Chuyên đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG


CHUYÊN ĐỀ

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
Nhóm thực hiện:PhạmNguyễnTrungLợi,NguyễnTrầnÁiĐăng,

PhạmXuânPhước,HoàngVănThiên,NguyễnNhậtTân,
NguyễnThiênMinh,TrươngAnhKiệt,LêHoàngThi,
BùiVõNgọcQuếTrân,LêMỹDuyên
Lớp:11A2-P

Giáo viên hướng dẫn: TrầnThànhĐiểm
Năm học: 2015 – 2016


THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG
VÀ CẤP SỐ NHÂN
A. QUY NẠP.
I. Dạng bài toán chứng minh quy nạp

Đểchứngminh mệnhđềchứabiếnA(n) làmộtmệnhđềđúngvới mọi
giátrịnguyêndương,tathựchiệnnhưsau:
 Bước1:Kiểmtramệnhđềđúngvớin=1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý

(k≥1),chứngminhrằngmệnhđềđúngvớin = k + 1.
Chú ý:NếuphảichứngminhmệnhđềA(n)làđúngvớivớimọisốnguyên
dươngn ≥ pthì:
 Bước1,taphảikiểmtramệnhđềđúngvớin = p;
 Bước2,tagiảsửmệnhđềđúngvớisốnguyêndươngbấtkìn = k ≥ p
vàphảichứngminhmệnhđềđúngvớin = k + 1.

Chứngminhvớimọisốnguyêndương,taluôncó:
1 + 3 + 5 + … + (2 – 1) = ² (*)
Giải
Vớin=1:(*)⟺1=1²(mệnhđềđúng).Vậy(*)đúngkhin=1.
Giả sử (*) đúng với
= ( ≥ 1) ⟺ 1 + 3 + 5 + … +
(2 – 1) = ².
Tachứngminh(*)đúngvớin=k+1,tứclàchứngminh:
1 + 3 + 5 + … + (2 – 1) + [2( + 1) – 1] = ( + 1)²(**)
làmộtmệnhđềđúng.
Thậtvậy:
1 + 3 + 5 + … + (2 – 1) + [2( + 1) – 1]
= ² + [2( + 1) – 1]
= ² + 2 + 1 = ( + 1)² ⇒ (**)đúng.
Trang 2


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

⇒(*)đúng(đpcm).
II. Bài tập và đáp án.

1. Chứngminhbằngphươngphápquynạp:
a) 1.2 + 2.5 + . . . + . (3 − 1) = ( + 1),∀
b) 3
− 26 – 27 ⋮ 169,∀ ∈ ∗ (2)
c) + +
+⋯+(
=
,∀ ∈
)(
)
.

.

.

∗

∗

(1)

(3)



Giải:
a) Với = 1,(1)⟹1. 3.1 – 1
Giảsử(1)đúngvới = ( ≥ 1),tứclà:
1.2 + 2.5 + … + (3 − 1) = . ( + 1)

Tacầnchứngminh(1)đúngvới = + 1,tứclàchứngminh:
1.2 + 2.5 + … + (3 − 1) + ( + 1)[3( + 1) − 1]
= ( + 1) ( + 1 + 1)(*)
làmộtmệnhđềđúng
Tacó
1.2 + 2.5 + … + (3 − 1) + ( + 1)[3( + 1) − 1] =
k (k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1) (k + 2)

b) Với = 1, VT=676⋮ 169.
Giảsử(2)đúngvới=

≥ 1⟺ 3

Tacầnchứngminh(1)đúngvới
3

(

)

− 26 − 27 ⋮ 169.
=

+ 1,tứclàchứngminh:

− 26( + 1) − 27 ⋮ 169.(*)

làmộtmệnhđềđúng.
Tacó:
3

(

)

= 27(3

− 26( + 1) − 27 = 3

. 3 − 26 − 53

− 26 − 27) + 676 + 676 ⋮ 169

⟹(*)đúng⟹đpcm.
Trang 3


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

c) Với = 1,
= =
.
Giảsử(3)đúngvới =
⟺ + +
+ ⋯+ (
.

.

)(

.

)

=



Với = + 1,tacầnchứngminh:
+ +
+⋯+(
+(
)(
)
.

.

)(

.

