SKKN HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI một số DẠNG bài tập về tỉ lệ THỨC

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết.
Giải pháp mới của tôi là:
"Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức"
Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết:
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7, đặc biệt hai năm học liên tiếp
( 2016-2017 và 2017-2018 ) và tham khảo đồng nghiệp, bản thân tôi và
nhiều GV cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để HS thấy dễ hiểu.
Còn HS thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệ thức. Kết quả học tập
của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học
sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo, chặt chẽ, trình bày sáng sủa khoa
học, song cũng có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự
sáng tạo.Tôi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy HS thấy toán về tỉ
lệ thức dễ hiểu, dễ học. Tôi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếp bài tập tỷ lệ
thức sao cho các em có thể giải được bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng
nhất.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
Giúp cho học sinh có được phương pháp giải toán đạt hiệu quả cao, rèn
được kỹ năng, vận dụng kiến thức suy luận logic chặt chẽ khi giải toán.
Để các em thấy yêu thích loại toán về tỉ lệ thức, từ đó có đam mê học toán.
Thông qua đó hình thành phẩm chất, nhân cách và năng lực mới của HS.
3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu
- Trong chương trình toán đại số lớp7
- Học sinh lớp 7C trường THCS NHƯ QUỲNH
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
 Cơ sở lý luận:


Bất kỳ một môn học nào trong trường phổ thông cũng có nhiệm vụ là

thông qua đặc điểm bộ môn của mình, phối hợp với các bộ môn khác và tất
cả các hoạt động trong nhà trường mà góp phần giáo dục toàn diện học sinh
nhằm đào tạo những con người mới có tri thức, phẩm chất, năng lực tốt đẹp
để góp phần xây dựng quê hương đất nước.
Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông, có
khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ.
Do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic, Toán học là
"môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo.
 Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi:
Ban giám hiệu là những nhà quản lý có chuyên môn vững vàng. Tổ
chuyên môn sâu sát, quan tâm bộ môn toán. Bản thân tôi và đồng nghiệp
cùng chuyên môn là GV yêu nghề và có kinh nghiệm giảng dạy.
Học sinh ngoan ngoãn, chăm chỉ, ham học hỏi, có nhận thức khá. Đặc
biệt các em rất thích học môn toán. Các em có mong muốn học hiểu không
những kiến thức cơ bản mà còn thích học toán nâng cao.
Phụ huynh học sinh quan tâm đến học tập của các con.
- Khó khăn:
Tập thể lớp 7C với sĩ số là 34 học sinh, số học sinh tương đối đông,
trong đó đa số học sinh ở thôn Ngô Xuyên, gia đình làm nông nghiệp, một
số em hoàn cảnh gia đình đặc biệt, khó khăn, có em bố mẹ đi làm xa, ở với
ông bà, thiếu sự quan tâm thường xuyên của bố mẹ;
Trường THCS Thị trấn Như Quỳnh nằm trên địa bàn trung tâm kinh
tế, chính trị, văn hóa của huyện Văn Lâm, bên cạnh những mặt tích cực thì
còn rất nhiều tác động mặt trái đến các em như các quán internet, nhiều trò
chơi lôi cuốn làm cho các em phân tán việc học.
Bên cạnh đó, một số học sinh còn có tính ham chơi, chưa đọc sách,
chưa làm bài tập, chưa đam mê tìm tòi học hỏi.
2

2. Thời gian tạo ra giải pháp, các biện pháp tiến hành.
- Thời gian tạo ra giải pháp: Năm học 2017-2018
- Các biện pháp tiến hành: khảo sát thực tiễn, đánh giá, dùng bảng
đối chiếu, trao đổi kinh nghiệm, trao đổi tài liệu, thu thập và xử lý
thông tin.
Biện pháp khảo sát thực tiễn bắt đầu vào phần luyện tËp nhằm
phát hiện, đánh giá chất vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để
đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát.
Câu 1. Tìm x, y, z biết:
x y z
  và x + y + z = 150
2 3 5

Câu 2. Tìm x, y biết:
x y
 và x.y = 300
3 4

Câu 3. Tìm x, y, z biết
x y y z
 ;  và 2x - 3y + z = 6
3 4 3 5

Đáp án:
Câu 1. Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
x y z x  y  z 150
  


