa Hình Học 11 (CB) – Trần Văn Hạo (TCB)
6. Sách giáo khoa Hình Học 11 (NC) – Đoàn Quỳnh (TCB)
7. Sách giáo khoa Hình Học 12 (CB) – Trần Văn Hạo (TCB)
8. Sách giáo khoa Hình Học 12 (NC) – Đoàn Quỳnh (TCB)
9. Phương pháp dạy học Toán – Trần Khánh Hưng ( ĐH Huế)
10.

Toán nâng cao Hình Học THPT (tập II) – Phan Huy Khải

11.

Toán nâng cao Hình Học Không Gian – Ngô Viết Diễn

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 22


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

PHỤ LỤC
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI
TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
(Từ năm học 2008 – 2009 đến 2010 – 2011)
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
với AD = CD = a, AB = 3a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên
SC tạo với đáy một góc 45 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng
đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biết
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =
BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC,
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 23


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể
tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A năm 2011)
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB
= a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và
(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1
đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối B năm 2011)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,
BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và

  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
SBC

phẳng (SAC) theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối D năm 2011)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM
theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh CĐ – năm 2011)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
. Tính thể tích
khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A năm 2010)
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai
mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối B năm 2010)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 24


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

thuộc đoạn AC, AH 

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng
4

minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối D năm 2010)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
(Trích đề thi tuyển sinh CĐ – năm 2010)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A năm 2009)
Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường
thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối B năm 2009)
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là
giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối D năm 2009)
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Chứng minh rằng đường

thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện
AMNP.
(Trích đề thi tuyển sinh CĐ – năm 2009)

___________________ Hết ___________________

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 25