Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN ĐẮC

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN ĐẮC

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP

Chuyên ngành:

TOÁN HỌC TÍNH TOÁN

Mã số : 60 46 30

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH

Hà Nội - Năm 2016

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình,
chu đáo và nghiêm khắc của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá
trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất
đến người thầy của mình. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên
và lòng tin tưởng của thầy luôn là động lực để tôi luôn cố gắng trong quá trình
hoàn thiện luận văn.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học,
các cán bộ Phòng Sau đại học, các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao
học 2010 - 2012 của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tôi học tập tại
trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người
đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn.

Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Đắc

i


Bảng kí hiệu
hội tụ yếu
→
hội tụ mạnh

F
đạo hàm Fréchet của toán tử F
JF (x1 , x2 , ..., xn ) ma trận Jacobian của F
Range(G)
miền giá trị của toán tử G
C[0, T ]
không gian các hàm liên tục trên [0, T ]
1
C [0, T ]
không gian các hàm khả vi liên tục trên [0, T ]
L2 [0, T ]
không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên [0, T ]
1
H0 [0, T ]
Không gian các hàm thuộc W 1,2 [0, T ] có giá compact trên [0, T ].
Lσ,R
cặp không gian L2 [0, T ] với tích vô hướng phụ thuộc R
2 [0, T ]
·, · σ , · σ
tích vô hướng và chuẩn có trọng số σ
·, · σ,R , · σ,R
tích vô hướng và chuẩn có trọng số σ phụ thuộc R
·, · ∞
chuẩn trong không gian L∞
W k,p [0, T ]
không gian Sobolev
·, · , ·
tích vô hướng và chuẩn trong không gian tương ứng
B[yđ , δ]
Hình cầu tâm yđ , bán kính δ

ii


Mục lục

Bảng kí hiệu

i

Lời nói đầu

v

1 Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính định chuẩn . . . .

1

1.1.1

Một số không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Một số kết quả về phương trình Volterra . . . . . . . . . .

6

1.2

Khái niệm bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh . . . .

7

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev . . . . . . . . . . . . . 12

2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán
tử gần đơn điệu

15

2.1

Phương pháp hiệu chỉnh và ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Phương trình tự chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Hiệu chỉnh địa phương cho bài toán tự chập ngược
3.1

26

Phương trình tự chập được hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii


MỤC LỤC

3.2

Sự hội tụ và tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3

Phép rời rạc hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

iv


Lời nói đầu

Thời gian gần đây, phương trình tích phân

t

x(t − s)x(s)ds = y(t)
0

được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vì nó xuất hiện trong một số
lĩnh vực khoa học, công nghệ, như trong quang phổ học, hay trong lý thuyết
xác suất thống kê, khi cần khôi phục hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nếu biết
kì vọng của hàm mật độ của bình phương biến này. Phương trình trên được gọi
là phương trình tích phân loại 1 dạng tự chập hoặc bài toán ngược tự chập.
Như hầu hết các phương trình tích phân Volterra loại 1, bài toán ngược tự chập
đặt không chỉnh, theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai
khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô
định. Mặt khác, do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm, qua
đo đạc, quan trắc, vv....và sau đó lại được xử lí trên máy tính nên chúng không
tránh khỏi sai số. Chính vì thế, người ta cần phải có những phương pháp giải
ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ
thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát.
Viện sĩ Tikhonov là người khởi xướng các phương pháp giải ổn định bài toán
ngược. Cách tiếp cận của ông là đưa bài toán giải phương trình F (u) = y về bài
toán tìm cực tiểu của các phiếm hàm làm trơn
F (u) − y

2

+ α u − u0

2

và thiết lập sự hội tụ của dãy các điểm cực tiểu tới nghiệm của bài toán ngược

v


Lời nói đầu

ban đầu. Vào những năm 80 của thế kỷ XX, lý thuyết hiệu chỉnh cho bài toán
không chỉnh tuyến tính đã được hoàn thiện. Đến năm 1989, lý thuyết hiệu chỉnh
cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến được phát triển mạnh. Cũng vào thời
gian này, phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh được áp dụng trong khử
nhiễu và làm rõ ảnh. Khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov kinh điển,
phiếm hàm cần cực tiểu trong phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh nói
chung không khả vi. Bước phát triển tiếp theo của lý thuyết hiệu chỉnh là hiệu
chỉnh không lồi, khi phiếm hàm cần cực tiểu hóa không lồi. Mô hình hiệu chỉnh
không lồi khởi nguồn từ thống kê và lý thuyết lấy mẫu.
Trong trường hợp toán tử F là tuyến tính, tự liên hợp và không âm, bài toán
tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn tương đương với việc giải phương trình
F ∗ F u + αu = F ∗ yδ .

