Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10

Chuyên đề 1: Tam thức bậc hai
I. Lý thuyết:
- Là biểu thức có dạng : y = f ( x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0)
- Khi đó ta có các tính chất sau:
1. Nếu ∆ < 0 thì af ( x) > 0 với ∀x ∈ ℝ .
2. Nếu ∆ ≤ 0 thì af ( x) > 0 với ∀x ∈ℝ \ −

b 

 2a 

x > x

2 và
x
<
x

1

af ( x) < 0 ⇔ x < x < x
1
2
4. Nếu f (α ). f ( β ) < 0 thì tam thức có nghiệm thỏa mãn: α < x < β .
5. Nếu af (α ) < 0 thì phương trình luông có hai nghiệm thỏa mãn: x1 < α < x2
II. Bài tập:
 ax2 + bx + c = y

3. Nếu ∆ > 0 thì af ( x) > 0 ⇔ 

1.

Cho

hệ

phương

trình:


 2
 ay + by + c = z
 2
 az + bz + c = x


trong

đó:

a≠0

và

∆ = (b − 1)2 − 4ac .CMR: nếu ∆ < 0 thì hệ vô nghiệm.
2. Chứng minh rằng nếu: a + c < b thì phương trình: ax 2 + bx + c = 0 luôn có
nghiệm.
3. Biết 2a + 3b + 6c = 0 . CMR: ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).
4. CMR: ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thì một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn:
i) a(a + 2b + 4c) < 0

ii) 5a + 3b + 2c = 0
iii) a + 2b + 5c = 0
5. Chứng minh rằng: trong 3 phương trình sau có ít nhất một phương trình có
nghiệm:
i) x2 + 2ax + bc = 0 ii) x2 + 2bx + ac = 0 iii) x 2 + 2cx + ab = 0
6. CMR: Nếu a a ≥ 2(b + b ) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
1 2
1 2
x 2 + a1 x + b1 = 0 và x 2 + a2 x + b2 = 0
7. Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0;1]. Tìm a, b, c để
biểu thức sau : P =

(a − b)(2a − c)
đạt gái trị nhỏ nhất, lớn nhất.
a (a − b + c )


8.Cho Parapol: y = − x 2 và đường thẳng d đi qua điểm I(0;-1)
Có hệ số góc k. Gọi giao điểm của (P) và d là A, B. Giả sử A, B có hoành độ là
x ;x .
1 2
3
a) CMR: x − x ≥ 2
1 2
b) Tính diện tích tam giác OAB, tìm k để diện tích đó là lớn nhất.
9. Tìm điều kiện của các hệ số a, b, c để phương trình sau vô nghiệm :
a(ax 2 + bx + c)2 + b(ax 2 + bx + c) + c = x .
10. Xét tam thức ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c nguyên có hai nghiệm phân biệt thuộc

(0;1). Tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất.

11. CMR nếu đa thức : f ( x) = a(ax2 + bx + c)2 + b(ax 2 + bx + c) + c vô nghiệm, thì
tam thức: ax 2 + bx − c = 0 có hai nghiệm trái dấu.
12. Gọi x ; x là 2 nghiệm của tam thức: f ( x) = x 2 + ax + b , với a,b thuộc [-1;1].
1 2
CMR: ( x + 1)( x + 1) ≤ 2 + 5 .
1
2
13. Cho tam thức: f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) .
a) CMR: ac < 0 thì phương trình f ( f ( x)) = 0 có nghiệm.
b) Cho a = 1, giả sử phương trình f ( x) = x có 2 nghiệm phân biệt. CMR phương
trình f ( f ( x)) = x có 4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)2 > 4(b + c + 1) .


Chuyên đề 2:

Hệ thức lượng trong tam giác

I. Lý thuyết:
1. Định lý hàm số sin:
- Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, khi đó ta có:
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

2. Định lý hàm số Cosin:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A ; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac.cos B ; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C
3. Công thức đường trung tuyến:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:
ma 2 =

2b 2 + 2c 2 − a 2
2 a 2 + 2c 2 − b 2
2a 2 + 2b 2 − c 2
; mb 2 =
; mc 2 =
4
4
4

4. Các công thức về diện tích:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:
1
1
1
ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
abc
= pr =
4R
= p( p − a)( p − b)( p − c)

