DỀ HSG va DAP AN

đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Đề bảng A : Môn Toán
Thời gian 150 phút
đề số 2
I. Trắc nghiệm khách quan:( 11 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu
trả lời mà em cho là đúng từ câu 1 đến câu 16 :
Câu 1: Cho 3 chữ số khác nhau và khác 0. Từ 3 chữ số đó ta lập đợc các số có ba chữ
số. Tổng 6 số có ba chữ số này chia hết cho:
A. 73 B. 200 C. 37 D. 20
Câu 2: Các số nguyên n thoả mãn 2n
2
3n +1 chia hết cho 2n+1 là:
A. n=-1; n=-2 B. n=0 ; n=1 C. n=-1; n=-2; n=0;n=1
D. Cả A,B,C đều đúng.
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ. Cho đa giác OABCDE ( không lồi) có toạ độ các đỉnh
A(0;3);B(3;3);C(3;1);D(5;1);E(5;0) đờng thẳng y=ax chia đa giác thành hai phần có
diện tích bằng nhau có hệ số a là:
A.
2
11
B.
9
7
C. 3 D. 7

(phát triển và nâng cao toán 9)
Câu 4: Cho x,y

Z thoã mãn
2x
2

+
4
4
1
2
2
=+
y
x
Tích xy nhỏ nhất khi
A. x=1 và y=-2 ; B. x=-2 và y=1 ; C. x=1 và y=-2 hoặc x=-1 và y=2
D. x=1 và y=2
Câu 5: Cho hai đờng thẳng ax +2y =6 (d
1
) và x- by =-3 (d
2
)
Kết luận nào sau đâylà sai ?
A. Nếu ab=-2 thì (d
1
) và (d
2
) song song hoặc trùng nhau.
B. Nếu (d
1
)//(d
2
) thì a

-2 và b

0
C. Nếu (d
1
) trùng với (d
2
) thì a = -2 và b =1
D. Nếu (d
1
) cắt (d
2
) thì ab

-2
Câu 6:Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A,B; AC,AD lần lợt là hai đờng
kính của (O) và (O). Phát biểu nào sau đây sai ?
A. B,C,D thẳng hàng.
B.

AOO và

ACD đồng dạng với tỉ số k =1/2.
C. đờng thẳng OO là trục đối xứng của hình vẽ.
D. (O) và (O) có đúng hai tiếp tuyến chung.
1
Câu 7: Đờng thẳng y= mx+m-1 (m là tham số) luôn đi qua điểm nào sau đây với mọi
m.
A. K(-1;-1) B. Q(1;-1) C. T(1;1) D. P(-1;1)
Câu 8: Nếu G là trọng tâm của tam giác và PX là đờng trung tuyến của

PQR thì số
GX
PG
bằng:
A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 3:2
Câu 9: Diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh
50;20;10
là:
A. 5 B. 10
10
C. 10
2
D. Một kết quả khác
Câu10: Số d của phép chia 2
1000
cho 25 là:
A. 2 B.4 C. 1 D. 8
Câu 11: Cho
(
)
(
)
333
22
=++++
yyxx
Giá trị của biểu thức E= x+y là.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 12: phơng trình
2

105
521
103
313
101
315
99
317
=

+

+

+

xxxx
có nghiệm là:
A. 218 B. 214 C. 416 D.325
Câu 13: Một hình trụ có diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều bằng
314(đvdt). Khi đó chiều cao h của hình trụ là:
A. h= 31,4 B. h=
50
C. h= 100 D. h=3,14.
10

Câu 14: Cho hình vẽ
Kết luận nào sau đây sai:
A.

PQR ~

HPR
B.

MNR ~

PHR
C.

RQP ~

RMN
D.

QPR ~

PRH
Câu 15: Độ dài x trong hình bên là.
A. 8,1 B. 6,5 5 8,5
C. 7,5 D. 8


Câu 16:Cho một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi khi đó:
A. Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông.
B. Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông.
C. Diện tích hình thoi bằng diện tích hình vuông.
D. Diện tích hình thoi nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông.
Câu 17: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai.
A. Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.

B. Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
2
Q
P
H
R
M
N
x
3
Câu 18: Khoanh tròn chữ Đ (đúng) hoặc S(sai) vào các khẳng định sau cho thích
hợp:
A. Nếu 3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đối xứng với chúng qua một tâm bất kì cũng
thẳng hàng. Đ S.
B. Biểu thức n(2n- 3) 2n(n+1)

5 với mọi n

Z . Đ S.
C. a
3
+ b
3
+c
3
=3abc khi a+b+c = 0 Đ S.
D. Căn bậc hai của 0,64 là 0,8. Đ S.
II. Phần tự luận (9,0 điểm)
Bài 1: ( 3,0điểm)
a) Giải phơng trình

x
xx
x
xx
x
=


+
++
+
3
3
3
3
2
2
2
2

b) Chứng minh:
ab
ba
+

+
+
+
1

2
1
1
1
1
22
Với a

1;b

1
Bài 2:(2,0 điểm)
Cho phơng trình x
2
- 5mx- 4m =0 có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
a) Chứng minh rằng x
2
1
+ 5mx
2
- 4m >0.
b) Xác định giá trị của m để biểu thức
A=
2
1
2

