Động lực học công trình dương văn thứ

PGS.TS. D

NG V N TH

NG L C H C CÔNG TRÌNH

NHÀ XU T B N KHOA H C T NHIÊN VÀ CÔNG NGH
HÀ N I - 2010


2


M CL C
L I NÓI
Ch

U

ng 1. DAO

5
NG C A H CÓ M T B C T

DO

1.1 M T S KHÁI NI M C B N V LÝ THUY T DAO

6
NG

6

1.1.1 Khái ni m v chu k và t n s

6

1.1.2 Dao đ ng đi u hoà và véc t quay

6

1.1.3 L c c n và các mô hình l c c n

8

1.2 PH NG TRÌNH VI PHÂN DAO
T DO
1.3 DAO
NG T
RIÊNG)

DO-T N S DAO

NG NGANG T NG QUÁT C A H M T B C
9
NG T

DO (HAY T N S DAO

NG
11

1.3.1 Dao đ ng t do không có l c c n

11

1.3.2 Dao đ ng t do có l c c n

13

1.4 DAO
NG C
NG

NG B C CH U L C KÍCH THÍCH I U HOÀ P(t) = P 0 sinrt - H S
17

1.4.1 Xét tr

ng h p l c c n bé

17

1.4.2 Xét tr

ng h p khi không có l c c n

19

1.4.3 Phân tích h s đ ng - Hi n t

ng c ng h

ng

19

1.5 H M T B C T DO CH U T I TR NG KÍCH
PHÂN DUHAMEL

NG - HÀM

Ch

DO

ng 2. DAO

NG C A H CÓ NHI U B C T

2.1 KHÁI NI M BAN

NG T

27
27

NG NGANG T NG QUÁT C A H CÓ n B C

DO C A H CÓ n B C T

2.3.1 T n s và ph

20

U

2.2 PH NG TRÌNH VI PHÂN DAO
T DO
2.3 DAO

NG L C VÀ TÍCH

27
DO - PH

NG TRÌNH T N S

ng trình t n s

30
30

2.3.2 D ng dao đ ng riêng và tính ch t tr c giao c a các dao đ ng riêng

32

2.3.3 Phân tích t i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng

37

2.4 CÁCH CHUY N T NG
B T K TRÊN K T C U V

NG CÁC T I TR NG
T T I CÁC KH I L

2.5 DAO
NG C NG B C C A H NHI U B C T
L C KÍCH THÍCH I U HOÀ: P(t)=P 0 sinrt

NG
NG

T T I CÁC V TRÍ
40

DO, KHÔNG L C C N CH U
42

2.5.1 Bi u th c n i l c đ ng và chuy n v đ ng

42

2.5.2 Xác đ nh biên đ c a các l c quán tính

43

2.6 DAO
NG C NG B C C A H NHI U B C T
L C KÍCH THÍCH B T K P(t)

DO, KHÔNG L C C N, CH U
46

3


Ch

ng 3. DAO

3.1 PH

NG NGANG C A THANH TH NG CÓ VÔ H N B C T

NG TRÌNH VI PHÂN T NG QUÁT DAO

DO

49

NG NGANG C A THANH TH NG

49

3.2 DAO
NG T DO KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N H NG
S - TÍNH CH T TR C GIAO C A CÁC D NG DAO
NG RIÊNG

50

3.2.1 Ph

ng trình vi phân dao đ ng t do không có l c c n

50

3.2.2 Gi i PTVP (3-6)-Xác đ nh quy lu t dao đ ng t do
3.2.3 Gi i PTVP (3-7) - Xác đ nh t n s dao đ ng riêng và d ng dao đ ng riêng

51
51

3.2.4 Xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a các d m m t nh p

54

3.2.5 Tính ch t tr c giao c a các d ng dao đ ng riêng

55

3.2.6 Phân tích t i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng

56

3.2.7 D ng chu n c a các dao đ ng riêng

57

3.3 DAO
NG C
KHÔNG
I

NG B C KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N
58

3.3.1 Tr

ng h p l c kích thích phân b b t k q(z,t)

58

3.3.2 Tr

ng h p l c kích thích phân b đ u quy lu t đi u hoà q(z,t) = q 0 sinrt

60

3.3.3 Tr

ng h p l c t p trung P(t)

62

3.3.4 Dao đ ng c ng b c không c n c a d m m t nh p, ti t di n không đ i, ch u tác
đ ng c a t i tr ng và d ch chuy n g i t a bi n đ i đi u hoà.
Ch

ng 4. CÁC PH
NG PHÁP TÍNH G N ÚNG TRONG
CÔNG TRÌNH

4.1 CÁC PH

NG PHÁP N NG L

4.1.1 Ph
4.1.2 Ph
4.2 PH
Ch

ng 5.

NG L C H C

NG

ng pháp Rayleigh
ng pháp Rayleigh-Ritz

NG PHÁP KH I L

65

NG T P TRUNG

NG L C H C C A K T C U H THANH PH NG

69
69
69
72
75
81

5.1 CÁCH TÍNH G N ÚNG

81

5.2 PH

NG PHÁP TÍNH CHÍNH XÁC

88

5.2.1 Xác đ nh t n s dao đ ng t do

90

5.2.2 Bi u đ biên đ n i l c đ ng

90

BÀI T P CH

NG 5

TÀI LI U THAM KH O

4

95
113


L I NÓI Đ U

T

i tr ng tác d ng vào công trình, d a vào tính ch t tác d ng, đ
T i tr ng tác d ng t nh và t i tr ng tác d ng đ ng.

c phân thành hai lo i:

T i tr ng tác d ng đ ng là t i tr ng khi tác đ ng vào công trình làm cho công trình
chuy n đ ng có gia t c. Do công trình có kh i l ng, nên khi chuy n đ ng có gia t c, trong
công trình s xu t hi n thêm l c quán tính.
T i tr ng đ ng là t i tr ng có tr s thay đ i theo th i gian, th m chí v trí tác d ng
c ng có th thay đ i theo th i gian; nh t i tr ng đ c sinh ra do kh i l ng l ch tâm trong
đ ng c khi đ ng c ho t đ ng, t i tr ng gió bão, áp l c n , áp l c thu đ ng, t i tr ng đ ng
đ t vv...

Các công trình xây d ng ngày càng có hình dáng thanh m nh nh các ti n b v m t
v t li u xây d ng và công ngh xây d ng, nên r t nh y c m v i các tác d ng đ ng. D i tác
d ng c a t i tr ng đ ng, các đ i l ng phát sinh trong công trình nh : Ph n l c liên k t, n i
l c, bi n d ng, chuy n v vv... đ u thay đ i theo th i gian.
Nhi m v chính c a môn
xác đ nh giá tr l n nh t (biên đ

khi công trình ch u tác d ng c a
bài toán thi t k . Ngoài ra môn h
dao đ ng riêng c a công trình đ
trình b phá ho i do n i l c, chuy

ng l c h c công trình là nghiên c u các ph ng pháp đ
) c a các đ i l ng nghiên c u phát sinh trong công trình
các t i tr ng đ ng đ ph c v bài toán ki m tra c ng nh
c c ng nghiên c u các ph ng pháp đ xác đ nh các t n s
tránh hi n t ng c ng h ng có th x y ra làm cho công
n v vv... có th t ng lên r t l n.