S=

II. Bài tập:
1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thỏa mãn: AM = AB.
CMR : sinA=2.Sin(B-C)
2. Tìm min của P =

a3
b3
c3
+
+
ma 3 mb 3 mc 3

3. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu có x ∈ ℝ để : a = x 2 + x + 1; b = 2 x + 1; c = x 2 − 1 .
4. CHo tam giác ABC và K, L, M lần lượt nằm trên AB, BC, CA sao cho
AK BL CM 1
=
=
= , biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK,
AB BC CA 3

CML là bắng nhau. CMR tam giác ABC đều.
5. Xác định dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác thỏa mãn hệ thức:
sin C
=2
sin A.cos B
6. Cho tam giác ABC có S=1. CMR: 2012.a 2 + 2010.b2 − 1005.c 2 ≥ 4. 2010
Giải: Bất đẳng thức tương đương với: 1005(a 2 + b 2 − c 2 ) + (1005.b 2 + 1007 a 2 ) ≥ 4. 2010.S
(1005.b 2 + 1007 a 2 ) 4. 2010.S 1005(a 2 + b 2 − c 2 )
≥
−

2ab
2ab
2ab
2
2
(1005.b + 1007 a )
(1)
⇔
≥ 2010.sin C − 1005.cos C
2ab
⇔


Theo BĐT Cauchy thì VT ≥ 1005.1007 .
Theo BĐT BCS thì VP ≤ 1005.1007 . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
7. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cotA + cotC=α.cotB
1. Xác định góc giữa hai trung tuyến AA1 và BB1 của tam giác khi α =
2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi α = 2 .
8. Cho tam giác ABC biết sinA:sinB: sinC= sin A : sin B : sin C = ( 3 + 1) : 6 : 2
1. Tính các góc của tam giác.
2. Tính tỉ số:

1
2

r
r
1
; CMR : >
.

R
R
5

9. Tam giác ABC là tam giác gì nếu các góc thỏa mãn:
1
1
1
+
+
sin A + sin B + sin C =
cot A + cot B cot B + cot C cot C + cot A
10. Cho tam giác ABC và XYZ có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c; YZ=x, ZX=y,
XY=z, liên hệ bởi hệ thức: a 2 + x 2 = xy + xz ; b2 + y 2 = yx + yz ; c 2 + z 2 = zx + zy .
1. CMR: tam giác ABC nhọn, và tồn tại tam giác A’B’C’ có độ dài các
cạnh là: a2; b2; c2.
2. So sánh góc bé nhất cuẩtm giác ABC và góc bé nhất của tam giác
A’B’C’.
11. Cho tam giác ABC, có M nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu
vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. CMR: cot AA ' B + cot BB ' C + cot CC ' A là
không đổi.
12. Cho tam giác ABC nhọn, thỏa mãn: A ≤ 600 ≤ B ≤ C và:

a
= 2 3 . CMR tam giác
r

ABC đều.
13. Cho tam giác ABC thỏa mãn:

1
1 1
= 2+ 2.
2
ha b c

14. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: 1 +

sin B   sin A   sin C 
 1 +
 1 +
 = 4+3 2
 sin A   sin C   sin B 
cos A 2 cos B 3cos C
15. Cho tam giác ABC có R=2 và:
. Tính cạnh bé nhất và góc
=
=
a
b
c

bé nhất của tam giác.
m
m
m
a 2 + b2 + c 2
16. CMR: a + b + c ≥
.
B

A
C
2
r
sin
sin
sin
2
2
2
17.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đặt BAM = α . Chứng minh rằng:
cot C ≥

2 2 − 3cos α
sin α

18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đặt BGC = α . CMR: cot A ≥

2
+ cot α .
3


19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin 4 C + 2sin 4 A + 2sin 4 B = 2sin 2 C ( sin 2 A + sin 2 B ) .
CMR: Tam giác ABC vuông cân.
20. CMR:

IA2
IB 2
IC 2

+
+
= 2.
c ( p − a ) a ( p − b) b ( p − c)

21. Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, đường cao CN, phân giác BP đồng quy.
CMR: c 2 = a 2 + b2 −

2ab 2
.
a+b

22. Cho tam giác ABC.
a. Tìm vị trí của M để biểu thức: P = MB.MC + MB.MC + MC.MA đạt GTNN.
5
b. CMR: 3(cos 2 A − cos 2C ) + cos 2 B ≤
2
23. Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng với mọi điểm O nằm trong tứ giác ta có:
S
≤ OA2 + OB 2 + OC 2 + OD 2
ABCD
24. Cho tam giác ABC có A, B là 2 góc nhọn thỏa mãn: ∃α ∈ (0; 2) sao cho
sin 2 A + sin 2 B = sinα C . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?.