15
2 3 5 2  3 5 10


x
15  x 2.15 30
2
y
15  y 3.15 45
3
z
15  z 5.15 75
5

Câu 2.
Đặt

x y
 k . Ta có x = 3k; y = 4k
3 4

3


 x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300
 k2 = 25
 k 5
 
 k  5
 x 3.5 15

* Với k=5  
 y 4.5 20
 x 3.( 5)  15

* Với k=-5  
 y 4.( 5)  20
Câu 3.

x y
x y
  
3 4
9 12
y z
y
z
 

3 5
12 20



x y
z
 
9 12 20

Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:

2x  3y  z
x y
z
6
  
 3
9 12 20 2.9  3.2  20 2
x
3  x 9.3 27
9
y
3  y 12.3 36
12
z
3  z 20.3 60
20

Kết quả thu được như sau:
Bảng 1
Tổng số

34

Đối tượng I

Đối tượng II

Đối tượng III

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

30

88%

2

6%

2

6%

+ Đối tượng I (30 em chiếm 88%) chỉ mới làm được bài 1.

4


+ Đối tượng II (2 em chiếm 6%) các em đã làm được bài 1 và bài 2.
Song vẫn còn một số em mắc sai lầm:

x y xy
  ...!
3 4 12

+ Đối tượng III (2 em chiếm 6%) các em đã biết hướng làm câu 3 là
phải tìm tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau, nhưng tới đó lại
không biết làm tiếp như thế nào.
B.PHẦN NỘI DUNG
I. Mục tiêu
Tôi nghiên cứu sáng kiến này nhằm ba mục đích chính:
- Phân dạng các bài tập về tỉ lệ thức và sắp xếp các bài tập từ dễ đến
khó để GV dễ dạy, HS học dễ hiểu.
- Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm ra một định hướng, một
quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải.
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số
bằng nhau
I.

Các giải pháp thực hiện

1. Mô tả giải pháp:
- Tính mới, sáng tạo:
Đáp ứng nhu cầu đổi mới trong dạy và học nhằm phát triển các phẩm
chất ham học, chăm làm, trách nhiệm. Đồng thời phát triển các năng lực
tính toán, ngôn ngữ, tự học, giải quyết vấn đề sáng tạo, thẩm mỹ trong lựa
chọn và trình bày.
Không chỉ phân dạng mà còn hướng dẫn HS để các em tự tìm ra định
hướng làm cơ sở để lựa chọn lời giải hay và sáng tạo.
Các bài tập trong mỗi dạng được sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó
nhằm dẫn dắt học sinh tư duy logic tự tìm hướng giải toán.

Phân dạng bài tập riêng cho các sai lầm hay mắc phải.
- Khả năng và phạm vi ứng dụng:
5


Môn toán, đặc biệt đại số lớp 7 chương I- Số hữu tỉ, số thực, chương
II- Hàm số và đồ thị.
Môn vật lý 7, 9 phần Quang học.
- Hiệu quả sau áp dụng:
Chất lượng dạy và học được nâng cao, đối với bài tập về tỉ lệ thức
GV thấy dễ dạy, HS học thấy dễ hiểu và yêu thích loại toán này.
HS vận dụng vào giải các bài tập toán và bài quang hình học trong
môn vật lý dễ dàng.
- Kết quả thực hiện
Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy:Các em làm bài tập toán với một
phong cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách
giải. Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải
khác nhau. Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán.
Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài
kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận
thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.
Dưới đây là một ví dụ: Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như
sau:
Đề bài:
Câu 1. Tìm x, y, z biết:
3x = 2y; 7y = 5z và x - y + z = 32
Câu 2. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b+d) (b  0; d  0) thì
a c

b d

Câu 3. Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ
nhất và số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3, tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ
ba là 4/9. Tìm ba số đó.
Đáp án:
Câu 1.
6


Từ

3x = 2y  3x . 7 = 2y . 7 hay 21x = 14y
7y = 5z  7y.2 = 5z.2 hay 14y = 10z



21x = 14y = 10z



y
x y z
x
z
32
  
 2
10 15 21 10 15 21 16



x = 2.10 = 20
y = 2.15 = 30
z = 2.21 = 42
Vậy x = 20; y = 30; z = 42

Câu 2.
Từ

2bd = c(b+d)