Trong khuôn kh m t cu n sách ph c v h c t p cho sinh viên tr ng i h c Thu l i
v i th i l ng hai tín ch , trong giáo trình này chúng tôi ch trình bày các ki n th c c b n
nh t c a môn h c “ ng l c h c công trình”. Cu n sách c ng có th làm tài li u tham kh o
cho sinh viên các tr ng
i h c k thu t khác, cho các h c viên cao h c, và cho nh ng
ng i quan tâm t i vi c tính toán công trình d i tác d ng c a t i tr ng đ ng.
Do th i gian và trình đ có h n, nên khó tránh kh i các thi u sót trong công vi c trình
bày n i dung cu n sách; chúng tôi chân thành c m n các ý ki n đóng góp c a các đ ng
nghi p và các b n đ c g n xa.
Các tác gi c ng g i l i c m n t i gi ng viên tr Lý Minh D
gia ch b n và v hình cho cu n sách này.

ng đã nhi t tình tham

Hà N i, n m 2010
Tác gi

5

NG L C H C CÔNG TRÌNH

DAO
1.1 M T S

Ch
NG C A H CÓ M T B C T

KHÁI NI M C

DO

B N V LÝ THUY T DAO

NG

1.1.1 Khái ni m v chu k và t n s
Xét h trên hình 1.1. H g m kh i l ng M đ c g n vào m t đi m c đ nh nh lò xo
có đ c ng K (là ph n l c phát sinh trong lò xo khi lò xo bi n d ng m t l ng b ng đ n v ).
Kh i l ng M ch u tác đ ng c a m t l c P(t) có ph ng theo ph ng c a chuy n đ ng
(ph ng y), còn chi u và tr s thay đ i theo th i gian.
Kh i l ng M chuy n đ ng, l c phát sinh trong lò xo thay đ i làm
cho v t th c hi n m t dao đ ng c h c.

K

Tu thu c vào quan h gi a l c lò xo và bi n d ng c a lò xo là 0

tuy n tính, hay phi tuy n, mà ta có bài toán dao đ ng tuy n tính hay dao
đ ng phi tuy n.

M

Dao đ ng c a v t thu n túy do l c lò xo sinh ra khi M d ch chuy n
kh i v trí cân b ng ban đ u (do m t nguyên nhân b t k nào đó gây ra
r i m t đi) đ c g i là dao đ ng t do hay là dao đ ng riêng.

y

P(t)
Hình 1.1

D ng chuy n v c a v t M đ c g i là d ng dao đ ng riêng. N u
trong quá trình dao đ ng luôn luôn t n t i l c đ ng P(t), ta có bài toán dao đ ng c
L c đ ng P(t) còn đ c g i là l c kích thích.

ng b c.

S các dao đ ng toàn ph n c a kh i l ng th c hi n trong m t đ n v th i gian, ch ph
thu c vào các đ c tr ng c h c c a h , g i là t n s dao đ ng riêng hay t n s dao đ ng t
do, và đ c ký hi u là f. Th i gian đ th c hi n m t dao đ ng toàn ph n đ c g i là chu k
dao đ ng, và đ c ký hi u là T. N u T đo b ng giây (s) (trong
ng l c h c công trình th i
gian th ng đ c đo b ng giây), thì th nguyên c a f là 1/s. V tr s f và T là ngh ch đ o c a
nhau.

1.1.2 Dao đ ng đi u hoà và véc t quay
Sau đây ta xét m t d ng dao đ ng quan tr ng đ c g i là dao đ ng đi u hòa. ây là

d ng dao đ ng c b n th ng g p trong c h c, m t khác, các dao đ ng có chu k luôn luôn
có th phân tích thành các d ng dao đ ng đi u hòa đ n gi n này.
Xét dao đ ng đi u hòa,
S (t ) = A sin ωt

(1-1)

Có v n t c
v(t ) = Aω cosω t

a (t ) = − Aω 2 sin ωt
Ta th y r ng, có th miêu t chuy n đ ng
này nh chuy n d ch c a đi m mút véc t OA
(có đ l n b ng A) lên m t tr c S nào đó khi véc

(1-2)
x

0

và gia t c

6

Acos t
t

Asin t

(1-3)

A
s
Hình 1 2


Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

t này quay quanh đi m c đ nh O v i v n t c góc ω.(xem hình 1.2).
Lúc này, tr s A đ c g i là biên đ dao đ ng, còn v n t c góc ω đ c g i là t n s
vòng c a dao đ ng - là s dao đ ng toàn ph n c a h th c hi n trong 2π giây.
Th t v y, theo đ nh ngh a,

ωT = 2π , nên =
T

2π 1
, do đó ω = 2π f
=
ω
f

Tóm l i, trong dao đ ng đi u hòa ta có các quan h sau,
2π
= 2π f

T

(1-4)

f=

1 ω
=
T 2π

(1-5)

T=

1 2π
=
f
ω

(1-6)

ω
=

Sau này trong tính toán th c t , ng i ta hay dùng ω h n f.
Kh o sát ba dao đ ng đi u hòa cùng biên đ A và chu k T, nh ng biên đ đ t đ c
các th i đi m khác nhau; C ng có ngh a là th i đi m b t đ u c a ba dao đ ng này là l ch
nhau. Ta nói ba dao đ ng l ch pha nhau - xem hình 1.3;
T
t

0

T
t0=
4

s

T

T

A

0A

A
s

a)

t

t

0

π

S (t ) = Asin  ω t- 

2


S (t ) = Asin(ω t)

ϕ ϕ
=
T
ω 2π
S (t ) = Asin (ω t-ϕ )

s

b)
c)

t=
0

Hình 1.3

Dao đ ng (c) b t đ u s m h n dao đ ng (b) m t kho ng th i gian t 0 ; Ngh a là, sau khi
véc t quay OA bi u di n dao đ ng (c) quay đ c m t góc ϕ = ωt 0 thì dao đ ng (b) m i b t
đ u. Ta nói t 0 là đ l ch pha, còn ϕ là góc l ch pha (hay góc pha). T ng t , dao đ ng (a)
có góc pha là π/2.
Cách bi u di n dao đ ng đi u hòa d i d ng véc t quay nh trên hình 1.2, giúp ta th c
hi n thu n ti n vi c h p các dao đ ng đi u hòa. Ví d , xét h p c a hai dao đ ng đi u hòa
cùng t n s (có th khác biên đ và l ch pha).
S1 (t ) = A1 sin ωt

=
S 2 (t ) A2 sin (ωt + ϕ )

(a)
(b)

Các véc t quay bi u di n các dao đ ng S 1 và S 2 t i th i đi m t nào đó là OA 1 và OA 2
nh trên hình 1.4. H p c a hai dao đ ng S 1 và S 2 chính là h p c a hai véc t OA 1 và OA 2
cho ta véc t OA có đ l n, theo qui t c hình bình hành, là
7


NG L C H C CÔNG TRÌNH

OA
+=
=
A
(+A1

A2 cosϕ )

( A2 sin ϕ )

2

và góc l ch pha β, mà: tg β =

2

(1-7)

A2 sin ϕ
( A1 + A2cosϕ )

(1-8)

Nh v y, h p c a hai dao đ ng đi u hòa cùng t n s là m t dao đ ng đi u hòa cùng
t n s , có biên đ A đ c tính theo (1-7) và góc l ch pha β đ c tính theo (1-8)

S (t ) = S1 (t ) + S 2 (t ) = Asin (ω t+β )

(c)

Chú ý r ng, n u hai dao đ ng thành ph n khác t n s , thì h p c a chúng không còn là
dao đ ng đi u hòa n a, mà ch là dao đ ng có chu k (chi ti t có th xem các tài li u tham
kh o).
s

