Nghiên cứu hệ mật mã khối dựa trên hỗn loạn rời rạc (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TẠ THỊ KIM HUỆ

NGHIÊN CỨU HỆ MẬT MÃ KHỐI
DỰA TRÊN HỖN LOẠN RỜI RẠC

Chuyên ngành: Kỹ thuật viễn thông
Mã số: 62520208

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT VIỄN THÔNG

HÀ NỘI - 2017


Công trình này được hoàn thành tại
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Hoàng Mạnh Thắng

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp trường
họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

vào hồi . . . giờ, ngày . . . tháng . . . năm . . .

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1. Thư viện Tạ Quang Bửu, Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU

1. Mật mã và kỹ thuật hỗn loạn trong bảo mật thông tin
Bảo mật là một kỹ thuật thiết yếu trong hệ thống thông tin. Xu hướng
phát triển công nghệ thông tin là người dùng có thể chia sẻ và sử dụng
chung tài nguyên mạng từ những vị trí địa lý khác nhau trong các thời
điểm khác nhau, dẫn đến sự phân tán tài nguyên và hậu quả là tăng nguy
cơ mất mát dữ liệu và các thông tin có giá trị. Càng mở rộng các kết nối
thì xuất hiện càng nhiều lỗ hổng bảo mật, tài nguyên càng dễ bị tấn công
và xâm phạm.
Mật mã là một trong những biện pháp an toàn và đáng tin cậy để bảo
mật dữ liệu hiệu quả. Do đó, ứng dụng kỹ thuật mật mã là xu hướng tất
yếu trong truyền tin bảo mật. Do vậy những thay đổi trong cách tiếp cận
tính an toàn của mật mã hiện đại đã mở ra nhiều hướng phát triển mới
của mật mã như: Bảo mật trong điện toán đám mây; Mở rộng mô hình mã
hóa cho đối tượng nhóm và cho việc giải mã bộ phận; An toàn trước các
tấn công vật lý; An toàn trước sự tấn công của máy tính lượng tử và Bảo
mật trong mạng lưới IoTs.
Các hàm hỗn loạn rời rạc được chứng minh là kế thừa được các tính
chất của các hàm hỗn loạn liên tục như tính chất nhạy cảm với điều kiện
đầu, nhạy cảm với sự thay đổi giá trị của các tham số và không thể dự báo
dài hạn. Ưu điểm của mật mã khối hỗn loạn được xem như mô hình phát
triển mật mã hiện đại [25, 31]. Về nguyên lý, các phương pháp bảo mật
ứng dụng hỗn loạn là lợi dụng sự phức tạp của các đặc tính động học của
hệ thống hỗn loạn cũng như đặc trưng của hệ thống hỗn loạn để che giấu
thông tin dựa trên các giải thuật thực hiện khác nhau. Do đó, mật mã hỗn

loạn là một hướng nghiên cứu mới, an toàn và đáng tin cậy để bảo mật dữ
1


liệu hiệu quả.
Mật mã hạng nhẹ và mật mã hỗn loạn có thể thay thế mật mã chuẩn là
hai hướng nghiên cứu được quan tâm trong những năm gần đây. Ưu nhược
điểm của mật mã hỗn loạn đã được nghiên cứu chi tiết. Dựa trên những
tính chất này, luận án đề xuất dùng hàm hỗn loạn cho mật mã hạng nhẹ
để cải thiện các nhược điểm về bảo mật của mật mã hạng nhẹ. Bài toán
thiết kế mật mã hạng nhẹ sử dụng hàm hỗn loạn rời rạc như là một hướng
đi mới để cải thiện thời gian thực thi và khả năng bảo mật cho mật mã
hạng nhẹ.
Các thuật toán mật mã được đề xuất trong [30], [16] và thuật toán ẩn
tin (steganography)[21] dễ dàng bị phân tích khi chu kỳ của hàm hỗn loạn
rời rạc quá ngắn[7]. Các tác giả trong [8] đã giải thích sự phụ thuộc của
chu kỳ vào các tham số điều khiển. Tác giả trong [8] bình luận rằng chu kỳ
của hàm hỗn loạn càng dài thì càng tốt về mặt bảo mật khi áp dụng hàm
hỗn loạn đó vào hệ mật mã. Do đó, chu kỳ của hệ hỗn loạn rời rạc cũng là
một trong nhưng tham số quan trọng trong bài toán thiết kế mật mã hỗn
loạn nói chung.
2. Những vấn đề còn tồn tại
Tính chất phức tạp của hệ hỗn loạn tạo ra tính ưu việt trong bảo mật
thông tin như là khả năng chịu đựng các tấn công phân tích mã, tăng tốc
độ xử lý, tăng độ phức tạp thuật toán. Điều này đã được khẳng định trong
các nghiên cứu của Kocarev[24], Masuda[31] và Fridrich[16]. Tìm ra các bài
toán thiết kế hệ mật mã dựa trên hỗn loạn phù hợp với xu hướng phát
triển của mật mã hiện đại.
Mật mã hạng nhẹ hướng tới việc tìm ra điểm cân bằng của ba yếu tố:
Giảm tài nguyên thực thi, giảm thời gian xử lý, tăng mức độ bảo mật [14].

