Hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại I

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
––––––––––––––––––––



MAI THỊ NGỌC HÀ





HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I


Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------  ----------



MAI THỊ NGỌC HÀ



HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I


Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36


TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học:




Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG





Phản biện 1: ...............................................

Phản biện 2: ...............................................




Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận
văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN
Ngày tháng năm 2009




Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên
♥♦♥
✶

▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✹
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✼
✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✶✳✷✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✶✳✹✳ ❙ù ❤é✐ tô tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✶✳✺✳ ❚♦➳♥ tö tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✷ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✶✸
✶✳✸ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✹ ❙ù tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tö ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✶✳✺ ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐
■ ✷✹
✷✳✶ ◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✷✹
✷✳✶✳✶✳ ❈➡ së ❧ý t❤✉②Õt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✷✳✶✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✷✳✶✳✸✳ ❘ê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✷
✷✳✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤
♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✷✳✸ ❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝ô t❤Ó ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹
❑Õt ❧✉❐♥ ✹✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✽
✸
ở
ề ề ọ ệ tế s t ế ệ
t ệ ủ ú ổ ị t ữ ệ
tứ ột t ổ ỏ ủ ữ ệ s ột ủ ữ ệ

ó tể ế sự s rt ớ ột ủ ệ t í
t trở ệ ị ờ t ó ữ t
ó t ỉ s
số ệ tờ ợ t t tự ệ q
tr s ó ợ ử ý tr tí ú tr ỏ
s số í ì tế t r ó ữ ổ
ị t t ỉ s s số ủ ữ ệ ỏ
tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ ú ủ t t
t ữ ờ ó t ề ó ý tết t t
ỉ rt s
r ổ ủ ú t sẽ ề ế ột
t t ỉ ó ó ứ ụ ớ tr t t s
từ ĩ tt
ó trì tí tế tí r

b
a
K(t, s)x(s)ds = f
0
(t), t [c, d],
< a < b < +, < c < d < +
ở ệ ột x
0
(s) ế f
0
(t) ột số trớ
K(t, s) ủ tí ù ớ K/t ợ tết
tụ trớ
sẽ ứ ệ ỉ tố ộ ộ tụ ủ

ệ ệ ỉ ệ ệ ỉ ợ ỉ ữ ề
ệ ủ trì tí tế tí tr s ó r
ết q số ọ
ộ ồ ết ố ù
t ệ t
s trì ột số ệ ủ tí
ú t trì ệ ề t t ỉ ỉ r
r t tì ệ ủ trì tí r
t t ỉ ố ù ú t trì tó tt ệ ự
ệ ỉ tổ qt ể t t ỉ
trì ề ệ ệ ỉ ủ trì tí
tế tí tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ỉ ữ ề
tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ữ ề ồ tờ ỉ r
tố ộ ộ tụ tốt t ố ù ú t r ột số ết q
số ọ
tỏ ò ết t s s t tớ P
ễ ờ ờ t tì ỉ t ề ệ ú ỡ t ó
t ề ế tứ ứ tổ ợ t ệ ờ ó
t ó tể t ợ
ũ ử ờ t tớ ễ ị ỷ
rờ ọ ọ ệt tì ú
ỡ t tr sốt q trì
tỏ ò ết tớ tt t trự tế
tr ị t ữ ế tứ tr sốt q trì t ọ
t t trờ t tr ộ ý t
tr ọ trờ ọ
t ề ề ệ t ợ ú ỡ ộ t tr sốt q trì

❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳
◆❤÷♥❣ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ♠✉è♥ ❣ö✐ tí✐ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ ②➟✉

♥❤✃t tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ t➠✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ❝❤✐❛ s❰✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ r✃t ♥❤✐Ò✉
➤Ó t➠✐ ✈➢ît q✉❛ ❦❤ã ❦❤➝♥ ✈➭ ➤➵t ➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 10 ♥➝♠ 2009
❚➳❝ ❣✐➯
▼❛✐ ❚❤Þ ◆❣ä❝ ❍➭
✻

