BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO

Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu 1: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài
Nhóm

k1 ( N / m)

k 2 ( N / m)

c1 ( N .s / m)

c2 ( N .s / m)

m( N .s 2 / m)

p (t )( N )

1

200

280

40

70

950

12sin(2,5t )

a) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của
khối lượng m
- Ngoại lực tác động đến khối lượng m
f s = k1u (t ) + k2u (t ) ; f D = c1u (t ) + c2u (t ) ; f I = mu&&(t )
Theo nguyên lý D’Alembert (PP tỉnh động) ta có
f I + f D + f S = p (t ) ⇔ mu&&(t ) + (c1 + c2 )u& (t ) + (k1 + k 2 )u (t ) = p (t )

-

Thay giá trị ta được phương trình vi phân chuyển động
950u&&(t ) + 110u& (t ) + 480u (t ) = 12sin(2,5t )

b) Tần số tự nhiên của hệ
wn =

K
480
=
= 0, 711(rad / s)
m
950

Chu kì tự nhiên của hệ
2π
2π

Tn =

wn

=

0, 711

= 8,837( s )

c) Phương trình chuyển động của hệ
Tỉ số cản:
ς=

c
110
=
= 0, 081 < ωn = 0, 711 → cản ít
2mωn 2 × 950 × 0, 711

Tần số vòng tự nhiên của dao động có cản:
ωD = ωn 1 − ς 2 = 0, 711 1 − 0, 0812 = 0, 708
Nghiệm riêng của hệ
u p (t ) = C sin(ωt ) + D cos(ωt ) ; với

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 1

Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

p0
1 − (ω / ωn ) 2
C=
k [1 − (ω / ωn ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2
p0
−2ζ (ω / ωn )
k [1 − (ω / ωn ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2
Với p0 = 12; ω = 2,5 ⇒ C = −0, 0022; D = −0, 00011
D=

Nghiệm tổng quát của hệ:
u (t ) = e −ζω t [ A cos(ω Dt ) + B sin(ωD t )] + u p (t ) (*)
n

Từ điều kiện ban đầu: u (0) = 0; u& (0) = 0
Thay t =0 vào (*) ta được:
0 = A + D ⇒ A = − D = 0, 00011

Đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được:
u& (t ) = −ζωn e −ζω t [ A cos(ωD t ) + B sin(ωD t )] + e −ζω t [ − Aω D sin(ω Dt ) + BωD cos(ω Dt )]
+Cω cos(ωt ) − Dω sin(ωt ) (**)
Thay u& (0) = 0 vào phương trình (**) ta được:
ζω A − Cω
0 = −ζωn A + Bω D + Cω ⇒ B = n
= 0, 0077
ωD

Vậy phương trình chuyển động của hệ là:
n

n

u (t ) = e −0,058t [0, 00011cos(0, 708t ) + 0, 0077 sin(0, 708t )] − 0, 0022sin(2,5t ) − 0, 00011cos(2,5t )

Vẽ đồ thị: (sử dụng Mathlab để vẽ đồ thị)
Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở dạng tổng quát:

Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở trạng thái ổn định:

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 2


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

*Biểu diển 2 đồ thị trên cùng hệ trục:

Nhận xét: Dao động của hệ gần như ổn định sau 50s đầu
Câu 2: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài
Nhóm

E ( N / m2 )

I (m 4 )

L(m)

klx ( N / m)

m(kg )

1

2,1×1010

530 ×10−8

4, 2

1200

110

-

Độ cứng của dầm

192 EI 192 × 2,1×1010 × 530 ×10 −8
kd =
=
= 28,84 ×104 ( N / m)
3

3
L
4, 2

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 3


Bài tập Động lực học công trình nâng cao
ktd =

Độ cứng tương đương

kd × klx 28,84 ×104 ×1200
=
= 1195, 03( N / m)
kd + klx 28,84 × 104 + 1200

ωn =

GVHD: TS.Châu Đình Thành

Tần số vòng tự nhiên của hệ

ktd
1195, 03
=
= 3, 29(rad / s )
m

110

Câu 3: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài
Nhóm

E ( N / m2 )

I c (m 4 )

H (m)

m(kg )

ζ (%)

p (t )(kN )

1

3, 2 ×1010

1, 2 ×10−4

4,1

6200

4

610 cos(11t )

a) Xác định phương trình chuyển động u(t)
• Xác định các thông số
- Biên độ dao động của lực
p0 = 610 × 103 ( N )