Do đó, hướng phát triển của mật mã hạng nhẹ được quan tâm nhiều hiện
nay là cải tiến các hệ mã thông qua việc đề xuất các hàm mã hóa mới [32].
Mật mã hạng nhẹ và mật mã hỗn loạn để thay thế mật mã chuẩn là
hai hướng nghiên cứu được quan tâm trong những năm gần đây. Ưu nhược
điểm của mật mã hỗn loạn đã được nghiên cứu chi tiết. Dựa trên những
tính chất này, luận án đề xuất dùng hàm hỗn loạn cho mật mã hạng nhẹ
để cải thiện các nhược điểm về bảo mật của mật mã hạng nhẹ. Bài toán
2


thiết kế mật mã hạng nhẹ sử dụng hàm hỗn loạn rời rạc như là một hướng
đi mới để cải thiện thời gian thực thi và khả năng bảo mật cho mật mã
hạng nhẹ.
Phân bố chu kỳ của hàm Cat hai chiều (Arnold’s Cat map) đã được
phân tích bởi Chen và các cộng sự trong [7, 8, 9], tuy nhiên phương pháp
này chỉ áp dụng cho hàm Cat hai chiều và cho các trường hợp giá trị tham
số hoàn toàn xác định. Khi áp dụng cho hàm Cat đa chiều phương pháp
này trở nên phức tạp rắc rối, và việc đánh giá chu kỳ của hàm Cat mở rộng
vẫn là một vấn đề mở cần tìm hiểu.
3. Mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán thiết kế thuật toán hệ mật mã sử dụng các ánh xạ hỗn loạn đã
được nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gần đây. Có thể khẳng định rằng
đây là một hướng nghiên cứu mới trong việc tạo ra những bộ mã mật có
thể tương đương những bộ mã truyền thống về khả năng bảo mật, dễ dàng
thực hiện trên phần cứng, giảm thời gian xử lý, giảm chi phí thiết kế.
Luận án nghiên cứu một số hướng phát triển của mật mã hiện đại từ
đó dẫn dắt các ra vấn đề trong mật mã hỗn loạn. Dựa trên những vấn đề
đã phân tích, luận án đề xuất thuật toán tạo mật mã khối hỗn loạn theo
cấu trúc mạng hoán vị thay thế (SPN). Khả năng bảo mật của hệ thống
cũng được đánh giá qua các hệ số đặc trưng cho các tấn công bảo mật.

Luận án đề xuất hai hàm hỗn loạn rời rạc là Skew Tent và Standard
cho mô hình thiết kế hệ mật mã hỗn loạn hạng nhẹ.
Luận án đề xuất phương pháp mở rộng hàm Arnold Cat rời rạc dựa
trên biến đổi giả Hadamard nhanh gọi là hàm Cat-Hadamard. Kết quả đạt
được là hàm Cat-Hadamard kế thừa hoàn toàn các đặc tính hỗn loạn của
hàm Cat hai chiều, do đó có thể thay thế hàm Cat bởi Cat-Hadamard trong
các ứng dụng mật mã.
4. Ý nghĩa khoa học và những đóng góp của luận án
Luận án nghiên cứu tính chất của các hàm hỗn loạn khi được biểu diễn
trong miền hữu hạn chính xác. Ảnh hưởng của các tham số đến tính chất
đầu ra và chu kỳ của hàm hỗn loạn một chiều, hai chiều hoặc nhiều chiều.
3


Từ đó đề xuất thuật toán mật mã khối theo cấu trúc mạng lưới hoán vị
thay thế với các cấu trúc lớp thay thế S-box và lớp hoán vị dựa trên hỗn
loạn.
Mở rộng hàm CAT rời rạc trong miền số nguyên hữu hạn và trong
trường Galois, so sánh với các phương pháp hiện có thông qua việc tính
toán Kolmogorov-Sinai (KS) entropy, hoặc phân bố xác suất Chi- bình
phương với giả thiết phân bố của chuỗi giả ngẫu nhiên được tạo ra là một
phân bố đều.
Đánh giá các trạng thái trung gian được tạo ra theo các bước lặp hàm
Cat map mở rộng, lựa chọn tham số thay đổi. Chứng minh các tính chất
của hàm CAT mở rộng có sự kế thừa từ hàm CAT hai chiều, thông qua
biến đổi Hadamard nhanh, số chiều của CAT được tăng lên nhanh chóng
trở thành một hàm đa biến đầu vào. Hai ứng dụng hàm Cat mở rộng là
thiết kế bộ tạo đa ma trận MDS cho hệ mật mã khối và bộ tạo chuỗi số
giả ngẫu nhiên.
5. Cấu trúc nội dung của luận án

Chương 1, luận án trình bày các nguyên tắc thiết kế hệ mật mã hỗn loạn
và các vấn đề còn tồn tại trong hệ mật mã hỗn loạn, từ đó đề xuất một mô
hình thiết kế hệ mật mã khối hỗn loạn dựa trên cấu trúc lưới hoán vị thay
thế cho ứng dụng mã hóa ảnh. Chương 2, luận án đề xuất hai biến thể cho
thuật toán mật mã khối hạng nhẹ theo cấu trúc mạng hoán vị thay thế
(SPN) dựa trên hỗn loạn. Các thiết kế hướng tới tiêu chí tăng độ bảo mật
nhưng vẫn thỏa mãn yêu cầu cài đặt, tài nguyên sử dụng và thời gian xử lý
phù hợp với yêu cầu của thuật toán mật mã hạng nhẹ. Chương 3 đề xuất
một dạng thức mở rộng hàm Cat dựa trên biến đổi giả Hadamard nhanh,
được gọi là hàm Cat-Hadamard. Đề xuất hai ứng dụng hàm Cat mở rộng
là thiết kế bộ tạo đa ma trận MDS cho hệ mật mã khối và bộ tạo chuỗi số
giả ngẫu nhiên.

4


Chương 1
MẬT MÃ HỖN LOẠN

1.1. Nguyên lý thiết kế mật mã hỗn loạn
Hỗn loạn được nghiên cứu trong bảo mật về cơ bản chia làm hai nhánh
nghiên cứu chính, là bảo mật cho luồng bit ngay trong quá trình truyền tin
và bảo mật cho cả một đơn vị dữ liệu, thường được tính theo khối bit/byte
dữ liệu [24].
Nghiên cứu về hệ mật mã hỗn loạn trong [25], [24] và [43], các tác giả
đã đề xuất 10 nguyên tắc thiết kế hệ mã mật dựa trên hỗn loạn là:
1. Định nghĩa đầy đủ và nghiêm ngặt các nguyên lý thiết kế.
2. Định nghĩa đầy đủ và nghiêm ngặt về khóa và không gian khóa.
3. Lựa chọn các hàm hỗn loạn (ánh xạ hỗn loạn) có độ nhạy cao để điều
khiển các tham số không phù hợp.