)

=

(

)

(*)



Tacó:
1
1
1
1
1

+
+
+ ⋯+
+
(3 − 2)(3 + 1) (3 + 2)(3 + 4)
1.4 4.7 7.10
1
+1

=
+
=
3 + 1 (3 + 1)(3 + 4) 3 + 4
⟹(*)đúng⟹đpcm.
2. Gọialàmộtnghiệmcủaphươngtrình: − 3 + 1 = 0(1).
Chứngminhrằng =

+ làsốnguyênvới∀ ∈ ∗ .

Giải:
Vìalànghiệmcủa(1)nên
−3 +1=0 ⇔

+1=3 ⇔

Với = 1,

= 3làsốnguyên.

Với = 2,
nguyên

=

+

=

+

−2=

+

1

= 3

− 2 = 7làsố

Tacó:
=

+

1

⇔

=
=

+
.

Để chứng minh
=
+
thôngqua = .
−
Trang 4

1
−

+

1

−

(∗)∀ ∈

−
∗

1





là số nguyên, ta sẽ chứng minh
làsốnguyên.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

Giảsử(*)đúngvới =
nguyên.

≥ 2,tứclà:

=

Ta cần chứng minh (*) đúng với =
= . −
làsốnguyên.
Tacó ,
đpcm.

,

làsốnguyên⇒

.

−

làsố

+ 1, tức là chứng minh:

làsốnguyên⇒(*)đúng⇒

) ⋮ 133, (1)∀ ∈ ∗
Giải
Với = 1,tacó11 + 12 = 133 ⋮ 133
) ⋮ 133
Giảsử(1)đúngvới = ⇒ (11
+ 12
Tacầnchứngminh(1)đúngvới = + 1,tứclàchứngminh
11
+ 12 ( )
⋮ 133 (∗)

Tacó:
11
+ 12 ( )
= (11 . 11 + 12
. 12 )
= 11. 11
+ (133 + 11). 12

) + 133. 12
= 11. (11
+ 12
⋮133
⇒ (∗)đúng⇒đpcm.

3. Chứngminhrằng(11

+ 12



B. DÃY SỐ.
I. Định nghĩa
a) Định nghĩa dãy số:
- MỗihàmsốuxácđịnhtrêntậpcácsốnguyêndươngN*đượcgọilà
một dãy số vô hạn(gọitắtlàdãysố).Kíhiệu:
U:ℕ*→ℝ
→

( )

- Dãysốdạngkhaitriển:u1,u2,u3,…,un,…
Trongđóun=u(n)hoặcviếttắtlàsố hạng đầu,unlàsốhạngthứvàlà
số hạng tổng quátcủadãysố

Trang 5


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

VD:cácdãysố( )gồmcácsốtựnhiênlẻ1,3,5,7…cósốhạngđầu
= ,sốhạngtổngquát =
–
b) Định nghĩa dãy số hữu hạn:
- MỗihàmsốuxácđịnhtrêntậpM=[1,m]vớim∈N*đượcgọilàmột
dãy số hữu hạn.
- Dạngkhaitriểncủanólàu1,u2,u3,…,umtrongđóu1làsố hạng đầu,um
làsố hạng cuối.
VD:(

): 1,2,3,4,5,6làdãysốhữuhạncóu1=1,u6=6

II. Cách cho một dãy số:
1. Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát:
VD: chodãysố(Un)vớiun=
Cóu1=

.

= ;u2= ;u3=1;u4= ;u5=

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
VD:chosố =3,141592654
Tìmu1,u2,u3lầnlượtlàsốthậpphânsaudấuphẩy
Cóu1=3,1;u2=3,14;u3=3,141
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
VD:chounmà

=
=

+

vớin≥2

Tìmu1,u2,u3(ĐS:u1=5;u2=13;u3=29)

III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn:
1. Dãysốtăng,dãysốgiảm
Định nghĩa 1:

 Dãysố(un)đượcgọilàdãysốtăngnếutacóun+1>un∀
Trang 6

∈

*.

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

 Dãysố(un)đượcgọilàdãysốgiảmnếutacóun+1>un∀ ∈

*.