Tuy nhiên, trong trường hợp này, người ta có thể xét phương trình đơn giản hơn
F u + αu = yδ .

Phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh từ phương trình đơn giản trên gọi là phương
pháp Lavrent’ev (hoặc Lavrentiev). Một số tác giả còn gọi là phương pháp
Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhiễu kì dị. Phương pháp Lavrent’ev áp
dụng cho phương trình với toán tử đơn điệu hoặc gần đơn điệu. Đây là phương
pháp khá thích hợp để nghiên cứu bài toán ngược tự chập.
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và trình bày hai phương pháp hiệu
chỉnh giải phương trình tích phân tự chập là phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev
và phương pháp hiệu chỉnh địa phương. Ngoài phần lời nói đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về phép tính vi phân
trong không gian tuyến tính định chuẩn, khái niệm bài toán đặt chỉnh và bài
toán đặt không chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev.
vi


Lời nói đầu

Chương 2: Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với
toán tử gần đơn điệu
Trong chương này, dựa vào bài báo [9] trong mục Tài liệu tham khảo, chúng
tôi trình bày việc thiết lập ước lượng sai số của phương pháp Lavrent’ev để giải
bài toán đặt không chỉnh trong không gian Hilbert với các toán tử phi tuyến
gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet tại nghiệm chính xác là accretive. Một
quy tắc tiên nghiệm về việc chọn tham số của phép hiệu chỉnh được trình bày
và tương ứng là ước lượng sai số được thiết lập. Luận văn cũng đề cập tới phép
rời rạc hóa bài toán.
Chương 3: Hiệu chỉnh địa phương
Trong chương này, dựa vào bài báo [4] trong mục Tài liệu tham khảo, chúng
tôi trình bày lí thuyết hiệu chỉnh địa phương cho bài toán ngược tự chập. Đã
chứng minh được sự hội tụ và tính đặt chỉnh của bài toán hiệu chỉnh, cũng như
trình bày đánh giá sai số của phương pháp.
Do thời gian và kiến thức của học viên có hạn, luận văn này không tránh khỏi
sai sót. Rất mong được các thày cô và các bạn học viên góp ý để luận văn được
hoàn thiện.

vii

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính định chuẩn

1.1.1

Một số không gian định chuẩn

1. Không gian Rnp với x = (x1 , x2 , ..., xn ) và chuẩn
1/p

n

x

p

|xi |p

=
i=1

trong đó p là một số thực bất kì: 1 ≤ p < +∞.
2. Không gian các dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) và chuẩn
1/p

∞

x

p

|xi |p

=

< ∞.

i=1

3. Không gian các hàm Lp [a, b] trong đó mỗi phần tử là các hàm đo được x(s)
có xp (s) khả tích với chuẩn được xác định như sau
 b
1/p


x

Lp

|x(s)|p

=



< ∞.



a

4. Không gian các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và
x

C[a,b]

= max |x(s)|.
s∈[a,b]

5. Không gian Sobolev
Cho Ω là miền giới nội trong Rn và x ∈ C l (Ω) là hàm khả vi liên tục đến
1


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

cấp l. Vì Ω là compact, cho nên với mỗi l = 0, 1, 2, ... ta có C l (Ω) ⊂ Lp (Ω).
Do đó ta xác định được chuẩn
x

Wpl (Ω)

=






Dα x
|α|≤l

1/p


p
Lp (Ω) 

,

với mỗi x ∈ C l (Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev W l,p (Ω) là không gian C l (Ω) được làm đầy đủ trong
chuẩn trên. Ta có
∀x ∈ C l (Ω) : x
1.1.2

Lp (Ω)

≤ x

W l,p (Ω) .

Một số khái niệm liên quan

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian Banach thực. Không gian L(X, R) gồm
tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X kí hiệu là X ∗ và gọi là không gian đối
ngẫu của X với chuẩn tương ứng f

X∗

= f

L(X,R)

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian Banach thực. Khi đó X gọi là phản
xạ nếu tồn tại một đẳng cấu giữa X và X ∗∗ .
Định lí 1.1.1 (Định lí biểu diễn Riez). Với mọi không gian Hilbert H ta có
H∗

H. Do đó mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ.
∗

Định nghĩa 1.1.3. Toán tử đa trị F : X → 2X được gọi là toán tử đơn điệu
nếu
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0

∀x, y ∈ X và x∗ ∈ F (x), y ∗ ∈ F (y).