4. Lựa chọn hàm hỗn loạn không nên làm lộ toàn bộ đặc tính động lực
học của hệ thống: Điều này có thể làm cho kẻ tấn công dự đoán thông
tin về các tham số điều khiển hoặc điều kiện khởi tạo.
5. Phân tích hiệu năng của các quỹ đạo hỗn loạn như nguồn Entropy.
6. Nên sử dụng các hàm (ánh xạ) hỗn loạn có hàm mật độ phân bố đều
và sự đo lường tập bất biến không phụ thuộc vào các tham số điều
khiển.
5


Kj
Input
data
Encryptor
Encrypt

Key generatorr

Control _ Block

Buffer
Output
data

Decryptor
Decrypt
tor

Kr-j-1
control

Hình 1.1: Sơ đồ khối thiết kế phần cứng

7. Không gian bản mã phải được xác định theo cách mà sự khôi phục
lại đặc tính động học của các hàm hỗn loạn là không khả thi.
8. Thời gian mã hóa/giải mã không phụ thuộc vào giá trị của khóa bí
mật của một hệ mật mã hỗn loạn.
9. Hệ mật mã hỗn loạn có khả năng chống lại các kiểu tấn công cổ điển
[39, 43].
10. Chống được các tấn công tương ứng với các ứng dụng cụ thể.

1.2. Đề xuất hệ mật mã khối hỗn loạn rời rạc dựa
trên cấu trúc mạng hoán vị - thay thế
Luận án đề xuất sơ đồ khối phần cứng cho hệ mật mã khối hỗn loạn, thiết
kế này đề xuất việc tích hợp cả phần giải mã và phần tạo mã trên cùng một
khối. Do đó, phần cứng có thể thực hiện chức năng của một bộ mã hoặc
một bộ giải mã đồng thời, phù hợp với các mô hình lưu trữ hoặc truyền
thông tin trong thời gian thực như Hình 1.1.
Bản rõ là ảnh số RGB, kích thước cho mỗi lớp mầu là là H × W trong
đó H là kích thước ảnh theo chiều dọc cũng là số lượng điểm ảnh đếm được
theo chiều dọc và W là kích thước ảnh theo chiều ngang cũng là số lượng
điểm ảnh đếm được theo chiều ngang, được biểu diễn dưới dạng chuỗi các
byte liên tiếp một chiều.
6


Bộ tạo khóa

Bộ tạo khóa
Kj={Ksj; Kpj}

Kr-j-1={Ksr-j-1; Kpr-j-1}
Bản
ản rõ
r

Bản rõ

rs

Khối thay
ay thế
t byte
Hàm SkewTent

Ksr-j-1

Ksj

Khối thay thế byte
Hàm SkewTent
wTe ngược

rrs

r

r

rp

Khối hoán vị bit
Hàm Standard

Bản mã

Kpr-j-1

Kpj

Kênh truyền

Khối hoán vị bit ngược
Hàm Stan
Standard

r
rp

Bản mã

Hình 1.2: Thuật toán mã hóa ảnh RGB

Thuật toán lập mã
Hình 1.2 mô tả thuật toán lập mã với khóa bí mật Kj được tạo ra từ bộ
tạo khóa. Kj đóng vai trò là tham số điều khiển và tạo ra hai khóa con cho
khối thay thế và hoán vị là Ksj và Kpj , ta có Kj = {Ksj ; Kpj }.
Ảnh RGB-8bit có 3 lớp mầu và mỗi điểm ảnh được mã hóa bằng 8-bit,
ảnh đầu vào được biến đổi thành một chuỗi một chiều gồm các byte là
P = [p1 p2 ...pm ...], trong đó pm ∈ {0, 1, ..., 255}. Chuỗi P được phần chia

thành các khối có kích thước cố định là Tblock = 2 byte. Khối thứ b là B(b)
sẽ chứa byte thứ i và byte thứ (i + 1)th của chuỗi P . Ta có, B(b) = [pi pi+1 ]
là một khối gồm hai byte pi và pi+1 .
Mỗi byte trong khối B(b) được thay thế giá trị bằng việc áp dụng hàm
Skew Tent rời rạc [15, 31]. Ksj là tập các tham số điều khiển tại vòng thứ
j, ta có Ksj = [ksj1 ; ...; ksji ; ...; ksjrs ]. Trong đó, ksji là tham số điều khiển
tại vòng thứ i của quá trình thay thế và tại vòng thứ j của toàn bộ thuật
toán. Sau đó, mỗi khối B(b) thu được sau tiến trình thay thế được sắp xếp
lại trong ma trận bit hai chiều để thực hiện quá trình hoán vị, với kích
thước ma trận hai chiều là M × M . Trong quá trình hoán vị, vị trí các bit
trong ma trận hai chiều được hoán đổi bằng hàm Standard [26]. Quá trình
thay thế giá trị byte được lặp lại rs lần, sau đó đầu ra của khối thay thế
sẽ là đầu vào của khối hoán vị. Quá trình hoán vị vị trí các bit trong ma
trận hai chiều được lặp lại rp lần, và cả hai quá trình này được lặp thêm r
7


LFSR1
Qk1(n)

X1(0)
ff(X1(n-1))

Bộ tạo các giá
trị khởi tạo
ngẫu nhiên
Xi(0)

LFSR2
R2

Qk2(n)

X2(0)
ff(X2(n-1))

LFSR3
3
Qk3(n)

X3(0)

X1(n)
X2(n)
X3(n)

Tạo ra các
ttham số điều
khiển

Ksj

Kpj

f
f(X3(n-1))

