Bài toán stick slip và một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❑❍❯❨➊◆

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❙❚■❈❑✲❙▲■P ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮
P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ●❺◆ ✣Ó◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✺


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❑❍❯❨➊◆

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❙❚■❈❑✲❙▲■P ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮
P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ●❺◆ ✣Ó◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆●
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❱Ô ❱■◆❍ ◗❯❆◆●

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✺


✐
❳→❝ ♥❤➟♥

❳→❝ ♥❤➟♥

❝õ❛ tr÷ð♥❣ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥

❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

❚❙✳ ❱ô ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣




ớ ỡ
t ữủ ởt tổ ổ
ữủ sỹ ữợ ú ù t t ừ P ụ
rữớ ồ ồ ổ t tọ ỏ t ỡ s
s t ỷ ớ tr t ừ tổ ố ợ ỳ t
tổ
ổ t ỡ ỏ s ồ qỵ t
ổ ợ ồ rữớ ồ ồ
ồ t t tr t ỳ tự qỵ
ụ ữ t tổ t õ ồ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ
ữớ ổ ở ộ trủ t ồ tổ tr sốt

q tr ồ t tỹ tr trồ ỡ

t
ữớ t




✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✐✐

▼ö❝ ❧ö❝

✐✐✐

▼ð ✤➛✉

✶

▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✈✐➳t t➢t

✹

✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✺

✶✳✶

✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✶

¯
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C k Ω

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✸

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❲

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H01 (Ω) ✈➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➳t ❝õ❛ ❤➔♠ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✺

❈æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r❡ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✶✳✻

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈î✐ ❝❤➾ sè ➙♠ H −1 (Ω) ✈➔ H − 2 (∂Ω) ✶✵

1,p

(Ω)

1

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✷✳✷

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷












tự sỡ ỗ ỡ





ữủ ỗ ợ

ữủ ỗ ứ ỵ ỡ sỹ ở tử ừ
ữỡ



ỵ tt s





Pữỡ ữợ





t s





t

t sts ữỡ t t






ổ t





ởt số ữỡ t tr







Pữỡ



t

Pữỡ t st s tờ qt




ỡ s ỵ tt





ỡ s ữỡ





ỡ ỗ ừ t tỷ





ỡ ỗ t ủ

ởt số t q tỹ



t




✈
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✽

P❍❺◆ P❍Ö ▲Ö❈

✹✵





t t ởt t ỹ ừ ữỡ tr
s ỏ ợ t t t ừ t
ừ t tự tr ởt
trỡ s tữủ t ố ợ ỗ
tớ t s ỳ ỳ
ởt ổ ổ t sỹ ở ừ t
ỗ õ q ố tỹ
tỹ ộ ủ ởt ổ t ữủ t tr t

ợ rt q t õ t ự ử t t t
ừ t ổ t tỹ ữỡ tổ
tữớ t tr t ợ tữớ t
t t ữợ s
t t tứ ỳ
ữớ t t ỹ r ữợ
tồ ỹ tọ ừ t tứ õ ừ
t ữủ ổ tự tr ộ
tổ q r ứ õ t ữ
số ừ tr ữỡ số
ỷ ử ỵ tt t tỷ ỹ sỡ ỗ
tr t tr t õ ự
t ổ ự t ủ ợ ữỡ



r ữỡ tr ố ữỡ tr
ứ õ ử ữỡ s qt t
q õ ỹ ừ t ố
t t tứ t õ ử t ự ừ
t ổ t t ự ỡ s ừ ữỡ
tr t ừ t t ỗ tớ
ự ỡ s ừ ỵ tt t tỷ ũ ữỡ
r t t t t sỷ ử
ữỡ s ừ t ố s t
q tỹ ừ ữỡ t q tỹ ữủ
tỹ tr t tỷ
ở ừ ữủ tr tr ữỡ
ữỡ r ỳ tự ỡ s ổ
tt ữỡ tr s ỏ ỵ tt t tỷ sỡ ỗ