Chú ý:
Khôngphảimọidãysốđềutănghoặcđềugiảm.Chẳnghạn,dãysố(un)
vớiun=(-3)n,tứclàdãy-3,9,-27,81,...khôngtăngvàkhônggiảm.
2. Dãysốbịchặn
Định nghĩa 2:
 Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồntại một số M sao cho
un≤M,∀n∈N*.
 Dãysố(un)đượcgọilàbịchặndướinếutồntạimộtsốmsaocho
Un≥m,∀n∈N*
 Dãysố(un)đượcgọilàbịchặnnếunóvừabịchặntrênvừabịchặn
dưới,tứclàtốntạicácsốm,Msaochom≤un≤M,∀n∈N*

IV. Các công thức cần nhớ
(un) là dãy số tăng ⟺ un+1>unvới∀ N*
⟺un+1–un>0với∀ N*⟺
>1với∀

N*(un>0).

(un) là dãy số giảm ⟺ un+1

⟺un+1–un<0với∀ N*⟺
<1với∀

N*(un>0).

(un) là dãy số bị chặn trên ⟺ ∃M ∈ R: un≤ M, ∀n ∈ N*
(un) là dãy số bị chặn dưới ⟺ ∃m ∈ R: m ≤ un≤ M, ∀n ∈ N*
(un) là dãy số bị chặn ⟺ ∃M,m∈ R: m ≤ un≤ M, ∀n ∈ N*

V. Các dạng bài tập
1. Xác định các yếu tố của một cấp số cộng
Cách làm:Dùngcôngthức

hoặccôngthứctruyhồi

VD1:
a) Chodãysố(

)với

= .Tìmsốhạng

,

.
Trang 7


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

b) Chodãysốcácsốdươngchiacho5dư3sắpxếptheothứ tựtăng
dần.Tìmsốhạngthứ1000.
Giải
a)

=

= ;

=

=

= .

b) Dãysốlà3,8,13,…sốhạngtổngquátlà
∗

VD2:Chodãysố(

)xácđịnhbởi

=5(n-1)+3=5n-2,∀ ∈
=
−

=

;∀ ≥

.Tìm4số

hạngđầu.
Giải
Tacó:
=2

− 3 = 10 − 3 = 7

=2
=2

− 3 = 14 − 3 = 11
− 3 = 22 − 3 = 19


2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
Cách làm: Tính thử các số hạng đầu, dự đoán 1 hệ thức
Chứngminhhệthứcđóđúngvới∀ bằnghệthứcquynạp.
VD3:chodãysố

xácđịnhbởi:

Tìmsốhạngtổngquát

=

à∀

≥

,

=

= ( ).
−

.
Giải

Từ các giá trị , ,
,
đã tính toán từ VD2 , ta dự đoán: ∀ ∈
∗
, =2n+3(1)vìhệthứcđúngkhin=1,n=2,n=3,n=4,nêntaxét:
Giảsử(1)đúngvớin=k⇔
Trang 8

=2k+3.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

Xét

=

−

=

+

−

=

+



⇔(1)đú ngvớin=k+1
⇔(1)đú ng∀ ∈

∗

.

3. Xác định tính tăng giảm (tính đơn điệu) của dãy số.
Cách làm: nếudãysốđượcxácđịnhbằngcôngthứcthìsửdụngđịnh
nghĩahoặcphầnchúýtronglýthuyết.
Nếu dãy số được xác định bằng hệ thức truy hồi, thì ta sử dụng định
nghĩavàphépchứngminhquynạp.
VD 4:Xéttínhtănggiảmcủadãysố(
a)

=

b)

=

c)

=

)sau:




Giải

a) Tacó:∀ ,
b) Tacó:

=

Suyra: ∀ ,
Nêndãysố(
Tacó:

=

>

(

à
)

=
=

=
(đơ

−

−

=

−

< . Vậydãysốgiảm.
ả

ô

ứ

–

−

=

−

+

ố).

ã
−

>

)làdãysốtăng.
=

(

)

=

.

Suyra

Trang 9


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

−

=
=

+
+

−

+
−

+

−

+

+

=

−

+

( + )( + )

Tacó:hiệusốnàyâmkhi = vàdươngkhi
( )khôngtăngcũngkhônggiảm.
VD5:Xácđịnhtínhđơnđiệucủadãysố(
=
+

=

=

dođódãysố

)địnhbởihệthứctruyhồi:



;∀ ≥

Giải
Tachứngminh
Với = ,

−

−

>0(1), ∀ .

=( + )−

Giảsử(1)đúngvới =

=

> .Vậy(1)đúngkhi = .

≥ ,tứclà

Tacầnchứngminh(1)đúngvới =

−

> (2).