ột số ế tứ
ột số ế tứ ủ tí
ệ ị ý í ụ ết q tr ụ ợ t
ở t ệ [1] [2]
tr
ị ĩ tr ột tr ó ột
t ợ : X ì X R ột ị tr X ì X t
ề ệ s
ớ x, y X (x, y) 0, (x, y) = 0 x = y
ớ x, y X (x, y) = (y, x)
(x, y) (x, z) + (z, y),x, y, z X
ợ ọ ột tr ủ ỗ tử ủ Xợ
ọ ột ể ủ số (x, y) ợ ọ ữ
ể
ị ĩ ó

x
n


n=1
ữ tử ủ tr
ộ tụ ế tử x

0
X ế
lim
n
(x
n
, x
0
) = 0,
í ệ lim
n
x
n
= x
0
.
ị ĩ

x
n


n=1
X ợ ọ s
ế
> 0,n
0
N s i, j n
0
ó (x

i
, x
j
) <

tr (X, ) ợ ọ ủ ế ọ
s tr X ề ộ tụ ế ột tử tộ X
ị ĩ ột t M tr tr X ợ ọ
t ế ọ

x
n


n=1
M ề ó ứ ột

x
n
k


k=1
ộ tụ ế ột ể tộ M
r C
[a,b]
ột t M ế t ị ý s
ị ý ị ý rs s
M C
[a,b]

ỉ ó ớ ộ ề tụ ồ


ị ĩ sử trờ số tự R ợ X rỗ
ù ớ ọ é ộ é ớ
Pé ộ í ệ
X ì X X
(x, y) x + y
Pé ớ í ệ
R ì X X
(, x) .x
ọ tế tí tr R é t tự ế
é t ộ ớ t tí t s
x, y X, x + y = y + x
x, y, z X, x + (y + z) = (x + y) + z
ớ tử 0 X t ó x X, x + 0 = 0 + x
ớ ỗ x X tồ t tử x X : x + (x) = 0

✺✮ ∀α, β ∈ R,∀x ∈ X : α.(β.x) = (α.β).x❀
✻✮ ∀x ∈ X : 1.x = x❀
✼✮ ∀α, β ∈ R, x ∈ X t❛ ❝ã✿ (α + β).x = α.x + β.x❀
✽✮ ∀β ∈ R, x, y ∈ X : β.(x + y) = β.x + β.y✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳ ●✐➯ sö ❳ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ R✳ ❍➭♠ sè✿
.✿ X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❝❤✉➮♥ tr➟♥ X ♥Õ✉ ♥ã t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
s❛✉✿
✶✮ x ≥ 0,∀x ∈ X;x = 0 ⇔ x = 0❀
✷✮ ∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y❀
✸✮ ∀β ∈ R;∀x ∈ X : β.x = |β|.x✳
▼ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét
❝❤✉➮♥ tr➟♥ ♥ã✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✳ ◆Õ✉ ➤➷t✿ ρ(x, y) = x− y t❤× (X, ρ) trë t❤➭♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬② ➤ñ✳
✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ R✳ ▼ét tÝ❝❤ ✈➠
❤➢í♥❣ tr♦♥❣ X ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ., . : X × X → R t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
s❛✉✿
✶✮ x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0❀
✷✮ x, y = y, x, ∀x, y ∈ X❀
✸✮ αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R❀
✹✮ x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❝ï♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ., . ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ t✐Ò♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✾
ét ớ x =


x, x

tì trở t ị

ị ĩ tề rt ủ ợ ọ
rt
í ụ L
p
[a, b] tr ó ỗ tử
ợ s ó x
p
(s) tí ớ ợ ị s
x

L
p
=


b
a
|x(s)|
p
ds

1/p
< + (1.1)
ớ t ó rt
ệt W
1
2
ồ ữ f L
2
[a, b] s
f

L
2
[a, b] ớ
f
2
W
1
2

= f
2
L
2
+ f


2
L
2
<
rt
s tụ tr
x
C
[a,b]
= max
s[a,b]
|x(s)| (1.2)

ự ộ tụ tr
ị ĩ X ị

x
n

X ợ
ọ ộ tụ ế ột tử x
0
X n ế x

n
x
0
0
n ộ tụ t ợ ọ ộ tụ
í ệ lim
n
x
n
= x
0
x
n
x
0
.
ị ĩ X ị X


ợ ủ ó ó

x
n

X ộ tụ ế ế x
0
X ế f X

ó f(x
n

) f(x
0
) n í ệ x
n
x
0
.