ừ t tỷ sỹ ở tử tt s ổ
ữợ ữỡ s ữỡ tr ữợ
ữỡ r ổ t t ữỡ
tr tổ q r ữỡ t
ữỡ r ởt số t q tỹ ố ợ t
t
ữủ t ữợ sỹ ữợ t t ừ
ụ tọ ỏ t ỡ t ừ ố
ợ t t ỡ t ổ ồ ồ
ồ t ú ù tr sốt
q tr ồ t tr ở tự
tớ õ ổ t tr ọ ỳ
t sõt t ổ õ õ ỵ


✸
✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳


✹

▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ✈✐➳t t➢t
L

❚♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ ✳

Rn

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐➲✉✳

Ω

▼✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳

∂Ω

❇✐➯♥ trì♥ ▲✐♣s❝❤✐t③✳

C k (Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ k ❧✐➯♥ tö❝✳

L2 (Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷ñ❝ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤✳

W 1,p (Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈î✐ ❝❤➾ sè p✳

H 1/2 (∂Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✈➳t ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ tr➯♥ ∂Ω ✳

H01 (Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✈➳t ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ tr➯♥ ∂Ω ✳

H −1 (Ω)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✈î✐ H01 (Ω)✳

H −1/2 (∂Ω) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✈î✐ H 1/2 (∂Ω)✳
SF BIM

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❜✐➯♥✳

∆

❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡✳

∇

❚♦→♥ tû ●r❛❞✐❡♥t✳

Dα u

✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ u ❝➜♣ |α|✳


✺

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ❝→❝
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠✱ ❧➼ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s♦♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛✱ ❧➼ t❤✉②➳t t♦→♥ tû
❜✐➯♥ ♠✐➲♥✱ ❧þ t❤✉②➳t ✈➲ ❝→❝ sì ✤ç ❧➦♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥✳ ❈→❝ ❦✐➳♥
t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✻❪✱ ❬✼❪✳

✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✳

✶✳✶✳✶

¯
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C k Ω

¯
●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐➲✉ Rn ✈➔ Ω
¯ , (k = 0, 1, 2...) ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â
❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ Ω✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ C k Ω
¯ ✳ ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ C k Ω
¯
✤↕♦ ❤➔♠ ✤➳♥ ❝➜♣ k ❦➸ ❝↔ k tr♦♥❣ Ω✱ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ Ω
❝❤✉➞♥✿

u

¯)
C k (Ω

max |Dα u (x)| ,

=
|α|=k

¯
x∈Ω

tr♦♥❣ ✤â α = (α1 , α2 , ..., αn ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ ❝❤➾ sè ✈❡❝tì ✈î✐ ❝→❝ tå❛ ✤ë
♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ |α| = α1 + α2 + ... + αn ✿

∂ α1 +...+αn u
D u = α1
.
∂x1 ...∂xαnn
α



ừ
ỹ ở tử t sỹ ở tử tr
ợ
tt ừ ú k ó r t C k
ổ



ổ Lp ()

sỷ ởt tr Rn p ởt số tỹ ữỡ

Lp () ợ ữủ f tr s
|f (x)|p dx < .


r Lp () t ỗ t tr ữ
tỷ ừ Lp () ợ tữỡ ữỡ ữủ
tọ tữỡ ữỡ ú
tr

|f (x) + g (x)|p

(|f (x) + g (x)|)p

2p (|f (x)|p + |g (x)|p ) ,

ró r Lp () ởt ổ tỡ
ữ Lp () .

u

p

=







ổ

1,p

p

ữủ

|u (x)|p dx

1
p

.



()

ởt tr Rn u(x)ữủ ồ
t ữỡ tr u(x) ởt tr ợ ộ

x0 tỗ t ởt ừ x0 u(x) t tr

ởt tr Rn u(x), v(x)ữủ


✼
❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ Ω s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝â ❤➺ t❤ù❝✿

