Tuyển tập những bài phương trình, hệ phương trình ha

NGUYỄN ĐỨC THẮNG
Tuyển tập những bài

PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU


TUYN CHN NHNG BI PHNG TRèNH, H PHNG TRèNH HAY

(su tm v trỡnh by)

LI NểI U
Nhng bi phng trỡnh, h phng trỡnh p v hay l nim am mờ mt thi cỷa nhiu hc
sinh cỗp 2 v cỗp 3. File ny mỡnh tuyn chn v trỡnh by lọi nhng bi phng trỡnh, h
phng trỡnh m mỡnh cõm thỗy hay !
Mỡnh lỗy cỏc toỏn v li giõi t nhiu ngun:
V bi:
Cỏc bi toỏn trong Nhúm Toỏn, Nhúm LIKE, Nhúm Giao lu Toỏn (Din n Toỏn
hc BoxMath), Nhúm Hc tp, ...
Cỏc bi toỏn trong cỏc file sỏch cỷa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, ...
Cỏc bi toỏn trong sỏch T duy sỏng to tỡm tũi li gii PHNG TRèNH, BT
PHNG TRèNH, H PHNG TRèNH I S Vễ T tỏc giõ Lờ Vn on;
Nhng iu cn bit Luyn th Quc gia K thut gii nhanh H PHNG TRèNH
tỏc giõ ng Thnh Nam; ...
Cỏc bi toỏn trong thi th THPTQG
V li gii:
Cỏc li giõi cỷa thổy Trung Nguyentien, thổy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu,
Phựng Quyt Thng, Phong Hong, Bựi Hựng Vng, Sn Hunh Phỳ, Chau Thanh

Hai, ...
Cỏc li giõi cỷa bọn Nguyn Vn Li, Hựng Nolan, Ngụ Vn Tip, Nguyn Nam,
Trổn Lng, Dinh De Tai, Peter Thỏi Hc, ...
Mt vi bi l li giõi cỷa mỡnh
Chỳc cỏc bọn hc tt !

Link facebook: />
Page 2


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Bài 1: Giâi hệ phương trình
2
2

 x  y  x  y  12

2
2

 y x  y  12

Cách 1:
Thế

x 2  y 2  12  x  y từ phương trình thứ nhçt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được

y 12  x  y   12 hay x   y 

12
 y 2  12 y  12
 12 
(1)
y
y

Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
2

  y 2  12 y  12 
2
y 
  y  12 (nhận thçy y  0 không là nghiệm cûa phương trình)
y



 x  5

144   y 2  12 y  12 
2
2
 y  3
2
4
 2 
  y    y  12 y  12   y  144  y  y  4 y  3  0  

y
y
x  5



  y  4
2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    5;3 ;  5;4 


Cách 2:
Trường hợp 1: x  y  0
Đặt

2

b  ab  12
x  y  b thì ta có hệ  2 2

 b  a  ab  24

x  y  a và

Nhận thçy phương trình thứ hai có bậc 4 và phương trình thứ nhçt có bậc 2 nên ta bình phương
hai vế phương trình thứ nhçt để thế vào phương trình thứ hai
Hệ suy ra  b2  ab   6ab  b2  a 2   0  b  b  3a  b  2a  b  a   0
2

Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm  x; y 
Trường hợp 2: y  x
Đặt

y  x  a và

ab  b 2  12
 x  y  b thì ta có hệ 
2
2
ab  a  b   12

Thực hiện tương tự trường hợp 1 đã xét.
Link facebook: />
Page 3


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)


Cách 3:

 y 2  12 y  72
Phương trình thứ nhçt cûa hệ suy ra x  y  12  x  y  x  y  12  x  y   x 
y  12
2

2

2

2

2

(2) (sau khi xét y  12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên)
Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y .