A
A2 sin

A2

A1
0

A2 cos

x

t

Hình 1.4

1.1.3 L c c n và các mô hình l c c n
Dao đ ng t do c a h do m t nguyên nhân tác d ng t c th i nào đó gây ra r i m t đi s
không t n t i mãi, mà s m t đi sau m t kho ng th i gian. S d nh v y là do trong quá trình
dao đ ng, h luôn luôn ph i ch u tác d ng c a m t s l c gây c n tr dao đ ng mà ta g i là
l c c n. L c c n do nhi u nguyên nhân gây ra nh : ma sát gi a các m t ti p xúc mà ta g i là
l c c n ma sát; s c c n c a môi tr ng nh không khí, ch t l ng… hay l c n i ma sát mà ta
g i chung là l c c n nh t.
Trong chuy n đ ng c h c, ng
1- L c c n ma sát đ

i ta th

ng chia l c c n thành ba nhóm chính:

c xác đ nh theo đ nh lu t Culong

Rc = C1.N

(1-9)

Trong đó: C 1 là h s ma sát,
N là thành ph n pháp tuy n c a l c sinh ra gi a hai m t ti p xúc khi chuy n
đ ng (nó ph thu c vào v n t c chuy n đ ng)
2- L c c n nh t tuy n tính Newton t l b c nh t v i v n t c chuy n đ ng
Rc = C2 .v

8

(1-10)


Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

Trong đó: C 2 là h s c n nh t
&
v là v n t c chuy n đ ng, v = S(t)
ây là mô hình l c c n đ c dùng nhi u trong th c t xây d ng; và đ
m t pít tông chuy n đ ng trong ch t l ng nh t nh trên hình 1.6d.

c mô t b ng

3- L c c n t l b c cao v i v n t c (th ng là b c hai). L c c n này th ng x y ra khi
v t chuy n đ ng trong môi tr ng ch t l ng hay ch t khí v i v n t c t ng đ i l n.
Rc = C3 .vα

(1-11)

S thay đ i c a ba nhóm l c c n này trong dao đ ng đi u hòa đ
Rc

c th hi n trên hình 1.5;

ng chuy n đ ng

1. L c c n Culông
2. L c c n nh t tuy n tính
3. L c c n nh t phi tuy n

3

t

1

2
T
Hình 1.5: L c c n trong dao đ ng đi u hòa

1.2 PH
NG TRÌNH VI PHÂN DAO
H M T B C T DO

NG NGANG T NG QUÁT C A

Xét h m t b c t do g m d m đàn h i gi thi t không có kh i l ng, trên đó có đ t
kh i l ng t p trung M, ch u tác d ng c a t i tr ng đ ng P(t) đ t t i kh i l ng và có ph ng
theo ph ng chuy n đ ng c a kh i l ng (xem hình 1.6a). Tr ng h p t i tr ng không đ t t i
kh i l ng thì ph i chuy n t ng đ ng v đ t t i kh i l ng. M t trong các cách chuy n
t ng đ ng nh v y s đ c trình bày chi ti t m c 2-4. K t c u đ c đ t trong h t a đ

yz nh trên hình v .
Khi trên h ch a ch u tác đ ng c a l c đ ng P(t), nh ng do tr ng l ng c a kh i l ng
M,(G = Mg), h có bi n d ng và chuy n d ch t i v trí ‘1’ nh trên hình 1.6a; Tr ng thái
t ng ng v i v trí này c a h ta g i là tr ng thái cân b ng t nh ban đ u c a h . Khi h ch u
tác d ng c a t i tr ng đ ng P(t), h s dao đ ng xung quanh v trí cân b ng này. Gi s , đ n
th i đi m t nào đó, h đang chuy n đ ng h ng xu ng và t i v trí ‘2’ nh trên hình 1.6a;
P(t)
1

z

a)
yđ(t)

yt M

K=
2

y
b)

z

P(t)

δ

R ®h
9

M

M

P(t)

1

Rc (t )
c

z (t )


NG L C H C CÔNG TRÌNH

Hình 1.6

Do đây ta ch xét nh h ng c a l c đ ng P(t), đ ng th i do gi thi t bi n d ng bé,
nên tr ng thái cân b ng t nh ban đ u có th coi g n đúng nh tr ng h p ch a có bi n d ng
(Hình 1.6b). T t nhiên, khi xác đ nh m t đ i l ng nghiên c u nào đó, ta ph i k t i giá tr do
M gây ra theo nguyên lý c ng tác d ng.
Xét h dao đ ng ch u l c c n nh t tuy n tính Newton, thì dao đ ng c a h trên hình
1.6b có th đ c mô hình hóa nh trên hình 1.6d; g m kh i l ng M đ c treo vào lò xo có
đ c ng K, và g n vào pít tông chuy n đ ng trong ch t l ng nh t có h s c n C.
Xét h
th i đi m t nào đó đang chuy n đ ng h ng xu ng cùng chi u v i l c P(t).
Khi đó h ch u tác d ng c a các l c sau: l c đ ng P(t); l c đàn h i sinh ra trong lò xo ph
thu c đ d ch chuy n y c a kh i l ng, R đh (y) = K.y(t), có chi u h ng lên; l c quán tính

Z(t) = -M ÿ(t) có chi u h ng xu ng cùng chi u v i chuy n đ ng; và l c c n nh t tuy n tính
& có chi u h ng lên ng c v i chi u chuy n đ ng (xem hình 1.6f). H
R c = C y(t)
tr ng thái
cân b ng đ ng, nên:
R đh + R c (t) - Z(t) - P(t) = 0
Hay

My&&(t ) + Cy&(t ) + Ky (t ) =
P(t )

(1-12)

Ph ng trình (1-12) là ph ng trình vi phân (PTVP) dao đ ng ngang t ng quát c a h
đàn h i tuy n tính m t b c t do ch u l c c n nh t tuy n tính. Trong đó, C là h s c n có th
nguyên là [ l c × th i gian / chi u dài]; K là đ c ng c a h , là giá tr l c đ t t nh t i kh i
l ng làm cho kh i l ng d ch chuy n m t l ng b ng đ n v , và có th nguyên là [l c /
chi u dài ].
Ph ng trình (1-12) c ng có th đ c thi t l p d a vào bi u th c chuy n v . Th t v y,
n u ký hi u δ là chuy n v đ n v theo ph ng chuy n đ ng t i n i đ t kh i l ng (hình 1.6c)
- còn g i là đ m m c a h m t b c t do - thì d ch chuy n y(t) c a kh i l ng t i th i đi m t
do t t c các l c tác d ng trên h gây ra, theo nguyên lý c ng tác d ng s là:
y (t ) =δ P(t ) − δ My&&(t ) − δ Cy&(t )

đ
10

Hay

My&&(t ) + Cy&(t ) + Ky (t ) =

P(t ) chính là (1-12)

Trong đó

K=

1

δ

c g i là đ c ng c a h .

(1-13)


Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

Gi i PTVP (1-12) s xác đ nh đ c ph ng trình chuy n đ ng, v n t c, và gia t c
chuy n đ ng c a kh i l ng; T đó có th xác đ nh đ c các đ i l ng nghiên c u trong h .
Sau đây ta s gi i bài toán trong m t s tr ng h p.