+ .

Tacó:
−

=

=

−

=(

−

+
+ (

)(

−
+

+

+



)

+ ) >

Theonguyênlýquynạp,(1)luônđúng,vậyđâylàdãysốtăng.
4. Xét tính bị chặn.
Cách làm: để chứng minh (
cho:
≤

) bị chặn, ta cần tìm hai số M và m sao
≤

, ∀ ∈ ℕ*

Nếu ( ) cho bởi hệ thức truy hồi thì ta dự đoán số
minhtínhbịchặnbằngphươngphápquynạp.
Trang 10

,

rồi chứng


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

VD6:Chứngminhcácdãysốsaubịchặn:
a)

=

b)

=

c)

= ,

+


=

+ , ∀ ≥



Giải
a) Tacó
Vì ≥
Vậy(

(

=

)

=3+

ê 0<

.

≤ =>3≤

+

=

.

)bịchặn.

Chú ý:vẫnđúngkhi0≤
− ≤
b) Vì
≤

≤
≤

Vậy− ≤

=

≤

+

=

, dođó−

≤

+

≤ .Vậy(

c) Chứngminh:(
>

Giảsử
Vậy(


≤

) ịchặn.

) > 0, ∀


> , xét
) >0, ∀

Chứngminh(


≤

=

+

> (đúng)



)<

,∀

=1<4

Giảsử

< , é

Vậy0<

<4,∀

=

+ <

+ =4

Trang 11


THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC


C. CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa:
Cấpsốcộnglàmộtdãysố(hữuhạnhayvôhạn)màtrongđó,kểtừsố
hạngthứhai,mỗisốhạngđềubằngtổngcủasốhạngđứngngaytrước

nóvàmộtsốdkhôngđổi,nghĩalà( )làcấpsốcộng.
∀ ≥ 2,
=
+
Số đượcgọilàcôngsaicủacấpsốcộng.

VD 1: Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, ..., 2n−1, ... là một cấp số cộngvới
côngsai =2.
VD 2:Dãysố−3,1,5,9,13,17,21,25làmộtcấpsốcộngvớicôngsai =4
II. Tính chất
Định lí 1:Nếu( )làmộtcấpsốcộngthìkểtừsốhạngthứhai,mỗisố
hạng(trừ sốhạngcuốiđốivớicấpsốcộnghữuhạn)đềulàtrungbình
cộngcủahaisốhạngđứngkềnótrongdãy,tứclà
+
=

2
III. Số hạng tổng quát
Định lí 2:Nếumộtcấpsốcộngcósốhạngđầu vàcôngsai thìsốhạng
tổngquát củanóđượcxácđịnhtheocôngthứcsau:
=
+ ( − 1)
IV. Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Định lí 3:Giảsử( )làmộtcấpsốcộng.Vớimỗisốnguyêndương ,gọi
Snlàtổng sốhạngđầutiêncủanó( = + +...+ ).Khiđótacó
( + ).

2

V. Các công thức cần nhớ

*(d:côngsai)
Côngthứctruyhồi:
=
+ ,∀
Tínhchất:
 Gọia,b,clầnlượtlàbasốhạngliêntiếpcủamộtcấpsốcộng
Tađược:
= b

 Sốhạngtổngquát:
Trang 12


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

=
+ ( − 1)
 Tổngnsốhạngđầutiên:
( +
)
[2 + ( − 1) ]
=
⟺
=
2
2

VI. Các dạng bài tập

1. Xác định các yếu tố của một cấp số cộng:
Phương pháp: Sửdụngcáccôngthứcvềcấpsốcộng.Cóbaonhiêuẩn
lậpbấynhiêuphươngtrình
VD 1:Chocấpsốcộng-7,-3,5,9,13,…Hãytính , ,
,

Giải
Tacó = −7, =
−
= 4.
Vậy:
=

+ 12 = −7 + 12.4 = 41
=(

+

).

13
= 221
2


2. Chứng minh một dãy số là cấp số cộng.
Phương pháp:
 Đểchứngminhbasốa,b,ctheothứtựlậpthànhmộtcấpsốcộngta

chứngminh + = 2 .
 Để chứng minh dãy số ( ) lập thành một cấp số cộng ta chứng
minh −
khôngđổivớimọin=2,3,…
VD 1: Cho dãy số ( ) như sau
= 6 − 5, với mọi n=1,2,... Chứng
minh rằng dãy số đó là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng thứ
2009củadãysốđãchovàtìm .
Giải

Trang 13


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

Tacó
Vậy(

−

= 6( + 1) − 5 − (6 − 5) = 6, ∀ = 1,2, …

)làcấpsốcộngcócôngsai = 6,sốhạngthứ2009là
= 6.2009 − 5 = 12049.