2bd = bc + dc



(a+c)d = bc + cd



ad + cd = bc + cd



ad = bc



a c

 (vì b  0; d  0)
b d

Câu 3. Gọi 3 số phải tìm là x, y, z (x, y, z  Z; x, y, z  0)
Theo bài ra ta có: x3 + y3 + z3 = 1009
và

x y
x y
x:y=2:3    
2

3

4

6

x 4 x z
  
z 9
4 9


x y z
 
4 6 9

Đặt

x y z
  =k
4 6 9



x = 4k
y = 6k
z = 9k



x3 + y3 + z3 = (4k)3 + (6k)3 + (9k)3 = 1009
= 1009k3 = 1009
7




k3 = 1  k=1



x = 4.1 = 4
y = 6.1 = 6
z = 9.1 = 9
Vậy 3 số nguyên đó là 4; 6; 9

Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (xem bảng
dưới đây)

Bảng 2
Tổng số
34

Đối tượng I

Số lượng

%

Đối tượng II

Số lượng

%

Đối tượng III

Số lượng

%

16

47

2
6%
16
47

Đối tượng I: Có 2 em chỉ mới làm được câu 1.

Đối tượng II: Có 16 đã làm được hai câu 1 và 2 hoặc 1 và 3
Đối tượng III: Có 16 em đã làm hoàn chỉnh cả 3 bài;
Có 4 em gặp lúng túng khi đến

x y z
 
4 6 9

2. Các giải pháp thực hiện
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng
cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng
của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt
những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để
làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng
toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết
Bài toán 1: Tìm x, y biết:
a)

x y
 và xy = 90
2 5

b)

x y
 và xy = 252
7 9

8


c)

x y
 và xy = 54
2 3

d)

x y
 và x2 - y2 = 4
5 3

Giải
a) Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên
theo tính chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học
sinh thường mắc sai lầm như sau:
x y x. y 90
 
 9
2 5 2.5 10
 x 2.9 18
y 5.9 45

Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và
hướng cho các em hướng giải toán.
Hướng thứ nhất

Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích
hợp.
Đặt

 x 2k
x y
 k  
2 5
 y 5k

Mà xy = 90 

2k.5k = 90
10k2 = 90
 k 3

k2 = 9  
 k  3
* Với k = 3 

x = 2.3 = 6
y = 5.3=15

* Với k = -3 

x = 2.(-3) = -6
y = 5.(-3) = -15

Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15)

Hướng thứ hai:
9


Khái quát hoá toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên
quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng
thứ hai.
2

2

x y  x
 y
 xy 
Ta có:         (Tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)
2 5  2
 5
 2.5


x2 y2 xy 90
   9
4 25 10 10



x2
9  x 2 36  x 6
4



y2
9  y 2 225  y 15
25

Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
Qua việc hệ thống hoá, khái quát hoá và chọn hướng đi cho các em
để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.
Bài toán 2. Tìm x, y, z biết
a)

x y y z
 ; 
và x + y + z = 37
2 3 5 14

b)

x y y z
 ;  và 2x + 3y - z = 186
3 4 5 7

c)

x y y z
 ;  và x + y + z = 92
2 3 5 7

d)

x y y z
 ;  và 2x + 4y - 2z = -4
3 5 3 8

Giải:
a) Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem
liệu có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay
không? Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hoá kiến thức cơ bản, tính
chất mở rộng để chọn lời giải cho phù hợp.
Ta có:

x y
x 1 y 1
x
y
  .  . hay 
2 3
2 5 3 5
10 15
y z
y 1 z 1
y
z
  .  . hay

5 4
5 3 4 3
15 12

10




y
x y z
x
z
37
  
 1
10 15 12 10 15 12 37



x = 10.1 = 10
y = 15.1 = 15
z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung
gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu
xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất
của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán
cho thích hợp.
x y
x 1 y 1
x
y

  .  . hay 
3 4
3 5 4 5
15 20

Ta có:

y z
y 1 z 1
y
z
  .  . hay

5 7
5 4 7 4
20 28


y
2x  3y  z
x
z
186
  

3
15 20 28 2.15 3.20 28 62



x = 15.3 = 45
y = 20.3 =60
z = 28.3 = 84
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù
hợp cho phần c và d.
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết
a)

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158

b)

2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60

c)

2x = 3y = 5z và x + y - z = 95

Giải:
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song
tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
11


tích hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải
và chọn lời giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ
đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

Ta có:
3x = 5y 

x y
x 1 y 1
x
y
  .  . hay

5 3
5 8 3 8
40 24

5y = 8z 

y z
y 1 z 1
y
z
  .  . hay

8 5
8 3 5 3
24 15



y
x y z
x

z
158
  

2
40 24 15 40 24 15 79



x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Hướng thứ hai (ít dùng): Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân
của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó
các em có lời giải của bài toán như sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
3x.