1.3 DAO
NG T
DAO

NG RIÊNG)

DO-T N S

DAO

NG T

DO (HAY T N S

1.3.1 Dao đ ng t do không có l c c n
ây là tr ng h p lý t ng hóa, vì trong th c t l c c n luôn t n t i. PTVP dao đ ng
lúc này có d ng đ n gi n (cho C và P(t) trong (1-12) b ng không).
My&&(t ) + Ky (t ) =
0
Hay là

&
y&(t ) + ω 2 y (t ) =
0

Trong đó

2
ω=

(1-14)

K
1

g
g
=
= = (M )
M M δ Gδ yt

(1-15)

đây, ta ký hi u Gδ = y t (M), v m t ý ngh a, nó là chuy n v t nh c a kh i l ng M do
tr ng l ng c a kh i l ng, G, đ t t nh theo ph ng chuy n đ ng gây ra (xem hình 1.6a); còn
g là gia t c tr ng tr ng. Ph ng trình vi phân (1-14) có nghi m t ng quát là:
y (t ) = A1cosω t+A 2 sin ωt

(a)

Các h ng s tích phân A 1 và A 2 đ c xác đ nh t các đi u ki n đ u: T i th i đi m b t đ u dao
đ ng (t=0), gi s h có chuy n v ban đ u y o và v n t c ban đ u v 0

=
=
y
y0 ;

vt

=
=
t 0

0

(1-16)

v0

Thay (1-16) vào (a) v i chú
− ý; v=
(t ) =
+ y&(t )
ω A1 sin ωt ω A2 cosω t , ta đ
A 1 = y0 ; và
Thay (b) vào (a) ta đ

c ph

ωA 2 = v 0

(b)

ng trình dao đ ng t do không có l c c n c a h m t b c t do:

y (t ) = y0 cosω t+

Hay

c:

v0

ω

sin ωt

π v

y (t ) = y0 sin  ω t+  + 0 sin ωt
2 ω


(1-17)
(1-17)’

i u này có ngh a là, dao đ ng t do không c n c a kh i l ng là h p c a hai dao đ ng
đi u hòa cùng t n s ω và l ch pha π/2. S d ng khái ni m véc t quay, theo (1-7) và (1-8),
ph ng trình (1-17)’ có d ng đ n gi n:
y (t ) = Asin (ω t+β )
Trong đó =
A

và

v 
y + 0 
ω 

(1-18)

2

2

0

 y0 
ω
 v0 

β = arctg 

(1-19)
11


NG L C H C CÔNG TRÌNH

Nh v y, dao đ ng t do c a h m t b c t do (BTD), khi không có l c c n, là m t dao
đ ng đi u hòa, có t n s ω đ c tính theo (1-15), có biên đ và góc l ch pha đ c tính theo
(1-19), còn chu k dao đ ng đ c tính theo (1-6).
Nhìn vào (1-15) ta th y ω ch ph thu c yt (M), c ng t c là ph thu c δ hay K, ngh a là
ch ph thu c vào đ đàn h i c a h . Nên t n s dao đ ng t do ω còn đ c g i là t n s dao
đ ng riêng c a h ; Nó là m t đ c tr ng c a h dao đ ng.
Dao đ ng t do không c n có d ng nh trên hình 1-3; Ph thu c đi u ki n ban đ u mà
có d ng (hình 1.3a, b, hay c). Ví d , khi không có chuy n v ban đ u (y0 = 0), thì β = 0, nên
d ng dao đ ng nh trên hình 1.3b; Khi không có v n t c ban đ u (v 0 = 0), thì góc pha b ng
π/2, d ng dao đ ng nh trên hình 1.3a; Còn d ng dao đ ng trên hình 1.3c t ng ng v i khi
c y0 và v 0 đ u khác không.
Chú ý: Khi kh i l ng đ c liên k t b ng nhi u lò xo m c song song hay n i ti p nh
trên hình 1.7, khi đó đ c ng t ng c ng đ c tính nh sau:

K1

K2

K1

K2

K1
2

1

K2

M

M

M
P(t)

P(t)

P(t)

k = ∑ ki
i

VÍ D 1.1:

1

1
=∑
k
i ki

k = ∑ ki sin 2 α i
i

Hình 1.7

C

Trên d m đ n gi n hai đ u kh p, đ t t i C m t a)
kh i l ng t p trung M có tr ng l ng G = 0,75 kN
nh trên hình 1.8a; Bi t E = 2,1.104 kN/cm2;
J=

4

10
cm 4 ; l=1m.
12

12

3l
4

l
4

b)

Gi i: Chuy n v đ n v t i C, theo ph ng c)
chuy n đ ng, do l c P = 1 gây ra, theo công th c
Maxwell - Mohr là (xem hình 1.8b):
1 3 1
3
1 2 3
3m3
(a)
m
m
m
+
×
×
×
×
=


EJ  4 4 
16
2 3 16
256 EJ

Chuy n v t nh t i n i đ t kh i l

G=Mg

P=1

Yêu c u: Xác đ nh t n s vòng và chu k
dao đ ng riêng c a h . B qua kh i l ng d m,
và l y g = 981 cm/s2.

=
δ

(1-20)

ng do tr ng l

P=1

M
3
m
16
Hình 1.8
ng c a kh i l

ng gây ra là:


Ch

.δ
yt( M ) =

G=

ng 1. Dao đ ng c a h

3m3
2, 25kNm3
×
0, 75=
kN
256 EJ
256 EJ

có m t b c t

do

(b)

T n s dao đ ng riêng c a h , theo (1-15) là:

256 × 2,1×104 × 44
×
2, 25 ×12 ×1003

ω=
981

70, 6 s −1

(c)

=

×

Chu k dao đ ng riêng tính theo (1-6) là:
=
T

2π 2 × 3,1416
=
= 0, 089 s
70, 6
ω

(d)

VÍ D 1.2:
Trên khung ba kh p có đ t v t n ng tr ng l ng G (hình 1.9a). B qua nh h ng c a
kh i l ng khung, l c c t, và l c d c t i bi n d ng. Hãy xác đ nh t n s dao đ ng riêng theo
ph ng đ ng và ph ng ngang c a h .
Gi i: Chuy n v đ n v theo ph ng đ ng δ đg , và ph ng ngang δ ng t i n i đ t kh i
l ng đ c tính theo công th c Maxwell - Mohr. T các bi u đ mô men đ n v trên hình
1.9b, và c, ta đ c:

l3
l l 1 2 l
 1
δ đg =  × × × × × 2 
=
 4 2 2 3 4  EJ 48 EJ

(a)’

h.l 2  1
h3 + h 2l
 h.h 2
δ ng = 
× h+ × l
=
2 3  EJ
3EJ
 2 3

(b)’

Thay (a)’ và (b)’ vào (1-15) ta đ
ngang là:

c t n s dao đ ng riêng theo ph

48 EJg 1
g
;
=
Gδ đ
Gl 3 s

ω đg =

ωng =

g
Gδ ng

=

P=1

h

l

c)

ng đ ng và ph

ng

3EJg 1
G h 3 + h 2l s

(

)

P=1

G
h

a)

l

(EJ=h ng s )

l

2

l

b)

2

l

4

2

2

l

2

l

2

Hình 1.9

1.3.2 Dao đ ng t do có l c c n
Khi coi l c c n t l v i v n t c, PTVP dao đ ng t do t ng quát có d ng:
13


NG L C H C CÔNG TRÌNH

My&&(t ) + Cy&(t ) + Ky (t ) =
0

&
y&(t ) + 2α y&(t ) + ω 2 y (t ) =
0

Hay

đây ta đã đ t 2α =
Ph

(1-21)

c
c ng đ
M

(1-21)’

c g i là h s c n

(1-22)

ng trình đ c tr ng c a PTVP (1-21)’ có nghi m là:

λ1,2 =−α ± α 2 − ω 2

(a)

nên nghi m t ng quát c a (1-21)’: =
y (t ) A1eλ1t + A2 eλ2 t
 (
y (t ) +e −α t  A1e
=

Chuy n đ ng c a kh i l
h p ta th y:

)

α 2 −ω 2 t

A2 e

−

s có d ng:

( α −ω )t 
2

2

(1-23)




ng, theo (1-23), ph thu c vào h s α. Phân tích t ng tr

ng

y(t)

1- Khi α2 ≥ ω2; hay C ≥ 2 KM
Khi α > ω ta g i là l c c n l n; còn khi α = ω ta g i
là l c c n trung bình (hay l c c n gi i h n). Lúc này λ là
m t s th c; H n n a, vì α ≥ ω nên

2

−

2

< α, (b ng

t

0

không khi α = ω). Do đó c hai nghi m λ tính theo (a) đ u
âm. Nh v y, chuy n đ ng c a kh i l ng khi l c c n l n
Hình 1.10
và trung bình, theo (1-23), là t ng c a hai hàm s m âm.
H không dao đ ng mà chuy n đ ng ti m c n d n t i v trí cân b ng nh trên hình 1.10;
2- Khi α2 < ω2:
Tr

ng h p này đ

c g i là l c c n bé. Lúc này nghi m λ là ph c.

t
2
ω
=
1

(ω

2

−α 2 )

Khi đó nghi m c a ph

ng trình đ c tr ng (xem (a) s là:

λ1,2 =−α ± iω1
Và ph

(1-24)

(b)

ng trình chuy n đ ng (1-23) tr thành:
=
y (t ) e −α t  A1eiω1t + A2 e − iω2 t 

(1-23)’

S d ng công th c Euller
eiω cos ω + i sin ω
=
e − iω cos ω − i sin ω
=
thay vào (1-23)’ ta có:
y (=
t ) e −α t ( A1 + A2 ) cos ω1t + i ( A1 − A2 ) sin ω1t 

14

(1-25)


Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

hay=
là,
y (t ) +e −α t [ B1 cos ω1t B2 sin ω1t ]

(1-23)’’

Trong đó: B 1 = A 1 + A 2 ; B 2 = i (A 1 - A 2 )
Các h ng s B 1 , B 2 xác đ nh đ

do

(c)

c t các đi u ki n đ u

B 1 = y 0 ; B 2 = (v 0 + αy 0 ) / ω1

(1-16)
(d)

Thay (d) vào (1-23)’’, và l i áp d ng khái ni m véc t quay đ h p hai dao đ ng đi u
hòa trong d u móc vuông, ta đ c ph ng trình dao đ ng t do c a h m t b c t do khi l c
c n bé là:
=
y (t ) +Ae −α t sin(ω1t β )

 v + y0 


y 02 +  0
1



Trong đó,

A=

và

æ y
ö
÷
β = arctg ççç 0 1 ÷
÷
÷
ç
÷
èv0 + y0 ø

D ng dao đ ng trong tr

(1-26)

2

ng h p này đ

(1-27)

c th hi n trên hình 1.11;

y(t)

Ae −α t
A

yn+1
t
0
yn

A

− Ae −α t
T1

Hình 1.11 : Dao đ ng t do khi l c c n bé

T (1-26), hay t hình 1-11 ta th y, dao đ ng t do c a h m t b c t do khi l c c n
bé, c ng là m t dao đ ng đi u hòa có t n s vòng ω 1 tính theo (1-24), và chu k T 1 tính
theo (1-28)
T1 =

2

=
1

2
2

−

2

(1-28)
15


NG L C H C CÔNG TRÌNH

song biên đ dao đ ng gi m d n theo lu t hàm s m âm : Ae -αt.
nghiên c u đ t t d n c a dao đ ng, ta xét t s gi a hai biên đ dao đ ng li n k
nhau (cách nhau m t chu k T 1 ). Ký hi u biên đ đ t đ c t i th i đi m t nào đó là A n , còn
t i th i đi m (t + T 1 ) là A n+1 , thì t (1-26) ta có:
An
Ae −αt sin (ω1t + β )
e −α t
= −α (t +T1 )
= −α (t +T1 ) = eαT1 = h ng s
An +1 Ae
sin[ω1 (t + T1 ) + β ] e
Suy ra,

αT 1 = ln (

An

)=χ
A n +1

(1-29)

Nh v y, t s gi a hai biên đ li n k nhau là m t h ng s ; còn logarit t nhiên c a t
s này, ký hi u là χ, là m t đ i l ng ph thu c vào h s c n và đ ng nhiên là c 1 c a
h , dùng đ đánh giá đ t t d n c a dao đ ng, ng i ta g i là h s c n logarit, hay là
Dekremen logatit c a dao đ ng t do có c n bé.
H s c n logarit χ đóng vai trò quan tr ng trong th c t . Nó giúp xác đ nh h s c n α
nh thí nghi m đo biên đ dao đ ng A n và A n+1 . Sau đây là m t s k t qu thí nghi m tìm
đ c cho m t s lo i k t c u xây d ng.
1,

i v i các k t c u thép
αT 1 = (0,016 ∼ 0,08)2π ≈ 0,1 ∼ 0,15

2,

iv ik tc ug

3,

i v i các k t c u bê tông c t thép

... = (0,005 ∼ 0,022)2π ≈ 0,03 ∼ 0,15
αT 1 = (0,016 ∼ 0,032)2π ≈ 0,08 ∼ 0,2

4,

i v i c u thép

-- = (0,01 ∼ 0,15); trung bình 0,28

5, V i c u bê tông c t thép:

... = 0,31

6, V i d m bê tông c t thép:

... = (0,17 ∼ 0,39); trung bình 0,28

7, V i khung bê tông c t thép: ... = (0,08 ∼ 0,16); trung bình 0,12
So sánh hai ph

ng trình dao đ ng t do không c n (1-18) và có c n bé (1-26) ta th y,

t n s riêng khi có c n bé ω1 < ω khi không có c n, còn chu k T 1 > T; Có ngh a là, khi có
c n bé, dao đ ng ch m h n so v i không có l c c n. Tuy nhiên, s sai khác này c ng r t nh .
Do đó trong xây d ng, do ch y u là c n bé, ng
trong tính toán.
Th t v y, ta xét m t tr

i ta th

ng coi g n đúng ω1 ≈ ω, và T 1 ≈ T

ng h p dao đ ng t t khá nhanh.

Ví d ,

A n / A n+1 = 0,5.

Khi đó

χ = ln(A n /A n+1 ) = ln0,5 = 0,693. suy ra,
α = 0,693 / T 1 = 0,693ω1 / 2π = 0,11ω1 hay
ω1 =

Tr l i tr
16

2

−

2

=

2

− (0,11

1

)2

= 0,994ω ≈ ω.

ng h p l c c n trung bình (c n gi i h n) α2 = ω2. Lúc này,


Ch

χ = αT = ω.

2

= 2π; Do đó:

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

An
= e αT = e 2π = 529.
A n +1

Ngh a là biên đ dao đ ng sau m t chu k đã gi m đi 529 l n, hay nói cách khác, khi h
ch u l c c n trung bình, h g n nh không dao đ ng mà ch chuy n đ ng ti m c n d n t i v
trí cân b ng ban đ u. i u này nh t quán v i k t lu n đã đ c đ c p t i m c a.

