Chuyên Đề Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp, Tiếp Tuyến, Đường Thẳng Song Song, Góc Bằng Nhau, Đẳng Thức Hình Học, Ba Điểm Thẳng Hàng ( Ba Đường Thẳng Đồng Quy )

Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH :
TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )
I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.
1. Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn :
Cách 1 . Sử dụng định nghĩa đường tròn.
Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H là
trực tâm tam giác . Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự
là trung điểm AH, BH, CH .
Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn.

Cách 2 . Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nội
tiếp một đường tròn.
Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.

Ví dụ : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không
trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao
điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B). Chứng minh 4 điểm B, O, H, K
cùng thuộc một đường tròn.
1


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

Cách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.
Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùng
nhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận AB
làm dây.

Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốn
điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.

Ví dụ : Cho (O) . MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( MC < MD ). Gọi I là
trung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD. Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc một
đường tròn. Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI

2


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ( đường thẳng và đường tròn có
duy nhất một điểm chung ).
Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn ( chỉ ra khoảng cách từ tâm đường
tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn ).
Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính
đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây .
1
AmB thì Bx là tiếp tuyến của (O) .
Nếu ·ABx = ¼
2

Ví dụ . Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm A kẻ đường
thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH
cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.
Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

+ OI.OD = OC2 = OM2 (1)
+ PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2)
+ Từ (1) và (2) => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến (O)
3. Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau .
a. Chứng minh đường thẳng song song.
- Quan hệ từ vuông góc đến song song.
3


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

- Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau.
- Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV.
- Định lí thứ nhất về đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Định lí Ta let đảo.
b. Chứng minh góc bằng nhau.

- Cộng góc.
- Góc SLT, SLN, ĐV .
- Góc có cạnh tương ứng song song.
- Sử dụng tam giác bằng nhau, đồng dạng.
- Quan hệ các góc trong đường tròn : Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây.
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp
tuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M . AM cắt EF tại N, AS cắt BC
tại P. CMR : NP // MS

+ ∆AEB#∆BMS ⇒

AB AE
AE
=
=
.
BS BM EM

·
+ ·ABx = ·ACB = MEC
AM AE
=
(1)
AS
AB
AN AE
=
(2)
+ ∆AEN #∆ABP ( g − g ) ⇒

AP AB

=> ∆AEM #∆ABS (c − g − c) ⇒

Từ (1) và (2) suy ra NP//MS ( định lí Ta let đảo ).
4. Chứng minh đẳng thức hình học.
- Các phép biến đổi tương đương.
- Định lí Pitago.
- Định lí Ta let và hệ quả.
- Cạnh , đường chéo trong tứ giác đặc biệt .
- Tam giác bằng nhau, đồng dạng.
- Định lí thứ nhất , thứ hai về đường trung bình của tam giác, của hình thang.
- Tính chất trọng tâm tam giác.
4


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

- Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; hai dây song song
chắn hai cung bằng nhau.
- Quan hệ giữa các góc trong đường tròn.
- Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Ví dụ 1 . Tõ mét ®iÓm D n»m ngoµi ®êng trßn t©m O kÎ hai tiÕp tuyÕn DA vµ DB ®Õn ®êng trßn (A vµ B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Tia Dx n»m gi÷a hai tia DA vµ DO; Dx c¾t ®êng trßn
t¹i hai ®iÓm C vµ E (E n»m gi÷a C vµ D), ®o¹n th¼ng OD c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i M.
2

MB  DE
Chøng minh r»ng: 

÷=
MC

 DC

·
¼
1800 − EOC
3600 − s® EAC
·
·
·
·
+ BMC
= 900 + OMC
= 900 + CEO
= 900 +
=
= EAC
2

=> ∆AEC#∆MBC ( g − g ) ⇒

2

AE MB
=
(1)
AC MC
2

DA DE AE
DE
 AE 
=
=
⇒
(2)
+ ∆DAE#∆DCA ( g − g ) ⇒
÷ =
DC DA AC
DC
 AC 

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Ví dụ 2 . Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC

»
nhọn. AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC
không chứa D lấy F(F ≠ B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N ≠ F) và
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P ≠ A).
a) Chứng minh AN.AF = AP.AM
b) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC.
Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Chứng minh :

5

DC BD BC
+
=

FK FI FH


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

A

N
D
E
P
I

B

O

H
M

C
K

F

a) ·APE = ·ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)
·ABM = ·ADE (Cùng bù với góc EDC)
Suy ra: ·ABM = ·APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM

AE AM
=
⇒ AE. AB = AM . AP (1)
Nên
AP AB
Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF
AE AF
=
⇒ AE. AB = AN . AF (2)
AN AB
Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM
b) Xét I nằm giữa B, D ( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)
·
·
·
Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK
( cùng bằng FBD
), suy ra tứ giác
= FCK
·
CKFH nội tiếp nên FKC
= 900 .
DK BH
=
FK FH
CK BI
=
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
FK FI
DC BH BI

=
−
Suy ra:
FK FH FI
DC BD BH BD BI BH ID
+
=
+
−
=
+
FK FI FH FI FI FH FI
ID HC
DC BD BH HC BC
=
+
=
+
=
Mà
suy ra:
FI FH
FK FI FH FH FH
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:

6


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

5. Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ).
Một mệnh đề toán học khẳng định 3 điểm thẳng hàng luôn có một mệnh đề tương đương
khẳng định 3 đường thẳng đồng quy.
Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng ( 3 đường thẳng đồng quy ):
- 3 điểm tạo thành góc bẹt.
- Tiên đề Euclid .
- Bổ đề hình thang.
- Ba đường cao, đường phân giác trong ( trong - ngoài ), ba đường trung tuyến, ba đường
trung trực trong tam giác.
- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt.
·
·
- xAB
= xAC

- Góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau .
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì đường nối tâm đi qua tiếp điểm.
Ví dụ 1. ( Đường thẳng Simson ).
Cho ba điểm A, B, C trên đường tròn. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ M
bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đường
thẳng . ( Đường thẳng Simson của điểm M ).

