Bài giảng Mot so phuong phap tim GTNN, GTLN

Thứ ngày tháng 12 năm 2010
BáO CáO CHUYÊN Để THáNG 12
Ngới báo cáo : Nguyễn Thị Kim Anh
Tên chuyên đề : Tìm hai số nguyên dơng khi biết một số yếu tố trong
đó có UCLN và BCNN
A-ĐặT VấN Đề
Trong chơng trình số học 6, học sinh chỉ mới biết đến các kháI niệm ớc
chung lớn nhất ( UCLN ) và bội chung nhỏ nhất ( BCNN ) , còn các ứng dụng
của chúng học sinh chỉ mới biết một phần nhỏ trong việc giảI các bài tập về
rút gọn phân số hay quy đồng mẫu số Trong khi đó UCLN và BCNN có vai
trò rất quan trọng trong việc giảI các bài tập về tìm hai số nguyên dơng khi
biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về UCLN và BCNN , các bài tập về
tìm số
Do đó để học sinh hiểu sâu hơn về các ứng dụng của UCLN và BCNN trong
việc giảI toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh , tôI đa ra một số
ứng dụng của UCLN và BCNN.
Một số bài toán có liên quan đến việc tìm số :
- Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : tích và UCLN ( BCNN )
- Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : ka+lb=m và UCLN ( BCNN )
- Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : UCLV và BCNN
- Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : m.UCLN + n.BCNN=k và p.a+q.b=m
B- NộI DUNG
1- Phơng pháp chung:
1.1- Dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phảI tìm, liên hệ với
các yếu tố đã cho để tìm hai số .
1.2 - Trong một số trờng hợp có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa
UCLN< BCNN và tích của hai số nguyên dơnga,b đó là:
a.b=(a,b)
[ ]
ba,
, (a,b) là UCLN và

[ ]
ba,
là BCNN của a và b
2- Một số ví dụ minh họa
Bài toán 1 :
Tìm hai số nguyên dơng a,b biết :

[ ]
ba,
=900 và (a,b) =10
Lời giảI :
Do vai trò a,b là nh nhau, không mất tính quát, giả sử a

b ,do (a,b)=10
nên a=10a
1
; b=10b
1
, a
1
b

1
(do a

b)
Với a
1
,b
1

z
+
; (a
1
,b
1
)=1
Theo định nghĩa BCNN :

[ ]
ba,
=a
1
b
1
d (d=(a,b) )=a
1
b
1
10=900

a
1
b
1
=90

a
1

=1 , b
1
=90 a=10, b=900


a
1
=2 , b
1
=45

a=20, b=450

a
1
=5 , b
1
=18 a=50 , b=180

a
1
=9 , b
1
=10 a=90 , b=100

Bài toán 2 :
Tìm số nguyên dơng a,b, biết ab=24300 và (a,b)=45
Lời giải
Lập luận nh bài 1, giả sử a
b

:
Do (a,b)=45

a=45a
1
, b=45b
1
với a
1
,b
1


z
+
, (a
1
,b
1
)=1 ; a
1


b
1
Vì vậy ab=45a
1
.45b
1

=2025a
1
b
1


24300=2025a
1
b
1


a
1
b
1
=12

a
1
=1 , b
1
=12 a=45 , b=540




a
1
=3 , b

1
=4 a=135 , b=180
Bài toán 3 :
Tìm hai số nguyen dơng a.b biết ab=4320 và BCNN (a,b)=360
Lời giảI :
Ta có ab =(a,b)
[ ]
ba,


(a,b)=12 , bài toán đa về dạng bài toán 2:
a =12 ; b=360
Kết quả a =24 ; b=180
a =36 ; b=120
a =60 ; b=72

Bài toán 4:
Tìm hai số nguyên dơng a,b biết :
b
a
=2,6 và (a,b) =5
Lời giảI :
Ta có : (a,b)=5

a=5a
1
, b=5b
1
, với a
1

, b
1


Z
+
,( a
1,
,b
1
) =1.
Vì vậy:
=
b
a
b
a
1
1
=2.6


5
13
1
1
=
b
a

a
1
=13 a =65


b
1
=5

b =25
Bài toán 5:
Tìm a,b biết :
5
4
=
b
a
và
[ ]
140,
=
ba

Lời giảI :
Đặt (a,b) =d vì
5
4
=
b
a

, mặt khác (4,5) =1 nên a=4d , b=5d
Lu ý
[ ]
140205.4,
===
ddba


d=7

a =28 , b =35

Bài toán 6 :
Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : a+b =84 và (a,b) =6
Lời giảI :
Giả sử a

b . Do (a,b) =6 nên a=6a
1
, b=6b
1
, với a
1
,b
1


Z
+
(a

1
,b
1
) =1 ;
Vì vậy : a+b =84

6(a
1
,b
1
) =84

a
1
+ b
1
=14


a
1
=1 ; b
1
=13 a =6 ; b =78



a
1
=3 ; b

1
=11

a =18 ; b =66

a
1
=5 ; b
1
=9 a =30 ; b =54

Bài toán 7 :
Tìm a,b biết : a+b=42 và
[ ]
ba,
=72
Lời giảI :
Gọi d=(a,b)

a=a
1
d , b=b
1
d với a
1
.b
1


Z

+
, (a
1
,b
1
)=1
Không mất tính tổng quát giả sử a

b

a
1

b
1

Do đó a+b= d(a
1
+b
1
) =42 (1)
[ ]
ba,
= a
1
b
1
d =72 (2)

d là UC(42,72)


d

1,2,3,6
Lần lựot thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính a
1
, b
1
ta thấy chỉ có tr-
ờng hợp :

a
1
+ b
1
=7 a
1
=3
đ =6

a
1.
b
1
=12

b
1

=4
( thoả mãn điều kiện của a
1
,b
1
)
a =18
Vởy d=6 và b =24
Bài toán 8:
Tìm a,b biết a -b=7
[ ]
140,
=
ba

Lời giảI :
Gọi d=(a,b)

a=a
1
d , b=b
1
d với a
1
,b
1


Z
+

, (a
1
,b
1
) =1
Do đó a-b=d(a
1
-b
1
) =7 (3)
[ ]
=
ba,
a
1
b
1
d =140 (4)

d

1,7
Thay lần lợt các giá trị của d vào (3) và (4) để tính a
1
,b
1
ta đợc kết quả duy
nhất :

a

1
-b
1
=1 a
1
=5
d =7

a
1
b
1
=20

b
1
=4

a=35
vậy d=7 và b =28
C - KếT LUậN
Trên đây là một số bài toán củng nh phơng pháp giảimà bảnthân tôI tích luỹ
đợc qua quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh, rất mong đợc sự góp ý của
các bạn đồng nghiệp . Xin chân thành cảm ơn .