1.4 DAO
NG C
NG B C CH U L C KÍCH THÍCH I U HOÀ P(t)
NG
= P0sinrt - H S

Ph

ng trình vi phân dao đ ng t ng quát trong tr

ng h p này, theo (1-12) s là:

My&&(t ) + Cy&(t ) + Ky (t ) =
P0 s inrt
Hay là

(1-30)

 P0 
&
y&(t ) + 2α y&(t ) + ω 2 y (t ) =
  s inrt
M 

(1-30)’

Trong đó, P 0 và r l n l t là biên đ và t n s c a l c kích thích; Còn α và ω nh đã ký
hi u tr c đây. ây là PTVP b c hai tuy n tính chu n có v ph i là m t hàm đi u hòa.
Nghi m t ng quát c a (1-30)’ b ng nghi m t ng quát c a PTVP thu n nh t ký hi u là y0 (t),
c ng v i m t nghi m riêng ký hi u là y1 (t).
y(t) = y0 (t) + y1 (t)

1.4.1 Xét tr

(a)

ng h p l c c n bé

Nghi m y0 (t) tính theo (1-26), còn nghi m riêng y1 (t) có th xác đ nh b ng nhi u cách,
ví d ph ng pháp bi n thiên h ng s Lagrange. Song thu n ti n h n, đây ta gi i b ng
ph ng pháp n a ng c nh sau:
Gi thi t nghi m riêng d

i d ng t ng quát sau

y 1 (t) = A 1 sinrt + A 2 cosrt
Hay là

y 1 (t) = A 0 sin(rt - ϕ)

(1-31)

Trong đó r là t n s l c kích thích đã bi t, còn A 0 và ϕ là biên đ và góc l ch pha ch a
bi t. Rõ ràng là n u ta tìm đ c m t A 0 , và m t ϕ đ (1-31) th a mãn ph ng trình (1-30), thì
(1-31) là m t nghi m riêng c a (1-30). Th t v y, thay y1 (t) và các đ o hàm c a nó
y&1 (t ) = rA0 cos(rt-ϕ ) và
− &
y&1 (t ) =
r−2 A0 sin(rt ϕ )
vào ph

ng trình (1-30) ta đ

(b)

c,

 P0 
−r 2 A0 sin(rt − ϕ ) + 2α rA0 cos(rt-ϕ )+ω 2 A0 sin(rt − ϕ ) =
  s inrt
M 

(c)

Khai tri n sin(rt-ϕ) và cos(rt-ϕ), r i nhóm các s h ng có ch a sinrt và cosrt ta đ

c:

P

(d)
sinrt -r 2 A0cosϕ +2α rA 0 sin ϕ + ω 2 A0cosϕ - 0  + cosrt  r 2 A0 sin ϕ + 2α rA0cosϕ -ω 2 A0 sin ϕ  =
0
M


Bi u th c (d) ph i b ng không v i m i t tùy ý; Mu n v y, các bi u th c h s c a sinrt
và cosrt ph i b ng không. T đó suy ra:
17


NG L C H C CÔNG TRÌNH

A0 =
tg =

M

[(

P0
− r cosϕ + 2rα sinϕ

2

2

)

]

(1-32)

2r
− r2

(1-32)’

2

Thay (1-32) và (1-32)’ vào (1-31) ta có nghi m riêng y1 (t); R i l i thay (1-26) và (1-31)
vào (a) ta đ c nghi m t ng quát c a PTVP dao đ ng (1-30) là:
=
y (t ) Ae −α t sin(ω1t + β ) + A0 sin(rt − ϕ )

(1-33)

Trong đó: A, β tính theo (1-27) ch a các đi u ki n đ u y 0 và v 0 .
A 0 , ϕ tính theo (1-32) ch a biên đ P 0 và t n s r c a l c kích thích đi u hòa. Phân tích
(1-33) ta th y:
S h ng th nh t liên quan t i dao đ ng t do c a h . Trong th c t luôn luôn t n t i
l c c n. Nh ng cho dù l c c n là bé, thì ph n dao đ ng t do này, s m hay mu n, c ng s
m t đi sau m t kho ng th i gian nào đó. Dao đ ng c a h lúc này đ c coi là đã n đ nh, và
đ c bi u di n b ng s h ng th hai trong (1-33).
=
y (t ) y=
A0 sin(rt − ϕ )
1 (t )

(1-34)

Nh v y, dao đ ng c ng b c - l c c n bé - c a h m t b c t do ch u l c kích thích
đi u hòa P 0 sinrt, khi đã n đ nh, là m t dao đ ng đi u hòa có cùng t n s và chu k v i t n
s và chu k c a l c kích thích, còn biên đ A 0 và góc pha đ c tính theo (1-32).
Biên đ dao đ ng A 0 c ng th
T (1-32)’ ta có, 2 r = [(

ng đ

c bi u di n

d ng khác ti n l i h n nh sau:

- r2)sin ]/ cos , r i thay vào (1-32) đ

2

c:

A 0 = P 0 cos / M( 2-r2)
Thay

(f)

tính theo (1-32)’ vào (f) v i chú ý: M =

2

1

Cos(artgϕ) =

và
Ta đ

1

(g)

1 + ϕ2

c,
A0 =

P0
M 2 − r2

(

1

)

 2r 
1+  2 2 
 −r 

2

=
M

(

2

−r

2

) (

P0
2

)

− r 2 + (2r
2

(

2

− r2

)

)2

2

hay
A0 =
M

(

P0
2

)

2

− r 2 + 4r 2

=
2

P0
2


r 2  4r 2 2
1 − 2  +
4



Ký hi u: δ .P0 = yt( P0 ) là chuy n v t nh t i n i đ t kh i l
đ l c đ ng P 0 đ t t nh t i đó gây ra, và
18

ng do l c có tr s b ng biên


Ch

có m t b c t

1

Kđ =

2


r  4r
1 − 2  +


2

Thì ta đ

ng 1. Dao đ ng c a h

do

(1-35)
2

2
4

c A0 = yt( P0 ) .K đ

(1-32)’’

i u này có ngh a là, khi h ch u tác d ng c a t i tr ng đ ng đi u hòa P 0 sinrt, thì biên
đ chuy n v đ ng A 0 l n g p K đ l n so v i chuy n v khi P 0 đ t t nh gây ra. K đ đ c g i là
h s đ ng.
H s đ ng c ng có th đ c bi u di n qua h s c n c.
c gi có th t vi t công
th c này.

1.4.2 Xét tr

ng h p khi không có l c c n

H s đ ng trong tr
Kđ =

ng h p này có d ng đ n gi n h n (cho

= 0 trong công th c 1-35)

1

r2 
1 − 2 



(1-36)

K t qu này c ng có th tìm đ c nh gi i tr c ti p PTVP dao đ ng c
có l c c n. c gi có th t th c hi n đi u này.

1.4.3 Phân tích h s đ ng - Hi n t

ng c ng h

ng b c không

ng

Nhìn vào công th c (1-35) và (1-36) ta th y, h s đ ng ph thu c vào t s r/ .
a) Xét tr

ng h p không có l c c n:

th quan h gi a h s đ ng và t s r/ v đ
h s đ ng ch l y giá tr d ng. Ta th y r ng,
Khi t s

r

0 thì K đ

1

r

∞ thì K đ

0

r

1 thì K đ

∞

c nh trên hình (1.12a) v i chú ý là

Ngh a là, khi t n s l c kích thích l n h n nhi u t n s riêng c a h , h s đ ng có giá
tr nh , th m chí biên đ dao đ ng còn nh h n c chuy n v t nh do P o gây ra. Có th lý gi i
đi u này là do khi r> , K đ có tr s âm, v m t ý ngh a, đi u này có ngh a là dao đ ng c a
kh i l ng ng c pha v i l c kích thích (chi u chuy n đ ng ng c v i chi u c a l c kích
thích), nên l c kích thích ch ng l i chuy n đ ng.
Khi r< , K đ d

ng, ngh a là dao đ ng c a kh i l

ng và l c kích thích cùng pha.