Hình 1.3: Bộ tạo khóa hỗn loạn

lần cho toàn bộ thuật toán.
Thuật toán giải mã

Thuật toán giải mã là các tiến trình thực thi ngược lại so với thuật toán mã
hóa. Tham số của quá trình thay thế ngược hay còn được gọi là giải thay
thế là ksji sẽ được đồng bộ với các giá trị tương ứng ở thuật toán mã hóa.
Toàn bộ các đầu ra của thuật toán giải mã sẽ thu được sau r vòng lặp. Về
mặt thực thi tham số Kr−j−1 cho lần lặp thứ (r − j − 1) ở quá trình giải mã
có giá trị tương đương với tham số Kj tại vòng lặp thứ j của quá trình mã
hóa. Khối điều khiển trong sơ đồ Hình 1.1 sẽ đồng bộ hai tập khóa tương
ứng Kj and Kr−j−1 cho cả bộ mã hóa và giải mã, ta có Kj = {Ksj ; Kpj }
và Kr−j−1 = {Ksr−j−1 ; Kpr−j−1 }.
Bộ tạo khóa hỗn loạn
Kiến trúc bộ tạo khóa hỗn loạn trong thiết kế này dựa trên mô hình được
trình bày trong [15]. Bộ tạo khóa gồm hàm Logistic được kết nôi song song
như Hình 1.3. Trong đó, X1 (0) , X2 (0) và X3 (0) nằm trong khoảng từ 1
đến 2N − 1.

8


(a) Hình ảnh của bản rõ 1 và bản mã 1

(b) Hình ảnh của bản rõ 2 và bản mã 2

Hình 1.4: Hình ảnh của bản rõ và bản mã tương ứng với thuật toán đề xuất

Phân tích bảo mật
Đánh giá mức độ bảo mật của hệ mật mã khối hỗn loạn đề xuất, luận án
lựa chọn các thông số NPCR và UACI[45]. Để xác định độ nhạy cảm của
hệ mật mã đề xuất với khóa mật, xét hệ số CDR [27], hệ số này chỉ rõ sự
thay đổi nhỏ của khóa bí mật, sẽ làm thay đổi rất lớn giá trị đầu ra của
bản mã. Điều này rất có ý nghĩa trong việc chống tấn công vét cạn và tấn

công thống kê, giả sử kẻ thù có năng lực tính toán siêu việt có thể tiến
hành được bất cứ phép tìm kiếm vét cạn không gian khóa hữu hạn, khi chỉ
số CDR tiến đến 100% thì thời gian cần cho thực hiện tấn công vét cạn là
gần như vô hạn.
Bảng 1.1, lưu các giá trị của các hệ số CDR, NPCR, UACI, các tác giả
trong [45] chỉ ra rằng nếu các giá trị NPCR >99.56%, UACI >33.22%, thì
hệ mật mã không bị phân tích bởi các loại tấn công bảo mật như tấn công
vét cạn, tấn công vi sai và tấn công chỉ biết bản mã[45]. Các giá trị cho
thấy khả năng chống tấn công của hệ mã đề xuất hoàn toàn tương đương
với các bộ mã kinh điển AES.

9


Bảng 1.1: So sánh các hệ số NPCR, UACI và CDR của bản mã thu được từ thuật
toán đề xuất và AES

Ảnh 1

Thuật toán

NPCR

UACI

CDR

Mật mã khối hỗn loạn [C1]

99.63%

33.39%

94.65%

AES - Chế độ CBC [41]

99.60%

33.41%

96.66%

Thuật toán

Ảnh 2
NPCR

UACI

CDR

Mật mã khối hỗn loạn [C1]

99.72%

33.56%

95.12%

AES - Chế độ CBC [41]

99.85%

33.31%

98.54%

Bảng 1.2: So sánh tài nguyên phần cứng thực thi trên kit phát triển Altera FPGA
DE2

Thuật toán

Mật mã khối

Tổng số

Tổng số

Pin

Thời gian

cổng Logic

thanh ghi

12%

4%

8%

181.174 ms

7%

4%

82%

196.608 ms

36%

28%

82%

4 ms

mã hóa

hỗn loạn [C1]
AES - Chế độ ECB [41]
nối tiếp
AES - Chế độ ECB [41]
song song

Tài nguyên thực thi

Các mô tả thiết kế phần cứng của thuật toán được trình bày trong các bài
báo đã công bố [C1] và [C3]. Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng thuật toán
mật mã khối hỗn loạn theo cấu trúc SPN phù hợp với các tiêu chí thiết kế
và giải quyết các vấn đề đã phân tích ở trên. Tài nguyên của hệ mật mã
khi thực thi trên kit phát triển Altera FPGA DE2 là rất nhỏ ≤ 15% so với
tài nguyên của toàn hệ thống.
10


Chương 2
ĐỀ XUẤT HỆ MẬT KHỐI HẠNG NHẸ DỰA VÀO
CÁC ĐẶC TÍNH HỖN LOẠN CỦA HÀM SKEW TENT
VÀ STANDARD RỜI RẠC

2.1. Thiết kế lớp S-box 4×4 móc xích dựa trên tính
chất hàm Skew Tent rời rạc
Hàm Skew Tent
xn =

xn−1 /r nếu xn−1 ∈ [0, r]
,
(1 − xn−1 ) / (1 − r) nếu xn−1 ∈ (r, 1]

(2.1)

với 0 < r ≤ 1. Đồ thị hàm Skew Tent được mô tả trong Hình 2.1.
Hàm Skew Tent rời rạc[30] là FA : [0, M ] → [0, M ] với tham số 0 < A <
M là tham số điều khiển, được định nghĩa như sau.
FA (xn−1 ) =

xn−1 /A nếu 0 ≤ xn−1 ≤ A
.
(M − xn−1 ) / (M − A) nếu A < xn−1 ≤ M

(2.2)

Hàm Skew tent lượng tử hóa được mô tả như sau:
1
FK

(X) =

ceil M ×

X
K

f loor M ×

nếu 1 ≤ X ≤ K
M −X
M −K

+ 1 nếu K < X ≤ M

.