2
2
2
1
2
125
125 m
mmxx
mmxx
m
++
+
++
đạt giá trị nhỏ nhất
(tuyển tập đề thi môn toán 9)
Bài 3: ( 3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn.H là hình chiếu
của A trên BC, vẽ đờng tròn (I) có đờng kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và
N.
a) Chứng minh rằng OA

MN.
b) Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp và xác định tâm của đờng tròn
nội tiếp tứ giác BMNC.
c) Cho BC cố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất. (Toán nâng cao và phát triển toán
9).
Bài 4: ( 1,0 điểm)
Tìm các số nguyên x và y sao cho
x

3
+x
2
+x+1=y
3

(PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình)
3
đáp án và biểu điểm đề 2
I. Trắc nghiệm khách quan : (11 điểm) Câu hỏi đa lựa chọn : chọn đúng 1 câu 0,5đ
Câu hỏi đúng sai: chọn đúng 1 ý cho 0,5đ.
Câu
P/án
chọn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A
ì ì ì ì ì
Đ Đ
B
ì ì ì ì
S Đ
C
ì ì ì ì ì
Đ
D
ì ì
S
II. Tự luận : (9,0 điểm)
Bài 1:( 3,0đ)
a. Điều kiện : x

2

3

(0,25đ)
Nhân với biểu thức liên hợp của từng mẫu thức ta có:

( ) ( )
xxxxxxx 33333
2222
=






+






+
(0,25đ)

( ) ( )
xxx 3333
3

2
3
2
=++
(0,25đ)

( ) ( )
( )





=+++
>

2
3
4
3
2
3
2
273233
0
xxxx
x
(0,25đ)
( ) ( )

=
>

42
3
4
2932
0
xxx
x
(0,25đ)
Giải hệ PT ta đợc x=
2
( thoả mãn ĐK) (0,5đ)

Vậy: PT có duy nhất nghiệm x=
2
(0,25đ)
b. Thật vậy: Ta có
( )

+

+
+
+

+
=
+

+
+
+
ab
b
ab
a
ab
ba
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1

1
1
1
2222
(0,25đ)
=
( )
( )
( )
( )
abb
bab
aba
aab
++

+
++

1111
2
2
2
2
=
( )
( )
( )
( )
( )( )

( )
abba
ababbaba
+++
+++
111
11
22
22
(0,25đ)
4
=
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
0
111
1
111
22
2
22
22

+++

=
+++
+
abba
abab
abba
bababaab

Vì a

1, b

1 (0,5đ)
Bài 2: ( 2,0đ)
a). (1,0đ)
Do pt có 2 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
nên

= 25m
2
+ 16m >0 (0,25đ)
Suy ra x
2
1
= 5mx
1
+4m (0,25đ)

Và x
1
+ x
2
= 5m (0,25đ)
Do đó x
2
1
+ 5mx
1
- 4m = 5m x
1
+ 4m + 5mx
2
4m
= 5m( x
1
+ x
2
) = 25m
2
> 0

m
0 (0,25đ)
b). (1,0đ)
Ta có: x
2
1
+ 5mx

2
+ 12m = 5m x
1
+ 4m + 5mx
2
+ 12m= 25m
2
+ 16m > 0
(0,25đ)
áp dụng BĐT CauChy cho 2 số dơng ta có:
2
1625
1625
125
125
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2

+
+

+
=
++
+
++
m
mm
mm
m
m
mmxx
mmxx
m
(0,25đ)
Do đó: min A=2 (0,25đ)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2
2
1625
1625 m
mm
mm
m
+
=
+

3

2
=
m
(0,25đ)
Bài 3: (3,0 điểm)
a). (1,0đ)
Dễ thấy

AMN=

A
1
=

C=

A
2
(0,25đ)
Ta lại có:

AMN +

ANM = 90
0
(0,25đ)
Nên

A
2

+

ANM =90
0
(0,25đ)
Hay OA

MN (0,25đ)
b). (1,0đ)
Do

AMN =

C ( chứng minh trên) (0,25đ)
Mà

AMN +

BMN =180
0
Nên

BMN +

C = 180
0
Vậy tứ giác BMNC nội tiếp. (0,25đ)
Gọi E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC, khi đó
E là giao của 2 đờng trung trực của đoạn MN và BC. (0,25đ)
Kéo dài AO cắt đờng tròn tại K, dễ thấy E là trung điểm của HK. (0,25đ)

c). (1,0đ)
5
N
E
O
K
B
A
C