Khi r ≈ , K đ t ng lên r t l n, biên đ dao đ ng t ng r t nhanh. Hi n t ng này đ c
g i là hi n t ng c ng h ng. Trong th c t , khi t s r/ n m trong kho ng t 0,75 đ n 1,25,
K đ đã r t l n. Vùng nh v y đ c g i là vùng c ng h ng (vùng g ch chéo trên hình 1.12).
Kđ
3

2

Kđ

=0

4
3
2

0,2
0,5

0,3

19
c
γ=
2 kM


NG L C H C CÔNG TRÌNH

b) Xét tr

ng h p l c c n bé:

Trong tr ng h p này, K đ không nh ng ph thu c t s r/ , mà còn ph thu c vào h
s c n . Trên hình 1.12b cho ta các đ ng cong quan h này ng v i các h s c n khác
nhau, và th y r ng:
b 1 - H s c n càng l n thì K đ càng nh ; Th m chí khi
C ≥2 KM , c ng t c là

≥

K
2M

(1-37)

h s K đ luôn luôn nh h n m t. Tr ng h p riêng khi h s c n l y d u b ng trong công
th c (1-37) đ c g i là h s c n lý t ng; và có ý ngh a quan tr ng khi ch t o các thi t b

đo dao đ ng.
b 2 - Khác v i tr ng h p không c n, khi có l c c n, h s đ ng có giá tr l n nh t không
ph i khi r/ b ng m t, mà khi t s này nh h n m t. Th t v y, kh o sát bi u th c K đ theo t
s r/ , t (1-35) hay (1-35)’ ta có K đ đ t c c tr khi :
dK đ
= 0 suy ra
r
d 
 

r

ω

= 1− 2

2
2

= 1−

c2
2M 2

2

<1

(1-37)’

(B qua bi n đ i chi ti t)
Tuy nhiên s sai khác này là nh , nên th c t v n coi g n đúng K đ đ t giá tr l n nh t
khi r/ ≈ 1.

1.5
H M T B C T DO CH U T I TR NG KÍCH
NG L C VÀ TÍCH PHÂN DUHAMEL
Nh đã trình bày trong ph n m đ u, t i tr ng kích
đ ng là t i tr ng tác d ng vào công trình m t cách đ t ng t
v i c ng đ l n, r i gi m nhanh sau m t kho ng th i gian

NG - HÀM

P(t)
P0

20

P(t)

t
0
Hình 1.13: T i tr ng kích đ ng


Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

t ng đ i ng n. Tuy th i gian ch t t i ng n, nh ng ta c ng không th b qua y u t th i gian
này trong tính toán.
Ký hi u P 0 là giá tr l n nh t mà t i tr ng đ t đ c, f(t) là hàm bi u di n lu t bi n đ i
c a t i tr ng theo th i gian, còn g i là hàm ch t t i. Khi đó có th bi u di n t i tr ng kích
đ ng d i d ng t ng quát nh sau (hình 1.13).
P(t) = P 0 f(t)

(1-38)

Do ch u t i kích đ ng, nên tr ng thái nguy hi m c a k t c u x y ra khá nhanh sau khi
ch u t i. B i v y, trong tr ng h p này ng i ta th ng b qua nh h ng c a l c c n. PTVP
dao đ ng t ng quát có d ng:
My&&(t ) + Ky (t ) =
P0 f (t )
hay

(1-39)

 P0 
&
y&(t ) + ω 2 y (t ) =
  f (t )
M 

(1-39)’

Có th gi i ph ng trình này b ng nhi u cách.

hàm b ng các phép bi n đ i t ng đ ng nh sau.

c h t nhân hai v c a (1-39)’ v i sin t, c ng và tr vào v trái hàm [ω y&(t )cos(ω t) ]

Tr
ta đ

đây ta gi i theo cách h d n b c đ o

c:
 0
& osω t ) + ( yω 2 sin ωt − ω yc
& osω t ) =
( &y&sin ωt + ω yc
  f (t ) sin ωt
P
M 

Hay

P0
d
d
f (t ) sin ωt
( y&sin ωt ) + ( − yωcosω t ) =
dt
dt
M

Tích phân hai v c a (a) theo c n t t 0 t i t ta đ

( y&sin ωτ ) t − ( yωcosωτ ) t
t

c:

t

t

0

(a)

0

P
=
∫t M0 f (τ ) sin (ωτ ) dτ
0

(b)

Trong đó là m t th i đi m nào đó trong kho ng t t 0 t i t (do c n tích phân là t nên
bi n tích phân ph i là )
S d ng đi u ki n đ u: y (τ ) τ =t = y0 ; y&(τ ) τ =t = v0
0

thì ph

(c)

0

ng trình (b) tr thành:
t

P
y&sin ωt − v0 sin ωt0 − yω cosω t+y 0ω cosω t 0 =
∫t M0 f (τ ) sin(ωτ )dτ
0

(1-40)

Ti p theo, ta l i th c hi n các phép tính theo đúng th t nh trên nh ng nhân hai v
c a (1-39)’ v i cos t; Sau c ng và tr vào v trái hàm (ω y&sin ωt ) , r i tích phân hai v
v i c n t t 0 t i t, và s d ng đi u ki n đ u (c); Ta l i đ c m t bi u th c có d ng t ng
t (1-40):
t

P
& osωt − v0 cosωt0 + yω sin ω t-y 0ω sin ω t 0 =
yc
∫t M0 f (τ )cos(ωτ )dτ
0

(1-40)’

21

NG L C H C CÔNG TRÌNH

Các ph ng trình (1-40) và (1-40)’ ch là d ng khác c a (1-39)’ nh các bi n đ i t ng
đ ng. Bây gi ta l i nhân hai v c a (1-40) v i cos t, và v i (1-40)’ là sin t; r i tr hai
ph ng trình cho nhau, v i chú ý các quan h l ng giác sau:
sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb
cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb

Ta đ

(d)

c
t

−ω y (t ) + v0 sin ω (t − t0 ) + ω y0 cosω (t-t 0 ) =
−∫
t0

P0
f (τ ) sin ω (t τ −)dτ
M

Suy ra

P
v 
y (t )  0  sin ω (t − t0 ) + y0 cosω (t-t 0 ) + 0
=

ωM
ω 

t

∫ f (τ−) sin ω (t

τ )dτ

t0

Hay
v 
y (t ) y0 cosω (t-t 0 ) +  0  sin ω (t − t0 ) + ytP0
=
ω 
Trong đó, yt( P0 ) = δ P0 là chuy n v t nh c a kh i l

 t

ω ∫ f (−τ ) sin ω (t τ )dτ 
 t0


(1-41)

ng do l c có tr s b ng P0 đ t t nh gây

ra.
(1-41) là nghi m t ng quát c a PTVP (1-39), trong đó có ch a tích phân

t

=
K (t ) −ω ∫ f (τ ) sin ω (t τ )dτ

(1-42)

t0

c g i là tích phân Duhamel.
Nh v y, ph ng trình chuy n đ ng c a h m t b c t do, ch u tác d ng c a l c kích
đ ng vi t d i d ng (1-38), là hoàn toàn xác đ nh n u bi t các đi u ki n đ u (y0 ,v 0 ) và hàm
ch t t i f(t). Khi không có t i tr ng tác d ng, ph ng trình (1-41) tr v ph ng trình (1-18)
là ph ng trình dao đ ng t do c a h khi không có l c c n.
N u đi u ki n đ u y0 =0, và v 0 =0; thì ph
th ba trong (1-41).
y (t ) = yt( P0 ) K (t )

ng trình chuy n đ ng ch còn l i s h ng
(1-43)