Bài 2: Giâi phương trình:
3x 2  1  3 2  x3 

3
 x  1
2

Cách 1:
Điều kiện để phương trình có nghiệm:

3
 x
2



3

2  3 2  x3




3
0  x 
2


3
3
 x  1  3 2  x3  1   3 2
2
2

x2

 2
3

2

 3 2. 3 2  x3 



3




0  x0
2
2  x3 




Phương trình tương đương
3x 2  1  3 2  x3 

3
 x  1
2







 4 3 2  x3  x  5  4 3x 2  1  7 x  1  0

16



 x  1  63x 2  78x  3
3

2 x



  x  1 
16


3



  4  x  5
2

3

2  x   x  5
3


2

 x  1 x  15
4 3x 2  1  7 x  1

63x 2  78 x  3

3

2  x3

  4  x  5
2

3

2  x3   x  5 

0




0
4 3x 2  1  7 x  1 

x  15

2

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Cách 2:
Xét x  2 thì

3x 2  1 

3
3

5
 x  1  3 2  x3  2 x   x 2  6 x   0 (vô lý)
2
2
4

Link facebook: />
Page 4


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)


3x 2  5
2
3
x

1


4
Xét x  2 , ta có các đánh giá 
3
 3 2  x3  4  x

3


3
3x 2  5 4  x3
3
2
3

Suy ra  x  1  3x  1  2  x 
 x 1
2
4
3
Do x  1 nên suy ra

3x 2  1 

2
3
3x  1
 3  x  1  0  x  1
 x  1  3 x3  2 
2
2


Bài 3: Giâi phương trình:

x2  2 x  8
  x  1
x2  2x  3



x2 2



Điều kiện xác định: x  2
Khi đó phương trình tương đương

 x  2 x  4 
x2  2 x  3





x2 2

 x  1 



x2 2

x22

x  2x  3
2





  x  4   x  1



x  2  2  x  4



x2 2








x2 2 







x2 2 







x  2  2  x  4 






x  2  x  1   x  1  x 2  x  1  0






x  2  2  x  4 






x  2  x  1   x  1





x2 2







x2  2x  3


 x  1  0





x  2  2  x  4    x  1  x 2  2 x  3  0










x  2  x 1



x  2  x 1   0




x  2  x  1  x  1 x  2  x 2  x  3  0

Chú ý:  x  1 x  2  x  x  3 
2



x2



3

2

1  11

 x  2   x     0x  2
2
4



 x  2  2  0
Vậy phương trình tương đương 
 x  2  x  1  0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...

Link facebook: />
Page 5


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)


Bài 4: Giâi phương trình:

 5x  16 



x 1 

x 2  x  20 5  5 x  9



Điều kiện xác định: x  5

5 x  16
16
(sau khi đã xét x 
không là nghiệm cûa phương trình)
5
5x  9  5

5x  9  5 

Chú ý:

Phương trình trên suy ra
x 1





5x  9  5 

x 2  x  20

 x  1 5x  9   5



x 1 

x 2  x  20



  x  1 5 x  9   5 x  1  x 2  x  20



2

 2 x2  5x  2  5  x  1  x 2  x  20 
 2  x 2  4 x  5  3  x  4   5  x  4   x 2  4 x  5








x2  4 x  5  x  4 2 x2  4 x  5  3 x  4  0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 5: Giâi phương trình:
2  x  2  5  x 2   x  1 x 2  5  7 x  5

Điều kiện xác định:  5  x  5
Phương trình tương đương

2  x  2







5  x 2  2   x  1

2  x  2 1  x  x  1
5  x2  2







x2  5  3  0

 x  1 x  2  x  2   0

 2  x  1
  x  2  x  1 

2
 5 x  2

x2  5  3



0
x2  5  3 
x2

Link facebook: />
Page 6


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

x  2

  x  1

2
2
 x  2  5  x  2  x  1 x  5  2  x  5 

Xét  x  2  5  x 2  2  x  1 x 2  5  2  x  5 kết hợp với phương trình ban đæu ta có hệ

 x  2  5  x 2  2  x  1 x 2  5  2  x  5 


2  x  2  5  x 2   x  1 x 2  5  7 x  5
Xem

5  x 2 và

x 2  5 là hai èn cûa hệ phương trình bậc nhçt hai èn

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 6: Giâi phương trình:
3

x2  x  1  3 2x2  x  1  6x2  2

Để ý thçy x2  x  1  0 và 2 x2  x  1  0 với mọi x 

nên ta áp dụng bçt đẳng thức AM  GM

như sau

6x  2  x  x  1  2x
2

3

2

3

2

x
 x 1 

2

 x  1  1  1
3

 2x


2

 x  1  1  1
3

 x2  2

Từ đó suy ra 6 x2  2  x2  2 hay x  0


Bài 7: Giâi phương trình:

4 x  x 2  x  1  x 2  5x  1 

x

2

 x  1  2  x  4   4
2

4 x  x 2  x  1  x 2  5 x  1  0


Điều kiện xác định: 
2
2
 x  x  1  2  x  4   0
Chú ý: 4 x  x2  x  1  x 2  5x  1  0 suy ra x  

1
2

Ta bình phương hai vế cûa phương trình để được

x4  2 x3  2 x  9 x  8  8 4 x  x 2  x  1  x 2  5x  1
 x  x3  2 x 2  2 x  7  

8x  4 x 2  x  5

4 x  x 2  x  1  x 2  5 x  1  2 x  1

Link facebook: />
0

Page 7


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)




8  4 x 2  x  5
3
2

0
 x x  2x  2x  7 
2
2

4 x  x  x  1  x  5 x  1  2 x  1 



Chú ý: x3  2 x2  2 x  7  0 ; 4 x2  x  5  0 và

4 x  x 2  x  1  x 2  5x  1  2 x  1  0 với mọi x   1

2

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x  0


Bài 8: Giâi hệ phương trình:

 xy  x  2  x 2  x  4 x  0


xy  x 2  2  x xy  2  3








 xy  x  2  0

Điều kiện xác định:  xy  2  0
x  0



2
 y  1 
x

Nhận thçy x  0 không là nghiệm cûa hệ nên hệ tương đương 
y  2  x 

x

Đặt y 

x 1  4
2

x y    3
x



 a 1  b 1  4
2
và
hệ
tương
đương
s
x

b
a

x

a  b  ab  3


a  b  2  a  1 b  1  14 (*)


a  b  ab  3

Thế a  b  ab  3 lên phương trình thứ nhçt cûa (*) suy ra 2 ab  ab  4  11  ab
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Câu 9: Giâi hệ phương trình:

4 x  12 y 2  16 y 4  9


2
4
x 1 
 x  y  1  y



 



x  1  y 2  1  0

Điều kiện xác định: x  0

Link facebook: />
Page 8


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

Đặt:

(sưu tầm và trình bày)

2
4a  12b  16b  9

x  a và y  b thì hệ tương đương  2
2
a  b  1  b  a  1   a  1 b  1  0

2

16b2  12b  9
Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta được a 
thế xuống phương trình thứ hai để được
4
256b5  192b4  32b3  148b2 139b  29  0 (*)
2

3

Chú ý: (*) tương đương 256b  b    4b3  148b2  139b  29  0b  0
8

3

Vậy hệ phương trình vô nghiệm


Bài 10: Giâi phương trình:
2 x2  4 x  4  2 x2  x  1  3

Phương trình tương đương

x2   x  2  x2  x2  x  1  3
2

Chú ý:

x2   x  2   x2  x2  x  1  x  2  1  x   x  2   1  x   3
2

Vậy x  0 là nghiệm cûa phương trình


Bài 11: Giâi phương trình:
3

x3  5 x 2  14 x  9  x  2





x2  2x 1  1

 x3  5 x 2  14 x  9  0
Điều kiện:  2
 x  2 x  1  0
3

x3  5 x 2  14 x  9  x  2





x2  2x 1  1





 x  2  3 x3  5x 2  14 x  9  2 x 2  2 x  1



x2  2x 1

 x  2   x  2 3 x3  5x2  14 x  9   3 x3  5x 2  14 x  9 
2

Link facebook: />
2

 2 x2  2 x 1  0

Page 9


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY



x2  2 x 1
 x2  2x 1 

2
  x  2    x  2  3 x3  5 x 2  14 x  9 




3

x 3  5 x 2  14 x  9



2

(sưu tầm và trình bày)



 2  0



Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 12: Giâi hệ phương trình:

78 y

x


 20
2

x  y2


 y  78 x  15

x2  y2

 x3  xy 2  78 y  20  x 2  y 2 

Hệ tương đương:  3 2
2
2
 y  x y  78 x  15  x  y 
Xét x  0 hoặc y  0 đều không thôa mãn hệ

 x 4  x 2 y 2  78 xy  20 x  x 2  y 2 

Nhån phương trình đæu với x và phương trình hai với y để có hệ  4
2 2
2
2
 y  x y  78 xy  15 y  x  y 
Trừ vế theo vế:
x 4  y 4   20  15 y   x 2  y 2    x 2  y 2  20 x  15 y  x 2  y 2   0  x

3

 xy 2  20 x2  15xy  0

3
2
2

 x  xy  20 x  15 xy  0
Ta có hệ:  3
2
2
2

 x  xy  78 y  20  x  y 

Lçy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình thứ nhçt, ta được

2 xy 2 15xy  78 y  20 y 2
Hay
2 xy  15x  78  20 y

2 xy  15 x  78  20 y  0

Vậy cuối cùng ta có hệ: 

2
2
 x  y  20 x  15 y  0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 13: Giâi phương trình:

Link facebook: />
Page 10


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

1 

x 1

(sưu tầm và trình bày)





2 x2  2 x  1  x 1  x x

Phương trình tương đương

1 

x 1





2 x2  2 x  1  x 1  x x



x





2 x2  2 x  1  x 1 

2x2  2x  1  x 1  x x







x  1 1



x  1 1





  2 x 2  2 x  1  x  x  1   x  1  x  0



x 2  3x  1

x 2  3x  1


0
2 x 2  2 x  1  x  x  1 x  1  x
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 14: Giâi phương trình:

4 x  6  2  x2  3 x3  7 x2  12 x  6
 x3  7 x 2  12 x  6  0

Điều kiện: 

4 x  6  0

Phương trình tương đương

4 x  6  2  x2  3 x3  7 x2  12 x  6
  x2  2 





2
  x  2  


  x  2 

3



x3  7 x 2  12 x  6  4 x  6  0


0
2
3 3
3
2
2
x  7 x  12 x  6  x  7 x  12 x  6 4 x  6  4 x  6 

x3  7 x 2  12 x  6 



2






3

3



x3  7 x 2  12 x  6



x
2

2



4x  6



3

 2  x 4  14 x3  75 x 2  144 x  90 


 3 x3  7 x 2  12 x  6 4 x  6  4 x  6   x3  7 x 2  12 x  6 
 





3
4x  6 


0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 15: Giâi phương trình:

Link facebook: />
Page 11


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

x 2  4 x  5  5 x3  x 2  x  1  0
Điều kiện: x3  x2  x  1  0 hay x  1

Phương trình tương đương

x 2  4 x  5  5 x3  x 2  x  1  0





  x 2  x   5 x  1  x3  x 2  x  1  0
  x  x 
2

5 x  1  x2  x 
x 1 

x2  1

0



5 x 1
  x 2  x  1 
0
2
x

1

x


1


Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 16: Giâi phương trình:
4

x  4 x3  6  4 x  x3  3  2 4 x  2

 x  4 x3  6  0

3
Điều kiện:  x  x  3  0
x  2  0

Đặt

4

x  4 x3  6  a  0 và

4

x  x3  3  b  0

Phương trình tương đương

a  b  24

4b 4  a 4
4
 3  a  b   16  4b4  a 4 
3

  a  b  19a3  31a 2b  49ab2  61  0

Vậy a  b
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 17: Giâi phương trình:
3

Điều kiện: x 





2 x 1  2 x  1  4 4 x2 1  8x

1
2

Link facebook: />
Page 12

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

Đặt

(sưu tầm và trình bày)

2 x 1  2 x  1  a  2 suy ra 2a2  4 4 x2 1  8x

Phương trình tương đương 3a  2a 2
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 18: Giâi hệ phương trình:
x

2  6 y  y  x  2 y

 x  x  2 y  x  3y  2


 x  2 y  0
Điều kiện: 
 x  x  2 y  0
Xét y  0 không là nghiệm cûa hệ
Trường hợp 1: y  0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương

2
x

6  2 
y
y

 x 2
x 2

  2  
2
y
y
y
y

x 2
 6  0
y2 y

2
x
6  2 
y
y

 x 2
x 2

  2  
2
y

y
y
y

x 2
 6  0
y2 y

Trường hợp 2: y  0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 19: Giâi phương trình:
8 x 1  x 2 