Tổng30sốhạngđầutiêncủacấpsốcộnglà
= (2.

+ 29 ).

30
= 15. (2 + 29.6) = 2640
2

VD 2:ChotamgiácABC.Chứngminhrằngnếua,b,clậpthànhcấpsố
cộngthìsin , sin , sin cũnglậpthànhcấpsốcộng.
Giải
Vì , , lậpthànhcấpsốcộngnên + = 2 .
Địnhlísintrongtamgiáccho = 2 . sin ,
2 . sin .Từđó:
2 . sin

+ 2 . sin

= 2.2. sin

= 2 . sin

⇒ sin

+ sin

, =
= 2. sin

Dođósin , sin , sin lậpthànhcấpsốcộng.
3. Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp cộng
VD 1:Cho , , làbasốhạngliêntiếpcủamộtcấpsốcộng.Chứng

minhrằng:
a)
+ 2 = +2


b) ( + ) + ( + ) + ( + ) = 4 + 2
Giải
Vì , , làbasốhạngliêntiếpcủacấpsốcộngnên + = 2
a) Tacóa + 2bc = a +c(a+c)=c + a(a + c) = c + 2ab
Trang 14


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

b) Tacó
( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) + . 2 + ( + )
= 2 +2 +
+
= 2 + 2 + ( + )
= 2 + 2 + . 2 = 4 + 2
Tacóđiềuphảichứngminh.
4. Sử dụng phương pháp tổng hợp
Tổ hợp và cấp số cộng:
VD: Tìmksaochocácsố ,
,
theothứtựlậpthànhmộtcấp
sốcộng.
Giải

Điềukiện5 ≥ ∈
+
=2

⇔
⇔(

!
)!

!(
)(

+
)

!
(

+

)!(
(

)(

=
)!
)

=

(

. !
(



)!

)!(
)(



)

⇔

+ 5 + 4 = 0.
=1
Vậy
(đềuthỏamãnđiềukiện)
= −4

VII. Bài tập và đáp án.
1. Xenvàogiữahaisố:4và40bốnsốđểdượcmộtcấpsốcộng?Tìmbốn
sốđó?
Giải

Nếuxen4sốvàogiữahaisốđểđượcmộtcấpsốcộngthìcấpsốđócó
6sốhạng.Theođầubàitacó:
40 − 4
= 4, = 40 ⇒ 40 = 4 + 5 ⟺ =
= 7,2
5
Vậy4sốthêmvàolà:11,2; 18,4; 25,6; 32,8.
2. Rútgọnbiểuthứcsau:
1
1
1
= 2+
+ 4+
+⋯+ 2 +

2
4
2

Trang 15


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

Giải
Tacó:
1
1

1
+ 16 + 2 +
+ ⋯+ 2 + 2 +
4
16
2
1 1
1
= (4 + 16 + ⋯ + 2 ) + 2 + +
+ ⋯+

4 16
2
Ápdụngcôngthứctínhtổngcủa sốhạngđầucủamộtcấpsốnhân,
tacó:
= 4+2+

1 2 − 1 4.4
2 −1
+2 + ×
=
+2 +
1
4
3
3.2
−1
4
4 − 1 4.4 + 1
=2 +

×

3
4
= 14
3. Chocấpsốcộng( )biết

= 130
a) Tínhsốhạngđầu vàcôngsaid.
b) Tính và .
c) Tính = + + +…+ .
d) 23làsốhạngthứmấycủacấpsốcộngtrên.
e) 85làtổngcủabaonhiêusốhạngđầutiêncủacấpsốcộngtrên.
=

4.4
3

Giải
= 14

= 130
+ 2 + + 4 = 14

a) Tacó:
⇔

13

+

.

= 130



2 + 6 = 14

13 + 78 = 130
=4
⇔
=1
b)
=
+ 9 = 4 + 9 = 13
⇔

Trang 16


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

=
c)

(

=
+
=( +

)

= 372

+ +⋯+

+⋯+
)−(

= 30.4 + 30.