Ω

∂kϕ
k
u
dx
=
(−1)
k

∂x1 k1 ...∂xnn

Ω

∂ku
ϕdx,
∂xk11 ...∂xknn

✤è✐ ✈î✐ ♠å✐ ϕ (x) ∈ C0k (Ω) , k = k1 + ... + kn , ki
✤â✱

∂ku
k
∂x11 ...∂xknn

0 (i = 1, 2, ..., n)✳ ❑❤✐

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❝➜♣ k ❝õ❛ u(x)✳

❑➼ ❤✐➺✉✿

∂ku
v (x) = k1
.
∂x1 ...∂xknn

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû p ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✱ 1

p < ∞, Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥

tr♦♥❣ Rn ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❲1,p (Ω) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
❲1,p (Ω) =

u|u ∈ Lp (Ω) ,

∂u
∈ Lp (Ω) , i = 1, ..., n .
∂xi

❚r♦♥❣ ✤â ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❧➔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣✳
❱î✐ p = 2 ✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉
❲1,2 (Ω) = H 1 (Ω) ,
♥❣❤➽❛ ❧➔✿

H 1 (Ω) =

✶✳✶✳✹

u|u ∈ L2 (Ω) ,

∂u
∈ L2 (Ω) , i = 1, 2, ..., n .
∂xi

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H01 (Ω) ✈➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➳t ❝õ❛ ❤➔♠

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ 1

p < ∞✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❲1,p
0 (Ω)

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ❝→❝ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ D (Ω) ✭❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔
✈✐ ✈æ ❤↕♥ ❝â ❣✐→ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Ω t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❲1,p
0 (Ω) ✳
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H01 (Ω) ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿

H01 (Ω) = ❲1,2
0 (Ω) .

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✺✳ ●✐↔ sû ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ t❤➻✿ ✐✮ ◆➳✉ 1

❲01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) ❧➔✿

p
t❤➻


✽
✲ ◆❤ó♥❣ ❈♦♠♣❛❝t ✤è✐ ✈î✐ q ∈ [1, p∗] tr♦♥❣ ✤â p∗1 = p1 − n1 ✱
✲ ◆❤ó♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ✤è✐ ✈î✐ q = p∗✳
✐✐✮ ◆➳✉ p = n t❤➻
❲01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω)
❧➔ ♥❤ó♥❣ ❈♦♠♣❛❝t ♥➳✉ q ∈ [1, +∞]✳
✐✐✐✮ ◆➳✉ p > n t❤➻
❲01,p (Ω) ⊂ C 0 Ω¯
❧➔ ♥❤ó♥❣ ❈♦♠♣❛❝t✳
✭✣à♥❤ ❧þ ✈➳t✮
✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➳t
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✻✳

∗
γ : H 1 Rn−1 × R+
→ L2 Rn−1

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ u ∈ H 1 Rn−1 × R+∗ ∩ C 0 Rn−1 × R+ ✱ t❛ ❝â✳
✐✐✮ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Rn s❛♦ ❝❤♦ ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ t❤➻
tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✿
γ : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω)

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 Ω¯ t❛ ❝â γ (u) = u|∂Ω✳
❍➔♠ γ (u) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➳t ❝õ❛ u tr➯♥ ∂Ω✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ●✐↔ sû ❜✐➯♥ ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
1

H 2 (∂Ω) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✈➳t γ ✱ tù❝ ❧➔✿
1

H 2 (∂Ω) = γ H 1 (Ω) .

●✐↔ sû ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ t❤➻✿
(∂Ω) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❝❤✉➞♥✿

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✽✳

✐✮ H

1
2

u

2

1/
H 2 (∂Ω)

2

|u (x)| dsx +

=
∂Ω

∂Ω ∂Ω

|u (x) − u (y)|2
dsx dsy .
|x − y|n+1


✾
✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè Cγ (Ω) s❛♦ ❝❤♦✿
γ (u)

Cγ (Ω) u

1

H 2 (∂Ω)

H 1 (Ω) , ∀u

∈ H 1 (Ω)

❑❤✐ ✤â Cγ (Ω) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ✈➳t✳
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✾✳ ●✐↔ sû ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥H 2 (∂Ω) ❝â ❝→❝
1

t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
✐✮ ❚➟♣ {u|∂Ω, u ∈ C ∞ (Rn)} ❧➔ trò ♠➟t tr♦♥❣ H
✐✐✮ ◆❤ó♥❣ H (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω)✳
✐✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✿

1
2

(∂Ω)✳

1
2

1

g ∈ H 2 (∂Ω) → ug ∈ H 1 (Ω) .