ừ ộ tụ s r ộ tụ ế ợ từ ộ tụ ế s r ộ tụ
ỉ ị ữ ề

x
n

M
ớ ột t tr
tử tr
ị ĩ tế tí t ì
tử A : X Y ọ tế tí ế
A(x + y) = Ax + Ay ớ x, y X
A(x) = Ax ớ x X, R
ế f : X R ột t tử tế tí tì t ó f ột ế
tế tí
ị ĩ sử ị ột t
tử tế tí A : X Y ọ tụ ế từ x
n
x
0
é t
Ax

n
Ax
0

ị ĩ tử tế tí ọ ị ớ ộ ế ó
ột số K > 0 ể
(x X),Ax Kx
ột t tử tế tí ị tì tụ ợ
ị ĩ tử tế tí A : X Y ớ X Y
ị ợ ọ t tử t tụ t tử
t ế ó ế ỗ t ó ị t t t ĩ
ế x
n
K(n = 1, 2, ....) é t sự tồ t ột

Ax
n
k

ộ tụ
í ệ K(X, Y ) t tt t tử t tụ từ
ễ t K(X, Y ) B(X, Y ) ở B(X, Y ) t tt t
tử tế tí tụ từ
r ề ế ột t tử t tụ

t❤× A
−1
❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✶✳ ✭❇æ ➤Ò ❚✐❦❤♦♥♦✈✮ ✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❞➱♥✮
❈❤♦ ❳ ✈➭ ❨ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤✳ ❈❤♦ t♦➳♥ tö A : X → Y ➤➢❛ t❐♣

X
0
⊆ X ❧➟♥ Y
0
= A(X
0
)✳ ◆Õ✉ ❆ ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤✱ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ X
0
❧➭ ♠ét t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ X✱ t❤× A
−1
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ Y
0
❧➟♥ X
0
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✻✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ f(x) tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥♥❛❝❤ X ♥❤➢ s❛✉✿ ❚×♠ ♣❤➬♥ tö x
0
∈ X s❛♦ ❝❤♦
f(x
0
) = inf
x∈X
f(x). (1.3)
❉➲②

x
n


➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ t✐Ó✉ tr➟♥ ✭❝ñ❛
♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❢✮✱ ♥Õ✉
lim
n→∞
f(x
n
) = f(x
0
)
➜✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿
∀ > 0,∃N() : ∀n > N(), f(x
0
) −  ≤ f(x
n
) ≤ f(x
0
) + ✳
✶✳✶✳✻✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤
➜Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ tå♥ t➵✐ ♥❤✐Ò✉
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳❚✉ú ➤➷❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ tõ♥❣ ♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè✱ t❛ ❝ã t❤Ó
❝❤ä♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭♦ ❝❤♦ ❝ã ❧î✐ ❤➡♥ ❝➯✳ ❑❤✐ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➲
➤➢î❝ rê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ t❛ t❤➢ê♥❣ sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣
✈➭ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè✳ ❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➝♥ ❜❐❝ ✷✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝ ❝ã t❤Ó ①❡♠ tr♦♥❣ ❬✷❪✳
• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
❈❤♦ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè Ax = b ✈í✐ ❆ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ ♥
➤è✐ ①ø♥❣ ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ ❈➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❆ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ a
ij
✈➭
b = (b

1
, b
2
, ...., b
n
)
T
❧➭ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ✈Ð❝t➡ ❤➭♥❣✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♠❛
✶✷
tr❐♥ A = U
∗
U ✈í✐
U =









u
11
u
12
u
13
. . . u
1n

0 u
22
u
23
. . . u
2n
0 0 u
33
. . . u
3n
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳ . . .
✳
✳
✳
0 0 0 . . . u
nn










.
✈➭ U
∗
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ U✳ ❈➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ u
ij
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➬♥
❧➢ît t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉
u
11
=
√
a
11
, u
1j
=
a
1j
u
11
, j = 2, 3, ...n;
u
ii
=





a
ii
−
i−1

k=1
u
2
ki
, i = 2, 3, ...., n;
u
ij
=
1
u
ii
(a
ij
−
i−1

k=1
u
ki
u
kj
), i < j; u
ij
= 0, i > j.