1  x 

2 2



2 2 x  x  3
 2 2
1  x2

Phương trình tương đương
8 x 1  x 2 

1  x 

2 2





2 2 x  x  3
 2 2
1  x2











 2  2 x 4  8  6 2 x3  4 x 2  6 2  8 x  2  2  0







 



 x  1  2  x3  3  2 x 2  5  4 2 x  2  1  0


Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: />
Page 13


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)


Bài 20: Giâi phương trình:

x 1 

1
 2 x 1   2  x  3 2x  2
x 1

Điều kiện: x  1
Cách 1:
Phương trình tương đương

x 1 

1
 2 x 1   2  x  3 2x  2
x 1

 x 1





 1

x 1 1  
 x 1    x  2 3 2x  2  0
 x 1


 x 1

1
  x  2 

 3 2x  2   0
x 1
 x 1 1

 x  1

1
  x  2  


 1 
x 1 
 x  1  1


2x  3
  x  2 

 x 1 x 1 1




 



3




0
2

3
2 x  2  3 2 x  2  1

2x  3




1
  x  2  2 x  3 

 x 1 x 1 1





2x  2 1   0


 


x  2
0 

2

3
3
x  3
2 x  2  2 x  2  1

2





1


Cách 2:
Phương trình

x 1
1

 3 2 x  2  0 sau khi liên hợp læn thứ nhçt ở cách 1 còn có hướng
x 1  1
x 1

xử lý sau
Phương trình tương đương

x 1
1

 3 2x  2  0
x 1  1
x 1

Link facebook: />
Page 14

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY



(sưu tầm và trình bày)

x 1
1

 3 2x  2  0
x

1

x

1
x

1
 

2  x  1  1




1
1 

 1 


2  x  1  2 x  1  2  x  1  2 x  1
x  1 



 2 x  3 x  1
2x  3


2  x  1  2 x  1  2  x  1  2 x  1  x  1







3



2x  2 1  0
2x  3

3

2x  2



2

 2x  2 1

0

3

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 21: Giâi phương trình:
2 3 3  x  3  21  2 x 2
2

 x  3

2



x2  3

Phương trình tương đương
2 3 3  x  3  21  2 x 2
2

 x  3

2



x2  3

  x  3  x 2  3  2 x 2  21  2 3 3  x  3
2

2

  x  3  x 3  3 x 2  3 x  1  2 x  2   2 3 3  x  3   3
2

Nhận thçy x  3 không là nghiệm nên phương trình tương đương

 x  1

3

 2  x  1 

3
3
 23
 x 1 
x3
x3

3

3
3
 x  x  2   2   0


x3

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 22: Giâi phương trình:

1  2 x2  9 x  18  x  x2  14 x  53
x  6
Điều kiện: 
x  3
Phương trình tương đương

1  2 x2  9 x  18  x  x2  14 x  53 (1)
  x  1 





x 2  14 x  53  2 x 2  9 x  18  0

Link facebook: />
Page 15


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY


  x  1 1 


Xét 1 

(sưu tầm và trình bày)


0
x 2  14 x  53  2 x 2  9 x  18 
19  3x

19  3x
x  14 x  53  2 x  9 x  18
2

2

 0  x2  14 x  53  2 x2  9 x  18  19  3x  0 (2)

Kết hợp (1) và (2) để giâi ...



Bài 23: Giâi phương trình:

x  1 x  2  x  2 x  3  x  3 x  1  x2  1
Điều kiện: x  1
Chú ý:

x 1 x  2  x  2 x  3  x  3 x 1 

x2 x3 

x 2  1  5  x  1 

x2  1

Vậy, x  1


Bài 24: Giâi phương trình:

2 x3  x2  4 x  1  x2 3x2  2 x  15x2  2 x
Điều kiện có nghiệm: 2 x3  x2  4 x  1  0  x 

1
4

Phương trình tương đương

2 x3  x2  4 x  1  x2 3x2  2 x  15x2  2 x
 x2



 

3x 2  2 x  x  1 



15 x 2  2 x  4 x  1  0



x2
1
  x 2  6 x  1 

0
2
15 x 2  2 x  4 x  1 
 3x  2 x  x  1

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 25: Giâi hệ phương trình:

  3 x  3 y   3  3 y  x
x
y




y
x
xy  xy  1


2
 3 y  1 2 x  1  1  x  2 y  x  1  2 x  2
Phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương
Link facebook: />
Page 16


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

3

xy  3



x y

xy  xy  1
x  y

3xy  3 xy 





x y



x y

(sưu tầm và trình bày)



xy

x y

 xy 



xy  1

Xét 3xy  3 xy   x  y  xy  xy  1 tương đương

 xy 



xy  1 2  x 



y  1  xy 



xy  2



Chú ý 1  xy   xy  2    xy  xy  1 2  x  y    xy  xy  1 2  2 4 xy 
Suy ra 1  t 4  t 2  2    t 4  t 2  1  2  2t  với t 

4

xy

Hay t  t  12  2t 2  t  2   0 (vô lý)  t  1

x  1

, nếu xy  1 thì x  y  1
0  y  1
x 1 2 y  0
x  1

Điều kiện rút ra từ phương trình thứ hai: 

2

(không thôa mãn)
Vậy x  y thế xuống ta được

 3x  1

2x 1  1  x 

1  x  2 x  1  2 x  2





 2 x  1 3x  1  x  2 x  1  2 x  1  1  1  x  0
 2x 1







1  x  2x 1







2x  1 1  1  x  2 x  1 1  1  x  0

2 x  1  1  1  x 2 x  2 


1  x  2 x  1   0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 26: Giâi phương trình:

x2  2 x  5  4  2 x  4 x 1
Điều kiện: 
Chú ý:

5
1
 x  2 . Điều kiện có nghiệm thì  x  2
2
4

2x  5  4  2x 

 2 x  5   4  2 x   3

Suy ra 4 x  1  x2  3 hay  x  2   0  x  2
2

Link facebook: />
Page 17


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Bài 27: Giâi phương trình:

 3x  1
Điều kiện: x 

2 x  2   5 x  7  3x  2  2  x  4  4 x  3  0

3
4

Đặt f  x    3x  1 2 x  2   5x  7  3x  2  2  x  4  4 x  3
Xét x  4 thì f  x   0
Xét 2  x  4 thì f  x    3x  1 2 x  2  6  2  4  x  4 x  3  7 6  6  16  0


3x  2  5
 2x  2 

3
3
Xét  x  2 . Ta có các bçt đẳng thức sau 
4

 4 x  3  4 3x  2  1

3

 3x  2  5 
 4 3x  2  1 
   5 x  7  3x  2  2  x  4  
  0  x  1
3
3





Suy ra f  x    3x  1 


Bài 28: Giâi phương trình:

x2  x  6  2 x  3. 3 x  5
Điều kiện: x  

3
2

Phương trình tương đương

x2  x  6  2 x  3. 3 x  5
 x 2  x  6   x  1 2 x  3 

1

2




2x  3





3



x  5  x 1

2 x  3  3  x  5   x  1 2 x  3  

 x  3  x  5   x  1
2



2x  3  3



2 x  3 







 x  3  x 2  2 
3



x  5   x  1 3 x  5   x  1
2

 x  3  x 2  2 
3



2x  3

2x  3

x  5   x  1 x  5   x  1
2

3

2

2

0

0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Link facebook: />
Page 18


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Bài 29: Giâi hệ phương trình:

2 2 x  y  3 x  y  1

5
4

 x  10 y  21  3 y  2  3


Đặt

2a  3b  1

5
4
x  y  b , hệ tương đương 

3

2
2
a 2  2b 2  2
 3a  7b  21

2x  y  a và

Thế a 

8
10
3b  1

3
xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
b3 b9
2

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 30: Giâi hệ phương trình:

 x 2  x  y  3  y 2  2  0

4
3
2
 x 
 x   x  3x  4 6 x  4
1
   2       2 
y
y4
 y  y
 y 
Xét y  0 không phâi là nghiệm cûa hệ, phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương
2

x
x 2
3x
    2 1  2
y y
y
 y



Hệ tương đương 






2

x
x 2
3x
   2 1  2
y
y y
y
4

3

2

 x   x  3x  4 6 x  4
x

1
  2     
y
y2
y4
 y  y
4

3

2

Thế phương trình thứ nhçt xuống ta được  x   2  x   2  x   x  6 x 4 4  22  0 (*)
y
y
y
 y
 y
 y
2

Đặt  x   x  a và
y
 y

2
 1  b thì (*) trở thành
y2

a 2  ab  2b2  0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...