❱î✐ γ (ug ) = g ✈➔ tç♥ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè C1 (Ω) ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ♠✐➲♥ Ω s❛♦
❝❤♦✿
ug

✶✳✶✳✺

H 1 (Ω)

C1 (Ω) g

1

1
H 2 (∂Ω)

, ∀g ∈ H 2 (Ω) .

❈æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r❡

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✵✳ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥✮✳ ●✐↔ sû ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ❝❤♦
u, v ∈ H 1 (Ω)
u

❦❤✐ ✤â✿

∂u
dx = −
∂xi

Ω

v

∂u

dx +
∂xi

Ω

γ (u) γ (v) ni ds, 1

i

n,

∂Ω

tr♦♥❣ ✤â n = (n1, ..., nn) ❧➔ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ Ω ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✶✶✳

●✐↔ sû ❜✐➯♥ ∂Ω ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑❤✐ ✤â✿

H01 (Ω) = u|u ∈ H 1 (Ω) , γ (u) = 0 .

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✶✷✳ ✭ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r❡✮✳ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè CΩ

s❛♦ ❝❤♦✿

u

L2 (Ω)

CΩ ∇u

L2 (Ω) , ∀u

∈ H01 (Ω) .


✶✵
❚r♦♥❣ ✤â ❤➡♥❣ sè CΩ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ❝õ❛ Ω ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➡♥❣
sè P♦✐♥❝❛r❡✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r❡ ❝â þ ♥❣❤➽❛ r➡♥❣ u = ∇u L (Ω)
❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ H 1 (Ω) ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳
2

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✸✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ P♦✐♥❝❛r❡ ♠ð rë♥❣✮ ●✐↔ sû ❜✐➯♥ ∂Ω ❧✐➯♥

tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2✱ tr♦♥❣ ✤â Γ1, Γ2 ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ✤â♥❣✱ rí✐ ♥❤❛✉✱
Γ1 ❝â ✤ë ✤♦ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè C (Ω) s❛♦ ❝❤♦ ✿
u
∀u ∈ H 1 (Ω) , γ (u) = 0

✶✳✶✳✻

CΩ ∇u

L2 (Ω)

L2 (Ω) ,

tr➯♥ Γ1.

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈î✐ ❝❤➾ sè ➙♠ H −1 (Ω) ✈➔ H − 2 (∂Ω)
1

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ H −1 (Ω) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿

H −1 (Ω) = H01 (Ω) ,
✈î✐ ❝❤✉➞♥✿

F, u
F
❚r♦♥❣ ✤â F, u

H −1 (Ω)

=

sup

u

H01 (Ω)\{0}

H −1 (Ω),H01 (Ω)

H −1 (Ω),H01 (Ω)

.

H01 (Ω)

❧➔ t➼❝❤ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥ ❝➦♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐

♥❣➝✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✺✳ ❈❤♦ F ∈ H −1 (Ω) t❤➻ tç♥ t↕✐ n + 1 ❤➔♠ f0 , f1 , ..., fn tr♦♥❣
L2 (Ω)

s❛♦ ❝❤♦✿

n

F = f0 +

❚❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♣❤➙♥ ❜è ✈➔ ✤ç♥❣ t❤í✐✿
F

2
H −1 (Ω)

i=1

= ✐♥❢

∂fi
.
∂xi

n

fi

2
L2 (Ω) ,

i=0

tr♦♥❣ ✤â ✐♥❢ ❧➜② tr➯♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✈❡❝tì (f0, f1, ..., fn) tr♦♥❣

L2 (Ω)

n+1

✳


✶✶
✶✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❊❧❧✐♣t✐❝
●✐↔ sû Ω ∈ Rn ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐î✐ ♥ë✐ ✈î✐ ❜✐➯♥ ∂Ω = Γ✳ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦
❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ 2m ❝õ❛ ➞♥ ❤➔♠ u (x) , x ∈ Ω

aα (x) Dα u = f (x).