❉♦ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Ax = b ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ U
∗
y = b
✈➭ Ux = y✳ ▲➬♥ ❧➢ît ❣✐➯✐ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ t❛♠ ❣✐➳❝
t❛ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①✳
✶✳✷ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ➤➢î❝ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ➤➢❛ r❛ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ✈Ò ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❧➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✭①❡♠ [6]✮✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ●✐➯ sö ❳ ✈➭ ❨ ❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈í✐ ❝➳❝ ➤é ➤♦
t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ρ
X
(x
1
, x
2
) ❀ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ✈➭ ❆ ❧➭ t♦➳♥ tö tõ ❳ ✈➭♦ ❨✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤✿
Ax = f, f ∈ Y, (1.4)
✶✸
t tì ệ x X t ữ ệ f Y ợ ọ t t
ỉ tr tr (X, Y ) ế
f Y,x
f

X : A(x
f
) = f
x
f
ợ ị ột t
x
f
ụ tộ tụ
ị ĩ ế ột tr ề ệ tr t tì
t ọ t t ỉ
ú ý
ố ớ t tế tì ề ệ tứ
t ết t tế ề t t
ỉ
t tì ệ x ụ tộ ữ ệ f ĩ x = R(f )
ợ ọ ổ ị tr (X, Y ) ế ớ ỗ > 0 tồ t
ột số () > 0 s từ
Y
(f
1
, f
2
) () t
X
(x
1
, x
2
) ở

x
i
= R(f
i
), x
i
X, f
i
Y, i = 1, 2.
ột t ó tể t ỉ tr
t ỉ tr
r ề ứ ụ tì ế ủ tờ ợ ở
ĩ t trị í f t ỉ ết ỉ f

ủ ó t
f

f sử x

ệ ủ ớ f t ở f


tết r ệ tồ t 0 tì f

f ớ t t
ỉ tì x

ó ộ tụ ế x
í ụ t tì ệ ủ trì tí r
t t ỉ

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■✿

b
a
K(t, s)x(s)ds = f
0
(t), t ∈ [a, b], (1.5)
−∞ < a < b < +∞
ë ➤➞② ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ x
0
(s)✱ ✈Õ ♣❤➯✐ f
0
(t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❝❤♦ tr➢í❝ ✈➭
♥❤➞♥ ✭❤➵❝❤✮ K(t, s) ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ∂K/∂t ➤➢î❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ❝➳❝
❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ❚❛ ①Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s❛✉✿
• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶
A : C[a, b] → L
2
[a, b]
x(s) → f
0
(t) =

b
a
K(t, s)x(s)ds.
❙ù t❤❛② ➤æ✐ ✈Õ ♣❤➯✐ ➤➢î❝ ➤♦ ❜➺♥❣ ➤é ❧Ö❝❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
2
[a, b]✱ tø❝ ❧➭

❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f
1
(t) ✈➭ f
2
(t) tr♦♥❣ L
2
[a, b] ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
ρ
L
2
[a,b]
(f
1
, f
2
) =


b
a
|f
1
(t) − f
2
(t)|
2
dt

1/2
.

●✐➯ sö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (1.5) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ x
0
(s)✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐
f
1
(t) = f
0
(t) + N

b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (1.5) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ x
1
(s) = x
0
(s) + Nsin(ω.s)✳ ❱í✐ N ❜✃t ❦×✱
ω ➤ñ ❧í♥ t❤× ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f
0
, f
1
tr♦♥❣ L
2
[a, b] ❧➭✿
ρ
L
2
[a,b]
(f
0

, f
1
) = |N|


b
a


b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds

2
dt

1/2
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t✿
K
max
= max
s∈[a,b] t∈[a,b]
|K(t, s)|
❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝
ρ
L
2
[a,b]
(f
0