Tập xác định của F là D(F ) = {x ∈ F : F (x) = ∅}.
Ví dụ 1.1.1.
(i) Cho H là không gian Hilbert thực và F : H → H ∗ ≡ H là ánh xạ tuyến tính,
khi đó F đơn điệu nếu và chỉ nếu nó là toán tử dương: F (x), x ≥ 0, ∀x.

2


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

(ii) Cho D là tập con khác rỗng của R. Hàm số ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử
đơn điệu nếu và chỉ nếu ϕ là đơn điệu không giảm, tức là,
[ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )](t2 − t1 ) ≥ 0 ∀t1 , t2 ∈ D nếu và chỉ nếu ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 ) ∀t1 < t2 .

Định nghĩa 1.1.4. Toán tử F : D(F ) ⊂ X → X được gọi là toán tử accretive
nếu
x − y ≤ (x − y) + λ(F x − F y)
1.1.3

∀x, y ∈ D(F ), λ ≥ 0.

Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. F : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X .
Định nghĩa 1.1.5. Toán tử F khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x0 nếu tồn tại
một ánh xạ tuyến tính liên tục A(x0 ) : X → Y sao cho
F (x0 + h) − f (x0 ) = A (x0 ) [h] + φ (x0 , h)

trong đó lim

h →0

φ(x0 ,h)
h

= 0.

Khi đó
(i) A(x0 )[h] gọi là vi phân Fréchet của toán tử F tại x0 . Kí kiệu là dF (x0 , h) =

A(x0 )[h].

(ii) Toán tử A(x0 ) : X → Y xác định bởi h → A(x0 )[h] gọi là đạo hàm Fréchet
của toán tử F tại x0 . Kí kiệu là F (x0 ) = A. Vậy dF (x0 , h) = F (x0 )[h].
Định lí 1.1.2. Một toán tử xác định trên một tập con mở của không gian Banach
là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh. Cho A là một tập mở trong không gian Banach X . Toán tử F :
A → Y . Lấy x ∈ A và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ A, h < ε thì
F (x + h) − F (x0 ) = Ah + φ(x, h) → 0 khi h → 0.

Suy ra F liên tục tại x.
3


Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh - Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, (2005).
[2] P. Bakushinsky, A. Smirnova, On application of generalized discrepancy
principle to iterative methods for nonliear ill-posed problems, Numerical
Func. Anal. and Optimization 26 (2005) 35-48.
[3] J. Baumeister, Deconvolution of appearance potential spectra, In:
R.Kleinmann, et al.(eds): Direct and inverse boundary value problems. Proc.
Conf. Oberwolfach. Lang, Frankfurt am Main (1991) 1-13.
[4] Z. Dai and P. K. Lamm, Local regularization for the nonlinear inverse autoconvolution problem. Siam J. Numer. Anal. 46 (2008) 832-868.
[5] G. Fleischer, B. Hofmann, On inversion rates for the autoconvolution equation, Inverse Problems 12 (1996) 419-435.
[6] G. Fleischer, R. Gorenflo, B. Hofmann, On the autoconvolution equation
and total variation constraints, Z. Angew. Math. Mech 79 (1999) 149-159.
[7] G. Fleischer, R. Hofmann, The local degree of ill-posedness and the autoconvolution equation, Nonlinear Analysis, Theory, Methods Application
Vol.30, No.6, (1997) 3323-3332.
[8] R. Gorenflo and B Hofmann, On autoconvolution and regularization, Inverse Problems 10 (1994) 353-373.

46


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[9] J. Janno, Lavrent’ev regularization of ill-posed problems containing nonlinear near-to-monotone operators with application to autoconvolution equation, Inverse Problems. 16 (2000), 333-348.
[10] P. K. Lamm, Approximation of ill-posed Volterra problems via predictorcorrector regularization methods, SIAM J. Appl. Math. 195 (1995) 469-494.
[11] M M Lavrent’ev, Some Improperly Posed Problems of Mathematical
Physics, Springer Tracts in Natural Philosophy vol 11 (1967).
[12] F. Liu, M. Z. Nashed, Convergence of regularized solutions of nonlinear
ill-posed problems with monotone operators, Partial Differential Equations
and Applications (1996) 353-361.
[13] P. Mahale, M. T. Nair, Iterated Lavrent’ev regularization for nonliear illposed problems, ANZIAM Journal 51 (2009) 191-217.
[14] J. A. Nohel, D. F. Shea, Frequency domain methods of Volterra equations,
Adv. Math. 22 (1976) 278-304.
[15] H. Tanabe, Equations of Evolution, London: Pitman 1979.
[16] L. von Wolfersdorf and J. Janno, On a class of nonlinear convolution equation, Z. Anal. Anw 14 (1995) 497-508.

47