Từ 3x = 5y = 8z
Hay

1
1
1
5y.
8z.
120
120

120

y
x y z
x
z
158
  

2
40 24 15 40 24 15 79

(Tương tự như trên có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Hướng thứ ba: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành 1
thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau:
x y z x  y  z 158
  

240

1 1 1 1 1 1 79
Từ 3x = 5y = 8z
 
3 5 8 3 5 8 120


x=

1

.24080
3

12


y=

1
.24048
5

z=

1
.24030
8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ
đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp
các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các
em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y
+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z


10x = 15y = 21z



y
3x  5z  7y
x
z
60
 


840
1
1
1
1
1
1
15
3.  5.  7.
10 15 21
10
21
15 210



x=

1
.84084

10

y=

1
.84056
15

z=

1
.84040
21

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng
toán này.
Bài toán 4. Tìm x, y, z biết rằng
a)

x 1 y 2 z 2


vµx  2y  z 12
5
3
2

b)

x 1 y 2 z 3


vµ2x  3y  z 50
2
3
4

c)

x 1 y 4 z 2


vµ2x  3y  5z 10
3
2
2

13


Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem
làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50
hoặc 2x + 3y - 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra
ngay và có hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy
số bằng nhau có lời giải của bài toán như sau:
Ta có:
x  1 y  2 z  2 2(y  2) 2y  4





5
3
2
2.3
6
x  1 2y  4  (z  2) x  2y  z  3 12 3



1
5 6  2
9
9


x-1=5  x =6
x-2=3  y=5
z - 2 = 2  z =4

Hướng thứ hai: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải
sau:
x 1 y 2 z 2


k
5

3
2

Đặt


Ta có:

x - 1 = 5k

 x = 5k + 1

y - 2 = 3k

 y = 3k + 2

z - 2 = 2k



x + 2y - z = 12

z = 2k + 2


2k + 1 + 2(3k+2) - (2k + 2) = 12



9k + 3 = 12



k=1

Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y=3.1+2=5
z=2.1+2=4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng
để tự giải phần (b) và (c) của bài toán 4.
14


Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng
a)

y
x
z


x  y  z
y  z1 x  z1 x  y  2

b)

y  z1 x z 2 x  y 3
1




x
y
z
x y z

Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu,
đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để
xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện
dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán phần (b) như sau:
Giải: Điều kiện x, y, z  0
Ta có:
y  z  1 x  z  2 x  y  3 y  z  1 x  z  2 x  y  3 2(x  y  z)




2
x
y
z
x y z
x y z


1
1
2  x + y + z = 0,5
x y z
2

x + y = 0,5 - z
y + z = 0,5 - x
x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
y  x 1
0,5  x  1
2 
2  0,5 - x + 1 = 2x
x
x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
x  z  2 0,5 y  2

2
y
y

 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y=

x  y  3 0,5 z  3

2
z
z

5

6

 -2,5 - z = 2z
 -2,5 = 3z

15


 z= 

Vậy (x; y; z) = (0,5;

5
6

5 5
;- )
6 6

Dạng 2. Chứng minh tỷ lệ thức
Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có
vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức cơ sở với hệ thống
các bài tập từ đơn gản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu
tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và
yêu cầu của bài toán.
1) Các phương pháp :
a
b

Để Chứng minh tỷ lệ thức : 

c
Ta có các phương pháp sau :
d

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề
b d

bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức
đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh
theo k.
Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của
đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành
vế phải.
Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập

16


a
b

Bài 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: 
ra tỷ lệ thức:

a b cd

.
a
c

Giải:

 a  b  c  ac  bc(1)