, f
1
) ≤ |N|


b
a

K
max
.
1
ω
.cos(ω.s) |
b
a

2
dt

1/2
≤
|N|.K
max
.c
0
ω
.
✶✺
ë ➤➞② c

0
❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥ N ✈➭ ω ❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣
N
ω
❧➵✐ ♥❤á✳
❑❤✐ ➤ã✿
ρ
C[a,b]
(x
0
, x
1
) = max
s∈[a,b]
|x
0
(s) − x
1
(s)| = |N|
❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳
• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
x(s) → f
0
(t) =


b
a
K(t, s)x(s)ds,
❑❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ x
0
, x
1
tr♦♥❣ L
2
[a, b] ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳
❚❤❐t ✈❐②✱
ρ
L
2
[a,b]
(x
0
, x
1
) =


b
a
|x
0
(s) − x
1
(s)|
2

ds

1/2
= |N|


b
a
sin
2
(ω.s)ds

1/2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a)).cos(ω(b + a)).
❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② ❤❛✐ sè N ✈➭ ω ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) r✃t

♥❤á ♥❤➢♥❣ ✈➱♥ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ρ
L
2
[a,b]
(x
0
, x
1
) r✃t ❧í♥✳ ◆❤➢ ✈❐② sù t❤❛② ➤æ✐ ♥❤á
❝ñ❛ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ❞➱♥ ➤Õ♥ sù t❤❛② ➤æ✐ ❧í♥ ✈Ò ♥❣❤✐Ö♠✳ ❉♦ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣
❝❤Ø♥❤✳
✶✳✸ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥
Ax = f
0
, (1.6)
tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
Y ✈➭ f
0
∈ Y ✳ ➜Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (1.6) tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t
❆✳◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠í✐✳ ➜ã ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤
✶✻
ự tr ệ ự t tử ệ ỉ ọ ột trị ủ ột
t số ớ [4] [5]
sử A
1
tụ t f
0
t ết f

: |f

f
0
| 0
t t r ự t t ề (A, f

) ứ s số tì ột
tử ỉ ệ í x
0
õ r tể ị
tử ỉ x

t q t x

= A
1
.f

ì tứ t A
1
ó tể
ị ớ f Y tứ A
1
tụ A
1
f

ế tồ t ũ

ỉ A
1
f
số ỉ t ứ ộ s số ế ủ (1.6) ì ề
t r ó tể ự tử ỉ ụ tộ ột t số ó
t số ợ ọ t tí ớ s 0 tì tử
ỉ ộ tụ tớ ệ í x
0

tồ t ột t tử t ộ từ Y
X t q t ớ ỗ f

Y t ó tử ỉ tộ X
ị ĩ tử R(f, ) ụ tộ t số t ộ từ Y
X ợ ọ ột t tử ệ ỉ trì (1.6) ế
ồ t số
1

1
s t tử R(f, ) ị ớ
ọ (0,
1
) ớ ọ f Y :
Y
(f, f
0
) , (0,
1
)
ồ t ột sự ụ tộ = (f, ) s > 0 ()

1
:
f Y,
Y
(f, f
0
)
1
=
Y
(x

, x
0
) ở x

R(f, (f, ))
ú ý
r ị ĩ ò ỏ tí trị ủ t tử R(f, )
P tử x

R(f

, ) ợ ọ ệ ệ ỉ ủ
trì (1.6) ở = (f

, ) = () ợ ọ t số ệ ỉ
ễ t từ ị ĩ tr ệ ệ ỉ ổ ị ớ ữ
ệ

ị ĩ ệ tì ệ ỉ ụ tộ tụ
ế ủ (1.6) ồ ớ
ì t tử ệ ỉ R(f, )
ị trị ủ t số ệ ỉ ự t t ủ
t ề tử f

s số
P tì ệ ỉ t q t tr ọ
ệ ỉ
í ụ P ợ sử ụ từ tờ t t
ổ ể í trị z =
df(t)
dt
tr tr t ỉ ết ú
z tí ợ ự tỷ s
R(f, ) =
f(t + ) f(t)

ế t f(t) t ết ỉ ủ ó f

(t) = f(t) + g(t) ở
|g(t)| ớ ọ t ó
R(f

, ) =
f(t + ) f(t)

+
g(t + ) g(t)

0 t ợ
f(t + ) f(t)

z.
ố tứ ợ ở
|
g(t + ) g(t)

|
2

.
ế ọ =

()
ớ () 0 0 tì 2


= 2() 0 ì
ớ
=
1
() =

()
, R(f

,
1
()) z.