-

Tần số vòng của lực
ω = 11(rad / s )
Độ cứng k của hệ
k=

-

24 EI c 24 × 3, 2 ×1010 × 1, 2 ×10 −4
=
= 1337,18 × 103 ( N / m)
3
3
H
4,1

Tần số vòng tự nhiên
ωn =

k
1337,18 × 103

=
= 14, 686(rad / s )
m
6200

-

Tần số vòng tự nhiên của hệ có cản
ωD = ωn 1 − ζ 2 = 14, 686 1 − 0, 04 2 = 14, 674( rad / s)
• Nghiệm riêng của phương trình chuyển động
u p (t ) = C sin(ωt ) + D cos(ωt ) (*)
D=
=

p0
1 − (ω / ωn ) 2
=
k (1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2

610 × 103
1 − (11/14, 686) 2
= 1, 020
1337180 (1 − (11/14, 686) 2 ) 2 + (2 × 0, 04 ×11/14, 686) 2

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 4


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

C=

GVHD: TS.Châu Đình Thành

p0
2ζ (ω / ωn )
=
k (1 − (ω / ωn ) 2 ) 2 + (2ζω / ωn ) 2

610 × 103
2 × 0, 04 × (11/14, 686)
= 0,1393
1337180 (1 − (11/14, 686) 2 ) 2 + (2 × 0, 04 ×11/14, 686) 2
⇒ u p (t ) = 1, 02sin(11t ) − 0,1393cos(11t )
=

-

Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động có dạng
u (t ) = uh (t ) + u p (t ) (**)
−ζω t
Với: uh (t ) = e ( A cos(ωDt ) + B sin(ωDt ))
Các hệ số A,B được xác định như sau:
Thay t=0 vào phương trình (**) ta được
n

0 = A + D ⇒ A = − D = −1.020

Đạo hàm 2 vế phương trình (**) ta được:
u& (t ) = −ζωn e −ζω t ( A cos(ωD t ) + B sin(ωD t )) +

n

+ e −ζωnt (− Aω D sin(ωD t ) + BωD cos(ωD t )) + Cω cos(ωt ) − Dω sin(ωt )

Thay t = 0 vào phương trình trên ta được
ζω A − Cω −0, 04 ×14, 686 ×1.02 − 0,1393 ×11
0 = −ζωn A + Bω D + Cω ⇒ B = n
=
= −0,145
ωD
14, 674
Vậy phương trình chuyển động của hệ là:
u (t ) = e −0,587 [−1.020 cos(14, 674t ) − 0,145sin(14, 674t )] + 0,1393sin(11t ) + 1, 020 cos(11t )

• Đồ thị quan hệ giữa u(t) và thời gian

b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị
Kết quả của phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích là:
Thực hiện: Nhóm 1

Trang 5


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

ui +1 = Aui + Bu& i + Cpi + Dpi +1

u& i +1 = A′ui + B′u& i + C ′pi + D′pi +1

Với các giá trị A, B, C, D, A’, B’, C’ D’ được tính như sau
 ζ

A = e −ζωn ∆t 
sin(ωD ∆t ) + cos(ωD ∆t ) 
 1 − ζ 2

 1

B = e −ζωn ∆t 
sin(ωD ∆t ) 
 ωD

2




1  2ζ
ζ
2ζ 
−ζωn ∆t 1 − 2ζ


÷sin(ωD ∆t ) − 1 +
C=
+e
−
cos(ω D ∆t ) 

÷
 ωD ∆t
k  ωn ∆t

1− ζ 2 ÷
 ωn ∆t 



 2ζ 2 − 1

1
2ζ
2ζ
D = 1 −
+ e −ζωn ∆t 
sin(ωD ∆t ) +
sin(ω D ∆t ) ÷
k  ω n ∆t
ω D ∆t
 ω D ∆t

 ω

n
A′ = e −ζωn ∆t 
sin(ωD ∆t ) 
 1 − ζ 2




ζ
B′ = e −ζωn ∆t cos(ωD ∆t ) −
sin(ωD ∆t ) 

1− ζ 2

 ω


1 1
ζ
1
n
÷sin(ωD ∆t ) + cos(ωD ∆t )  
C ′ =  − + e −ζωn ∆t 
+
k  ∆t
∆t
 1 − ζ 2 ∆t 1 − ζ 2 ÷
 



D′ =

 ζ
1 
1 − e −ζωn ∆t 
k ∆t 

 1 − ζ 2




÷sin(ωD ∆t ) + cos(ωD ∆t )  
÷
 



Thay số ta tính được
A = 0,9893; B = 0, 0099; C = 5,34 ×10−6 ; D = 2, 68 × 10 −6
A′ = −2,3164; B′ = 0, 09776; C ′ = 7,9 ×10 −4 ; D′ = 8, 0 ×10 −4
Chọn ∆t =0.01, ta được kết quả như sau

Với các giá trị ban đầu

u (0) = 0; u& (0) = 0; p (0) = p0 = 610kN ; p(ti ) = p0 cos(11ti );
ti +1 = ti + ∆t