(2.3)

1 là một ánh xạ song ánh, M là số nguyên dương và

Dễ dàng nhận thấy, FK
M ≥ 2. Trong mật mã học, ánh xạ đảo ngược có vai trò quan trọng trong

11


6.(:7(170$3





[Q
















Q







(a) Đồ thị biên độ

(b) Đồ thị pha

Hình 2.1: Đồ thị biên độ và pha của hàm Skew Tent
−1
−1
thuật toán giải mã. Gọi FK
là hàm ngược của hàm Skew Tent, FK
được
tính như sau:
⎧
X1
M −X2
⎪
⎨ X1 , nếu m(Y ) = Y và K > M −K
−1
−X2
FK
(Y ) =
,
(2.4)
X2 , nếu m(Y ) = Y và XK1 ≤ M

M
−K
⎪
⎩
X1 , nếu m(Y ) = Y + 1

trong đó
X1 = M −1 KY ; X2 = (M −1 K − 1)Y + M

(2.5)

m (Y ) = Y + M −1 KY − M −1 KY + 1.

(2.6)

Trong trường hợp tổng quát, để thiết kế S-box u × v bit, có nghĩa là với u
bit đầu vào sẽ tạo ra v bit đầu ra. Do vậy các giá trị đầu vào của S-box
sẽ là các số dương X nằm trong khoảng X = [0, 1, 2, ..., 2u − 1] và đầu ra
nằm trong khoảng (0, 1, 2, ..., 2v − 1), như vậy không gian giá trị đầu ra của
hàm Skew Tent khi thiết kế S-box là Y = [0, 1, 2, ..., M − 1] và M = 2v − 1.
Khi đó, S-box được tạo ra sau khi lặp hàm Skew Tent rời rạc k lần theo
phương trình (2.8).
12


X0

X1

X15

>ӀƉS –boxes
C0=IV

…

…

^ͲďŽdžϰdžϰ
ŚҽŶůŽҢŶ

^ͲďŽdžϰdžϰ
ŚҽŶůŽҢŶ

^ͲďŽdžϰdžϰ
ŚҽŶůŽҢŶ

Y0

Y1

Y15

Hình 2.2: Lược đồ lớp S-box hỗn loạn móc xích

k
SK (X) = FK
(X + 1) − 1,

(2.7)

hàm chuyển đổi S-box ngược trong thuật toán giải mã có dạng sau
−1
−k
(X) = FK
(X + 1) − 1.
SK

(2.8)

k : Gu → G v .
với FK
2
2
Lớp S-box hỗn loạn móc xích được mô tả Hình 2.2, chế độ móc xích
(Chaining block mode) là mô hình bảo mật chống tấn công lựa chọn bản
rõ [41]. Trong lược đồ lớp S-box hỗn loạn móc xích, định nghĩa khối đầu
vào là 64 bit X = x63 x62 ...xb ...x1 x0 , với xb ∈ {0, 1} là các bit độc lập nhau,
chia thành 16 khối con Xi mỗi khối 4 bit Xi = x4×i+3 ||x4×i+2 ||x4×i+1 ||x4×i
với i = {0, 1, 2...15}. Các khối Xi là đầu vào của lớp S-box 4 × 4-bit nối
móc xích với nhau, các S-box được tạo ra trong Phần 2.1.2 phụ thuộc vào
tham số điều khiển K và số vòng lặp rp.
Đầu vào mỗi S-box thu được khi cộng đảo bit (XOR) khối Xi và đầu ra
của S-box trước đó Yi−1 trong chuỗi móc xích. Tại S-box đầu tiên khối X0
cộng với véc-tơ khởi tạo (Initialization vector-IV) là C0 như phương trình
(2.9- 2.10), do đó sẽ làm tăng độ ảnh hưởng lẫn nhau của các S-box trong
chuỗi.
Y0 = SK (K, [X0 ⊕ IV ]).
(2.9)

Ym = SK (K, [Xm ⊕ Ym−1 ]); m = 1, 3...15,

(2.10)

trong đó, SK là các S-box phụ thuộc tham số K. Khả năng chống tấn công
phân tích thống kê tuyến tính hoặc vi phân phụ thuộc vào số lượng S-box
hoạt động ở đầu ra. Một S-box được gọi là S-box hoạt động nếu và chỉ nếu
S-box đó khác không. Ta có định lý sau
13


x 0 x1 x2 x 3

x60x61x62x63

x4 x5 x6 x7
………………….

>ӀƉdžĄŽ
ƚƌҾŶ

S1

S2

………………….

S16

>ӀƉƚƌҾŶďLJƚĞ (MixBytes)

>ӀƉŬŚƵұĐŚ
ƚĄŶ

…………………………
>ӀƉŚŽĄŶǀҷďŝƚ (PerBits)
……………………………
y60y61y62y63

y 0 y1 y 2 y 3

Hình 2.3: Lớp khuếch tán hỗn loạn

Gọi M số bit của một khối đầu vào, xét Sj : G42 → G42 và Sj+1 : G42 → G42
là hai S-box hoạt động, trong đó Sj là S-box thứ j t h trong chuỗi móc
xích. Gọi Xj , Xj+1 ∈ G42 là hai khối con đầu vào 4 bit. Do đó đầu ra
Yj = Sj (Xj ⊕ Yj−1 ) và Yj+1 = Sj+1 (Xj+1 ⊕ Yj ) có thể viết lại như sau
Yj+1 = Sj+1 (Xj+1 ⊕ Sj (Xj ⊕ Yj−1 )). Có thể thấy rằng, M bit đầu vào
chia thành M
4 khối con Xj mỗi khối 4 bit, các S-box móc xích với nhau
nên mỗi khối con đầu ra được tạo ra sẽ chứa ít nhất 1 S-box hoạt động, và
M
tương ứng với M
4 đầu ra sẽ có ít nhất 4 S-box hoạt động.

2.2. Thiết kế lớp khuếch tán dựa trên hỗn loạn
Lớp khuếch tán hỗn loạn được mô tả như Hình 2.3. Bao gồm hai lớp con
(lớp phụ) là Lớp trộn các byte(MixBytes), lớp thứ hai là lớp hoán vị phi
tuyến (PerBits) theo các bit. Đối với thiết kế mật mã hạng nhẹ hiện đại [4,
17, 18, 23, 35, 42], độ dài một khối bản rõ là 2m bit, lớp thay thế có 2m−2
S-box kích thước 4 × 4 − bit, số byte được tính tương ứng là tByte = 2m−3 .