Chú ý: L i gi i (1-41), hay (1-43) là l i gi i t ng quát không nh ng cho tr ng h p t i
tr ng kích đ ng nh trình bày trên, mà cho t i tr ng đ ng b t k có th bi u di n đ c
d ng (1-38).
Hàm K(t) đóng vai trò nh h ng c a tác d ng đ ng, nó là hàm c a th i gian, đ c g i
là hàm nhân t đ ng hay là hàm đ ng l c. Giá tr l n nh t c a K(t) chính là h s đ ng. Trong
th c t tính toán, ta c n xác đ nh giá tr l n nh t này.
Sau đây ta xét m t s d ng t i tr ng kích đ ng th ng g p, v i gi thi t ban đ u h
tr ng thái t nh, ngh a là y 0 = 0, và v 0 = 0. Lúc này ph ng trình chuy n đ ng c a h là (1-43).
22

Ch

ng 1. Dao đ ng c a h

1) L c không đ i tác đ ng đ t ng t vào kh i l
th hàm ch t t i nh trên hình
1.14a; Lúc này có:

có m t b c t

do

ng
P(t)

K(t)
P

P = P0
f(t) = 1 (t ≥ 0)

t

0

(a)

2

t

Nên, K(t) =

∫

sin (t- ) d

1

0

= 1 - cos t

(b)

t

0

th hàm K(t) này nh trên hình
1.14b, và ta có

T=

2π

2T

ω

Hình 1.14: L c tác đ ng đ t ng t

K đ = max K(t) = 2

2- T i tr ng kích đ ng d ng ch nh t (nh trên hình 1.15a)
Khi 0 ≤ t ≤ t 1, có P = P 0 , và f(t) = 1; nên theo (b) ta có:
K(t) = 1 - cos t

(c 1 )

Khi t 1 ≤ t, có P = 0, và f(t) = 0; nên theo (1-42) ta có:
K(t) =2sin(

t1
t
) sin (t- 1 )
2
2

(c 2 )

Trong đó t 1 là th i gian ch t t i.
Trong tr ng h p này, s bi n đ i c a hàm đ ng l c, c ng nh giá tr l n nh t c a nó
(K đ ) ph thu c t 1 . S bi n đ i c a K(t) theo th i gian, ng v i các t 1 khác nhau, đ c th
t
hi n trên hình 1-15b; Còn quan h gi a maxK(t) = K đ v i t s 1 đ c th hi n trên hình
T
1.15c. Rõ ràng là, khi t 1 càng l n, tr ng h p này s tr v tr ng h p (1). Và trong th c t ,

T
khi t 1 ≥
là đã có th coi nh tr ng h p (1) - xem hình 1.5c; Lúc này K đ ≈ 2. Còn t 1 càng
2
l n thì t n s càng l n. đây, T là chu k dao đ ng t do.
k(t)
2

P(t)
P

max k(t)

5
t1 = T
4

1
t

0

t1
b)

D ng ch t t i

t1
T

1
t

0

t1
a)

2

T
t1 =
10

0

4t1 5t1

Bi n đ i c a K(t) ng v i
các t1 khác nhau

0,2
c)

0,4

0,6

0,8

Quan h gi a Kđ v i

t1
T

Hình 1.15

3- T i tr ng t ng tuy n tính r i sau đó không đ i (nh trên hình 1.16a.)
23


NG L C H C CÔNG TRÌNH

t
t
); Còn f(t) = ; Thay vào (1-42) ta đ
t1
t1

Khi 0 ≤ t ≤ t 1, có P = P 0 (
hàm đ ng l c trong tr

ng h p này là:

T
t sinωt
t
=
-(
)sin t

t1
ωt 1
t1
2π t1

K(t) =

Khi t 1 ≤ t, có P = P 0 ; Còn f(t) = 1; Nên trong tr
K(t) = 1 + (
2

Trong đó, T=

c

T
2π t1

(d1)
ng h p này

)[sin (t-t 1 ) - sin t]

(d2)

là chu k dao đ ng t do.

th bi n đ i c a K(t) theo th i gian, ng v i các t 1 khác nhau, nh trên hình 1.16b;
t
Còn quan h gi a maxK(t) = K đ v i t s 1 nh trên hình 1.16c. Ta th y, khi t 1 càng nh

T
(t 1 0), nó ti n d n t i tr ng h p (1): K đ
2.
k(t) t = T
1

t1 =

4

10T
3

2

P(t)
P

2

1
t

0

t1
T

1

t

0

0

t1

t1

a)

max k(t)

2t1

1

3t1 4t1

b)

2

3

4

c)
Hình 1.16

4, T i tr ng kích đ ng d ng tam giác (nh trên hình 1.17a.)
Khi 0≤ t ≤

t1
t
2t
, có P = 2( )P 0 ; Còn f(t) =
; Nên theo (1-42) ta có:
2
t1
t1

K(t) =
Khi

2t
T
-(
)sin t
t1
π t1

(f1)

t1
2t
2t
≤ t ≤ t 1 , có P = (2- )P 0 ; Còn f(t) = (2- ); Nên ta đ
2

t1
t1

K(t) = 2 -

t
2t
T
+(
)[2sin (t- 1 ) - sin t
2
t1
π t1

Khi t 1 ≤ t; có P = 0; Còn f(t) = 0; Nên lúc này ta đ
K(t) = (

c:
(f2)

c:

t
T
)[- sin (t-t 1 ) + 2sin (t- 1 ) - sin t]
2
π t1

(f3)

S bi n đ i c a K(t) ng v i các t 1 khác nhau nh trên hình 1.7b; Còn quan h gi a
t
maxK(t) = K đ v i 1 nh trên hình 1.17c. Và ta th y K đ luôn luôn nh h n 2.
T
k(t) t = 5T
1

24

4

P(t)
P
t

t1 =

T
4

max k(t)

2

2

1

1

t

t1


Ch

Qua các ví d

ng 1. Dao đ ng c a h

có m t b c t

do

trên, ta có th rút ra m t s nh n xét quan tr ng.

a, Khi ch u tác d ng c a t i tr ng kích đ ng, h s đ ng có giá tr nh h n, ho c
b ng hai.
b, Khi th i gian ch t t i kích đ ng t 1 là nh so v i chu k dao đ ng riêng, ta có th gi i
g n đúng bài toán v i gi thi t: kh i l ng ch b t đ u chuy n đ ng sau th i gian t 1 . Nh v y,
d a vào nguyên lý đ ng l ng ta có:
t

=
J

P(t )dt
∫=
0

Mv0 ; Suy ra v0 =

J
M

(g)

Ngh a là, có th thay bài toán h ch u t i kích đ ng có t 1 nh , b ng bài toán h chuy n
đ ng có v n t c ban đ u v 0 gi i đ n gi n h n nhi u. L i gi i lo i bài toán này có th tìm th y
trong các tài li u.

25