Cách 1: Xét tích a  c  d   ac  ad (2)
Từ

a c
 � ad  bc(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c = a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt

a b cd

a
c

a c
  k � a  bk , c  dk
b d

Ta có:
a  b bk  b b  k  1 k  1



(1), (b �0)
a
bk
bk
k
c  d dk  d d  k  1 k  1



(2), (d �0)
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ
Ta có:
Do đó:

a b cd

a
c

a c
b d
 � 
b d
a c

a b a b
b
d cd
   1  1 
a
a a
a
c
c
a b c d

a
c

- Cách 4:
Từ
a c
a b a b
 �  
b d
c d cd
�

a a b

a b c d

�

c cd
a
c

- Cách 5: từ
17

c
hãy suy
d


a c
b d
b
d
 �  �1  1
b d
a c
a
c
a b c d
�

a
c

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức

a c
 ta có thể suy ra các tỉ lệ
b d

thức sau:
a �b c �d a  b c  d

;

b
d
a
c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài toán 2. Cho tỷ lệ thức

a c
 . Hãy chứng minh
b d

a)

a b c  d

a b c  d

b)

2a  5b 2c  5d

3a  4b 3c  4d

c)

2a  3b 2c  3d

2a  3b 2c  3d

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống
hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán
để tìm hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để
chứng minh phần a.
Đặt

a c
 k  a = bk
b d

c = dk
Ta có:
a  b bk b b(k  1) k  1



a  b bk b b(k  1) k  1
a b c  d


(§ pcm)

c  d dk d d(k  1) k  1
a b c  d



c  d dk d d(k  1) k  1

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ
lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau:
Từ

a c

b d



a b
 (hoán vị các trung tỷ)
c d

18


=

a b a b


(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
c d c d

a b c  d

(hoán vị các trung tỷ)
a b c  d



Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ
vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức:
Từ

a c
 ad = bc

b d

Xét tích:

(a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd
(a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd



(a - b) (c + d) = (a+ b) (c - d) (cùng bằng ac - bd)



a b c  d

(Đpcm)
a b c  d

Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số
hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn,
dễ hiểu, để trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự
giải các bài tập phần b, c của bài 1.
Bài toán 3 Cho

a c
 Hãy chứng minh:
b d

a)

a2  b2 ab
 ;
c2  d2 cd

c)

 a b 2
 c  d 2

ab

cd

b)

 a b 2
 c  d 2



ab
cd

d)

 a b 2
 c  d 2



(a  b)2
(c  d)2

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ
tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về luỹ
thừa và kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận
biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại công thức:
a c
 
Nếu:
b d

2

2

ac
 a
 c
và hướng cho các em trình bày lời
    
bd
 b
 d

giải của bài toán phần c.
Giải:
19


Từ

a c
 a b
     (hoán vị các trung tỷ)
b d
 c d



ab a2 b2 2ab a2  2ab b2
 a

 b

      2  2 
cd b
2cd c2  2cd d2
d
 c
 d

2

 a b 2
Hay
 c  d 2

2



ab
cd

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày
được lời giải phần a, b, d và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương
pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức.
a b
a2  b2 a

Bài toán 4: Cho
. Hãy chứng minh 2 2 

b c
c
b c

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận
cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ
thức để có hướng giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái,
biến đổi vế trái bằng vế phải ta có lời giải sau:
Từ

a b
 b2 = ac. Thay vào vế trái ta có:

b c
a2  b2 a2  ac a(a  c) a


 (Đpcm)
b2  c2 ac c2 c(a  c) c

* Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của
đẳng thức ta có lời giải sau:
Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của
ta có:
a b
a a b b a2 b2 a2  b2
  .  .  2  2  2
(1)
b c

b b c c b
c
b  c2

mà

a b
 b2 = ac

b c

Từ (1) và (2) 



a2 a2 a
  (2)
b2 ac c

a2  b2 a
 (Đpcm)
b2  c2 c

20

a b
 với chính bản thân nó
b c

Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh
môn toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm
tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu
quả cao. Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương
pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có
lời văn về phần đại lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.
Dạng 3. Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch
Bài toán 1.
Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7
số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo kho đó, xuất ở kho C đi 2/7
số gạo của kho đó. Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi
khó lúc đầu. Biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt, phân
tích kỹ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:
Giải
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z tạ gạo (x, y, z > 0)
1
8
x x
7
7

Số gạo lúc sau ở kho A là:

x+

Số gạo lúc sau ở kho B là:

y

1
8
y y
9
9

Số gạo lúc sau ở kho C là:

z

2
5
z z
7
7

Theo bài ta có:

8
8
5
x  y  z (1) và y- x = 20
7
9
7

Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có:
y
y x
x

z
20
  
 2
35 45 56 45 35 10


x = 35.2 = 70 (tạ)
y = 45.2 = 90 (tạ)
z = 56.2 = 112 (tạ)

Vậy số gạo lúc đầu ở 3 kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
21


Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho
bài toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay
đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn:
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo bằng các dữ liệu
sau:
1) Tổng số gạo ở 3 kho là 272 tạ
2) Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ
3) Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ
Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số.
* Dạng chuyển động
Bài toán 2
Một người dự kiến đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian dự định.
Thực tế khi đi phải giảm 1/4 vận tốc so với dự định nên vào đến B muộn
hơn thời gian dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề
bài. Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động
trên một đoạn đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và
thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức:
v1 t2

và các em đã có hướng đi tìm t1, t2.
v2 t1

Giải: Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực
đi; t2 là thời gian thực đi.
v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ
nghịch. Do đó:
v1 t2
3

v1
mà
v
2 =
v2 t1
4

22


t2
v
t t

4
4 3
 1   2 1 
 t1 3
3
t1
3
v1
4

(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

30 1
  t1 30.3 90 (phút)
t1 3

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.
Khai thác lời giải của bài toán 2 học sinh có thể dễ dàng giải được
các bài toán sau:
Bài toán 3:
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được
1/2 quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được
10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài toán 4:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và dự định đến B lúc
11h45'. Sau khi đi được 4/5 quãng đường thi người đó đi với vận tốc
30km/h nên đến B lúc 12h.
Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao
nhiêu?
* Dạng hình học

Bài toán 5:
Tìm tỷ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai
đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5, 7, 8.
Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức.
Tôi đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng
trong tam giác. Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời
giải của bài toán.
Giải:
Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0) và 3 đường
cao tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc >0).

23


Theo bài ra ta có: (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trò
của ha, hb, hc như nhau).
Ta có công thức:
SABC =

aha bhb chc


(1)
2
2
2

ha  hb hb  hc hc  ha



k
5
7
8

Ta đặt:

ha + hb = 5k



+

hb + hc = 7k
hc + ha = 8k

_________________
2(ha + hb + hc) = 20k  ha + hb + hc = 10k
mà

ha + hb = 5k 

hc = 5k

hb + hc = 7k 

ha = 3k

hc + ha = 8k 

hb = 2k

Thay ha, hb, hc vào (1) ta có:
a.3k b.2k c.5k


2
2
2

a.3k = b.2k = c.5k


3a = 2b = 5c



3a.

1
1
1
a
b c
2b. 2c.   
30
30
30 10 15 6

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6

Tương tự các em suy luận và giải được bài toán sau đây:
Bài toán 6:
Độ dài các cạnh của tam giác tỷ lệ với 2; 3; 4. Hỏi các chiều cao
tương ứng của tam giác đó tỷ lệ với nhau theo tỷ số nào?
* Dạng toán tìm số
Bài toán 7:
24


Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỷ lệ với 3 số 1; 2; 3.
* Để giải được bài toán này làm thế nào để bài toán liên quan đến
kiến thức đang học, đã học. Tôi đã nhấn mạnh dấu hiệu chia hết cho 18 và
từ đó có hướng đi và lời giải cho bài toán.
Giải:
Gọi 3 chữ số của số phải tìm là a, b, c (a, b, c  N; 0a, b, c9)
Theo đầu bài ta có:
a b c a b  c a b  c
  

Z
1 2 3 1 2  3
6

mà ta có 18 = 2.9 trong đó (2; 9) = 1
Vì vậy số có 3 chữ số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) và có
tổng các chữ số chia hết cho 9.
0  a 9
0a9
0a9

____________________
0a+b+c27
mà

a  b  c 9
 a  b  c 18
a  b  c 27

(a+b+c)  9

* Với a + b + c = 9



a b c 9
    Z loại
1 2 3 6

* Với a + b + c = 18



a b c 18
   3 Z
1 2 3 6



a = 3; b = 6; c = 9

 Số phải tìm là 396 hoặc 936

* Với a + b + c = 27 

a b c 27
   Z loại
1 2 3 6

Vậy số phải tìm là 396 hoặc 936
25