Au =

✭✶✳✶✮

|α| 2m

❚r♦♥❣ ✤â aα (x) , f (x) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤♦ tr÷î❝✱ A ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥
t✉②➳♥ t➼♥❤✱ t❛ ❝â✿
✐✮ ❱î✐ ♠❂✶ t❤➻ ✭✶✳✶✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐✳

✐✐✮ ❱î✐ ♠❂✷ t❤➻ ✭✶✳✶✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❜è♥✳
❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✶✮✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ♥➳✉ tr➯♥ ❜✐➯♥ Γ
♥❣❤✐➺♠ u(x) t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥✿

Bi (u) = gi , i = 0, 1, ..., m − 1.
❚r♦♥❣ ✤â Bi (u) , i = 0, 1, ..., m − 1 ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❜✐➯♥✳

✶✳✷✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

−

✭✶✳✷✮

u = f.

●✐↔ sû u ∈ C 2 (Ω) , f ∈ C (Ω) ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥ tr♦♥❣
♠✐➲♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â✱ u(x) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮✳
▲➜② ❤➔♠ ϕ ❜➜t ❦➻ t❤✉ë❝ D (Ω) = C0∞ (Ω) ♥❤➙♥ ✈î✐ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮ rç✐
❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❛ ✤÷ñ❝✿

−

uϕdx =
Ω

f ϕdx.

Ω

✭✶✳✸✮


✶✷
⑩♣ ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ✈➔♦ ✭✶✳✸✮ ✈➔ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤✐➲♥ ❦✐➺♥ ϕ|∂Ω = 0 t❛
❝â ✿
n

Ω

i=1

∂ϕ ∂u
dx =
∂xi ∂xi

f ϕdx

✭✶✳✹✮

Ω

❤❛②

∇u∇f dx =
Ω

f ϕdx.

Ω

◆❤÷ ✈➟②✱ ♥➳✉ u ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤➻ ❝â ✭✶✳✹✮✳ ◆❤÷♥❣

¯ C (Ω) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝ê ✤✐➸♥✳ ❱➟②✱ t❛
♥➳✉ f ∈
❝➛♥ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤✐ f ∈ L2 (Ω)✳

✶✳✷✳✷

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
●✐↔ sû u ∈ H 1 (Ω) , f ∈ L2 (Ω) , u ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ ✭✶✳✸✮ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳

✶✳✷✳✸

▼➺♥❤ ✤➲

▼➺♥❤ ✤➲
◆➳✉ u ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✈➔ u ∈ C 2 (Ω) , f ∈ C (Ω)
t❤➻ u ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝ê ✤✐➸♥✱ tù❝ ❧➔ −

u=f ✳

✶✳✸ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❝→❝ sì ✤ç ❧➦♣ ❝ì ❜↔♥
✶✳✸✳✶

▲÷ñ❝ ✤ç ❧➦♣ ❤❛✐ ❧î♣

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥✿

Ay = f

✭✶✳✺✮



tr õ A : H H t tỷ t t tr ổ rt
tỹ ỳ H sỷ A t tỷ ố ự ữỡ

f H tỡ tũ ỵ
r ộ ữỡ t t tứ y0 t tở H ữớ
t ữ r y1, y2 , ..., yk , ... ừ ữỡ tr
ữ ữủ t ữ tr ợ số
k = 1, 2, ... t ừ ỳ ữỡ tr yk+1 õ
t ữủ t tổ q tr trữợ yk , yk1 , ...
Pữỡ ữủ ồ ữỡ ởt ữợ
ữợ yk+1 õ t ữủ t tổ q ởt tr
trữợ õ t ừ ữủ ỗ ợ

Bk

yk+1 yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ...
k+1

ữủ ỗ t y ừ ữỡ tr
ợ t t tỷ Bk ồ t số k+1
Bk = E t ữủ ỗ ữủ ồ ữủ ỗ

yk+1 yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ...
k+1



r trữớ ủ k = số t ữủ ỗ ỏ ồ ữủ
ỗ ỡ
Bk = E t ữủ ỗ ữủ ồ ữủ ỗ



ữủ ỗ ứ ỵ ỡ sỹ ở tử ừ ữỡ


ữủ ỗ ợ t tỷ Bk = B t số k+1 = ổ ờ

(k = 0, 1, 2, ...) ỏ ữủ ồ ữủ ỗ ứ õ
B

yk+1 yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2...