Bảng giá trị cho 10 bước lập đầu tiên:
STT

u (t )

t

1
2

3
4
5
6
7

0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06

Thực hiện: Nhóm 1

0
0,004881
0,019286
0,042618
0,073984
0,112215
0,155905

u& (t )

0
0,97164755
1,89937426
2,7522132

3,50144474
4,12132212
4,58971975

p (t ) = 610 cos(11t )

610
606,31322
595,29744
577,08583
551,89851
520,03996
481,89526
Trang 6


Bài tập Động lực học công trình nâng cao
8
0,07
9
0,08
10
0,09
11
0,1
12
0,11
13
0,12
Đồ thị quan hệ giữa t và u(t)

Kết quả Matlab

0,203444
0,253069
0,302905
0,351021
0,395482
0,434398

GVHD: TS.Châu Đình Thành
4,88868986
5,00491496
4,93004636
4,66092147
4,19965548
3,55360598

437,92551
388,6622
334,70081
276,69363
215,34183
151,38703

1
2

c) Dùng phương pháp gia tốc trung bình Newmark với γ = ; β =

1

để vẽ đồ thị
4

quan hệ giữa u (t ); t
Tóm tắt phương pháp gia tốc trung bình Newmark
- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu
p − cu& 0 − ku0 ˆ
γ
1
u&&0 = 0
;k = k +
c+
m
m
β ∆t
β ( ∆t ) 2
1
γ
1
γ
a=
m + c; b =
m + ∆t (
− 1)c
β∆t
β
2β
2β
- Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i
∆pˆ i

kˆ
γ
γ
γ
∆u& i =
∆ui − u& i + ∆t (1 −
)u&&i
β∆t
β
2β
1
1
1
u&&i =
∆ui −
u& i −
u&&i
2
β ( ∆t )
β ∆t
2β
∆pˆ i = ∆pi + au& i + bu&&i ; ∆ui =

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 7


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

ui +1 = ui + ∆ui ; u& i +1 = u& i + ∆u& i ; u&&i +1 = u&&i + ∆u&&i

- Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1
• Thay các giá trị ta tính được kết quả sau:

k = 1337,18(kN / m); u (0) = 0; u& (0) = 0; p0 = 610(kN ); m = 6, 2(Tan)
1
1
ζ = 0, 04; ωn = 14, 686; c = 7, 284; γ = ; β = ; u&&(0) = 98,38
2
4
ˆ
Chọn ∆t = 0, 01 ⇒ k = 161222, 7; a = 1998, 6; b = 12, 4

• Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên
t

∆pi

pi

∆pˆ i

∆ui

∆u& i

∆u&&i

ui

u& i

u&&i

0

610

-3,68678

1216,313

0,00485

0,96997

-2,78022

0

0

98,3871

0,01

606,3132

-11,0158

3594,166

0,014331

0,926289

-5,95587

0,00485

0,96997

95,60688

0,02

595,2974

-18,2116

5823,809

0,023221

0,851778

-8,94637

0,019181

1,896259

89,651

0,03

577,0858

-25,1873

7830,717

0,031224

0,748665

-11,6762

0,042402

2,748037

80,70463

0,04

551,8985

-31,8586

9546,858

0,038067

0,6199

-14,0768

0,073626

3,496703

69,02842

0,05

520,04

-38,1447

10912,4

0,043511

0,469078

-16,0878

0,111693

4,116603

54,95165

0,06

481,8953

-43,9698

11877,24

0,047359

0,300345

-17,6588

0,155204

4,585681

38,86386

0,07

437,9255

-49,2633

12402,2

0,049452

0,1183

-18,7502

0,202563

4,886025

21,20506

0,08

388,6622

-53,9614

12460,11

0,049683

-0,07212

-19,334

0,252014

5,004325

2,454891

0,09

334,7008

-58,0072

12036,41

0,047993

-0,26576

-19,3947

0,301697

4,932204

-16,8791

• Kết quả đồ thị quan hệ t, u(t):

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 8


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

d) So sánh các phương pháp
u(t)
t

Phương pháp
Giải tích

Phương pháp
Xắp xỉ tuyến tính
lực kích thích

Phương pháp
Gia tốc trung bình
Newmark

0,00

0,000000

0,000000

0,000000

0,01

0,004917

0,004881

0,004850

0,02

0,019365

0,019286

0,019181

0,03

0,042745

0,042618

0,042402

0,04

0,074164

0,073984

0,073626

0,05

0,112451

0,112215

0,111693

0,06

0,156198

0,155905

0,155204

0,07

0,203796

0,203444

0,202563

0,08

0,253478

0,253069

0,252014

0,09

0,303368

0,302905

0,301697

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 9


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

GVHD: TS.Châu Đình Thành

Dựa vào bảng trên ta có thể kết luận các phương pháp số(xắp xỉ tuyến tính lực kích
thích, gia tốc trung bình Newmark) cho kết quả gần đúng với phương pháp giải tích.
Câu 4:

a) Vẽ trên cùng đồ thị mối quan hệ giữa t và u(t) theo phương pháp giải tích và
1
2