Ví dụ, một khối bản rõ kích thước là 2m = 64 bit, thì tByte = 2m−3 = 8
byte. Đầu ra của lớp S-box được sắp xếp lại thành các byte để đưa vào lớp
MixBytes. Gọi Si và Si+1 là hai S-box lân cận, và X = Si Si+1 là byte được
ghép bởi hai lân cận nhau, do đó Si là 4 bit trọng số cao và Si+1 là 4 bit
trọng số thấp của X.
Hàm Standard có đặc tính hỗn loạn tốt hơn các hàm hỗn loạn hai chiều
14


khác khi sử dụng các đại lượng đo tính trộn, entropy hoặc phân bố thông kê
Chi-bình phương, ngoài ra quỹ đạo hỗn loạn của hàm Standard cũng được
phân tích chi tiết trong [1] thể hiện rằng hàm Standard hoàn toàn phù hợp
với thiết kế hệ mã mật hỗn loạn, ví dụ trong [26] tác giả đề xuất sử dụng
hàm Standard để thiết kế hệ mật mã khối, hàm Standard cũng được sử
dụng nhiều trong các thuật toán mã hóa ảnh như trong [27, 33, 44]. Trong
phần này, luận án sử dụng hàm Standard cho ứng dụng tạo ra lớp hoán
vị bit (Perbits) cho khối khuếch tán. Hàm Standard rời rạc được biểu diễn
như sau
xi+1 = mod (xi + yi , N )
,
(2.11)
yi+1 = mod yi + K × sin xi+1N×2π , N
với (xi , yi ) ∈ [0, N ]. Giả sử khối đầu vào lớp hoán vị có kích thước 22×m
bit nối tiếp, sắp xếp các bit vào ma trận bit hai chiều kích thước N = 2m .
Gọi bit i có vị trí thứ i trong chuỗi bản rõ ban đầu i ∈ {0, 1, ..., 22×m } và
(xi , yi ) là tọa độ của bit i trong ma trận bit hai chiều, (xi+1 , yi+1 ) là tọa
độ bit i + 1 và i + 1 là vị trí của bit i sau khi được hoán vị thông qua hàm
Standard. Khi đó, i = xi × N + yi và i + 1 = xi+1 × N + yi+1 . Tọa độ
(xi+1 , yi+1 ) được tính như phương trình (2.12)
xi+1

yi+1

= F rp

xi
yi

,

(2.12)

Để đánh giá hiệu quả của lớp khuếch tán đề xuất, tác giả luận văn
dựa trên chiến thuật vết rộng [11, 12, 13] để tính toán phân phối vết về
mặt lý thuyết trong mỗi véc-tơ đầu vào và đầu ra tương ứng. Xét véctơ SX là một tập các trạng thái đầu vào chứa Ms S-box với SX =
0, 0, ..., Sm , ..., 0 , và chỉ có một S-box hoạt động là Sm = 0 do đó ||S|| = 1.
Thực hiện lớp khuếch tán qua năm bước lặp, số nhánh của véc-tơ trạng
thái đầu ra SY được tính trong Bảng 2.1. Kết quả thu được trong Bảng
2.1 cho thấy số nhánh của lớp khuếch tán đề xuất thu được sau 3 bước lặp
lớn hơn so với các thuật toán mật mã khối hạng nhẹ cấu trúc SPN.
Chiến thuật vết rộng của họ mật mã khối giống AES (AES-like) [12]
tuân theo nguyên tắc sau, các mẫu hoạt động trong một vòng được xác
đinh bởi các S-box khác không trong các trạng thái khác nhau tại đầu vào
15


Bảng 2.1: So sánh số lượng S-box hoạt động

Số vòng

Số nhánh

LED/ PHOTON/ KLEIN

Lớp khuếch tán hỗn loạn.

1

5

3

2

6

6

3

8

13

4

9

16

5

9

16

mỗi vòng. Chúng ta có thể so sánh một cách ngắn ngọn lớp khuếch tán của
LED và lớp khuếch tán đề xuất theo mẫu hoạt động như Hình 2.4. Các
bước SubByte và AddRoundKey sẽ bỏ qua vì cả hai không đóng vai trò
lan truyền mẫu hoạt động. Mẫu hoạt động tại mỗi vòng lặp và véc-tơ S
và có ít nhất một S-box hoạt động, các S-box khác không được quy ước là
các ô mầu xám (grey box).
ĄĐŵҧƵŚŽҢƚĜҾŶŐ

ĄĐŵҧƵŚŽҢƚĜҾŶŐ

ҷĐŚ
ŚăŶŐ

dƌҾŶ
LJƚĞ

dƌҾŶ
cҾƚ

(a) >ӀƉŬŚƵұĐŚƚĄŶĐӆĂ LED

,ŽĄŶ
ǀҷďŝƚ

(b) >ӀƉŬŚƵұĐŚƚĄŶŚҽŶůŽҢŶĜҲdžƵҤƚ

Hình 2.4: So sánh sự lan truyền của các mẫu hoạt động trong một vòng lặp của
lớp khuếch tán hỗn loạn và của LED/PHOTON/KLEIN/mCrypton

16


Chương 3
MỞ RỘNG HÀM ARNOLD CAT VÀ CÁC ỨNG DỤNG

3.1. Mở rộng hàm Arnol Cat hai chiều dựa trên
biến đổi giả Hadamard nhanh
Hàm Cat được giới thiệu bởi Arnold [34] là hàm kiểu tuyến tính phân đoạn
theo từng chiều. Dạng thức toán học của hàm Cat rời rạc được định nghĩa
như phương trình (3.1), khi đó Cat được coi như là một ánh xạ F : S 2 → S 2 ,
và S = [0, N − 1] là miền số hữu hạn khi N là một số dương. Hàm Cat hai
chiều rời rạc được định nghĩa như sau
x1 (n)
x2 (n)

= mod A (a, b)2×2 ×

x1 (n − 1)
x2 (n − 1)

,N

,

(3.1)