A t tỷ ố ự ữỡ t

1
B > A
2



1
(Bx, x) > (x, x) , x H,
2



ừ sỹ ở tử ừ ữủ ỗ tr ổ HA ợ
< 1 tố ở ở tử số
zk+1

A

zk

A, k

= 0, 1, 2, ....

ỵ tt s


Pữỡ ữợ

ữợ s t t

u = f, x ,
u = g,
x .

tr õ = (x, y) R2 , a

x

b, c

y



d ồ số N >

1 M > 1 t h = (ba)/N ồ ữợ ữợ t x k = (dc)/M ồ
ữợ ữợ t y t xi = a + ih, yj = c + jk, i = .., N, j = .., M.
ộ (xi , yj ) ồ ởt út ữợ ỵ út (i, j) tt
út tr ỵ hk út tr ồ út t tt
hk = hk hk ồ ởt ữợ s

út ỵ hk t


tr

ữợ ộ số t út ừ ữợ ồ ởt
ữợ tr ừ ữợ u(x, y) t út ữợ (i, j) t tt uij ộ
t r ữợ u
u(x, y) t ồ u(x, y)

uij


✶✺
✶✳✹✳✷

❇➔✐ t♦→♥ s❛✐ ♣❤➙♥

¯ = Ω ∪ Γ✱ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ Lu = f ✱ ❣✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠
❑➼ ❤✐➺✉ Ω
¯ ✈➔ ❣✐↔ sû
u ∈ C 4 (Ω)
∂ 4u
(x, y)
max
¯ ∂x4
(x,y)∈Ω

∂ 4u
(x, y)

C1 = const, max
¯ ∂y 4
(x,y)∈Ω

C2 = const ✭✶✳✶✷✮

❉♦ ✤â t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r t❛ ❝â✿

u(xi+1 , yj ) = u(xi + h, yj )
∂u h2 ∂ 2 u h3 ∂ 3 u
+
−
+ O(h4 ),
= u(xi , yj ) − h
2
3
∂x 2! ∂x
3! ∂x
❤❛②

u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) ∂ 2 u
= 2 + O(h2 ).
2
h
∂x
❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â✿
u(xi , yj+1 ) = u(xi , yj + k) = u(xi , yj ) + k

∂u k 2 ∂ 2 u k 3 ∂ 3 u
+

+
+ O(k 4 ),
2
3
∂y
2! ∂y
3! ∂y

∂u k 2 ∂ 2 u k 3 ∂ 3 u
u(xi , yj−1 ) = u(xi , yj − k) = u(xi , yj ) − k
+
−
+ O(k 4 ).
2
3
∂y
2! ∂y
3! ∂y
❉♦ ✤â✿

u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 ) ∂ 2 u
= 2 + O(k 2 ).
2
k
∂y
❱➟② t❛ ❝â✿

u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 )
+
h2

k2
= ∆u + O(h2 + k 2 ).
✣➦t✿ ∆hk u ≡

ui+1,j −✷ui,j +ui−1,j
h2

+

ui,j+1 −2ui,j +ui,j−1
.
k2

❑❤✐ ✤â ❝❤ù♥❣ tä✿

∆kh u = ∆u + O(h2 + k 2 ).
❙è ❤↕♥❣ O h2 + k 2 ❧➔ ♠ët ✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ❚❛ ♥â✐ t♦→♥ tû ∆kh ①➜♣ ①➾
t♦→♥ tû ∆ ✱ ✤✐➲✉ ✤â ❝❤♦ ♣❤➨♣ ∆ t❤❛② ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣


✶✻
tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✿ ∆hk u = fij ,

fij = f (xi , yj ),

(xi , yj ) ∈ Ωhk . tù❝ ❧➔✿

ui+1,j − 2ui,j + ui−1j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
+
= f (xi , yj ), (xi , yj ) ∈ Ωhk .

h2
k2
✭✶✳✶✸✮
✤ç♥❣ t❤í✐ t❤❛② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿

uij = g(xi , yj ),

(xi , yj ) ∈ Γhk .