ự tồ t t tử ệ ỉ
sử (1.6) ó ột ệ t x
0
ế f
0
í
ế ế f

ỉ ết ỉ
Y
(f

, f
0
) 0 tì ệ tì tử x

ỉ ệ x
0
ợ ớ tr t
Q

=

z X,
Y
(Az, f

)

(1.7).
x
0
Q

ể tì ợ tử x

ớ ỗ s t x

x
0
0 ờ t r ột ý ự tr q t ự tể ế
ệt ợ ọ ế ổ ị [1]
ị ĩ Pế (x) 0 ị tr X
1
X X
1
= X
ợ ọ ế ổ ị ế
x
0
D() ề ị ủ
d
0
> 0 X
d
0
1
=

z X
1
: (z) d
0

ột t t
ó ột ế t ó tể tế ệ tì ệ
ỉ z

ự ệ t
(z

) = inf
zQ
1

(z), Q
1

= Q

X
1
. (1.8)
P tử z

ế ó tồ t ó tể ết q ủ ột sự t ộ
f

Y ở ột t tử

R ó ụ tộ t số ó ĩ
z

=

R(f

, ) ó

R(f

, ) ột t tử ệ ỉ trì
(1.6)
X H ột rt B t ó ủ H f(z)
ột ế tụ tr H
ét ế ụ tộ t số

(z) = f(z) + .(z), > 0 (1.9)
ó t ó

ị ý ồ t tử z B X
1
s

(z) = inf
zBX
1

(z) (1.10)

ự tồ t tử z

ủ t ợ s r từ ị ý tr
f 0 = 1 [1]
ự tt t ệ ỉ
ị ĩ Pế
M

[z, f

] =
2
Y
(Az, f

) + .(z) (1.11)
ọ ế tr tr ó
Y
(Az, f

) ọ ộ ớ ủ
trì Az = f

(z) ột ế ổ ị
ét t ự tể ế M

[z, f

] tr ó t số ợ
ị từ ề ệ

Y
(Az, f

) = . (1.12)
t
R
1
(f

, ) =

z

: M

[z

, f

] = inf
zX
1
M

[z, f

]

. (1.13)

sẽ ứ tỏ R
1
(f

, ) ột t tử ệ ỉ trì Az = f.
ị ý A ột t tử tụ từ
rt tr (z) ột ế ổ ị ị
tr X
1
H ó ớ f Y > 0 tồ t tử z

ự tể
ế M

[z, f] ó ĩ
M

[z

, f

] = inf
zX
1
M

[z, f

] (1.14)
ớ f Y ớ > 0 ị ột t tử R

1
(f, ) ó
tộ X H s tử z

= R
1
(f, ) ự tể ế
M

[z, f]

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱× M
α
[z, f] ❦❤➠♥❣ ➞♠ ♥➟♥ tå♥ t➵✐
M
α
1
:= inf
z∈X
1
M
α
[z, f].
❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞➲②

z
α
n

⊂ X

1
: M
α
n
:= M
α
[z
α
n
, f] → M
α
1
❦❤✐ n → +∞✳ ❚❛
❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳
α.Ω(z
α
n
) ≤ ρ
2
Y
(Az
α
n
, f) + α.Ω(z
α
n
) = M
α
n
≤ C, ∀n