Link facebook: />
Page 19

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Bài 31: Giâi hệ phương trình:

9 1
4
4
 x2  y 2  2  y  x 

3x  y  2  x 4  y 4 

9 1
4
4
 x2  y 2  2  y  x 
Hệ tương đương 
3x  y  2  x 4  y 4 


 2 x
 2 x4
4
4
4
9x  2  2x4 y 4  x4


9
x


2
x
y

x



y
y2


9 x 2  y 2  4 y x 2  y 4  4 x 4  y 4
3x  y  2 x 4  y 4



4







Trừ vế theo vế để được



 



2

2
x4
 2x4  y 4  x4   y 2  4 y  x2  y 4   4  x4  y 4 
2
y







2
Hay  x 4  y 4  1  32 x 4 y 2  4 y 2  x 4  y 4   4 y 2   0  x 4  y 4  2 y 3  1  36 x 4 y 2   0





 x 4  y 4  0
Trường hợp 1: 

hay x  y  0 (vô lý)
4
4
3
x

y

2
x

y



3
2

2 y  1  6 x y  0
Trường hợp 2: 
4
4

3x  y  2  x  y 


2 y  1  6 x y  0

3
2

4
4

3x  y  2 y  6 x y   2  x  y 
3

2

3

2 1
x


2 y  1  6 x y  0
2 y  6 x y  1



2

 3

2 2
4
2
3


3x  6 x y  2 x

2 x  6 xy  3
 y  2 1

2
3

2

3

2

3
2
2 y 3  1  6 x 2 y  0

2 y  6 x y  1
Trường hợp 3: 

 3
4
4
2

2 x  6 xy  3
3x  y  2  x  y 

Đặt z  x  yi , ta suy ra x3  3xy 2   3x 2 y  y 3  i  z 3 

3 i


2 2

i 
 3
  

Ta có: 3  i  10 
  10  cos   i sin   với     2 ;0
10 


 10
 z3 

10
5
  k 2
  k 2 
 i sin
 cos   i sin    z  6  cos
 với k  0,1, 2
2
2
3
3


Link facebook: />
Page 20

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY


x  6

Vậy, 
y  6


5
  k 2
cos
2
3
5
  k 2
sin
2
3

(sưu tầm và trình bày)

với k  0,1, 2


Bài 32: Giâi hệ phương trình:

 x  y  3 7

 4
4
 x  y  4 x  3 y
Ta sử dụng đồng bậc để suy ra 7  x 4  y 4    x  y 3  4 x  3 y 
Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 33: Giâi hệ phương trình:
5

x  x2  1  y 4 

4


1
2 x 2  1  y 2  2  1
y
2


1
2
Đặt x  x  1  a và y  b suy ra 2 x 2  1  a 
2

a

5


a  b2 


4
Hệ tương đương 
1
a   b  1  1

a
b 2


Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 34: Giâi hệ phương trình:

1
 2
2
x  y  2

4 x  x3  x 2  x  1  y 2  2 xy  2

1
 2
2
 x  y 2   x  y 2  1

x  y  2


Hệ tương đương 
2
2
2
4 x  x3  x 2  x  1  y 2  2 xy  2
4 x  x  1 x  1   x  y   x  1  1




Link facebook: />






Page 21


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

 x  y 2   x  y 2  1
 x  y 2   x  y 2  1





2
2
2
2
2
2
2
2
 2 x  1  x  1   x  y   1  2 x  1  x  1   x  y    x  y    x  y  
 x  y 2   x  y 2  1

1

x y
2
2
2
2
 2 x  1  x  1   x  y   0


Bài 35: Giâi hệ phương trình:

6

 3x  6 y  5  2 6 y  3x  1  x  2 y  3

 x3  2 y  4 y 2  x  x 2  2 y  3  x 2  2 1  2 y  x 2  2





Đặt

x  2 y  3  a thì phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương a 3a 2  4  2a 8  3a 2  6