+

− 3.4 + 3.

.

+

)=

−



. 1 = 555 − 15 = 540

d) Gọi = 23 ( ≥ 1)
23 =
+ ( − 1).
⇔ 23 −
= ( − 1).
⇔ 23 − 4 = ( − 1). 1
⇔ = 20
= 10

.
= −17
Vì ≥ 1nênchỉnhậnnghiệm = 10.
Vậy
= 85
4. Tínhtổngsau: = 105 + 110 + 115 + ⋯ + 995
Giải
Dãycácsố105, 110, 115, … , 995lậpthànhcấpsốcộng( )có =
105vàcôngsai = 5.
Tacó:995 =
=
+ ( − 1) = 105 + 5( − 1) ⇔ = 179
179
179
=
=
( +
)=
(105 + 995) = 98450
2

2
5. Chocấpsốcộng( )thỏamãn − +
= 10và +
= 17.
e)

= 85 ⇔ 4 +

(

)

= 85 ⇔

a) Tìmsốhạngđầutiênvàcôngsai.
b) Tínhtổngsốcủa20sốhạngđầutiên.
c) Tínhtổng ′ =

+

+. . . +

.
Giải

a) Gọidlàcôngsaicủacấpsốcộng(

),tacó

u − u + u = 10

u + u = 17

Trang 17


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

u + d) − (u + 2d) + (u + 4d) = 10

( u + (u + 5d) = 17
u + 3d = 10
⇔

2u + 5d = 17
u =1
⇔

d=3
Vậy,cấpsốcộng( )có = 1và = 3.
⇔

b) Tacó:

=

+

= 202[2

+. . . +



+ (20 − 1) ] = 202[2.1 + (20 − 1).3] = 590

c) Tacó:
Coiđâylàtổngcủacấpsốcộngvới
=

+

= 202. [2

+. . . +

=

;

=

= 1;

=

+ (20 − 1) ] = 202[2(1 + 4.3] + (20 − 1).3] = 830

6. Tìm đểbasố

+ 1, − 2, 1 − 3 lậpthànhmộtcấpsốcộng
Giải

Đểbasố

+ 1, − 2, 1 − 3 lậpthànhmộtcấpsốcộng,điềukiệnlà:
(

+ 1) + (1 − 3 ) = 2( − 2)
=2
⇔
−5 +6=0 ⇔
(nhậncảhainghiệm)
=3
Vậyvớix=2hoặcx=3thỏamãnđiềukiệnđầubài.
7. Xácđịnhsốhạngđầuvàcôngsaicủacấpsốcộng(
a)
= 27,
= 59
b) = 5 ,
= 2 + 5
Giải
Theogiảthiếttacó:
=

+ 6 = 27
=4
a)
⟺

=3
=
+ 14 = 59

Trang 18

)biết:


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

+8 = 5 +
⟺
+ 12 = 2( + 5 ) + 5
=4

=3
+
= 16
8. Chocấpsốcộngvới
và > 0.Tính .
. = 48
Giải

Ápdụngcôngthức: = + ( − 1)
TheođịnhlýVi-et, , lànghiệmcủaphươngtrình
=4
− 16 + 48 = 0 ⟺

= 12
=4
=4
Vậy:
hoặc

= 12
= 12
=4
+ (2 − 1) = 4
=2
Do > 0 ⇒
⇒
⇔
= 12
=2
+ (6 − 1) = 12
Suyra = 4. [2 + (8 − 1) ] = 72.
9.
a) Tìmcấpsốcộngmàtổngbasốhạngđầubằng27, vàtổngcácbình
phươngcủabasốhạngđóbằng275.
b) Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng = 3 + 4 .
Tìmcấpsốcộngđó
Giải
a) Theobàiratacóhệphươngtrình:

+ +
= 27

+ +
= 275
b)

=5
⟺
=2 +5
4 −3 =0
⟺
− 2 = −5

Ngoàira

(

).