⇒ Ω(z
α
n
) ≤
C
α
= r
❱× ✈❐② ❞➲②

z
α
n

t❤✉é❝ t❐♣ X
r
1
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❉♦ ✈❐② tõ ❞➲② ➤ã t❛ ❝ã
t❤Ó rót r❛ ♠ét ❞➲② ❝♦♥

z
α
n
k

❤é✐ tô tí✐ ♣❤➬♥ tö z
α
∈ X
1
✳ ❑❤✐ ➤ã✿
M

α
n
k
:= M
α
[z
α
n
k
, f] −→ M
α
[z
α
, f] = M
α
1
❱❐② z
α
∈ M
α
[z, f].
✷
❑Ý ❤✐Ö✉✿ T
δ
❧➭ ♠ét ❧í♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥
➤♦➵♥ [0, δ]✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✳✷✳ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ tô❝ tõ X ✈➭♦ Y ✈í✐ x
0
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Ax = f✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ∀ > 0 ✈➭ ❤❛✐
❤➭♠ β

1
(δ), β
1
(δ) ❝è ➤Þ♥❤ tõ ❧í♣ T
δ
1
s❛♦ ❝❤♦ β
2
(0) = 0 ✈➭
δ
2
β
1
(δ)
≤ β
2
(δ) (1.15)
tå♥ t➵✐ ♠ét sè δ
0
= δ
0
(, β
1
, β
2
)✱ ➤Ó ✈í✐ ♠ä✐
˜
f ∈ Y ✈➭ δ ≤ δ
0
: ρ

Y
(
˜
f, f
0
) ≤ δ
✈➭ α t❤♦➯ ♠➲♥✿
δ
2
β
1
(δ)
≤ α ≤ β
2
(δ) (1.16)
t❛ ❝ã ρ
X
(˜z
α
, x
0
) ≤ ✱ ë ➤➞② ˜z
α
∈ R
1
(
˜
f, α).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱× ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ M
α

[z,
˜
f] ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❦❤✐ z = ˜z
α
♥➟♥
M
α
[˜z
α
;
˜
f] ≤ M
α
[x
0
,
˜
f].
✷✶
❉♦ ➤ã✱
α.Ω(˜z
α
) ≤ M
α
[˜z
α
,
˜
f] ≤ M
α

[x
0
,
˜
f]
= ρ
2
Y
(Ax
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
)
= ρ
2
Y
(f
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
)
≤ δ
2
+ α.Ω(x
0
) = α


δ
2
α
+ Ω(x
0
)

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✿
δ
2
β
1
(δ)
≤ α −→
δ
2
α
≤ β
1
(δ) ≤ β
1
(δ
1
)✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿
δ
2
α
+ Ω(x
0

) ≤ β
1
(δ
1
) + Ω(x
0
) =: d
0
(d
0
= const).
❱❐② Ω(˜z
α
) ≤ d
0
✈➭ Ω(x
0
) ≤ d
0
✳ ❙✉② r❛ ˜z
α
, x
0
t❤✉é❝ ✈➭♦ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t
X
d
0
1
✳
❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉✿ Y

d
0
= AX
d
0
1
✳ ❉♦ A ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ X
d
0
1
✈➭♦ Y
d
0
✱
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Ax = f, f ∈ Y
d
0
❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ X
d
0
1
❧➭ ♠ét t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ X ♥➟♥ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ➳♥❤ ①➵ ♥❣➢î❝ A
−1
tõ Y
d
0
❧➟♥ X
d
0

1
❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳
➜✐Ò✉ ➤ã ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭✿ ∀ > 0 t×♠ ➤➢î❝ sè γ() > 0 s❛♦ ❝❤♦ tõ✿
ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ γ(), f
1
, f
2
∈ Y
d
0
s✉② r❛ ❝ã ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ✱ ë ➤➞② f
1
= Ax
1
, f
2
= Ax
2

✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ➤è✐ ✈í✐
˜
f
α
= A˜z
α
t❤×
ρ
2
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) = ρ
2
Y
(A˜z
α
,
˜
f) ≤ M
α
[˜z
α
,
˜
f]

≤ M
α
[x
0
,
˜
f] = ρ
2
Y
(Ax
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
) = ρ
2
Y
(f
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
)
≤ δ
2
+ α.Ω(x
0
).

❚õ α ≤ β
2
(δ) ❞➱♥ ➤Õ♥
ρ
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) ≤

δ
2
+ β
2
(δ).Ω(x
0
)

1
2
= ϕ(δ). (1.17)
✷✷