SKKN - Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác

Đặt vấn đề
Khi hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều: Đại
đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không chủ động,
sáng tạo trong t duy logic, lập luận không rõ ràng, mạch lạc...
Xảy ra điều trên là do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn nh: hiểu, nắm lý
thuyết lơ mơ, không biết phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để dẫn đến đ-
ờng lối giải quyết bài toán,...
Để phần nào khắc phục đợc điều này, trong phạm vi bài viết này, tôi xin
nêu ra một trong những việc tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy, đó là:
"Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phơng pháp lợng giác".
Trên cơ sở học sinh đã nắm vững các kiến thức lợng giác kết hợp với việc tìm
tòi các khía cạnh của mỗi bài toán, để rồi "quy lạ về quen" sẽ dẫn đến đờng lối
giải quyết bài toán, thông qua các thí dụ và một số bài tập tơng tự; ở các thí dụ
tôi chỉ nêu ra lời giải bằng phơng pháp lợng giác mà không nêu ra lời giải bằng
các phơng pháp khác.
Tuy nhiên trong phạm vi của bài viết này, tôi cũng chỉ đề cập đợc
một số vấn đề nhỏ và còn có thể còn những chỗ cha thực sự hợp lý. Tôi rất
mong đợc sự đóng góp để có một cách khai thác tốt bài toán thuộc loại này.
1
Nội dung
A. Cơ sở lý thuyết cần nhớ để vận dụng:
1) Nếu gặp biểu thức dạng x k (k>0) thì ta có thể đặt x = k sin
hoặc x = cos .
2) Nếu gặp biểu thức dạng x
2
+ y
2
=k
2
thì ta có thể đặt x=k sin , y=k cos .
3) Nếu gặp biểu thức dạng x

2
+ k
2
thì ta có thể đặt x = k tg .
4) Nếu gặp x k thì ta có thể đặt x = .
Chú ý: Tuỳ từng bài toán cụ thể; cần chọn góc đợc đa vào thích hợp để
tránh sai lầm trong lập luận.
B. Các thí dụ:
* Thí dụ 1: Cho hàm số y = |x| (4x
2
+m).
Hãy tìm m để |y| 1 khi |x| 1.
Bài giải:
Vì |x| 1 nên ta đặt |x| =- cos, chọn






2
;0

khi đó ta có y = |x|
(4x
2
+m) = cos (3 cos
2
m) = 4cos
3

+ cos = 4cos
3
- 3cos +(m+3)cos
= cos 3 + (m+3) cos .
+ Nếu m = -3, ta có y=cos3y =cos3 1. Nên m = -3 thích hợp.
+ Nếu m +3 > 0 m < -3, thì với t =0, ta có y=1+(m+3)>1 y > 1.
Nên m > -3 không thích hợp.
+ Nếu m +3 < 0 m < -3, thì với t = , ta có y=-1+<-1y > 1. Nên m
<-3 không thích hợp.
Kết luận: Giá trị cần tìm là m = -3.
* Thí dụ 2: Phơng trình 8x (2x
2
-1)(8x
4
-8x
2
+1)=1 có bao nhiêu nghiệm
trên đoạn [0;1]?
Bài giải:
Do 0 x 1, nên đặt x = cos , chọn






2
;0

ta đợc phơng trình:

8 cos (2 cos
2
-1)(8cos
4
-8cos
2
+ 1)=1
8 cos . cos2 .[2.(2cos
2
-1)
2
-1] =1
8 cos . cos2 .(2cos
2
2 -1) =1
2
8 cos . cos2 cos4 =1 (*)
Nếu = 0, ta đợc 8 =1 vô lý 0 và 0 < sin > 0.
Do đó (*) 8 sin cos cos2 . cos 4 = sin .
sin8 =sin
)()
2
(
9
2
)(
7
2
28
28

Zll
Zk
k
l
k
+=
=







+=
+=








Để 0 < thì k =1, l =0 và l = 1.
Do vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm.
* Thí dụ 3: Giải và biện luận phơng trình:
4x
3
- 3x=m(1) với m 1.