·
·
·
·
·
·

+ FCM
=> D, E, F thẳng hàng.
= MBD
⇒ FMC
= BMD
⇒ BED
= FEC
Ví dụ 2 . Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B,
C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M
kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung
nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T
(T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.

7


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

·
·
·
Có MIC
= MOC
(= BAC
) => B, O, I, C, M thuộc đường tròn đường kính OM.

=> PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1)

Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2)
·
=> FI.FM = FQ.FT => 4 điểm M, T, I, Q thuộc một đường tròn => QTM
= 900 => M, T, P

thẳng hàng.
II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam
·
·
giác MNP sao cho NQ = NP và MNP
và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại
= PNQ

E.
·
·
1) Chứng minh PMI
.
= QNI

2) Chứng minh tam giác MNE cân.
3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME.
Bài 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt
nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại
điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM.
c) BE.DN = EN.BD.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M

là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD.
1) Chứng minh OM // DC.
2) Chứng minh tam giác ICM cân.
3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại 2 điểm B, C ( AB < AC ). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt
đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) .Đường vuông góc với AB tại A
cắt đường thẳng CE tại F.
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
8


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O).
Chứng minh DM ⊥ AC .
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2
Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C ( CA >
CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D. Kẻ CH vuông
góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
·
·
2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh : 2 BCF
+ CFB
= 900
3) BD cắt CH tại M. Chứng minh EM // AB.
Bài 6. Cho tam giác ABC có µA > 900 . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn

(O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai tại D, đường
thẳng AC cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) ( F khác A). Chứng minh ba
điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.
3) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng BH.AD = AH. BD
Bài 7. Cho đường tròn ( O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O và A). Tia CM cắt đường tròn ( O; R) tại điểm thứ
hai là N. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại N. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng
vuông góc với AB tại M ở P.
1) Chứng minh OMNP là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh CN// OP.
3) Khi AM =

1
AO . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R.
3

Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao BE,
CF của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của (O).
a) Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N.
Chứng minh AM = AN.
Bài 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C
khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) .Vẽ đường thẳng d vuông góc
với AB tại B. Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn.
2) Gọi I là trung điểm của BF.Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã
cho.

·
3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKE
cắt AE và AF lần lượt tại
M và N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.

9


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BC
lấy điểm M (M khác B, C và H). Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC
tại F.
1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh BE.CF = ME.MF.
BE HB
·
=
3) Giả sử MAC
.
= 450 . Chứng minh
CF

HC

Bài 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC. Đường
thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn
(O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R). Chứng minh rằng
·
CED
= 2 ·AMB
c) Tính tích MC.BF theo R.
Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn (ABCF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của
tam giác ABC.
Bài 13.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC.
Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A. Tiếp tuyến tại B và
C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung
điểm của đoạn thẳng DE.
1) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R). Chứng minh rằng
·
CED
= 2 ·AMB
3) Tính tích MC.BF theo R.
Bài 14.
Cho tam giác ABC nhọn (ABnhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm
của tam giác ABC.

Bài 15.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn (
M ≠ A, M ≠ B ). Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của
10


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

·
góc IAM
cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F. Tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ABF là tam giác cân.
b/ BE.BH = BM .BI
c/ Tứ giác AKFH là hình thoi.
Bài 16.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O) lấy 2
điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D. Đường thẳng vuông
góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp.
b) Chứng minh: BF = BG

c) Chứng minh:

DA DG.DE
=
BA BE.BC

Bài 17.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các
đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
·
·
1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC
= 1800 − ABC
2) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và
N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
3) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
¶ = ANC
·
Chứng minh AJI
4) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
Bài 18.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ đường tròn
(C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai
là D.
1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).
2)Trên cung nhỏ »AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với
AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung
điểm của EF. Chứng minh rằng:
·
·
a) BA2 = BE.BF và BHE
= BFC
b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.
Bài 19.
Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng MC

cắt đường tròn (O) tại N (N khác C).
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh MB 2 = MN .MC
·
c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh: MAN
= ·ADC
11


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

Bài 20.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tại
B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M
a) Chứng minh AB. MB = AE.BS
b) Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P. CMR NP vuông góc với BC
Bài 21. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng
với A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại
I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K.

·
·
a) Chứng minh rằng: ABM
và ABI cân
= IBM
b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đường thẳng NI

là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NI ⊥ MO.
d) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùng
với I). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Bài 22 . Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường
thẳng MO cắt (O) tại E và F (MElà tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng
MO).
a)
Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF
b)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng
minh tứ giác AHOB nội tiếp.
c)
Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường
kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao
điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS
vuông góc với đường thẳng KC.
d)
Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS
và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
Bài 23.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn
thẳng OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với
(O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C. Qua I dựng một đường thẳng
vuông góc với IC cắt tia By tại D. Gọi E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID và
MB.
1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp
2/ Chứng minh EF // AB
3/ Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng
4/ Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúc

nhau tại M
12


Gia Sư Tài Năng Việt

giasudaykem.com.vn

Bài 24.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao
điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB)
1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn
2. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh
rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
3. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD.
Chứng minh rằng

1
1
1
=
+
2
2
DK
DA
DM 2

Bài 25.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn

(K) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BF
và CE.
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
b) Chứng minh OA vuông góc với EF.
c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp
điểm. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

13