✭✶✳✶✹✮

❚❛ ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✿ ❚➻♠ ❤➔♠ ❧÷î✐ u t↕✐ ❝→❝ ♥ót (i, j)
t❤♦↔ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✭✶✳✶✸✮ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ✭✶✳✶✹✮✳ ◆❤÷
✈➟② ✈✐➺❝ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✈✐ ♣❤➙♥ ✭✶✳✶✶✮ ✈î✐ ✤ë ❝❤➼♥❤
①→❝ ❝➜♣ ❤❛✐ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➲ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✐ ♣❤➙♥ ✭✶✳✶✸✮ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✭✶✳✶✹✮ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ sè✳

✶✳✹✳✸

❑➳t ❧✉➟♥

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝→❝ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝✱ ❧þ t❤✉②➳t ✈➲ ❝→❝ sì ✤ç ❧➦♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr➯♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✻❪✱
❬✼❪✱ ❬✽❪✳


✶✼

❈❤÷ì♥❣ ✷

❇➔✐ t♦→♥ st✐❝❦✲s❧✐♣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❞↕♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥
✷✳✶ ▼æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥
❳➨t ♠æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ tr÷ñt ❝õ❛ t➜♠ tr♦♥❣ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❝❤➜t ❧ä♥❣✱ ❞↕♥❣
❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❞á♥❣ ❝❤↔② ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✶ ❤♦➦❝ ❤➻♥❤ ✷✳ ❉♦ t➼♥❤
✤è✐ ①ù♥❣✱ ❝❤➾ ❝â ♥û❛ tr➯♥ ❝õ❛ ♠✐➲♥ ❞á♥❣ ❝❤↔② ✤÷ñ❝ ①❡♠ ①➨t✱ tù❝ ❧➔ ♣❤➛♥
❣✐î✐ ❤↕♥ SD ✳ P❤➛♥ ❜✐➯♥ SA ✈➔ SE ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❜ù❝ t÷í♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➲
♠➦t ♣❤➥♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ SC ✈➔ SE t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❝→❝ ❜✐➯♥ tü ❞♦✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱ ♠æ ❤➻♥❤ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
s♦♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛

∇4 ψ = 0 tr♦♥❣ Ω,

✭✷✳✶✮

✈î✐ ψ ❧➔ ❤➔♠ ❞á♥❣ ❝❤↔② ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

ux ≡

∂ψ
∂ψ
✈➔ uy ≡ − ,
∂y
∂x

✭✷✳✷✮

ux ✈➔ uy ❧➔ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✈➟♥ tè❝ t❤❡♦ ❤÷î♥❣ x ✈➔ y t÷ì♥❣ ù♥❣✳
❉♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➟t ❧þ✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤÷ñ❝
♠æ t↔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ❤♦➦❝ ❤➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✳

✶✽

❍➻♥❤ ✷✳✶✿ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ ♣❤➥♥❣ ❞÷î✐ ❤➔♠ ❞á♥❣ ❝❤↔② ψ

❍➻♥❤ ✷✳✷✿ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ ♣❤➥♥❣ ❜à ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ u = ψ − 1
❙❛✉ ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ψ = u + 1 ✱ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤
✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ ♥❤÷ s❛✉✿

∇4 u = 0 tr♦♥❣ Ω,

✭✷✳✸✮

∂u
= 0 tr➯♥ SA ,
∂y

✭✷✳✹✮

✈î✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥

u = 0,

u = 0, ∇2 u = 0 tr➯♥ SB ,
∂∇2 u
∂u
= 0,
= 0 tr➯♥ SC ,
∂x

∂x
u = −1, ∇2 u = 0 tr➯♥ SD ,
1
∂u
u = y(3 − y 2 ) − 1,
tr➯♥ SD .
2
∂x
❇➔✐ t♦→♥ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛
✈➲ ♠æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s♦♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✈î✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