3a 2  a 2  4 2
 a  8  3a 2  6
Chú ý: a 3a  4  2a 8  3a 
2
2

2

a

2  x  2 y 1

Thế xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
x3  x  1  x 2  x  1  x 2  x  4   x 2  2  x 2  x   2

 x 4  2 x3  2 x 2  x  3  x 2  x  1  x 2  x  4  0
  x2  x    x2  x   3 
2

Đặt

x2  x  1 

x2  x  4  0

x2  x  1  b , phương trình tương đương

b4  b2  b  3  b2  3  0   b4  b2  b  1 
  b  1  b3  b 2  1 

 b  1 b  1  0
b2  3  2





b2  3  2  0


b 1 
  b  1 b3  b 2  1 
0
b2  3  2 


Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 36: Giâi phương trình:
2  2  x  1  4 2 x  1

Điều kiện: 0  x  2  1

Đặt

4

2 x  4 2 z và

2  2  x  1 

4

2y  y 

2 1 x

Link facebook: />
Page 22


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

4

 2  y  z 1
Ta có hệ 
2
4

 y  z  2 1

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 37: Giâi phương trình:

 x  4

x  2 1

4 x  x 5



2   2x  4 x  2
x 1

Điều kiện: 2  x  4
Phương trình tương đương

x


2



 9 x  16  x  2  2 4  x   4  2 x 

 4  x  x  2   3x  11  0



x  2  4  x  2 1  2 x  x  2  4  x   x  4 


 4  x  x  2  x2  6 x  14  0

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 38: Giâi phương trình:

x 1
2 x  1 13

 0
x5 3
x  3 1 5
Đặt

x  a , dễ thçy điều kiện là a  3

Phương trình trở thành:

a 1
a2  5  3



2a  1

13
0
2
5
a  3 1


 a 1
2a  a  1
a 1
a 1


 2
 2
1
1
2a  6a  5
5

 a 5 3
aa   3
a  a  3

2
a
Ta có 
a



 2a  1  173  2a  1
 a 2  3  1
200a

Suy ra
2
2a  a  1 173  2a  1 13
13
1 13  2a  7   a  1  118a  833a  1502

  2

 
.
0
200a
5 200
a  2a 2  6a  5 
a2  5  3
a 2  3  1 5 2a  6a  5

a 1

2

2a  1

Vậy, phương trình vô nghiệm.


Link facebook: />
Page 23


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm và trình bày)

Bài 39: Giâi hệ phương trình:

 y2  5 x  5  0


y2
2
 x  2  y  2y  3   y
5


y2
x
1

5
Hệ tương đương  

2
 x  2  y2  2 y  3  y  y


5


Cộng vế theo vế ta được

 y  1

x2  x 

2

 2   y  1

Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Bài 40: Giâi hệ phương trình:

 xy  xy  x  1
 2

4 x y  3 x  3xy xy  3
x  1

Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta suy ra 
4
 x  y  4  y  1  0  y 

3



Phương trình thứ hai cûa hệ tương đương x xy  4







x  1   4  3 y   3






x  1
y  0

x 1  0  


Bài 41: Giâi phương trình:

x  3 x 3 x  4  x2  8  0
Điều kiện: x  0
Cách 1: Đặt

x  a , phương trình tương đương

a 4  a 2  8  3a 3 a 2  4  0





  a  2  a  2   a 2  2   3a a  3 a 2  4  0
  a  2  a  2   a  2  
2



3a  a  2   a 2  a  2 
3

a 4
2

 a
2

3

a 4a
2

0
2

Link facebook: />
Page 24


TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY



  a  2   a  2   a 2  2  





(sưu tầm và trình bày)



0
2
3
2
2
2
a 4 a a 4a 

3a  a 2  a  2 

3



Đến đåy bän đọc tự giâi ...


Cách 2: Phương trình tương đương

x  3 x 3 x  4  x2  8  0
3 3
x
 
 3 x   3 x2  4    x2  x  8 
x 0
2
2
 

2

x
 3 x
 x
 3 x   3 x2  4   x   x     x  8   0
2
 2 2
  4


Đến đåy bän đọc tự giâi bằng cách liên hợp ...



Link facebook: />
Page 25