1a
được gọi là ma trận hai chiều và n
b a×b+1
là số bước lặp hàm và N được gọi là toán hạng của phép chia Modulo với
N > 1.
Biến đổi giả Hadamard nhanh (FPHT) [40] được định nghĩa bởi quan
hệ sau
21
2 × Hk−1 Hk−1
Hk =
⊗ Hk−1 ,
=
(3.2)
11
Hk−1
Hk−1

khi đó, A (a, b)2×2 =

trong đó, k ≥ 1, H0 = 1, Hk là ma trận kích thước 2k × 2k và ⊗ được quy
ước là phép nhân Kronecker [19]. Trong trường hợp đặc biệt a = b = 1,
17


hàm Arnold Cat trong phương trình (3.1) được coi là biến đổi FPHT với
H1 = AT (1, 1)2×2 .
Xem xét mở rộng của hàm Cat hai chiều từ phương trình (3.1) thành
ma trận 2k -chiều sử dụng FPHT. Ma trận đầu tiên của biến đổi FPHT
trong phương trình (3.2) được lựa chọn như sau H1 = AT (a, b)2×2 . Do đó
hàm đề xuất được gọi là Cat-Hadamard 2k - chiều được định nghĩa dưới đây

⎤
⎤
⎡
⎡
⎛
⎞
x1 (n − 1)
x1 (n)
⎢ x (n − 1) ⎥
⎢ x (n) ⎥
⎜
⎟
⎥
⎥
⎢ 2
⎢ 2
⎜
⎟
(3.3)
⎥ = mod ⎜Hk × ⎢
⎥ , N⎟
⎢
⎦
⎦
⎣ ...
⎣ ...
⎝
⎠
x2k (n)
x2k (n − 1)

trong đó, Hk được tạo ra bởi phương trình (3.2), với k ≥ 2, H0 = 1, và
a×b+1 b
. Luôn quy ước m = 2k trong suốt nội dung dưới
H1 =
a
1
đây. Hàm Cat-Hadamard được định nghĩa trong phương trình (3.3) là một
ánh xạ một-một hay còn gọi là một song ánh.
21
, và phương trình (3.2) được viết lại theo dạng đệ quy
Gọi C =
11
như sau
Hk = (C ⊗ Hk−1 )
= C ⊗ (C ⊗ ...(C ⊗H1 ))

(3.4)

(k−1) times

= C ⊗(k−1) ⊗ H1 ,
với H1 = AT (a, b)2×2 . Phương trình (3.3) được viết lại theo dạng đệ quy
sau n bước lặp như sau
⎡
⎤
⎛
⎤
⎞
⎡
x1 (0)

x1 (n)
⎢ x (0) ⎥
⎜
⎟
⎢ x (n) ⎥
⎢ 2
⎥
⎜
⎥
⎟
⎢ 2
⎥ = mod ⎜Hk × (Hk × (...(Hk × ⎢
⎥)...)), N ⎟
⎢
⎣ ...
⎦
⎦
⎝
⎠
⎣ ...
n times
x2k (n)
x2k (0)
(3.5)
⎡
⎤
⎞
⎛
x1 (0)
⎢

⎥
⎟
⎜
⎟
⎜ n ⎢ x2 (0) ⎥
= mod ⎜Hk × ⎢
⎥ , N⎟ .
⎣ ...
⎦
⎠
⎝
x2k (0)
18


⎤
x1 (0)
⎢ x (0) ⎥
⎥
⎢ 2
Khi đó, ⎢
⎥ là véc-tơ khởi tạo, thỏa mãn 0 ≤ xi (0) ≤ N − 1 với
⎦
⎣ ...
x2k (0)
i ∈ [1, 2k ]. Theo đinh lý 4.1, ta có
⎡

Hkn = (C ⊗ Hk−1 )n

(3.6)

n
= C n ⊗ Hk−1
.

Nếu k ≥ 2, phương trình (3.6) được viết lại như sau
n
Hkn = C n ⊗ Hk−1

= C n ⊗ (C n ⊗ ...(C n ⊗H1n ))
(k−1) times

(3.7)

= (C n )⊗(k−1) ⊗ H1n .
Ta có,
Hkn =

f2n+1 f2n
f2n f2n−1

⊗(k−1)

⊗ H1n .

(3.8)

3.2. Phân bố chu kỳ của hàm Cat-Hadamard
Xem xét trong hai trường hợp m = 2 và m = 4. Giá trị của tham số a

và b được chọn trong khoảng [1, N − 1]. Phân bố chu kỳ nhỏ nhất cho hai
trường hợp m = 2 và m = 4, với N trong khoảng từ 2 đến 256, được hiển
thị trong các Hình. 3.1(a) và 3.1(b), tương ứng. Quan sát từ Hình 3.1(a)
nhận thấy rằng các chu kỳ nhỏ nhất trong trường hợp m = 4 có xu hướng
tăng dần khi tăng N . Hơn nữa, các chu kỳ nhỏ nhất khi m = 4 lớn hơn rất
nhiều so với m = 2. Phân bố chu kỳ của hàm Cat-Hadamard được so sánh
với phân bố chu kỳ của Type I và II, từ Hình 3.2 có thể thấy rằng chu kỳ
của hàm Cat-Hadamard hoàn toàn lớn hơn hai kiểu Type I và II.

3.3. Bộ tạo đa ma trận MDS
Nguyên lý thiết kế thuật toán sinh mã của Shannon dựa trên hai nguyên tắc
cơ bản là tạo ra sự xáo trộn hỗn độn và khuếch tán[38]. Tính khuếch tán thể
19


&KXNǤQKӓQKҩW





















.











(a) Pmin (N ) với m = 4


&KXNǤQKӓQKҩW













.