= 27hay

+

= 18

Giảiratađược = 9.Dođó:
+
= 18
=5

⟺

= 13
+ = 194
Vậycấpsốcộngphảitìmlà5;9;13
Trang 19


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

b) Gọi( )làcấpsốcộngcầntìm.
Với = 1tacó: =
= 7.
Với = 2tacó: = +
=7+
= 20.Vậy = 13.
=7
Cấpsốcộngcầntìmcó

=6
10. Cho , , làbasốhạngliêntiếpcủamộtcấpsốcộng.Chứngminh:
a) Cácsố + + , + + , +ab+ cũnglàbasốhạngliên
tiếpcủamộtcấpsốcộng.
( + )+

b) (a+b+c) =

( + )+

( + )

Giải
a) Tacó:
( +
=

+

+

)+ (
+ 2(

+

) +

(

+
)

) = 2

+ ( + )+

+

=
+ + ( + ) = 2( + + )
Vậy các số + + , + + , +
hạngliêntiếpcủamộtcấpsốcộng.
b) Tacó (a+b+c) = (3b) = 6

+

cũng là ba số

và

( + ) + ( + ) + ( + )
( + ) + ( + ) + . 2
=
= 2
+ ( + ) −2
+ 2 = 6
Từđósuyrađẳngthứccầnchứngminh.
11. Cho3sốdươnga,b,c.Chứngminhrằngđiềukiệncầnvàđủđểdãy
số , , lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số
1
1
1
;
;
bc ca ab

làmộtcấpsốcộng.
Giải

Trang 20

Dãysố

1
1
1
làmộtcấpsốcộng
;
;
bc ca ab

⟺

−

=

−

⟺(

)(

)

=(

)(

)




CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

⟺
−
= −
⟺2 =
+
Vậy ; ; lậpthànhmộtcấpsốcộng
12. Chophươngtrình: + 3 − (24 + ) − 26 − = 0.Tìmhệthức
liênhệgiữamvànđể3nghiệmphânbiệt x1 , x2 , x3 lậpthànhmộtcấpsố
cộng?
Hướng dẫn
Vì 3 nghiệm phânbiệt : x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên ta có thể
đặt:
x1  x0  d , x2  x0 , x3  x0  d  d  0 .Theogiảthiếttacó:
x3  3x2   24  m  x  26  n   x  x1  x  x2  x  x3    x  x0  d  x  x0  x  x0  d 

 x 3  3 x0 x 2   3 x02  d 2  x  x03  x0 d 2

 x 

Đồngnhấthệsốởhaivếcủaphươngtrìnhtacóhệ:
  3 x0  3

 3 x02  d 2    24  m  
 3
2
  x0  x0 d   26  n

 x0   1
 x0   1

2
3  d   24  m  

m  n
1  d 2   26  n


Vậy với = thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành
cấpsốcộng.
13. (ĐH Thương mại – 2000) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có
cot , cot , cot theothứtựlậpthànhmộtcấpsốcộngthì , ,
cũnglậpthànhmộtcấpsốcộng.
Giải
Theođịnhlísinvàđịnhlícôsintacó:
cot

=

=

Tươngtựcot

:
=

⇒
,cot

=



=

.VìcotA,cotB,cotC

theothứtựlậpthànhmộtcấpsốcộngnên:
2 cot = cot + cot
Trang 21


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

⇔

=

+



⇔ 2( + − ) =
+ − + + − ⇔ 2 =
+ .
Vậy , , cũnglậpthànhmộtcấpsốcộng
14. (ĐH Nông Nghiệp 1,1995) TamgiácABCcóbacạnh , , lậpthành
mộtcấpsốcộngvà < < .Chứngminhrằng = 6 .
Giải
GọiSlàdiệntíchtamgiácABC.Theogiảthiếttacó:
=

⇔ 2 =

⇔3 =

+ ⇔

⇔ 3 = 2.

+

+ =3

⇔3=

⇔

⇔ 3 = 2
=6



D. CẤP SỐ NHÂN.
I. Định nghĩa:
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó
và một số q không đổi, nghĩa là: (un) là cấp số nhân

II. Công thức cần nhớ
Côngthứctruyhồi:
=
. ,∀ N*(q:côngbội)
Tínhchất:
a. Gọi , , lầnlượtbasốhạngliêntiếpcủamộtcấpsốnhân.
Tađược: =a.c
b. Côngthứcsốhạngtổngquát: =
,vớin≥2
c. Tổngnsốhạngđầutiên:

=

(

)

III. Các dạng bài tập
1. Tìm các số hạng của cấp số nhân
VD:Tìmbốnsốhạngđầucủamộtcấpsốnhân,biếttổngbasốhạngđầu
4
9

bằng 16 ,đồngthờitheothứtự,chúnglàsốhạngthứnhất,thứtưvàthứ
támcủamộtcấpsốcộng.
Trang 22