1
6

phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark( γ = ; β = )
• Phương pháp giải tích:
Phương trình vi phân chuyển động của hệ có dạng:

mu&&(t ) + cu& (t ) + ku (t ) = −mu&&g (t ) ⇔ mu&&(t ) + cu& (t ) + ku (t ) = −20m sin(15t ) (*)

Theo số liệu đề cho ta có:
p
2π 2π
20m
ωn =
=
= 31, 42(rad / s ); ζ = 0, 05; 0 = − 2 = −0, 02; ω = 15
Tn 0, 2
k
ωn m
Thay các giá trị vào biểu thức
p
1 − (ω / ωn ) 2
C= 0
k [1 − (ω / ωn ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2
p
−2ζ (ω / ωn )
D= 0
k [1 − (ω / ωn ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2
Tìm được C = -0,02615; D = 0,001617;
Nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:

u (t ) = e −ζω t ( A cos(ωD t ) + B sin(ω Dt )) + C sin(ωt ) + D cos(ωt )
Áp điều kiện ban đầu u (0) = 0; u& (0) = 0
Ta tìm được A = -0,00167; B = 0,01242
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
n

u (t ) = e −1,571t [−0, 001617 cos(31,377t ) + 0, 01241sin(31,377t )] −
−0, 0262sin(15t ) + 0, 001617 cos(15t )

• Phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark
- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu
p − cu& 0 − ku0 ˆ
γ
1
u&&0 = 0
;k = k +
c+
m
m
β ∆t
β ( ∆t ) 2
1
γ
1
γ
a=
m + c; b =
m + ∆t (
− 1)c
β∆t

β
2β
2β

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 10


Bài tập Động lực học công trình nâng cao
-

GVHD: TS.Châu Đình Thành

Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i

∆pˆ i
kˆ
γ
γ
γ
∆u& i =
∆ui − u& i + ∆t (1 −
)u&&i
β∆t
β
2β
1
1
1

u&&i =
∆ui −
u& i −
u&&i
2
β ( ∆t )
β ∆t
2β
ui +1 = ui + ∆ui ; u& i +1 = u& i + ∆u& i ; u&&i +1 = u&&i + ∆u&&i
∆pˆ i = ∆pi + au& i + bu&&i ; ∆ui =

- Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1
• Thay các giá trị ta tính được kết quả sau:

k = 987, 22m; u (0) = 0; u& (0) = 0; p0 = −20m
1
1
−20
ζ = 0, 05; ωn = 31, 42; c = 3,142m; γ = ; β = ; u&&(0) =
; p = −20m sin(15t )
2
6
m

• Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên
t

∆pi

pi

∆pˆ i

∆ui

∆u& i

∆u&&i

ui

u& i

u&&i

0

610

-629,879

-690,193

-0,01114

-3,24345

-608,69

0

0

-20

0,01

-19,8791

0,361173

-3872,22

-0,06253

-5,88411

80,55771

-0,01114

-3,24345

-628,69

0,02

-19,5179

0,597102

-7214,97

-0,1165

-4,82759

130,7474

-0,07367

-9,12756

-548,132

0,03

-18,9208

0,825814

-9762,5

-0,15764

-3,33935

166,9002

-0,19017

-13,9551

-417,385

0,04

-18,095

1,044543

-11294

-0,18237

-1,57493

185,9838

-0,34781

-17,2945

-250,485

0,05

-17,0505

1,250646

-11692,8

-0,18881

0,288442

186,6903

-0,53018

-18,8694

-64,501

0,06

-15,7998

1,441631

-10953,8

-0,17688

2,069439

169,5091

-0,71899

-18,581

122,1893

0,07

-14,3582

1,615191

-9181,25

-0,14825

3,600112

136,6254

-0,89587

-16,5115

291,6985

0,08

-12,743

1,769226

-6575,08

-0,10617

4,741535

91,65931

-1,04412

-12,9114

428,3238

0,09

-10,9738

1,901875

-3408,92

-0,05505

5,396215

39,27661

-1,15029

-8,1699

519,9832

• Đố thị biểu diễn quan hệ t và u(t)

Thực hiện: Nhóm 1

Trang 11


Bài tập Động lực học công trình nâng cao

Thực hiện: Nhóm 1

GVHD: TS.Châu Đình Thành

Trang 12