(b) Pmin (N ) với m = 2

Hình 3.1: Phân bố chu kỳ nhỏ nhất của hàm Cat-Hadamard 4−chiều và 2−chiều
tương ứng

hiện sự mở rộng ảnh hưởng của một phần tử thuộc bản rõ lên toàn bộ phần
tử thuộc bản mã để che dấu đi cấu trúc thống kê của bản rõ. Quá trình
biến đổi trộn cột (MixColumns) trong mã hóa chuẩn cao cấp (Advanced
Encryption Standard - AES) là một ví dụ, góp phần làm khuếch tán đầu ra
của khối S-box trong mỗi vòng lặp. Thiết kế khối trộn cột (MixColumns)
sử dụng ma trận phân chia khoảng cách lớn nhất (Maximum Distance
Separable - MDS) tạo ra khả năng chống lại phân tích mã vi phân và tuyến
tính [13]. Hầu hết các hệ mật mã hiện đại như Twofish[37], SHARK[36],
Square[10], KHAZAD[2], hàm băm WHIRLPOOL[22] và SAFER++[29],
hoặc đề xuất trong các hệ mật mã khối hạng nhẹ như LED[18], PRINCE[5]
và PHOTON [17] đều sử dụng ma trận MDS để hợp thành tính khuếch
tán.
Luận án chỉ ra rằng các ma trận MDS hình thành từ 3 loại ma trận Cat
mở rộng là các ma trận MDS phụ thuộc tham số. Sự thay đổi của các tham
số a, b, n quyết định khả năng ma trận Cat mở rộng có là ma trận MDS

hay không. Để tăng tính bảo mật của thuật toán trộn cột, tác giả trong
[28] đã đề xuất việc sử dụng các ma trận MDS khác nhau ở mỗi vòng lặp,
20


&KXNǤQKӓQKҩW

















7\SH,
7\SH,,
&DW+DGDPDUG









1







Hình 3.2: So sánh phân bố chu kỳ của hàm 4−chiều tương ứng với Type I, II và
Cat-Hadamard
X1 X2 X3 X4

a
K

<ŚƀŶŐŐŝĂŶƚŚĂŵ
ƐҺĐӆĂŵĂƚƌҨŶ
ĂƚŵӂƌҾŶŐ

b

dŚƵҨƚƚŽĄŶ
ƚŞŵŬŝұŵŵĂ
ƚƌҨŶD^

DĂƚƌҨŶ
MDS 4x4

Y1 Y2 Y3 Y4

Hình 3.3: Cấu trúc của bộ tạo đa ma trận MDS

do đó luận án đề xuất thiết kế bộ tạo đa ma trận MDS phụ thuộc tham số
được mô tả trong Hình 3.3.

3.4. Bộ tạo chuỗi số giả ngẫu nhiên
Bộ tạo số giả ngẫu nhiên là thành phần không thể thiếu trong các hệ thống
thông tin, cụ thể là trong kỹ thuật đa truy nhập và trải phổ. Chuỗi giả
ngẫu nhiên cũng được sử dụng trong các hệ mật mã. Các giải thuật mã
hoá – tạo khoá, mã hoá, và chữ ký điện tử, cần đến các con số bí mật mà
những kẻ tấn công không biết, và cách tốt nhất để tạo ra một con số như
vậy là chọn một cách ngẫu nhiên [6]. Tuy nhiên các chương trình phần mềm
không thể tạo ra số thật sự ngẫu nhiên được, các phương pháp thông dụng
là dựa trên tính ngẫu nhiên của một bộ nguồn nào đó để tạo ra các chuỗi
số được coi là giả ngẫu nhiên [20]. Bộ nguồn đó có thể có đặc tính cơ học,
nhiệt động lực học, thay đổi theo thời gian hoặc nhạy cảm với môi trường
21


cũng như điều kiện đầu vào. Bộ tạo chuỗi bit giả ngẫu nhiên PRNG được
mô tả bằng thuật toán Algorithm 1, số bước lặp cần thiết cho bộ tạo phải
nhỏ hơn chu kỳ nhỏ nhất của hàm Cat-Hadamard là Pmin (N ) để tránh tạo
ra chuỗi bit đầu ra có chu kỳ, trong trường hợp này ta có Pmin (N ) = 12
khi N = 256. Trong chu kỳ hàm Cat-Hadamard không thể tạo ra đủ số
bit cần thiết cho chuỗi đầu ra do đó tại mỗi bước lặp, các tham số a, b của

hàm F sẽ thay đổi trong mỗi bước lặp do đó số lượng bit đầu ra phụ thuộc
cả không gian tham số a, b.
Algorithm 1 Bộ tạo chuỗi số giả ngẫu nhiên PRNG sử dụng hàm CatHadamard
1: procedure Sử dụng hàm Cat–Hadamard map m−chiều
2:
Đặt các biến cho trạng thái khởi tạo là, X = {Xi (0) : i = 1, 2 . . . q}.
3:
RAN = ∅
4:
for i = 1 to q do
5:
Lặp hàm Cat-Hadamard m-chiều n lần để tìm ra Xi (n), với
Xi (n) = mod (Hk × Xi (n − 1), N ) như phương trình (3.3).
6:
Tìm Yi (n).
7:
Ghép các Yi (n) thành RAN .
8:
end for
9:
Giá trị trả về của thuật toán là chuỗi bit RAN .
10: end procedure
Trong phần thực nghiệm, luận án đề xuất sử dụng hàm Cat-Hadamard
4− và 8−chiều. Giả sử hạt mầm đầu vào là ảnh Lena mức xám 8-bit với
kích thước 256 × 256 để tạo ra các véc-tơ trạng thái khởi tạo cho bộ PRNG.
Cứ mỗi 4 điểm ảnh được nhóm lại thành một véc-tơ khởi tạo Xi (0). Và
đầu ra thu được sau mỗi lần lặp theo như thuật toán Algorithm 1. Chuỗi
bit đầu được kiểm định bởi tiêu chuẩn SP 800-90A [3] của Viện tiêu chuẩn
và đo lường quốc gia Hoa Kỳ (NIST). Với mỗi bước kiểm tra thống kê, tập
các giá trị chuẩn là Pvalues được tạo ra, chuỗi bit được tạo ra tương ứng với

hai trường hợp 4− và 8−chiều của hàm Cat-Hadamard thỏa mãn tất cả
các phép kiểm tra thông kê của của chuẩn SP 800-90A khi Pvalues ≥ 0.01.

22