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

Giải
Gọi: u1,u2,u3,u4 là4sốhạngđầutiêncủacấpsốnhân,vớicôngbộiq.Gọi
(

)làcấpsốcộngtươngứngvớicôngsailàd.Theogiảthiếttacó:

4 

4
2
u

u


u

u

16
u

u
q

u
q

16
1
1
2
3
4
1
1
1

9 
9


 u1  v1
 u1q  u1  3d  2
u2  v4  v1  3d

 2

u1q  u1  7d  3

u3  v8  v1  7d





2
Khửdtừ(2)và(3)tađược: u1 3q  7q  4  0

q  1
Do(1)nên: u1  0   4   
4
q
3


.

Theođịnhnghĩathì q  1 ,dovậy q 
Thayvào(1),tađược: u1  4, u2  u1q 

2. Tìm cấp số nhân (

 4 .

4

3
16
64
256
, u3 
, u4 
3
9
27

)

VD:Mộtcấpsốnhâncó5sốhạng,côngbộiq= sốhạngthứnhất,tổng
củahaisốhạngđầubằng24.Tìmcấpsốnhânđó?
Giải
Theogiảthiếttacó:
1
1
u1  u2  u1   u1   24  u1  u12  24  0  u1  12  u1  8
4
4
Vậycóhaicấpsốnhântươngứnglà:8,16,32,128hoặc:-12,36,-108,972

3. Tổng hợp giữa cấp số cộng và cấp số nhân
Trang 23


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

VD:3sốdươngcótổngbằng21tạothànhcấpsốcộng.Nếusốhạngthứ
nhấtbớtđi1,sốhạngthứhaithêm1,thêm7vàosốhạngthứbathìcác
sốmớitạothànhcấpsốnhân.Tìmbasốdươngđãcho.
Giải
Gọi làsốdươngcầntìm( ∈ ℕ*).Tacó:
− + + + = 21 ⟺ = 7

( − − 1)( +
+ 7) = ( + 1) (2)
Thayx=7vào(2):
=2
(loại = −10do – = −3)
= −10
Basốdươngđólà:5,7,9.

4. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân:
VD:Tìm3sốhạngliêntiếpcủamộtcấpsốnhân( <
= 216, + + = 19.

< )biết

Hướng dẫn

+

= 216
+ = 19 ⟺
=

=6
=4
=9
=4( ạ


< )

5. Chứng minh 1 dãy số là cấp số nhân
VD:Biết3số − , , − lậpthànhmộtcấpsốcộng.Chứngminh3số
, , lậpthànhmộtcấpsốnhân.
Giải
1
(
)
+
= 2 × b ⟺
(
⟺

(

)(

)

=0⟺

=

Basố , , lậpthànhcấpsốnhân.

6. Tính tổng
Trang 24

(

)
)(

(
)

)(

)

= 0


CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC

THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

VD:TínhtổngP=(

) +(

) + ⋯+ (

)

Giải
P=(

) +(

) + ⋯+ (

=(3 + ) +(3 +

)

) +…+ 3

+



=3 +2+ +3 +2+ +…+3 +2+
=3 ×

+2 ×10+

×

=3922632470,125

IV. Bài tập và đáp án
n
1. Chứngminhrằngdãysố: an  2.3 lậpthànhmộtcấpsốnhânvàtính

tổngcủa8sốhạngđầutiêncủanó?
Giải
an 1 2.3n 1
Xét a  2.3n  3  1 .
n
Chứngtỏ an làmộtcấpsốnhân,cócôngbội = 3, a1  2.3  6
Dovậy: S8 

6  38  1
3 1

 3.  38  1  17.680 .

2. Giảsửa,b,c,dlậpthànhmộtcấpsốnhân.Hãytínhgiátrịbiểuthức:
2

2

2

2

 a  c  b  c  b  d    a  d 
Hướng dẫn
Tacó:
=( − ) +( − ) +( − ) −( − )
) +( −
) +( −
) −( −
) = 0
=( −
3. Giảsửcácsố:5 − , 2 + 3 và + 2 lậpthànhmộtcấpsốcộng,còn
2

2

cácsố  y  1 , xy  1,  x  1 lậpthànhcấpsốnhân.Tìmx,y?
Trang 25