Bài giải(1):
Vì m 1, nên tồn tại 3 để cos 3 = m.
Do đó (1) 4x
3
-3x = cos3 4x
3
- 3x = 4cos
3
-3cos
4(x
3
-cos
3
) - 3(x-cos) = 0
4(x -cos)(x
2
+xcos + cos
2
) - 3 (x-cos) = 0.
(x -cos)(4x
2
+4xcos + 4cos
2
- 3) = 0.




=++
=

03cos4cos44
cos
22


xx
x
(2)
Giải (2)
(2)






+=






=

+=+=








3
2cos
3
2
cos
3
cossin
2
3
cos
2
1
x
x
Kết luận: Phơng trình đã có nghiệm:
x=cos
x = cos

3
2
x = cos






+


3
2
3
* Thí dụ 4: Chứng minh:
( )
2)1)(1(311
2222
++
baababba
Bài giải:
Vì:

1
1
01
01
2
2
a
b
a
b
Nên ta đặt:



=
=
,cos
,cos
yb
xa

Khi đó vế trái trở thành:
)cos1)(cos1(cos.cos.3cos1.coscos1.cos
2222
yxyxxyyx
++
=
( )
ysonxyxxyyx sin.cos.cos3sin.cossin.cos
+
=
( )
yxyxxyyx sin.sincos.cos3sin.cossin.cos
+
=
( )
231)cos(.3)sin(
2
=++++
yxyx
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
[ ]







=+

=
=
3
1
)(
;0,
cos
cos
yxtg
yx
yb
xa


[ ]













=

=
=
xb
xb
xxa
6
7
cos
6
cos
;0,cos



*Thí dụ 5: (Đề 122 - Câu III
2
).
Chứng minh rằng nếu x 1 thì (1+x)
n
+(1-x)
n
2
n
với mọi n2, nN.
Bài giải:

Vì x <1, nên đặt x = cos , chọn (0;)
Khi đó: (1+x)
n
+(1-x)
n
= (1+cos )
n
+(1-cos )
n
=
nnnnn
nn
2
2
sin
2
cos2
2
.sin
2
.cos2
2
sin2
2
cos2
222222
=

+






+=






+







Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1
* Thí dụ 6: (Đề 94 - Câu II
2
)
Trong các nghiệm (x; y, z, t) của hệ:

+
=+
=+
20
25
16
22
22
ytxz
tz
yx
Nghiệm nào là cho x + z đạt giá trị lớn nhất.
Bải giải:
4
chọn x [0;]
chọn y [0;]
Vì: x
2
+y
2
= 16 và z
2
+ t
2
=25. Nên ta đặt:

=
=


cos4
sin4
y
x
và



=
=


sin5
cos5
t
z
Khi đó bất phơng trình của hệ trở thành:
4 sin . 5cos +4cos.5sin 20.
20 (sin cos + cos sin ) 20 sin ( +) 1.
sin ( +) = 1 + = + k2 (kZ)
Ta có: x + z = 4 sin + 5 cos = 4 sin + 5 cos .
=

+

cos
41
5
sin
41
4
41
=
( )

+
sin.41
với







=
=
41

5
sin
41
4
cos


Do đó: max (u+z) =
41
khi





+=+
+=+






2
2
2
2
k
l
(k,lZ)

Hay:











===
===
===
===
41
25
sin5sin5
41
20
cos5cos5
41
20
sin4cos4
41
16
cos4sin4

t
z
y
x
* Thí dụ 7: Cho x
2
+y
2
+2x-2y+1=0 (1)
Chứng minh:
( ) ( )
222132132)(3
22
+++++
xyyxyx
(2)
Bài giải:
Từ (1) ta có x
2
+y
2
- 2x - 2y + 1=0
(x - 1)
2
+ (y - 1)
2
= 1
Nên ta đặt:

+=
+=




=
=
1cos
1sin
cos1
sin1




y
x
y
x
5